[El Problema de la Semana] Seguro de Vida

Este problema es sencillito.

Teresa echó una mirada sobre el hombro de su hijo.

-¡Eh, esos son los papeles de mi seguro de vida! -exclamó ella-. No me digas que ha vencido.

-No, mamá. Sólo que descubrí una curiosidad en el número de la póliza -dijo el muchacho-. Es el menor número con una raíz cúbica y una raíz séptima diferentes y enteras.

¿Cuál es el número?

Veamos la ilustración antes de solucionar el problema.

Seguros de vida. Lo que te venden: seguridad, tranquilidad, familias protegidas y felices, apoyo y cobertura en todas circunstancias. Lo que en realidad es: un juego de probabilidades como la lotería; la empresa de seguros maneja estadísticas globales de la población, y calcula probabilidades de que cada persona fallezca o sufra algún fatal imprevisto que esté cubierto en la poliza. Según la probabilidad calculada, así ajustan lo que el asegurado debe pagar, más un margen de beneficio para que la empresa salga siempre ganando.
Ejemplo: si hay una probabilidad entre mil de que una persona fallezca, por cada mil euros asegurados cobrarán un euro a la persona, más los beneficios que la empresa quiere obtener.
Supongamos que ese beneficio es de otro euro, y a cada persona asegurada cobran dos euros. Si tienen mil clientes, a dos euros cada uno, la empresa recauda dos mil euros. De esos mil clientes, por ley de probabilidad, uno fallece, y a su familia la empresa de seguros pagará mil euros; todavía la empresa se queda con un margen de mil euros de beneficio por el cobro de todas las pólizas.

Solución:

Consideramos los enteros positivos. Los números que tienen una raíz cúbica exacta, son aquellos denominados cubos: 1, 8, 27, 64, 125, etc. El primero (distinto del 1) que es un cubo es 2³ = 8.

Igualmente los números que tienen una raíz séptima exacta son aquellos que forman la sucesión de potencias de siete: 1, 128, 2187, 16384, 78125, etc. El más pequeño (distinto del 1) es 2⁷ = 128.

Si el número que buscamos tiene una raíz cúbica y una raíz séptima exactas, debe encontrarse en las dos listas anteriores. Debemos exceptuar el 1, porque nos dice explícitamente el problema que las raíces son diferentes. No es necesario buscar mucho para darse cuenta que el primer número que nos encontramos en las dos listas es 8⁷ = 128³ = 2097152.

¿Cómo razonaríamos en general? Veamos. Se necesita que el número sea una potencia de 2, pues son las potencias de números enteros más pequeñas, dejando aparte al 1. Para que se pueda hacer la raíz cúbica, el exponente del 2 debe ser divisible por 3, y para poder hacer la raíz séptima, el exponente del 2 debe ser divisible por 7. Luego el exponente del 2 debe ser divisible por el mínimo común múltiplo de 3 y 7 que es 21. Tomando 2 elevado a 21 obtenemos el resultado de antes:

2²¹ = 2097152.

Nota: Este problema ha sido extraído del libro de Jaime Poniachik: Situaciones problemáticas.