[El Problema de la Semana] División en cuatro trozos

El problema de hoy es de esos que tienen una solución ingeniosa, de las que son producto de la inspiración del momento, más que de un razonamiento estándar.

Nos han dado una plancha de madera con la forma que tiene la figura (un rectángulo al que le falta la cuarta parte). Debemos partirla en cuatro trozos exactamente iguales. ¿Cómo podemos hacerlo?

Como siempre, dejamos un espacio con una imagen, y más abajo la solución al problema.

[el motivo de que incluyamos esta ilustración con el número pi está indicado al final de esta entrada, en las notas]

Solución: la forma correcta de cortar la plancha sería la del siguiente gráfico:

Así obtenemos cuatro trozos iguales, aunque no tienen la misma orientación. Estamos suponiendo que las dos caras de la plancha de madera son iguales, y por tanto, a los trozos con distinta orientación se les podría dar la vuelta para estuvieran todos igualmente orientados. Es curioso que los trozos resultantes son semejantes a la forma de la plancha original, aunque en pequeño.

Ampliación: cuando propuse este problema a los grumetes hace años, casi todos me contestaron de otra forma, que en principio di por buena. La partición que ellos hicieron fue ésta:

Esta partición puede ser válida porque en el gráfico original, la altura de la figura parece coincidir con la mitad de la longitud total, con lo que da la sensación de que si cortamos la mitad derecha, a la izquierda nos queda un cuadrado. Pero si lo medimos con exactitud, veremos que no es exactamente cuadrado, ni se pretendía que lo fuese. De hecho, si el gráfico hubiera estado un poco más achatado o comprimido, como por ejemplo:

En este caso la primera partición seguiría dando trozos iguales:

 

Sin embargo la segunda partición no daría trozos iguales (basta fijarse que el trozo que está más a la izquierda es diferente en proporciones a los otros tres):

Notas: no parece haber una regla definida para encontrar particiones de figuras geométricas que nos dividan cualquier figura dada en un número determinado de trozos iguales. Cada caso puede tener o no tener solución, y ha de estudiarse de forma particular. Matenavegando, nos podemos encontrar con  muchos problemas curiosos de particiones cuyas soluciones son, a menudo, sorprendentes.

El motivo de elegir una imagen del número pi para ilustrar esta entrada en el blog, es porque recientemente el récord en número de decimales calculados del número pi ha sido batido de nuevo. El nuevo récord ha sido conseguido por Fabrice Bellard, y lo más sorprendente es que lo ha logrado con la ayuda de un simple ordenador doméstico. La noticia completa se puede leer en este artículo del periódico El País.

Si pinchamos en la imagen del número pi incluida más arriba, nos saldrá muy aumentada. El fondo de la imagen está también formado por el número pi, con más de 73.000 decimales (los he contado por encima, puedo haberme equivocado).

Un cálculo masivo de los decimales del número pi ha sido posible con la llegada de los ordenadores. El cálculo de decimales de pi, sin ayuda de los ordenadores, lo consiguió en 1947 D. F. Ferguson, que logró 808 decimales con la ayuda de una calculadora mecánica. En 1949, ENIAC, el primer ordenador, pulverizó este récord, consiguiendo 2037 cifras decimales en tan sólo 72 horas, y a partir de ahí, los récords se han ido batiendo sucesivamente conforme se desarrollaban ordenadores más potentes y rápidos. La última marca ha quedado establecida en nada menos que 2.7 billones de decimales.