Numeros astronómicos (3): Viajes Espaciales

Un tema recurrente en los relatos y películas de ciencia ficción son los viajes espaciales. Cruzar las distancias siderales para ir de un planeta a otro planeta, de una estrella a otra estrella, de una galaxia a otra galaxia, con multitud de tipos de naves espaciales, es algo que forma parte del argumento de tantos relatos conocidos. En la saga de Star Wars, por ejemplo, las naves que aparecen no tienen problema en trasladarse de un lugar a otro de la galaxia, aunque algunas veces tienen dificultades con el salto hiperespacial, como le ocurre al Millenium Falcon en el Episodio V, o como le ocurre a la nave de la Reina Amidala en el Episodio I. En la serie Star Trek, la nave Enterprise cambia de velocidad, desde el salto hiperespacial, empleado para trasladarse de un sistema estelar a otro, a la velocidad de impulso, usada dentro de un sistema planetario, para acercarse a los planetas o para aproximarse a otra nave.

Por salto hiperespacial se entiende un estado en el que la nave en cuestión viaja a una velocidad superior a la de la luz. Según las necesidades del argumento, dicha nave viajando a esa velocidad mayor que la de la luz empleará más o menos tiempo (minutos, horas, días) en llegar a su destino. Nunca suele ser más de unos pocos días, porque el interés de la acción no está en el viaje en sí, sino en lo que pasa antes y después del viaje. Este tipo de argumentos da por hecho que las naves tienen una tecnología suficientemente avanzada como para viajar de forma rápida y efectiva, sin mayores complicaciones, entre los planetas o estrellas pertinentes.

Hay otro tipo de relatos en la ciencia ficción en los que los autores plantean viajes espaciales más realistas, o más al alcance de la ciencia actual. Así, por ejemplo, tenemos 2001 Una Odisea del Espacio. En este argumento, la nave que aparece viaja lentamente desde la Tierra hasta Júpiter, empleando meses, incluso años, en su trayecto. También tenemos por ejemplo la película Planeta Rojo, que narra un viaje a Marte en el que se emplean varios meses. Las naves de estos dos ejemplos no tienen una tecnología como para alcanzar la velocidad de la luz, ni siquiera llegar cerca de ella. Sus trayectos son lentos, pesados, laboriosos, peligrosos y llenos de inconvenientes. El viaje en sí se convierte en el centro del argumento de la película.

¿Cuánto puede tardar un viaje espacial? Depende del destino que elijamos y de la velocidad a la que nos desplacemos.

Empecemos por el trayecto espacial más sencillo, el más largo que los seres humanos han logrado hasta la fecha: viajar a la Luna. La distancia entre la Tierra y la Luna es de 384.000 kilómetros, aunque los cohetes que han llegado hasta ella han tenido que hacer una distancia ligeramente mayor, porque antes de dirigirse hacia la Luna han de tomar impulso trazando varias órbitas en torno a la Tierra, como los atletas lanzadores de disco, que giran sobre sí mismos varias veces hasta que sueltan el disco. Si pudiéramos ir en coche a la Luna (ver La Carretera hacia la Luna, en este mismo blog), viajando a una velocidad de 120 kilómetros por hora, tardaríamos 3.200 horas cruzar los 384.000 kilómetros. Eso significa un total de 133 días de conducción sin parar, más de cuatro meses.

Las naves espaciales tardan, teniendo en cuenta todas las maniobras de separarse de despegue, separación de la órbita terrestre, adaptación a la órbita lunar y regreso a la Tierra, menos de una semana en ir y volver a la Luna. La velocidad de escape del planeta Tierra es de 40.320 kilómetros por hora, es decir, ésta es la velocidad que tiene que alcanzar un cohete para poder salir al espacio y separarse de la Tierra. A esa velocidad se tarda menos de diez horas en llegar a las proximidades de la Luna.

Si fuéramos a la velocidad de la luz, unos 300.000 kilómetros por segundo, tardaríamos poco más de un segundo en llegar. Pero cuidado, en la práctica estas velocidades son engañosas: hay que tomarse un tiempo para acelerar y otro para frenar, pues de lo contrario, si no frenamos a tiempo, nos pasaríamos muy de largo en un abrir y cerrar de ojos.

Esto es algo que sucede en el espacio: las velocidades suelen ser tremendamente elevadas. Pongámonos en la orilla de una autopista aquí en la Tierra y observemos los coches que pasan. A pesar de desplazarse a una velocidad relativamente moderada, 120 kilómetros por hora, podemos comprobar cómo se acercan rápidamente hacia nosotros y cómo pasan a nuestro lado como una exhalación. Apenas nos da tiempo a fijarnos en su matrícula o en el modelo del coche.

Imaginemos que estamos ahora en el espacio. La velocidad mínima de una cápsula que haya escapado de la Tierra es de 40.320 kilómetros por hora, un poco más de 11 kilómetros por segundo. Si estuviéramos parados observando el paso de un cohete o de una nave espacial, o de una sonda, no tendríamos tiempo ni de darnos cuenta de que se acerca cuando ya habría pasado. ¡11 kilómetros por segundo! En un momento se puede encontrar acercándose desde una dirección a 5 kilómetros y medio de distancia de nosotros, y al segundo siguiente ya ha pasado y se aleja en dirección contraria a 5 kilómetros y medio de distancia.

La velocidad tan elevada a la que se mueven los objetos en el espacio es lo que hace peligrosa a la chatarra espacial. Cuando un cohete o satélite artificial estalla en la órbita de la Tierra, esparce gran cantidad de pequeños trozos que con el paso del tiempo irán cayendo a la superficie de la Tierra, pero que mientras permanecen en órbita se mueven a la velocidad que tenía el satélite: cerca de treinta mil kilómetros por hora. Una bala disparada por una pistola o por un rifle se puede mover a una velocidad diez o veinte veces menor. Eso significa que cualquier tornillo, tuerca o trozo de metal procedente de un satélite artificial se desplaza diez o veinte veces más rápido que una bala. Si se cruza con otro satélite o cohete, lo atraviesa limpiamente, rompiendo todo lo que se encuentre a su paso, por muy resistente que sea. La única salvaguarda que tienen los aparatos mandados al espacio es la ley de probabilidades: el espacio es enormemente grande y la probabilidad de encontrarse con un tornillo suelto es muy pequeña.

Peor es el caso de una nave que se acercara a la velocidad de la luz: ¡ni siquiera la puedes ver mientras se acerca! La luz que emite la nave viene a la misma velocidad que la misma nave, con lo que cuando llega, llega junto a la nave, y antes de eso somos incapaces de ver nada. Captaríamos un fogonazo cuando pasara junto a nosotros, y en un segundo se encontraría tan lejos casi como la Luna.

Se puede calcular también el tiempo que tardaría un avión comercial (velocidad de vuelo: unos 900 ó 1.000 kilómetros por hora) en llegar a la Luna: unas 380 a 400 horas, es decir, 16 días, más o menos.

Más allá de la Luna, las distancias se multiplican, y la duración de los viajes empieza a subir enormemente. Para ir al Sol, hay que recorrer 150 millones de kilómetros, 390 veces más que la distancia a la Luna. Una nave espacial a cuarenta mil ó cincuenta mil kilómetros por hora tarda no menos de 3000 horas, 133 días, en llegar al Sol, siempre que el trayecto lo haga en línea recta, lo cual no es así normalmente, sino que como hemos explicado antes, aprovecha la gravitación terrestre y puede aprovechar la de otros cuerpos del sistema solar, como la Luna, Venus o Mercurio, para impulsarse en su viaje.

La misma nave espacial o sonda, para llegar a Júpiter desde la Tierra necesita cruzar no menos de 630 millones de kilómetros (ésta es la mínima distancia entre Júpiter y la Tierra cuando están en su mayor acercamiento). La duración del viaje llega a ser de dos o tres años, por lo menos.

La duración se multiplica si queremos viajar a Saturno, Urano, Neptuno o Plutón. Carl Sagan, en su obra Cosmos, compara estos viajes con los que tenían que realizar los navegantes en los siglos XVI a XIX en sus periplos alrededor del mundo. Juan Sebastián Elcano, por ejemplo, tardó más de tres años en completar la primera vuelta al mundo. En la actualidad, unos astronautas que intenten llegar a algún otro planeta del sistema solar, especialmente a los exteriores, con las naves de las que disponemos, tienen que prepararse para un viaje de muchos meses, años incluso, con todas las dificultades que ello conlleva: alimento, agua y oxígeno para todo ese tiempo, y mantener ocupados y en buena forma física y mental a los astronautas durante el trayecto, en el que van a estar confinados en un espacio tan reducido como el de la nave.

Viajar a otros planetas del sistema solar es complicado, pero si queremos llegar a otras estrellas, a otros sistemas estelares fuera del nuestro, la cosa se vuelve imposible con los medios actuales. Las estrellas más cercanas, el trío de Alfa Centauri, la estrella de Barnard, la Wolf 359, la Lalande 21185, Sirio, etc., están a varios años luz de distancia. La más cercana, Próxima Centauri, está a más de 4 años luz. Cada año luz es casi 10 billones de kilómetros (billones españoles: diez elevado a doce). Si mandamos un cohete o una sonda de las actuales hacia una de las estrellas más cercanas, a la velocidad a la que se mueven con la tecnología de la que disponemos su viaje tardaría miles de años en completarse. No tiene mucho sentido mandar ninguna nave con nuestra tecnología actual.

Para intentar un viaje hacia otra estrella, se necesitan naves que alcancen velocidades cercanas a la de la luz. Aproximándose mucho a la velocidad de la luz, para llegar al grupo de Alfa Centauri necesitamos más de cuatro años, pues como se ha indicado, este grupo está a más de 4 años luz. Surge el mismo problema de antes: aún teniendo naves tan rápidas, necesitamos preparar astronautas con alimento, agua, oxígeno y buenas condiciones físicas y psíquicas para aguantar un viaje de más de cuatro años (sólo la ida, la vuelta serían otros tantos). Aunque si se consiguiera una velocidad muy próxima a la de la luz, la dilatación temporal que predice la teoría de la relatividad haría que para los astronautas el tiempo corriera mucho más lento, y un viaje de cuatro años visto desde la Tierra, duraría meses o días para los astronautas.

En velocidades comparables a la de la luz, viajar a las estrellas cercanas supone varios años, pero para otras estrellas no tan cercanas puede suponer cientos o miles de años. Las Pléyades, por ejemplo, están a 440 años luz, según las mediciones del Hubble. Si quisiéramos atravesar la Vía Láctea de punta a punta, nos enfrentaríamos a un viaje de cien mil años luz. Salir de nuestra galaxia para visitar otras ya es cuestión de millones de años luz; la galaxia más cercana, Andrómeda o M31, se encuentra a dos millones de años luz.

Ese tipo de viajes, según las teorías relativistas de Einstein, se pueden hacer en velocidades muy cercanas a la de la luz, del orden de 99'99999999995% de la velocidad de la luz, y a este porcentaje, un viaje de dos millones de años luz tardaría para los tripulantes unos 20 años. Evidentemente este tipo de trayectos sólo son de ida, no tiene sentido plantearse el volver, pues entre la ida y la vuelta pasan cientos, miles o millones de años en la Tierra, según el viaje haya sido a estrellas de la Vía Láctea o a otras galaxias fuera de la Vía Láctea. El único sentido de volver a la Tierra es para ver el futuro de nuestro planeta.

Para viajar a otros sistemas estelares existen tres opciones:

1. Diseñar naves que puedan conseguir velocidades muy muy cercanas a la de la luz. Es el caso que hemos estado explicando hasta ahora.

2. Si no se pueden conseguir velocidades tan elevadas, diseñar naves que sean como mundos en miniatura, donde se introducirían una pequeña población de astronautas que vivirían en la nave y tendrían descendencia. Al cabo de varias generaciones los descendientes llegarían al destino. También se puede buscar un sistema de criogenización para mantener a los astronautas en animación suspendida durante cientos o miles de años, y descongelarlos al llegar al final del viaje.

3. Encontrar otro tipo de desplazamiento, más allá de las limitaciones de la Relatividad de Einstein, una especie de salto hiperespacial o alguna forma de desplazarse a través de los llamados agujeros de gusano. Todo esto pertenece en gran parte al terreno de la ciencia ficción, y es lo que se especula en las películas del tipo mencionado al comienzo de esta entrada del blog.

Propongo a los matenavegantes que busquen la fórmula relativista que relaciona el tiempo transcurrido en la Tierra y el tiempo transcurrido para los viajeros de una supuesta nave a las estrellas, y calculen, por ejemplo, cuánto tiempo transcurre para unos astronautas que viajan a las Pléyades a una velocidad de 299.791 km/s (velocidad de la luz: c=299.792'458 km/s).

[Respuesta: casi un año y medio]

El Reto del Súper Cúbix

Cuaderno de bitácora: desde el año pasado estoy introduciendo el cubo de Rubik entre los grumetes, como actividad complementaria. Les propongo que aprendan a resolverlo y cuando lo saben hacer les doy un positivo que se añade a la nota global del trimestre.

Aprovechando esta actividad del cubo de Rubik, una de las grumetes me ha traído un pasatiempo parecido que tenía en su casa, el Súper Cúbix. Se trata también de un cubo en el que se distinguen tres pisos. El del centro está formado únicamente por dos piezas, y los pisos de arriba y abajo están formados por triángulos isósceles en la mitad del lado y trapezoides en las esquinas.

Al ver el puzle, uno piensa en principio que se trata de una figura extraña, sobre todo cuando la vemos desordenada, con los triángulos y trapezoides mezclados y las piezas centrales descolocadas. Hay dificultad al principio hasta para hacerlo girar, sobre todo usando la única división que hay en el piso central.

Una vez que nos hacemos con los movimientos, nos fijamos que la gama de movimientos posibles parece mucho menor que en la del cubo de Rubik, porque las piezas son diferentes entre sí, en el centro sólo hay una división, y todo consiste en ir pasando piezas de la cara de arriba a la de abajo y viceversa, girando las caras convenientemente en cada traslado. Pero los giros de las caras de arriba y abajo son muy diversos: en el cubo de Rubik sólo hay tres giros posibles: de 90º, de 180º ó de 270º. En el Súper Cúbix sin embargo hay giros de 30 en 30 grados, con lo cual hay once giros posibles en las caras de arriba y abajo.

Así pues, me hice la idea, que luego resultó equivocada, que con un poco de ingenio yo podría resolverlo sin ayuda de nadie, tan sólo buscando un método lógico y encontrando la manera de colocar las piezas en su sitio sin desfigurar el resto. Empleé varias horas intentando llegar a la solución. Logré formar una cara completa, pero no conseguí formar la cara opuesta. Cansado de darle vueltas al dichoso puzle lo dejé reposar durante un par de semanas.

Para no retener mucho el puzle en mis manos, pues era un préstamo, un sábado por la mañana decidí buscar la solución matenavegando en la web. Y la encontré rápidamente. En la página http://chelis.iespana.es/cubix.htm encontré una explicación muy detallada de todos los algoritmos necesarios para llegar a la solución. Ahí me di cuenta de que el Súper Cúbix era difícil en realidad. Incluso más que el cubo de Rubik, porque los algoritmos parecen más complicados. Luego he pasado por tres estados de pensamiento respecto a este puzle: al principio lo vi raro, luego opiné que era fácil, por último creo que es bastante difícil.

En cualquier caso, es un ejemplo más de todo ese conjunto de puzles en los que se necesitan aprender una lista de algoritmos para llegar a resolverlos, siendo casi imposibles de solucionar sin conocer previamente los algoritmos adecuados.

No le he dedicado mucho tiempo al Súper Cúbix, pues se lo devolví resuelto a la grumete, satisfecho de haber cumplido el objetivo. Quizás en el futuro, si decido conseguir uno para mí, le preste más atención y mi visión del mismo vuelva a cambiar.

En la actualidad han surgido en el mercado infinidad de variantes de estos puzles tridimensionales. Hay una página web, http://www.kastellorizo.org/puzzles/ de la que he sacado la imagen que acompaña esta entrada del blog, en la que se ven fotos de muchísimos puzles diferentes. Uno queda asombrado al descubrir tanta variedad, suficiente para satisfacer a los más fanáticos de los pasatiempos geométricos.

Trivial Matemático (3) y Algoritmos

Proponemos otras diez preguntas:

   

1. ¿Cómo se llaman los triángulos con los tres lados iguales?

2. ¿Cómo se llama el lado más largo de un triángulo rectángulo?

3. Calcula el 5% de 500

4. Si un cuadrado tiene un área de 36 metros cuadrados, ¿cuánto mide su lado?

5. ¿Cuánto es  (-1)²⁰ ?

6. ¿Cuánto es  10⁶ ?

7. ¿Qué potencia de diez es un trillón?

8. ¿Cuál es el número cuyo opuesto coincide con él mismo?

9. Calcula rápidamente 0’5 × 40

10. ¿De qué matemático árabe proviene la palabra algoritmo?

1. equiláteros 2. hipotenusa 3. 25 4. 6 metros 5. 1 6. un millón, 1.000.000 7. diez elevado a dieciocho en España, diez elevado a doce en otros países 8. el cero 9. 20 10. de Al Juarismi.

El nombre de Al Juarismi aparece de forma variada según el libro o la página web, así he visto escrito Al-Juarizmi, Al-Kwarizmi, Al-Khwarizmi, Al-Khowarizmi, etc., sin contar con los diferentes acentos o tildes que se le ponen a las vocales. En la Wikipedia aparece el artículo relacionado titulado como Al Juarismi, en el que se explica extensamente sobre su vida y obra, y así vamos a escribir aquí su nombre por comodidad.

Por otro lado, la ilustración que he incluido más arriba, proviene de un sello de la Unión Soviética (que luego se fragmentaría en Rusia y otros países), editado en 1983. Esta ilustración de Al Juarismi es la más extendida, casi la única; aparece en muchos libros y webs que hablan del matemático árabe y es muy raro encontrar otra ilustración diferente.

Al Juarismi es uno de los matemáticos más importantes de la Edad Media. Su influencia fue tan profunda que su propio nombre dio origen a la palabra algoritmo, y también a la palabra guarismo. La palabra álgebra, es una adaptación del comienzo de "Hisab al yabr ua al muqabala", que es el título del famoso libro de Al Juarismi, escrito en el siglo IX de nuestra era, en el que se habla de la resolución de ecuaciones.

Un algoritmo es "es una lista bien definida, ordenada y finita de operaciones que permite hallar la solución a un problema" [definición de algoritmo en la Wikipedia]. Generalizando y para entendernos, es como una receta con la que se puede conseguir el resultado que buscamos. El aprendizaje de las matemáticas en la Educación Primaria y Secundaria está llena de algoritmos. Algoritmos son, por ejemplo, los métodos para sumar, restar, multiplicar o dividir números. También son algoritmos los métodos para hacer una raíz cuadrada, para calcular el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo, para sumar y restar fracciones, para hacer una regla de tres, etc. Más tarde se aprenden algoritmos, por ejemplo, para resolver ecuaciones de primer grado, para distinguir los casos de las ecuaciones de segundo grado, y los métodos clásicos para solucionar sistemas de ecuaciones. Y éstos son solo algunos.

Un ejemplo muy visual de lo que es un algoritmo aparece en la solución del famoso cubo de Rubik. Resulta casi imposible que una persona normal tome por primera vez un cubo de Rubik desordenado y sepa resolverlo y llevarlo a la posición estándar sin que nadie le enseñe nada, sino sólo probando y usando la lógica. Casi todo el mundo (no me atrevo a decir que todo el mundo, porque puede que haya alguien extraordinario por ahí) ha necesitado aprender una serie de algoritmos, de conjuntos de movimientos, para ir colocando el cubo, paso a paso, parte a parte, en la posición estándar. Estos algoritmos han sido descubiertos y elaborados gracias a estudios matemáticos abstractos a los que sólo los especialistas en álgebra y teoría de grupos tienen acceso.

Lo mismo que ocurre con el cubo de Rubik me pasó hace poco con otro pasatiempo parecido, aunque menos conocido: el Súper Cúbix. Ya hablaré de él en una próxima entrada.

El Cofre de los Tesoros Matemáticos: el Astrolabio

Cuaderno de bitácora: hace ya dos años por lo menos que matenavegando por el Parque de las Ciencias de Granada descubrí el Astrolabio en la sala dedicada a Al-Ándalus. En ella se explica su funcionamiento y se propone una práctica con un modelo de astrolabio y unas estrellas proyectadas sobre una pantalla. En la tienda del Parque se vendía además un astrolabio recortable, y decidí comprarlo, y luego lo monté sobre un panel de cartón grueso, con lo que me quedó un instrumento bastante decente. Gracias a las instrucciones que venían en el recortable y a la práctica que se enseñaba en la sala dedicada a Al-Ándalus, aprendí a manejarlo y tuve oportunidad de enseñárselo a los grumetes y a diversos oficiales de nuestro Barco Escuela.

Sobre la definición y la historia extraigo parte de la información que aparece en la Wikipedia sobre el astrolabio:

"El astrolabio es un instrumento que permite determinar las posiciones de las estrellas sobre la bóveda celeste. La palabra astrolabio significa etimológicamente "el que busca estrellas" y debe su procedencia al griego ("Astro", estrella y "Labio", el que busca). Sinesio de Ptolemais (siglo IV) atribuye su invención a Hiparco de Nicea, alrededor de 150 a. C. Para el siglo VIII ya era ampliamente conocido en el mundo islámico y en Europa en el siglo XII. Aún cuando existen vestigios de la cultura Sumeria, desde 5.000 a.c., que demuestra que los astrólogos sumerios lo utilizaban para saber las posiciones de las estrellas.
Durante los siglos XVI hasta el XVIII el astrolabio fue utilizado como el principal instrumento de navegación hasta la invención del sextante.
Los astrolabios eran usados para saber la hora y podían usarse también para determinar la latitud a partir de la posición de las estrellas. Los marineros musulmanes a menudo los usaban también para calcular el horario de oración y encontrar la dirección hacia la Meca."

En la definición de la Wikipedia, como se ve, define el astrolabio como un "buscador de estrellas". Se puede usar como los actuales planisferios celestes: a una latitud determinada, sabiendo el día del año y la hora, se puede determinar la posición de la estrella buscada. Pero se puede usar al contrario: conociendo las estrellas, localizándolas en el cielo, se puede determinar su posición, y gracias a ella la hora del día.

El astrolabio se puede usar de día o de noche. Durante el día se utilizará la inclinación de los rayos solares para alinearlo correctamente; esta alineación junto con la fecha en la que nos encontramos nos dará, por ejemplo, la hora del día en la que estamos haciendo la medición (la hora solar, no la oficial). Si, por el contrario, sabemos la hora solar gracias a un reloj adecuado, entonces con el astrolabio podemos calcular la longitud geográfica en la que estamos.

Por la noche, en lugar de usar la luz del sol, usaremos la posición de las estrellas. Si observamos la cara principal del astrolabio, la parte delantera de la llamada placa madre, vemos una serie de curvas y salientes en forma de uña; cada uno de estos salientes corresponde y señala a una estrella importante del firmamento. Toda la estructura con sus salientes se llama "araña" o "red". Midiendo la altura de las estrellas sobre el horizonte y su posición respecto a los puntos cardinales se puede calcular la hora, o bien la longitud a la que nos hayamos en medio del océano. Midiendo la altura de la estrella Polar sobre el horizonte podemos averiguar la latitud a la que nos encontramos.

En la Alejandría del siglo IV existió una persona experta en la construcción y el uso del astrolabio. Se trata de Hipatia, una de las pocas mujeres matemáticas que han pasado a la historia. Fue hija del director de la Biblioteca de Alejandría, Teón, quien era además matemático y astrónomo. Teón educó esmeradamente a su hija Hipatia, que gracias a sus capacidades y su inteligencia se convirtió en una de las principales científicas de la época. Sus conocimientos abarcaron las matemáticas, la astronomía, la filosofía y la mecánica. Escribió varios libros que se han perdido, comentando y ampliando la Aritmética de Diofanto, el Tratado sobre las Cónicas de Apolonio, los Elementos de Euclides, y el Almagesto de Tolomeo, entre otros. En una carta a uno de sus discípulos, Sinesio de Cirene, que más tarde sería arzobispo, le envió instrucciones precisas para la construcción de un astrolabio.

Muchas veces los grumetes hacen la pregunta terrible: ¿para qué sirven las matemáticas? Pues bien, las matemáticas sirven, por ejemplo, para poder construir instrumentos como el astrolabio, que ayudaron a la orientación y a la navegación en mitad del océano durante muchos siglos. Para elaborar los astrolabios se necesitó de personas como Hipatia, con profundos conocimientos matemáticos y astronómicos. Las matemáticas del astrolabio se basan fundamentalmente en el conocimiento de las cónicas (las curvas que aparecen al cortar el cono con diferentes planos: circunferencias, elipses, parábolas e hipérbolas), y los diferentes métodos para trasladar las trayectorias de las estrellas y planetas en la bóveda celeste a un plano.

Manejar un astrolabio no es difícil, una vez que se aprenden sus mecanismos, la forma de orientarlo respecto al Sol y a las estrellas y leer sus mediciones. Para eso no se necesitan demasiadas matemáticas. Pero sin las matemáticas no existiría el astrolabio, lo mismo que no existiría la calculadora, ni el calendario, ni los ordenadores, ni los teléfonos, ni los discos compactos, ni tantos aparatos, medios de transporte, economía, etc...

El Calendario Loco

Cuaderno de bitácora: hace unos días estuve programando un examen, y al indicar la fecha y el día, uno de los grumetes me corrigió en el día de la semana. Si yo le dije que el examen iba a ser un martes, él me dijo que la fecha mencionada no era martes, sino sábado. Me acerqué a comprobar el calendario que estaba consultando, el que venía en su agenda, y al mirar el mes, el día y el año, comprobé que tenía razón, en su agenda la fecha indicada era sábado.

Observé con atención el calendario de su agenda y mi sorpresa fue en aumento. Octubre, por ejemplo, aparecía con 29 días, Noviembre con 31 días, y lo más genial de todo: Febrero aparecía con 30 días. Los meses estaban dislocados, las fechas no coincidían, eran absurdas. Aquel calendario estaba loco.

Después me he fijado con atención en la página de la agenda, y he comprobado que todo se debe a un error de imprenta. Propongo a los lectores a que descubran qué ha pasado en la página para que las fechas aparezcan tan mal.

Personalmente me sorprendió mucho que en un calendario pudiera haber este tipo de errores, y pensé en todos los acontecimientos de nuestra vida que dependen del calendario y en todas las consecuencias que se darían si nuestro calendario estuviera equivocado. Citas, días de trabajo y descanso, cumpleaños, aniversarios, plazos administrativos...

El Cofre de los Tesoros Matemáticos: Ábacos

En uno de los documentales de la serie Universo Matemático, de Antonio Pérez Sanz, concretamente el titulado Números y Cifras, un Viaje en el Tiempo, se describe la historia de las cifras y se explican antiguos algoritmos de cálculo para realizar operaciones aritméticas como la multiplicación o la división. También son comparados los diversos sistemas numéricos, y se destaca la ventaja del sistema decimal con los dígitos indo-arábigos que hoy utilizamos, 0-1-2-3-4-5-6-7-8-9, frente a otros sistemas, como por ejemplo el de los números romanos. Asimismo, se recuerda que en la antigüedad se empleaban instrumentos como el ábaco para hacer los cómputos aritméticos. Al elogiar nuestro actual sistema decimal frente al sistema romano, Antonio Pérez Sanz, comenta: "imagínense al pobre abaquista romano penando para colocar las fichas de su ábaco. Incluso tendría dificultades para anotar un número tan grande", con lo que parece dar a entender que el uso del ábaco era lento y complicado, y los algoritmos del sistema indo-arábigo vinieron a liberar a la humanidad de su empleo.

Sin embargo, la impresión de que el ábaco es un instrumento complicado y abandonado hace muchos siglos, es errónea.

Alberto Coto, récord Guinness de cálculo, en su libro La Aventura del Cálculo editado por la Editorial Filarias, explica brevemente la historia del ábaco:

La palabra ábaco proviene del griego "abax", que significa "superficie plana". El ábaco es el primer dispositivo manual de cálculo y permite realizar las cuatro operaciones aritméticas básicas (sumar, restar, multiplicar y dividir).
Se suele considerar a los chinos como los inventores del ábaco, aunque hay indicios de que en Babilonia (3500 a. C.) ya se contaba con algo parecido. También los egipcios habían ideado un sistema similar de bolillas atravesadas por alambres.
El ábaco funciona de una forma sencilla. Con una serie de elementos de señalización, que pueden ser piedrecitas, varillas de bambú, fichas coloreadas, etc., y, a través de una serie de manipulaciones mecánicas que dependerán de la estructura del aparato, se consiguen realizar operaciones sin necesidad de un desarrollo formal del algoritmo de cálculo.
El ábaco fue el instrumento de cálculo y el impulsor del desarrollo científico-técnico durante varios siglos. Fue utilizado en Occidente hasta que hicieron su aparición los sistemas posicionales de cálculo y el invento del cero, a través del sistema indoarábigo de numeración.
La introducción en Occidente de los algoritmos propició una batalla entre los partidarios de la utilización del ábaco y entre los que preconizaban el uso de los algoritmos. Dicha batalla se decantó a favor de estos últimos ya entrado en el siglo XVI, aunque el ábaco siguió siendo el instrumento comercial por excelencia.
Hoy en día se sigue utilizando el ábaco en diferentes regiones de Asia y de Rusia, sobre todo en los comercios, y también en algunos Chinatowns. En muchos lugares también se enseña a los niños ciegos el uso del ábaco.

Así pues, hay lugares en el mundo donde se sigue utilizando el ábaco. Uno de ellos es un país tan avanzado y civilizado como Japón. El ábaco japonés se llama soroban, y es una versión simplificada y mejorada del ábaco chino suan pan. Fernando Tejón tiene una página web muy completa dedicada al ábaco japonés y a otros ábacos tradicionales, en la que incluso publica un Manual del Uso del Ábaco Japonés Soroban, y en la que explica, por ejemplo que

El ábaco, tradicional instrumento eficaz para todo tipo de cálculos matemáticos, pesenta en pleno siglo XXI innumerables ventajas. Fomenta la habilidad numérica, pero además su uso habitual mejora la capacidad de concentración, de razonamiento lógico, la memoria, el procesamiento de información de forma ordenada y la atención visual. Por lo tanto se podría considerar que el uso del ábaco es una excelente forma de ejercitar el cerebro, manteniéndolo activo y ágil a cualquier edad. Por si fueran pocas ventajas, en muchos casos los cálculos matemáticos con el ábaco son más rápidos que con una moderna calculadora electrónica...

Más adelante, en el capítulo introductorio de su Manual, explica que

El ábaco japonés, o Soroban, tiene su origen en el siglo XVI. Inicialmente tenía una disposición de cuentas 2-5 como en el Suan-pan chino, del que deriva. Posteriormente se le eliminó una de las cuentas superiores, quedando en disposición 1-5. A principios del siglo XX perdió una de las cuentas inferiores quedando en la actual disposición 1-4 que es la más adecuada al sistema decimal usado actualmente. Las cuentas del Soroban son de pequeño grosor y tienen los cantos vivos. Con esta forma se mejora notablemente la rapidez en los movimientos, y como consecuencia de los cálculos. Es, sin duda, el ábaco más evolucionado y con el que se realizan los cálculos con mayor rapidez.

Como ejemplo de las potencia de cálculo del ábaco está la famosa competición patrocinada por el periódico del ejército americano, Stars and Stripes (barras y estrellas) ocurrida en Tokyo el día 12 de Noviembre de 1946, entre el japonés Kiyoshi Matsuzaki del Ministerio Japonés de comunicaciones utilizando un Soroban y el americano Thomas Nathan Wood de la armada de ocupación de los E.U.A. con una calculadora electromecánica. El vencedor fue Matsuzaki usando el Soroban, que resultó vencedor en cuatro de las cinco pruebas, sólo perdiendo en la prueba con operaciones de multiplicación con números grandes.

También se cita en otra página, Highlights from The Computer Museum Report que "el empleo del soroban no ha declinado desde la llegada de sus rivales, la calculadora y el ordenador. En algunos bancos, las cifras diarias computerizadas se comprueban dos veces con un soroban. Cuando empiezan con el soroban, los estudiantes aprenden a visualizar la posición de los números. La campeona de soroban, la Srta. Nishida, puede sumar ocho números de diez cifras en menos de diez segundos, visualizando simplemente la posición de las fichas en su cabeza. De hecho, los japoneses afirman que el aprendizaje del uso del soroban puede aumentar el coeficiente intelectual de los estudiantes".

Más abajo, en la misma página se explica sobre el ábaco chino: "El chino suapan o bandeja de contar, tiene fichas redondas y está dividido en dos secciones. La sección superior se llama cielo y contiene dos fichas, cada una de las cuales vale cinco unidades. La sección inferior se llama tierra, y contiene cinco fichas, cada una vale una unidad. El suapan se usó en China sobre el 1300, y se hizo muy popular en 1593 cuando el matemático Chen Ta-wei publicó un libro sobre el cálculo con el ábaco. El ábaco es todavía una parte tan importante de la cultura china que todavía se celebra el 10 de Mayo como el Día Nacional del Ábaco".

En resumen, el ábaco es uno de esos tesoros matemáticos que todavía están en uso a pesar de que su origen se remonta a tiempos muy antiguos. Diferentes culturas, algunas muy alejadas entre sí, como los japoneses y los mayas, han compartido su uso. El diseño del ábaco ha sido siempre muy similar en todas partes, adaptándose a diferentes sistemas de numeración con suma facilidad; por ejemplo, en la cultura maya, que usaba un sistema de contar de veinte en veinte, se usaba un ábaco con tres cuentas en una sección y cinco en la otra (véase la misma página de Fernando Tejón mencionada antes)

Por mi parte, hace años compré un ábaco chino en una tienda de decoración. Posteriormente descubrí una tienda (hoy ya cerrada) en la que había material de go (el juego japonés); en esa tienda también se vendía el soroban, y adquirí uno para poder incluirlo en mi cofre de tesoros.