[El Problema de la Semana] Triangulitis

El problema propuesto esta semana a los grumetes va de calcular áreas:

El triángulo exterior de la figura es equilátero y su área es de 4 metros cuadrados. Los triángulos interiores se han construido uniendo los puntos medios de los lados. Calcula el área de la zona sombreada.


(Debajo de la imagen viene la solución. Si el lector quiere intentar resolver el problema por sí mismo, no debe seguir leyendo.)


Como el triángulo exterior lo hemos dividido en cuatro partes, una de ellas sombreada, y luego la parte central se ha dividido en cuatro partes a su vez, una sombreada, y luego volvemos a dividir en cuatro sombreando una, podemos resolver el problema con una suma de fracciones; si el área total es de 4 metros cuadrados, la primera área sombreada será de solo 1 metro cuadrado, la siguiente de 1/4 metros cuadrados, y la última de 1/16 metros cuadrados.
1 + 1/4 + 1/16 = (16 + 4 + 1)/16 = 21/16 metros cuadrados.
Los grumetes no han usado fracciones para resolver el problema, sino números decimales:
1 + 0'25 + 0'0625 = 1'3125 metros cuadrados.
Ambas respuestas, en fracciones o en números decimales, son correctas.

Ampliación del problema: da la sensación de que eso de dividir cada triángulo en cuatro partes y tomar una y luego dividir otra de esas partes y tomar una, etc., es un proceso que se podría repetir todas las veces que se quisiera.
Supongamos que repetimos el proceso infinitas veces. ¿Se podría calcular el área total de los infinitos triángulos sombreados?

La suma sería una serie infinita de fracciones, con denominadores potencias de 4:
1 + 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + 1/1024 + ...
Para los matenavegantes que conozcan las progresiones aritméticas y geométricas, la sucesión 1, 1/4, 1/16, 1/64, 1/256, etc., es una progresión geométrica, ya que cada término se obtiene del anterior multiplicando por 1/4, y a este número se le llama razón de la progresión. En este caso que nos ocupa, la razón de la progresión, 1/4, es menor que 1, y por lo tanto la serie infinita es convergente, es decir, es posible calcular la suma de las áreas de los infinitos triángulos.
La fórmula que nos da esa suma es S = a1/(1 − r), donde a1 es el primer término de la sucesión (1 en nuestro caso) y r es la razón (1/4 en nuestro caso).
Hacemos las cuentas pertinentes y obtenemos que:
S = 1/(1 − 1/4) = 1/(3/4) = 4/3 = 1'333333...
La suma de las áreas de los infinitos triángulos vale 4/3 metros cuadrados, o también 1'333333... metros cuadrados.

Nota: el problema Triangulitis ha sido seleccionado por Marisa Fernández Villanueva, del IES Veles e Vents, en Torrent, para el calendario matemático publicado el curso pasado por la editorial SM.

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