1.10.09

El método americano para el cálculo del mínimo común múltiplo

Cuaderno de bitácora: la navegación por los matemares nunca deja de traernos descubrimientos inesperados. El último ha sido hace un par de días, cuando uno de nuestros grumetes me ha mostrado lo que podemos llamar como "método americano para el cálculo del mínimo común múltiplo".
En los colegios españoles es costumbre enseñar a los alumnos la descomposición factorial de los números en factores primos. Esto es lo que entre los matenavegantes se conoce como Teorema Fundamental de la Aritmética: todos los números enteros positivos se pueden descomponer de forma única como producto de números primos.
Tal y como está enunciado, para que éste Teorema sea cierto, es necesario que el 1 no sea un número primo. Los números primos son, por tanto, 2, 3, 5, 7, 11, 13, etc.
Muchas personas recuerdan una de las definiciones más corrientes de número primo: un número que sólo es divisible por 1 y por sí mismo. Si seguimos al pie de la letra esta definición, el 1 sí sería primo, ya que sólo es divisible por 1 y por sí mismo, 1.
Sin embargo, es muy incómodo dejar que el 1 sea primo, ya que entonces la factorización en factores primos de los números naturales (también llamados enteros positivos) permitiría expresiones como: 6 = 1·2·3, o que 6 = 1·1·1·2·3, en lugar de limitarnos a decir que 6 = 2·3. La factorización en factores primos no sería única, podría variar todo lo que quisiéramos introduciendo tantos factores 1 como nos apeteciera.
Una definición más ajustada de número primo es, por tanto, la siguiente: un número primo es un número natural mayor que 1 que sólo es divisible por 1 y por sí mismo. (Así el 1 queda excluido, y con él, los problemas de unicidad de las descomposiciones.)
Cuando se trata de calcular el máximo común divisor (mcd) y el mínimo común múltiplo (mcm) de dos o más números, en los colegios españoles, tradicionalmente, se ha enseñado que los números han de descomponerse en factores primos, y luego tomar
-para el mcd los factores comunes con el menor exponente.
-para el mcm los factores comunes y no comunes con el mayor exponente.
Pero eso de tomar los factores comunes, no comunes, mayor, menor exponente... muchos grumetes se hacen un verdadero lío, y no les queda nada claro. Se les olvida rápidamente, y aunque la intención de los profesores es buena, no parece que este método de cálculo de mcd y mcm tenga el éxito que merece en el aprendizaje de nuestros alumnos.
Da la sensación de que al enseñar todos estos procesos se pretende que el alumno vaya captando algunos conceptos abstractos que, en realidad, son bastante avanzados, como la unión y la intersección de conjuntos, y esa íntima arquitectura de los números que se descifra gracias a su descomposición factorial.
Se me ocurre comparar un número con el motor de un coche. Descomponer un número sería como desmontar un motor: usando las herramientas adecuadas para cada tornillo y cada tuerca, cualquiera puede aprender a desmontar un motor. Pero sacar a partir de las descomposiciones el mcd y el mcm se asemeja a tener el motor de un coche desmontado y lograr que una persona aprenda a recombinar las piezas para conseguir, por ejemplo, el motor de una motocicleta o el de un camión. Eso ya es una tarea mucho más difícil, que requiere conocer profundamente el funcionamiento interno del motor, conceptos como la energía y el trabajo, la potencia, el diseño de las piezas, y muchos aspectos técnicos que quizás sólo son interesantes para especialistas de la talla, por ejemplo, de los que trabajan como mecánicos en la Fórmula Uno.
Cuando aprendemos a sumar y restar fracciones, nos enseñan que hay que calcular el mínimo común denominador de las fracciones. Esto no es necesario, porque basta calcular un común denominador, no hace falta que sea el mínimo, siempre que en el resultado final nos habituemos a simplificar o reducir las fracciones hasta conseguir una fracción irreducible.
Las calculadoras científicas corrientes que se usan en la Enseñanza Secundaria, permiten trabajar con fracciones y es muy sencillo simplificar con ellas cualquier fracción. Pero no están programadas para calcular el mínimo común múltiplo, por lo que averiguar el mcm es una tarea que en clase hay que hacerla a mano.
Aunque calcular el mínimo común denominador no es necesario, como hemos dicho antes, se les acostumbra a los grumetes a realizar el cálculo, y entonces, como no se acuerdan del algoritmo, surgen los problemas: ¿cómo se calculaba el mcm de los denominadores? ¿cogemos los factores comunes o los no comunes? ¿cuántas potencias de cada factor tomamos? Además, el proceso de sumar o restar las fracciones queda interrumpido por el cálculo del mcm, que a veces resulta largo y tedioso.
Estábamos dedicados en el Barco Escuela a este tipo de ejercicios cuando uno de los grumetes me preguntó si el método que estaba empleando se podía usar. Y entonces me enseñó un procedimiento que yo no había visto antes, y que a él le habían enseñado en tierras americanas.
Dicho método o algoritmo me ha parecido tan sencillo que lo voy a tratar de explicar aquí. Aunque utiliza la descomposición en factores primos, no se necesita hablar explicitamente de factores comunes ni de mayores o menores potencias. Se toman los números a los que se quiere calcular el mínimo común múltiplo. Se ponen en fila. A un margen de la fila se coloca un factor primo, que aparezca al menos en uno de los números, y se dividen todos los números que se puedan por ese factor, colocando los cocientes debajo de cada número. Luego se coloca otro factor primo, puede que el mismo si en algunas columnas todavía se puede seguir dividiendo por él, y se dividen todos los números que ahora tenemos en la parte inferior de cada columna (los cocientes de la primera división y los que no se pudieron dividir en el primer paso) por el nuevo factor. El caso es ir logrando que todos los números vayan siendo divididos progresivamente hasta que cada columna termine en 1. Luego se toman todos los factores que pusimos al margen y se multiplican; el resultado es el mcm buscado.
Ilustrémoslo con un ejemplo: sean los números 12, 18, 30, 45. Busquemos el mcm de estos cuatro números.
Empezamos escribiendo en el margen el número primo 2, que divide a algunos de los números. Los que se pueden dividir son divididos, los que no, se quedan como están (véase ilustración)
Como todavía en la primera columna se puede dividir por 2, volvemos a ponerlo al margen, y dividimos lo que podemos.
Continuamos con el 3, que ponemos al margen, y dividimos los números de la parte inferior de las columnas por 3, los que se puedan, (en este caso se pueden todos).

Obsérvese que en la primera columna ya hemos conseguido llegar a 1. Esa columna ya está terminada. Como en algunas de las otras columnas todavía se puede dividir por 3, volvemos a colocar un 3 al margen y dividimos.

Ya hemos terminado también la segunda columna, nos quedan sólo la tercera y la cuarta, ponemos un 5 al margen y dividimos.
Hemos llegado al final. Si observamos el margen, hemos recopilado todos los factores necesarios para el mcm, que será 2·2·3·3·5 = 180.
El lector puede hacer sus propias comprobaciones con otros ejemplos, como el siguiente: calcular el mcm de 28, 32, 40. El proceso debe ser el que aparece en la ilustración, en la que hemos reflejado todos los pasos:
Obtenemos finalmente que el mcm de 28, 32 y 40 es 2·2·2·2·2·5·7 = 1120.

PD: todos los matenavegantes expertos saben que para el cálculo del mcd de dos números existe un algoritmo clásico muy antiguo, fácil y rápido, conocido como algoritmo de Euclides que no emplea la descomposición en factores primos. Consúltese, por ejemplo, la página de Vitutor, que lo explica de forma muy sencilla.