[El Problema de la Semana] Los Relojes


Veamos el problema de esta semana para los grumetes:

En el mismo instante, el reloj A marca las cinco y el reloj B marca las siete. A adelanta un minuto cada hora y B retrasa 2 minutos cada hora.
a) ¿En cuánto tiempo marcarán la misma hora por primera vez?
b) ¿Cuál es la hora común que marcarán en ese momento?
c) ¿Cuántas veces coincidirán marcando la misma hora en un año?








a) La diferencia entre los dos relojes es de dos horas. Si A adelanta un minuto por hora, y B atrasa dos minutos por hora, entonces A le gana tres minutos por hora a B, y por tanto, para reducir la diferencia de 120 minutos entre los dos, necesita 120 : 3 = 40 horas.
b) Si A marca las cinco, dentro de cuarenta horas marcará cuarenta horas más, y al adelantar un minuto por hora, cuarenta minutos más. Cuarenta horas es lo mismo que tres vueltas completas de doce horas, y cuatro horas. La hora marcada por A será las 9:40. Evidentemente, B marcará exactamente la misma hora.
c) Después de coincidir una vez, A seguirá adelantando un minuto por hora y B atrasando dos, con lo que A lleva una velocidad relativa de tres minutos por hora más que B. Para que A de una vuelta completa más que B, es decir, 60 · 12 = 720 minutos, necesita 720 : 3 = 240 horas = 10 días.
Si cada diez días los dos relojes vuelven a coincidir, entonces en un año podrán coincidir 36 veces como máximo, marcando la misma hora.


Notas: aunque no tenga nada que ver, he recordado que el título de este problema coincide con el de la primera novela de Agatha Christie que yo leí cuando era pequeño.
Este problema ha sido seleccionado por Marisa Fernández Villanueva, del IES Veles e Vents, en Torrent, para el calendario matemático publicado el curso pasado por la editorial SM.

Comentarios

Marisa ha dicho que…
puedes explicar más minuciosamente de dónde sale en el apartado c) 60 * 12; qué son 60 minutos por 12 horas = 1 vuelta?. Si es así por qué tiene que dar una vuelta para coincidir y no menos o más de una vuelta.
Lo puedes resolver de otra manera?
Gracias.
Paulino Valderas ha dicho que…
Supongamos que el reloj A y el reloj B han coincidido en la hora, por ejemplo las 3:00. Cuando pase otra hora, el reloj A estará en las 4:01, ya que adelanta un minuto por hora, y el B estará en las 3:58, ya que atrasa dos minutos a la hora.
Cada hora, el reloj A le saca tres minutos más de ventaja al B, y un minuto más de ventaja a la hora real.
Para que la hora vuelva a coincidir, las manecillas del reloj han de dar una vuelta completa de doce horas, 12 horas equivalen a 720 minutos, de ahí la multiplicación.
Como el reloj A le va ganando tres minutos por hora al B, tienen que pasar 240 horas para que el reloj A le haya ganado 720 minutos al B, y eso es una vuelta completa de doce horas, por lo que las manecillas de A y B vuelven a coincidir.
240 horas son 10 días, luego A y B coinciden cada 10 días.
Por supuesto, estamos suponiendo todo el tiempo que los relojes son analógicos, de manecillas. Si usáramos relojes digitales de 24 horas entonces el planteamiento sería similar aunque tendríamos que tener en cuenta esas 24 horas, en lugar de las 12 habituales para dar la vuelta completa y volver a marcar la misma hora.

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