23.8.09

Cuatro Dados para un Calendario

Cuaderno de bitácora: en uno de nuestros viajes por Extremo Oriente me encontré en un bazar una serie de figuras de porcelana que representaban los signos del Zodiaco Chino. Recordemos que este zodiaco tiene doce signos, como el occidental, cada uno de ellos representado por un animal, y a diferencia de lo que estamos acostumbrados, cada signo rige un año chino completo, no un mes.
Los animales del zodiaco chino son: rata, búfalo, tigre, conejo, dragón, serpiente, caballo, cabra, mono, gallo, perro y cerdo. Desde el 26 de Enero de 2009 hasta el 13 de Febrero de 2010 estamos en el signo de búfalo. A partir del 14 de Febrero de 2010 entraremos en el de tigre. A cada uno de nosotros le corresponde un animal de la astrología china según su fecha de nacimiento. Hay numerosas páginas para conocer nuestro animal correspondiente; se puede consultar, por ejemplo, la tabla que aparece en el artículo sobre Astrología China en la Wikipedia.
Las figuras de porcelana del bazar que visité, no sólo representaban los animales, sino que además servían de calendario. Sobre cada animal había cuatro dados o pequeños cubos para ir poniendo la fecha de cada día.
El primer dado está dedicado al mes del año. Los dos siguientes al número del día, y el último al día de la semana. Los dados, pequeños hexaedros o cubos, tienen obviamente seis caras, y cada una de ellas se emplea para mostrar la información correspondiente.
Los que han diseñado los dados, lo han hecho de forma que sirvan para cualquier fecha del año. En el dado de los meses se han escrito dos meses por cada cara; es lógico, ya que hay seis caras y los meses son doce. Como se aprecia en la fotografía de la cabrita, en la cara donde aparece AUG (august-agosto), aparece también JUL (july-julio) al revés, luego esa misma cara del dado sirve tanto para julio como para agosto.
El dado de los días de la semana es sencillo; como hay siete días, cada día podrá estar en una cara distinta, salvo una pareja que tendrá que compartir una de las caras, en este caso son el SAT (saturday-sábado) con SUN (sunday-domingo).
Pero el punto interesante, el que me intrigó desde un principio, es cómo organizar los dados de los números. No es la primera vez que veo un calendario de este tipo, y siempre me pregunté cómo es posible, con dos dados, conseguir todos los números del 1 al 31.
No podemos poner los diez dígitos, del 0 al 9, en cada dado, porque sólo tienen seis caras. Tenemos, por tanto, que distribuir los dígitos entre los dos hexaedros. Dado un dígito, lo pondremos en uno de los dados, sólo en uno de ellos, pero hay cifras que necesitan invariablemente estar en los dos.
Veamos, por ejemplo, el 5. Como en un mes no hay día 55, el 5 sólo necesita estar en uno de los dos dados, no en los dos. Pero diferente es el caso del 1 y el 2. El 1 sí tiene que estar en los dos, porque el 11 es uno de los días del mes, y lo mismo pasa con el 22.
Hay otro número que tiene que estar en los dos dados, el 0, ya que se tiene que combinar con todas las demás cifras para representar a los primeros días del mes: 01, 02, 03, 04, etc. Hay una posibilidad no muy elegante que es la de no poner el cero y quedarnos con un solo dado durante los primeros días de cada mes, pero se vería que falta un dado y quedaría un hueco en la cabrita. Así que por razones estéticas y de comodidad, para no estar quitando y poniendo el dado correspondiente, tenemos que poner el cero en ambos dados.
Tenemos entonces que en el primer dado están 0, 1, 2, y nos quedan tres caras sin asignar todavía. En el segundo dado estamos igual, también 0, 1, 2 y con otras tres caras sin asignar. en total hay seis caras sin asignar. Pero ahí llega el problema: en total tenemos seis caras, tres y tres, sin escribir, pero nos quedan siete cifras: 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. ¡Alguien se va a quedar fuera de los dados!
Tomo los dados y los examino. ¿Qué ha hecho el fabricante? En el primer dado ha colocado 0, 1, 2, 3, 4 y 5. En el segundo ha puesto 0, 1, 2, 6, 7 y 8. El 9 se ha quedado fuera. ¿Es que no podemos poner, por ejemplo, la fecha 19? Le empiezo a dar vueltas a los cubitos y entonces me doy cuenta del truco: el 9 se puede conseguir poniendo el 6 al revés.
La clave está entonces en esa sencilla propiedad de nuestras cifras arábigas: el 6 y el 9 son dos símbolos relacionados por un simple giro de 180º. Poniendo en una de las caras un 6 ya tenemos un 9 implícitamente. Si no fuera por esta propiedad, no sería posible representar con dos dados los treinta y un días de un mes. El que diseñó este tipo de calendarios tuvo un golpe de ingenio para conseguirlo.
Luego, pensando en esto de los dos dados y los números que se pueden obtener, me ha surgido la pregunta: ¿cuántos números más, aparte de los del mes del 01 al 31, se pueden conseguir con estos dos dados? Invito al lector a que responda a esta pregunta, y si no la sabe responder o quiere comprobar sus cálculos, puede consultar los comentarios a este artículo, donde próximamente pondré el resultado.
De esta pregunta resulta un problema de combinatoria que no es trivial, pues podríamos hacernos el mismo planteamiento tomando tres dados, cuatro, etc. Me pregunto, por ejemplo, si con tres dados es suficiente para representar del 001 al 365, para así numerar todos los días del año. Mi respuesta intuitiva es decir que no: no veo bastantes combinaciones para cubrir tantos días. Pero no me resulta un problema nada sencillo. Más bien parece un rompecabezas bastante duro.
PD: Con la propiedad del 6 y el 9 tenemos que los números, por ejemplo, 69 y 96 quedan invariables si los giramos 180º. No son los únicos, basta combinar los 6 y los 9 de forma apropiada y tenemos muchos más números con esa propiedad: 6699, 6969, 996966, etc.
Para los que les gusta la astrología, si tomamos 69 y lo giramos unos 90º obtenemos entonces el símbolo del signo Cáncer, ♋. Véase, por ejemplo, esta página para conocer todos los símbolos de los signos de nuestro zodiaco.

1 comentario:

Paulino Valderas dijo...

La solución al problema de cuántos números más se pueden formar con los dos dados numerados como se indica en la entrada del blog se puede encontrar combinando todas las posibilidades.
Además de los números del mes, del 01 al 31, tenemos también el 00 (que contaría como cero), y después el 32, y después hay que ir saltando por orden: 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 90, 91, 92, 93, 94, 95.
En total, por tanto, tenemos 75 parejas de dígitos posibles.
Si usamos la Combinatoria para intentar averiguarlo, el planteamiento no es sencillo, a pesar de contar sólo con dos dados. Podemos considerar que en el primer dado hay seis dígitos posibles, y en el segundo siete dígitos posibles (recuérdese la ambivalencia 6-9). Combinando el primer dado con el segundo obtenemos 6·7=42 posibilidades, y si combinamos el segundo dado con el primero obtenemos otras 42 posibilidades, lo que nos da en total 84 parejas. Pero algunas aparecen repetidas, porque el primer dado y el segundo repiten el 0, el 1 y el 2. ¿Cuántas se repiten? tenemos tres cifras en el primer dado y otras tres en el segundo, dando un total de 3·3=9 repeticiones. Finalmente si quitamos las repeticiones obtenemos la respuesta correcta: 84-9=75.