[El Problema de la Semana] Repartamos beneficios

Aquí tenemos un nuevo problema propuesto en su día a los grumetes.

Sara tiene que repartir las ganancias de la lotería, que han sido exactamente 8268 €, entre todos los miembros de una peña de juego. Incluyéndose ella misma, sabemos que hay entre 80 y 150 miembros en la peña. Si Sara logra repartir los beneficios en euros enteros (sin tener que usar céntimos), de forma exacta e igual para todos, ¿cuántos miembros tiene la peña? ¿Cuánto gana cada uno?

La solución, como ya es conocido, aparecerá más abajo.

[Ya que tocamos el tema de la lotería, hemos elegido esta fotografía, publicada en el diario ABC, de uno de los premios más abultados que ha repartido el Sorteo de los Euromillones. El premio, concedido en el sorteo del viernes, 13 de mayo de 2011, fue a parar a las manos de un joven panadero de la localidad de Pilas, cerca de Sevilla. Pero no hay que ilusionarse: la probabilidad de acertar el bote de los Euromillones es de 1 entre más de 76 millones. Es mucho más fácil que te toque la lotería nacional, los cupones de la ONCE o incluso acertar una quiniela]

Solución:
El problema no es difícil, hay que encontrar un número, comprendido entre 80 y 150, que divida exactamente al número 8268.
Si descomponemos 8268 en factores primos, tenemos que 8268 = 2 · 2 · 3 · 13 · 53. Para que un número divida a 8268 tiene que estar compuesto de algunos de estos factores, y por tanto vamos probando combinaciones de ellos, seleccionando aquella que quede entre 80 y 150.
Es suficiente con probar unas cuantas posibilidades para convencernos de que el único divisor que está entre 80 y 150 es 2 · 53 = 106. Por tanto la peña tiene 106 miembros, y al repartir el premio, a cada uno le ha tocado 78 euros.

Nota: este problema ha sido extraído del libro The Riddles of the Sphinx, de David J. Bodycombe, editorial Penguin Books.

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