Apotemas falsas

En geometría, cuando se estudian los polígonos nos encontramos con la fórmula del área de un polígono regular: perímetro por apotema partido por dos, (p · a) /2.

Así, se pueden plantear ejercicios para el cálculo del área de un pentágono regular, un hexágono regular, un heptágono, octógono, eneágono, decágono, etc. Por ejemplo, nos dicen: "Calcula el área de un pentágono regular de lado igual a 10 centímetros y apotema igual a 8 centímetros". El cálculo es inmediato: si el lado mide 10 cm, el perímetro, por ser un pentágono (cinco lados) es de 50 cm, multiplico por la apotema y divido entre dos, 50·8/2=200 centímetros cuadrados.

Figura1. Un pentágono regular "falso". Si el lado del pentágono regular es de 10 centímetros, la apotema no está libre para valer, por ejemplo, 8 centímetros.

Pongamos otro ejemplo: "Calcula el área de un heptágono regular de lado igual a 24 metros y apotema 30 metros". Tenemos que el perímetro es de 24·7=168 metros, y el área 168·30/2=2520 metros cuadrados.

Estos problemas, para un matenavegante experimentado, no tienen consistencia. En realidad, no existe ningún pentágono regular cuyo lado mida 10 centímetros exactamente y cuya apotema mida 8 centímetros exactamente. Tampoco existe ningún heptágono regular con lado 24 metros exactamente y apotema 30 metros exactos.

Si damos la longitud del lado de un polígono regular, entonces la apotema queda determinada automáticamente, no puede valer lo que nosotros queramos. Eso se ve con claridad en el caso del hexágono regular. Supongamos que un hexágono regular tiene un lado de 10 centímetros.

Figura 2. Si nos dan el lado de un hexágono regular, la apotema queda determinada y se puede calcular exactamente con el teorema de Pitágoras.

Al trazar los radios desde el centro hasta los vértices, obtenemos un triángulo equilátero. Esto sólo ocurre en el hexágono regular. Ese triángulo equilátero se puede partir por la mitad, y así tenemos un pequeño triángulo rectángulo del que conocemos la hipotenusa, 10 cm, y uno de los catetos, 5 cm. El otro cateto lo podemos averiguar por el teorema de Pitágoras, tomando la hipotenusa de 10 cm al cuadrado, restándole el cuadrado del cateto de 5 cm, y haciendo la raíz cuadrada. El resultado, tras un simple cálculo mental es de raíz cuadrada de 75 cm, que es aproximadamente 8.66 cm. Pero este cateto que acabamos de averiguar es precisamente la apotema del hexágono regular.

En el caso del pentágono, por ejemplo, al trazar los radios, se obtiene un triángulo isósceles, no equilátero como en el hexágono, y si lo partimos por la mitad, obtenemos un triángulo rectángulo. Pero en este caso la hipotenusa es desconocida. Debemos recurrir a los ángulos y a la trigonometría, si queremos calcular las longitudes que nos faltan. Teniendo en cuenta que el ángulo agudo que parte del centro del pentágono vale 36º (en el caso del pentágono basta dividir 360º entre 10), y conociendo las fórmulas de trigonometría, concretamente la fórmula de la tangente de un ángulo, podemos averiguar el cateto que nos falta en el triángulo rectángulo, es decir, la apotema del pentágono regular.

Figura 3. Si el lado del pentágono regular vale 10 centímetros, entonces la apotema se puede calcular usando trigonometría, concretamente la tangente del ángulo de 36º.

La tangente de un ángulo en un triángulo rectángulo es igual al cateto opuesto al ángulo partido por el cateto contiguo, y de esa fórmula, despejando, tenemos que el cateto contiguo (la apotema que buscamos) es igual al cateto opuesto, 5 cm, partido por la tangente de 36º. La tangente de 36º se obtiene con una calculadora científica. El resultado sale 6.88 cm aproximadamente.

Figura 4. La apotema de un pentágono regular de 10 centímetros vale aproximadamente 6,8819 centímetros, lo cual está bastante desviado de los 8 centímetros inventados que nos planteaba el problema del principio.

Luego si un pentágono tiene lado 10 centímetros, su apotema vale 6.88 aproximadamente, nada parecido a 8 centímetros como decía el enunciado del problema de arriba.

Lo mismo ocurre con el heptágono. Si el lado vale 24 metros, trazamos los radios desde el centro del heptágono a los vértices, y tenemos un triángulo isósceles, de base 24. Lo dividimos por la altura, que es la apotema buscada, y tenemos un pequeño triángulo rectángulo, en el que uno de los catetos, el que hace de base, mide 12 cm. Ahora, el ángulo agudo que parte del centro del heptágono mide 360º/14 = 25.71º aproximadamente. La apotema buscada será igual a 12 centímetros dividido por la tangente de este ángulo. El resultado da: 24.92 centímetros aproximadamente, que quedan muy lejos de los 30 centímetros que planteaba el problema.

Figura 5. Aquí vemos el ejemplo del heptágono, similar al del pentágono regular.

Podemos concluir, por tanto, que hay que tener cuidado al plantear los problemas sobre áreas de polígonos regulares, pues si queremos que los enunciados tengan consistencia, debemos evitar las apotemas falsas y calcular las apotemas auténticas a partir de la medida del lado, bien con el teorema de Pitágoras, o bien con ayuda de la trigonometría y la fórmula de la tangente de un ángulo.

Para ampliar este tema, se puede continuar con la lectura del artículo La fórmula sin apotemas.