12.7.08

La ignorancia de sumar fracciones

Cuaderno de bitácora: por mucho empeño que le pongo, hay grumetes que no aprenden a sumar fracciones. Eso de tomar común denominador les resulta extraño y difícil. Algunos se niegan abierta o encubiertamente a aprenderlo. Para otros tomar común denominador les enfrenta al cálculo del mínimo común múltiplo, una operación larga y complicada de la que ya casi no se acuerdan. Les explico que no es necesario tomar el mínimo común múltiplo de los denominadores, que el mínimo común múltiplo es la mejor opción, pero que basta tomar un múltiplo de los denominadores, y que en un último caso se cogen los denominadores de las fracciones y se multiplican entre sí. Algunas veces sale un resultado muy grande, pero si se tiene calculadora no hay problema, y al final, si simplificamos la fracción que sale, el resultado está bien, aunque no se haya tomado el mínimo común múltiplo de los denominadores. Lo realmente importante es encontrar un denominador común.

Pero siempre quedan los grumetes que se empeñan en sumar las fracciones sumando numerador con numerador y denominador con denominador. Así, segun ellos 1/2 más 1/3 es igual a 2/5. Aunque este método es sencillísimo, el resultado está mal. Con este método no se suman las fracciones. Es como si queremos hacer espaquetis con tomate, y tomamos el paquete de espaguetis sin abrir, la lata de tomate sin abrir, los echamos los dos en una olla con agua y los ponemos a calentar. No creo que así obtengamos el plato que queremos.

Sin embargo, de repente, eso de sumar numerador con numerador y denominador con denominador, aunque no sirve para sumar fracciones, puede ser útil para otra cosa. Veamos, veamos... 1/2 es 0.5, 1/3 es 0.333 aproximadamente, 2/5 es 0.4. El resultado de la operación me ha dado un número que está comprendido entre los dos números originales. ¿Será cierto siempre?

Probemos otro ejemplo: 1/4 y 3/5. 1/4 es 0.25, 3/5 es 0.6, si sumamos numerador con numerador y denominador con denominador, obtenemos 4/9, que es 0.444 aproximadamente. En efecto, el resultado de la falsa suma nos vuelve a dar un número comprendido entre los dos primeros.

Con ayuda de la notación matemática es fácil dar una demostración de que esto siempre ocurre así. La he realizado con el editor de ecuaciones del Word y la he guardado como imagen gif. Ahí os la presento, está un poco pequeña debido a que el Blogger no permite imágenes más grandes:



Entonces, esta forma de operar con las fracciones no es del todo inútil. Nos puede servir muy bien para encontrar números intermedios entre otros dos.

Si tenemos dos números fraccionarios, uno menor que otro, siempre podemos encontrar un número comprendido entre ellos dos. En realidad podemos encontrar muchos, infinitos. La forma tradicional de encontrar un número comprendido entre dos números conocidos era hacer la media aritmética: se suman y se divide por dos. Así, entre 1/3 y 1/2, sumamos (hay que saber sumar fracciones bien) y obtenemos 5/6, y luego dividimos por 2 y obtenemos 5/12. Este número es la media aritmética entre 1/3 y 1/2 y, por tanto, está comprendido entre los dos. Pero 2/5, obtenido con el falso método de sumar las fracciones, es facilísimo de calcular, no es la media aritmética de 1/3 y 1/2, pero sí está comprendido entre los dos.

Otro ejemplo: encontrar un número comprendido entre 61/89 y 29/42. Hacer la media aritmética entre estos dos números es una tarea laboriosa, porque los denominadores no son sencillos. Pero con nuestro método encontrar ese número que sea mayor que 61/89 y menor que 29/42 es inmediato: sumamos numerador con numerador y denominador con denominador y obtenemos 90/131, que puede ser una solución.

Lo que hemos tratado en este artículo nos lleva a concluir que las equivocaciones o los métodos que no funcionan, no deben ser rechazados irreflexivamente. Muchas veces un error conduce a descubrimientos inesperados y a utilidades sorprendentes. Fleming descubrió la penicilina cuando se le contaminó por casualidad un cultivo bacteriano con un hongo microscópico, y las hojitas Post It nacieron gracias al uso diferente de un pegamento que no salió como se esperaba.

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