Un fallo en el sistema decimal

Cuaderno de bitácora: enseñando a los grumetes a trabajar con los números decimales, me viene a la memoria uno de los descubrimientos que hice allá por mi época de estudiante. Entonces era yo un alumno que se interesaba profundamente por las clases de matemáticas, me concentraba en ellas con facilidad y seguía las explicaciones del profesor comprendiéndolas al momento. Captaba rápidamente conceptos y procedimientos, memorizaba fórmulas en cuanto empezaba a utilizarlas en los ejercicios, y era capaz algunas veces de ir más allá y emprender investigaciones silenciosas sobre ideas y cuestiones que aparecían en mi mente.

Uno de aquellos días, el profesor nos explicó que no existían dos números reales diferentes que estuvieran juntos, es decir, que si dos números eran distintos, entre ellos dos siempre se podían encontrar infinitos números.

Si, por ejemplo tenemos dos números aparentemente muy cercanos, como el 3,1415 y el 3,1416, siempre podemos empezar a escribir números entre ellos dos, tantos como queramos, infinitos: 3,14151, 3,14152, 3,14153, ..., 3,14159, 3,141501, 3,141502, ..., etc.

Ante estas afirmaciones, de forma automática, mi mente se puso a trabajar, a investigar si aquello era así, si realmente no se podían encontrar dos números diferentes que estuvieran literalmente pegados, uno a continuación del otro, entre los cuales no pudiera haber ningún número decimal.

Yo ya había dado los números decimales infinitos periódicos, y se me ocurrió la posibilidad de emplear uno de esos números, con un periodo muy especial, por ejemplo el 4,99999999..., es decir, un decimal infinito periódico en el que el periodo que se repite es el 9.

Me parecía evidente a todas luces que entre el 4,99999999... y el 5 no se podía meter ningún número, pues en cuanto modificara alguno de los decimales del primero saltaría al 5 sin remedio. No había ninguna separación, ningún hueco entre esos dos números, estaban literalmente pegados, uno a continuación del otro.

Levanté mi mano para intervenir, y cuando el profesor me dio la palabra le comenté lo que había pensado.

El profesor me contestó amablemente algo que yo no esperaba. Los números 4,99999999... y 5 en realidad son el mismo número. Me invitó a que pasara el primero a forma de fracción y comprobara el resultado, y así lo hice.


Es sencillo calcular la fracción generatriz del número 4,99999999... Si le damos un nombre, n por ejemplo, y multiplicamos por 10, 10n = 49,99999999..., y restando 10n − n = 45, con lo que 9n = 45, y por tanto n = 5.

No podía creérmelo. Mi mente se resistía a aceptar lo que yo ya había asumido intuitivamente. Para mi aquellos dos números eran distintos, uno era un número entero, el 5, y otro era un número decimal infinito periódico, que estaba a un paso de convertirse en entero pero que no llegaba a serlo, le faltaba algo, un pequeño, mínimo paso allá en lo infinitesimal...

Más tarde, mientras cursaba la Licenciatura, nos tocó estudiar a fondo los números reales, los tipos de infinitos que habían, cuándo un conjunto es numerable y cuándo no lo es, etc. Nos dieron una demostración de la no numerabilidad de R, el conjunto de los números reales, y para ello se utilizaba la expresión decimal de los números.

Ahí aprendí que los números son independientes de su expresión decimal, que la expresión decimal es tan solo el nombre del número en el sistema decimal. La expresión decimal identifica al número, pero no es el número. Puedo escribir 5, y sé lo que significa, pero también puedo escribir V, y es lo mismo pero en números romanos, o en sistema binario 101.

El sistema decimal, con los diez dígitos y el uso de la coma y los decimales es muy bueno para darle nombre a los números, pero tiene un fallo cuando entramos en los números infinitos periódicos, y es el famoso periodo 99999999..., pues cualquier número decimal con este periodo coincide con el siguiente número. Así, 4,99999999... = 5, lo mismo que 0,99999999... = 1, o lo mismo que 3,141599999999... = 3,1416.

Por supuesto, esto es sólo una preocupación para matenavegantes. El resto de la humanidad puede dormir tranquilo, sin que un número decimal infinito de periodo 9 venga nunca a perturbar sus sueños...

PD: investigando por encima lo que se dice en la red de este asunto, he encontrado un blog llamado Gaussianos, y una página que trata de este tema del periodo nueve.