Más triángulos en la tele

Anoche, zapeando, me volví a encontrar con el concurso de la llamada, y en pantalla aparecía una nueva figura, en la que había que contar cuántos triángulos aparecían, una figura similar a las que ya comenté en una entrada anterior del blog, Triángulos en la tele. Concretamente, su forma era la siguiente:

Figura 1

Esta vez no me entretuve en copiarlo en un papel, darle nombre a los vértices y escribir todas las combinaciones posibles de tres vértices formando un triángulo, sino que envalentonado por la práctica adquirida con las dos figuras anteriores, estuve contándolos directamente sobre la pantalla del televisor (ver la solución más abajo).

Nunca he llamado al concurso, pero esta vez me animé. "Vamos a probar", me dije, "a ver qué pasa". Ofrecían 2400 euros. El precio de la llamada era de 1.10 euros más IVA. "Veamos qué truco tiene esto", pensé, porque sabía que tenía que tener alguno.

Suena la llamada y me contestan del otro lado. "¡Ooooh!", una exclamación como de muchas personas lamentándose cuando alguien falla algo en un concurso. Luego una voz masculina: "Su llamada es la sexta de diez. Sólo pasa la décima llamada". Cuelgo el teléfono. "Bien, ya sé cuál es el truco".

Evidentemente, no se trata de llamar y contestar. En primer lugar, no pasan todas las llamadas, sino que según la respuesta que recibí, pasa una de cada diez llamadas (ver probabilidades más abajo). Me imagino además, que a las llamadas que pasan las tendrán un ratito esperando, gastando 1.10 euros por minuto. En pantalla no se especificaba que fueran 1.10 euros cada minuto, sino que ése era el precio de la llamada. Finalmente, tienes que contestar bien.

En fin, como esperaba, uno de esos concursos nada claros en los que no sabes las condiciones completas hasta que te has gastado una cantidad importante de dinero. Lo único interesante es la parte matemática del asunto, que me ha servido para plantear problemas a los grumetes del Barco Escuela. Así, si alguno piensa participar en el concurso, como hice yo, y tiene la suerte de que entre su llamada, podrá decir el número correcto de triángulos, y no conformarse con soluciones superficiales erróneas.

SOLUCIÓN:

El gráfico con todos los triángulos posibles coloreados es el siguiente:

Figura 2

Si hacemos la cuenta, nos salen 19 triángulos.

Por otro lado, llamar por teléfono hasta que entre la llamada puede salir bastante caro:

-La probabilidad de que no entre la primera llamada es de 9/10 = 90%.

-La probabilidad de que no entre ni la primera ni la segunda llamada es de 81/100 = 81%.

-En general, la probabilidad de que no entren las n primeras llamadas es 9/10 elevado a n.

Si hacemos los cálculos comprobaremos que hasta la séptima llamada esa probabilidad no baja del 50%. Es decir, hay aproximadamente un 50% de probabilidades de que nos tengamos que gastar casi 8 euros para que entre nuestra llamada. Con suerte, nuestra llamada entrará antes del séptimo intento. Con un poco menos de suerte, tendremos que esperar más de siete llamadas a que entre, y esto puede suponer un gasto de 9, 10, 11 euros..., siempre suponiendo que el mecanismo de entrada de las llamadas funcione legalmente, pero esto es difícil de comprobar.