La Espiral de Fibonacci (1) : Dibujo en papel

Cuaderno de bitácora: una de las primeras actividades que hemos propuesto a los grumetes durante el inicio del curso en el Barco Escuela, es la realización de la Espiral de Fibonacci.

Hagamos una pequeña introducción, para que todos los interesados puedan situarse antes de acometer el dibujo de la famosa espiral.

Según los datos históricos, [constratados con la wikipedia], Fibonacci es el apodo de un importante matemático italiano que vivió entre los años 1170 y 1240: Leonardo de Pisa. El padre de Leonardo, Guglielmo, se apodaba Bonaccio, y Fibonacci significa "hijo de Bonaccio". Leonardo era originario de Pisa, como su nombre indica. [La ciudad de Pisa, Italia, es actualmente famosa por la Torre Inclinada; coincidentemente, la Torre empezó a construirse 1173, cuando Leonardo era un niño pequeño, pero su construcción se interrumpió en 1178 cuando sólo se habían terminado tres pisos, y no se retomaría hasta cien años después.]

Guglielmo Bonaccio, el padre de Leonardo, era un importante comerciante, y tenía un puesto de comercio en Bugía, en la actual Argelia. Leonardo acompañó desde muy joven a su padre, viajó por el Mediterráneo y tuvo la oportunidad de aprender matemáticas directamente de maestros árabes, que le enseñaron el sistema decimal posicional de números indoarábigos (el que empleamos en la actualidad). En aquella época, en Europa se utilizaba el sistema de números romanos para hacer todo tipo de cuentas, y Leonardo vio enseguida que el sistema indoarábigo podía ser mucho más sencillo y eficiente que el romano para llevar la contabilidad comercial y para la aritmética en general. En 1202, cuando hubo aprendido lo suficiente, publicó el Liber Abaci (Libro del Ábaco), uno de los libros que han pasado a la historia de las matemáticas.

En el Liber Abaci, Fibonacci introdujo el sistema numérico posicional indoarábigo que usamos hoy en día, describiendo el cero, la notación posicional, la descomposición en factores primos y los criterios de divisibilidad. El libro contiene numerosos problemas aritméticos.

Uno de los problemas del Liber Abaci se ha hecho muy famoso; trata sobre la reproducción de una pareja de conejos. El problema plantea el siguiente enunciado: "Cierto hombre tenía una pareja de conejos en un lugar cerrado y deseaba saber cuántos se podrían reproducir en un año a partir de la pareja inicial, teniendo en cuenta que de forma natural tienen una pareja en un mes, y que a partir del segundo se empiezan a reproducir".

Razonando esquemáticamente se puede resolver fácilmente el problema. No daremos todo el razonamiento aquí, simplemente diremos que los números de parejas de conejos que hay cada mes forman la siguiente sucesión, que merecidamente se ha llamado sucesión de Fibonacci:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...

Como se puede comprobar, la sucesión empieza con 1 y 1 como dos primeros términos, y luego se van sumando cada pareja de términos para dar el siguiente:

1 + 1 = 2

1 + 2 = 3

2 + 3 = 5

3 + 5 = 8, etc.

Utilizaremos los términos de la sucesión para hacer una construcción geométrica muy sencilla con ayuda de regla y compás sobre una hoja cuadriculada. La construcción consiste en empezar con dos cuadrados pequeños de lado 1, añadirles un cuadrado de lado 2, luego añadir uno de lado 3, luego otro de lado 5, otro de lado 8, etc. A la vez que añadimos cuadrados, vamos dibujando arcos de circunferencia que atraviesan los cuadrados diagonalmente, y que unidos unos con otros forman una espiral.

A continuación ilustramos el proceso con fotos.

Tomamos una hoja cuadriculada de tamaño folio, colocada en posición apaisada. Si los cuadritos son de 4 milímetros, entonces podemos "centrar" el inicio de la espiral abajo a la izquierda, a 27 cuadritos del margen izquierdo y 18 cuadritos del margen inferior, como se ve en la ilustración.

Debajo del cuadrito original, que representa el primer 1 de la sucesión de Fibonacci, dibujamos otro cuadrito que representa el segundo 1 de la sucesión. En ellos inscribimos el primer arco de la espiral. Para este tamaño tan pequeño es difícil hacerlo con compás, bastará que hagamos el arco a mano, de forma aproximada.
Observemos que los dos cuadritos forman un rectángulo de dimensiones 1×2.

Dibujamos un cuadrado de lado 2 que representa el tercer término de la sucesión de Fibonacci. Dentro de él trazamos un arco de circunferencia, pinchando el compás en la esquina superior derecha del cuadrado 2. La espiral la estamos trazando en el sentido de las agujas del reloj.
El conjunto de los tres cuadrados forman un rectángulo de dimensiones 2×3.

De forma natural, siguiendo el giro de la espiral, trazamos el cuadro de lado 3.
Ahora tenemos un rectángulo 3×5.

Continuamos el giro con el cuadrado de lado 5.
Hemos ampliado el dibujo a un rectángulo 5×8.

Luego el cuadrado de lado 8, y con él un rectángulo total de 8×13.

El cuadrado de lado 13 y un rectángulo total 13×21.

El cuadrado de lado 21 y un rectángulo 21×34.

El cuadrado de lado 34 y un rectángulo total de 34×55. Este es el último que nos cabe en una hoja con cuadrícula de 4 milímetros; si intentamos dibujar otro cuadrado más nos salimos de la hoja.
Podemos observar que si hemos centrado bien el inicio de la espiral, ésta y el rectángulo que la contiene quedan perfectamente centrados en la hoja de papel.

Aquí vemos la espiral de Fibonacci resaltada.

Los investigadores han descubierto una enorme cantidad de propiedades en la sucesión de Fibonacci. Una de ellas es la íntima relación que tienen los términos de la sucesión con la proporción áurea. En efecto, si nosotros procedemos a comparar cada término de la sucesión con el término que le precede, tomando la razón o división entre los dos términos, entonces descubriremos que conforme avanzamos en la sucesión, la razón entre los términos de la sucesión se aproxima al número áureo:

1/1 =1
2/1 = 2
3/2 = 1.5
5/3 = 1.666...
8/5 = 1.6
13/8 = 1.625
21/13 = 1.615384615...
34/21 = 1,619047619...
55/34 = 1,617647058...
89/55 = 1,6181818...
etc.

Recordemos que el número áureo es:

y vale aproximadamente: 1,6180339887...

Cuando hemos ido dibujando los cuadrados, aumentando su tamaño con la suma de los lados de los cuadrados anteriores, también estábamos construyendo rectángulos, como hemos señalado en cada una de las ilustraciones. Estos rectángulos no eran rectángulos áureos, no tenían exactamente las proporciones de los rectángulos áureos, pero conforme aumentamos el tamaño, su proporción se va aproximando a la proporción áurea, del mismo modo que el cociente o proporción entre los términos de la sucesión de Fibonacci se va aproximando al número fi 𝜑.

Ya tenemos nuestro dibujo de la Espiral de Fibonacci. Pero esto no es lo único que podemos contar de la famosa espiral. En una próxima entrada completaremos algunos aspectos interesantes.

Sudoku de letras (9)

Regla de este Sudoku: llenar las casillas vacías de forma que en cada fila, en cada columna y en cada caja de 3×3 estén todas las letras del siguiente conjunto:

A  C  D  E  N  O  R  S  U

Una vez resuelto, en la fila central aparecerá una palabra en plural: los profesores los piden a menudo.

Re Mi Do Do Sol

Cuaderno de bitácora: donde menos se piensa y cuando menos se piensa, salta la liebre matemática.

Hace unos días estaba escuchando el podcast La Órbita de Endor, más concretamente el audio sobre la película Encuentros en la Tercera Fase. Los colaboradores del programa explicaban cómo Steven Spielberg, el director, y John Williams, el compositor de la banda sonora, se ponían de acuerdo para elegir las cinco notas musicales que iban a ser el mensaje de saludo de los extraterrestres a los humanos, y entonces surgió la cuestión matemática. Veamos cómo fue todo el asunto.

Según lo que explica el propio John Williams,

Steven repetía que debían ser cinco notas. Y recuerdo que yo le decía que si podía hacerlo con siete u ocho notas [...] Cinco notas me lo ponían más difícil que siete, ocho o nueve. Le dije a Steven que saldría mejor. Y dijo: "no, ni siquiera debería ser una melodía. Debería ser como llamar al timbre de una puerta, como cuando Avon llama a tu puerta, ya sabes, 'Ding Dong'. No es una melodía, ni siquiera es una frase, sólo intervalos musicales sin ritmo asignado. Sólo cinco notas."

Era muy difícil hacer que la señal tuviera algún sentido musical. Y recuerdo haber escrito puede que 250, 300 de estas cosas. Tuve varias reuniones con Steven para interpretarle todos estos pequeños temas, y no nos decidíamos. Nunca podíamos decir "¡Eureka! ¡Este es exactamente el que queremos!". Me encanta contar esta historia, porque pensé que lo habíamos agotado todo con trescientos ejemplos de variaciones de cinco notas dentro de la escala. Y Steven dijo, "Oh, tiene que haber más. Llamaremos a un amigo mío que es matemático y le preguntaremos cuántas combinaciones de cinco notas dentro de la escala de doce se pueden crear." Entonces el amigo de Steven nos telefoneó una hora después y dijo "aproximadamente 134.000."

Nos dimos cuenta que apenas habíamos empezado a explorar lo que se podía hacer con cinco notas. Así que finalmente, llenos de exasperación, trazamos un círculo alrededor de uno de los temas. Al día siguiente regresamos y probé unas cuantas notas más, y Steven dijo "toca la que circulamos ayer". Y regresamos a aquel tema. Finalmente dijo: "Bueno, supongo que éste es: debe ser el mejor que podemos conseguir."

Bien, la señal se ha hecho muy familiar, lo que me produce satisfacción, porque al principio las cinco notas que finalmente usamos eran tan distantes como todos los otros ejemplos que se nos ocurrieron.

[Este texto ha sido traducido de la página de la Biblioteca de la Universidad de Illinois en Urbana-Champaign, y procede de las entrevistas que aparecen en la Edición del Coleccionista de "Encuentros en la Tercera Fase"]

Carátula de la película, extraído de la web de CINeol

Bien, hagamos el papel del amigo matemático de Steven Spielberg, y tratemos de calcular cuántas combinaciones dentro de la escala de doce se pueden crear. El problema es sencillo, un matenavegante con conocimientos elementales de combinatoria debería poder resolverlo en unos minutos.

El problema, tal como está planteado, es ambiguo, porque no especifica si las notas se pueden repetir o no. Veamos los dos casos:

Si las notas se pueden repetir, entonces, entonces tenemos que elegir cinco notas entre doce tonos posibles, (en lenguaje matemático serían variaciones con repetición de doce notas tomadas de cinco en cinco). Es muy sencillo entender que para elegir la primera nota tenemos doce posibilidades, que luego se irán multiplicando por otras doce para elegir la segunda nota, otras doce para la tercera y así hasta cinco veces:

12 · 12 · 12 · 12 · 12 = 248.832 posibles variaciones si las notas se pueden repetir.

Sin embargo es más lógico que las notas no se repitan, (en lenguaje matemático son variaciones sin repetición de doce notas tomadas de cinco en cinco, aunque en textos ingleses aparecen como permutaciones). Entonces tenemos doce posibilidades para elegir la primera nota, una vez elegida nos quedan once posibilidades para la segunda, luego diez posibilidades para la tercera y así hasta cinco veces:

12 · 11 · 10 · 9 · 8 = 95.040 posibles variaciones si las notas no se pueden repetir

Y aquí viene el misterio:

¿Por qué el amigo matemático de Spielberg tardó una hora en contestar diciendo que había unas 134,000 variaciones, cifra que no coincide con los posibles resultados del problema?

La cifra aportada por el amigo de Spielberg no coincide para nada con ninguna de las dos situaciones planteadas. Como aproximación de cualquiera de ellas es muy errónea. Lo único que coincide de momento es que está entre los dos cálculos, aunque ni siquiera es la media de las dos cantidades.

Si tratamos de modificar ligeramente las condiciones del problema, obtenemos cifras un poco más cercanas a la respuesta del matemático.

Si puede haber hasta un máximo de dos notas iguales, entonces el número sería:

12 · 12 · 11 · 10 · 9 = 142.560, una cifra más cercana a la del matemático, pero que tampoco coincide con ella.

Si puede haber hasta un máximo de tres notas iguales, el número se aleja:

12 · 12 · 12 · 11 · 10 = 190.080.

También hay otro detalle. La variación que eligieron Spielberg y Williams, Re-mi-do-do-sol, no entra dentro de una sola octava, pues el segundo do es una octava inferior al primero. Es decir, entre las variaciones que hemos calculado hasta ahora no se encontraría la que eligieron, porque se sale de la octava. Entonces podemos suponer que en lugar de doce notas ampliamos a trece, y si las notas no se pueden repetir, el número de variaciones sería:

13 · 12 · 11 · 10 · 9 = 154.440, y tampoco coincide con las ciento treinta y cuatro mil que dice Willliams, aunque ya suena más parecido.

¿Planteó el amigo de Spielberg el problema de alguna otra forma distinta? ¿Se equivocó en el planteamiento o en los cálculos? ¿Dio simplemente una respuesta aproximada basada en cálculos mentales? ¿O es que John Williams se equivoca al recordar la cifra dada por el matemático?

Otro detalle que nos llama la atención es que el matemático tardara una hora en devolver la llamada. ¿Por qué tardó tanto? El planteamiento del problema es sencillo e inmediato. ¿Tuvo que hacer los cálculos a mano? Probablemente, pues en aquella época las calculadoras de bolsillo estaban apenas introduciéndose en los mercados. También es posible que se tomara su tiempo informándose en libros de texto, o simplemente que estuviera ocupado haciendo otras cosas y no pudiera devolver la llamada antes.

Hemos tratado en este artículo muchos detalles que sólo pueden interesar a un matenavegante ávido de conocimientos. Todas estas elucubraciones... se perderán como lágrimas en la lluvia... y en la historia del cine ¿quedará registrado sólo el testimonio de John Williams y su cifra misteriosa, sin que nadie se vuelva a preocupar de su justificación?

Notas: Explorando la web, en la página de la Santiago Canyon College, hemos encontrado un tema sobre combinaciones y permutaciones, subido por Joyce Wagner. Uno de los problemas propuestos en el tema es precisamente el que hemos tratado en este artículo:

In western music, an octave is divided into 12 pitches. For the film Close Encounters of the Third Kind, director Steven Spielberg asked composer John Williams to write a five-note theme, which aliens would use to communicate with people on Earth. Disregarding rhythm and octave changes, how many five-note themes are possible if no note is repeated?

[Traducción: En la música occidental, una octava está dividida en 12 tonos. Para el film Encuentros en la Tercera Fase, el director Steven Spielberg le pidió al compositor John Williams que escribiera un tema de cinco notas, que sería usado por los aliens para comunicarse con la gente de la Tierra. Descartando el ritmo y los cambios de octava, ¿cuántos temas de cinco notas son posibles si no se repite ninguna nota?]

La respuesta que aparece en el tema a este ejercicio es la segunda que hemos calculado: 95.040.

[El Problema de la Semana] Un Caso de Identificación

El problema que traemos en esta entrada es el siguiente:

-Me crucé con uno sólo de ellos -dijo Marta-. Con el de barba. ¿Cómo se llama?

-Veamos -contestó Carlos-. Dos de ellos están casados, dos tienen los ojos azules. El único de los tres que lleva barba tiene ojos marrones. La mujer de Daniel es la hermana de Camilo, y el soltero tiene el mismo color de ojos que Javier.

¿Quién es el barbudo?

A continuación de la ilustración, como no podía ser menos, la solución.

Aquí tenemos una ilustración del clásico juego ¿Quién es quién?. En él se hace una correspondencia entre una serie de características y cada uno de los personajes: si es hombre o mujer, el color del pelo, si lleva sombrero, si lleva barba o bigote o no lleva nada, si es calvo, si lleva gafas, si lleva pendientes. Cada personaje tiene una combinación de características que lo hacen único. 

Solución:

Este es uno de los problemas típicos de lógica, en el que hay que ir haciendo corresponder las características a cada uno de los personajes, hasta encontrar la respuesta a lo que nos preguntan.

Tenemos tres personajes, Daniel, Camilo y Javier, y las características a tener en cuenta son: si están casados o no, el color de los ojos y si tienen barba. Los datos que sabemos son los siguientes:

(1) Dos de ellos están casados y uno soltero.
(2) Dos de ellos tienen los ojos azules y uno marrones.
(3) Uno de ellos tiene barba y los otros dos no.
(4) El que tiene barba también tiene los ojos marrones.
(5) La mujer de Daniel es hermana de Camilo.
(6) El soltero tiene el mismo color de ojos que Javier.

Por (5) sabemos que Daniel está casado. Por (1) y (6) sabemos que Javier no es el soltero, luego deducimos que Javier está casado y Camilo es el soltero. Por (2) y por (6) deducimos que Javier y Camilo tienen los ojos azules. Por tanto Daniel tiene los ojos marrones, y por (3) y (4) Daniel es el que tiene barba.

Daniel: casado, ojos marrones, con barba.
Camilo: soltero, ojos azules, sin barba.
Javier: casado, ojos azules, sin barba.

Por tanto el barbudo es Daniel.

Nota: Este problema ha sido extraído del libro de Jaime Poniachik: Situaciones problemáticas.

Sudoku de letras (8)

Regla de este Sudoku: llenar las casillas vacías de forma que en cada fila, en cada columna y en cada caja de 3×3 estén todas las letras del siguiente conjunto:

A  C  D  E  I  O  P  R  V

Una vez resuelto, en la fila central aparecerá una palabra: sagaz, cauto, que sabe prevenir un riesgo.

Papiroflexia Matemática: El Fukikoma

Cuaderno de bitácora: otra figura de papiroflexia de bastante contenido matemático es el Fukikoma. Se trata de una construcción de origami japonés tradicional. Se necesitan seis piezas de papel cuadrado, preferiblemente en tres colores, dos de cada color. Veamos cómo se realiza.

1. Se toma un papel cuadrado y se hacen cuatro dobleces: por la mitad en horizontal y vertical, y las dos diagonales.

2. Para conseguir la forma de estrella (ver imagen 7 más abajo) hay varias posibilidades. Podemos por ejemplo empezar doblando el papel por la mitad.

 3. Luego se trae la esquina inferior derecha hacia la esquina inferior izquierda, como se ve en la imagen.

4. Aplastamos el triángulo que se nos forma. Le damos la vuelta al papel.

5. En la otra cara hacemos lo mismo: traemos la esquina inferior derecha hacia la esquina inferior izquierda, ahuecando, aplastando y formando otro triángulo isósceles.

6. El resultado es una figura básica muy conocida en la papiroflexia, formada por dos triángulos isósceles unidos, uno en cada cara.

7. Si separamos las puntas laterales y las ponemos formando una cruz se nos forma esta especie de estrella, que aquí vemos desde arriba. (Con un poco de práctica, los pasos 2 a 6 nos los podemos saltar, y formar esta estrella directamente en el paso 1).

8. Aquí vemos la estrella desde otra perspectiva.

9. Hacemos lo mismo con todos los papeles.

10. Llega el proceso de montar los papeles del Fukikoma. Esta parte es la más difícil.
Empezamos con tres estrellas, metiendo una "punta" triangular de una estrella dentro de otra. En la imagen la roja se ha metido dentro de la naranja, la naranja dentro de la rosa, la rosa dentro de la roja, y han formado ese "triángulo" de paredes de tres colores.

11. Añadimos otra estrella, siguiendo el mismo patrón. En la foto hemos añadido una estrella rosa, enfrentada a la otra de su mismo color.

12. Añadimos la quinta estrella. Es difícil ir añadiendo papeles sin que lo que llevamos hecho se nos desmonte. Conforme vayamos practicando, iremos aprendiendo a sujetar las estrellas para que 

13. Añadir la última estrella es lo más difícil. Pero si lo conseguimos el Fukikoma queda montado y los papeles no se separan.

14. Podemos observar nuestra construcción: está formada por tres cuadrados que se entrecruzan, uno de cada color. Las aristas de cada cuadrado forman el esqueleto de un octaedro.

15. Otra vista del Fukikoma terminado.

El Fukikoma es un objeto de papiroflexia muy interesante desde el punto de vista matemático. Como hemos comentado en las ilustraciones, está formado por tres cuadrados que se cruzan en las tres direcciones del espacio, y cuyas aristas forman el esqueleto de un tetraedro. Además parece la representación física de un sistema de coordenadas tridimensionales, con el origen de coordenadas ubicado en el centro, donde se cruzan los tres cuadrados.

También debemos tener en cuenta que el hexaedro o cubo y el octaedro son poliedros complementarios. Esto quiere decir que hay una correspondencia estrecha entre uno y otro. El hexaedro tiene 6 caras y 8 vértices, y el octaedro tiene 8 caras y 6 vértices. Las caras de uno se corresponden con los vértices del otro. También se verifica que ambos tienen 12 aristas. Si unimos los puntos medios de cada cara del hexaedro, obtenemos un octaedro y viceversa.

En la entrada titulada Papirolas, la construcción tridimensional más sencilla fue el hexaedro, y se necesitaban 6 papirolas, en tres colores, dos de cada color. Aquí para el Fukikoma hemos necesitado igualmente 6 papeles en tres colores. Las papirolas del hexaedro y los papeles estrellados del Fukikoma representan a la perfección la complementariedad de ambas figuras: si en el hexaedro cada papirola correspondía a una cara, en el Fukikoma cada papel representa a  un vértice, y si en el hexaedro en cada vértice se encontraban tres papirolas, en el Fukikoma, cada "cara" presenta los tres colores.

Si tenemos dudas de cómo se monta el Fukikoma, podemos recurrir a los famosos tutoriales que se publican en Youtube. No damos aquí la dirección de ninguno, porque las direcciones en Internet van quedando obsoletas con mucha rapidez. Hemos comprobado que numerosos enlaces que pusimos en entradas anteriores del blog, ya son inservibles; con el tiempo las páginas enlazadas han desaparecido o han cambiado de dirección.

Sudoku de letras (7)

Regla de este Sudoku: llenar las casillas vacías de forma que en cada fila, en cada columna y en cada caja de 3×3 estén todas las letras del siguiente conjunto:

B  D  E  G  I  M  O  R  U

Una vez resuelto, en la fila central aparecerá una palabra: el nombre de una conocida ciudad del Reino Unido.

El Folio de Cuatro Caras

Cuaderno de bitácora: otra actividad que hemos recogido del libro Bricológica (ver el artículo de las papirolas) y que hemos compartido con los grumetes es el llamado "Folio de Cuatro Caras".

Se trata de una forma de plegar un folio para que luego, aunque parece tener dos caras, podemos hacer aparecer hasta cuatro, desdoblándolo por el centro de las caras de manera sorprendente e inesperada.

Primero tomamos un folio normal blanco tamaño A4 (en realidad el tamaño y el color del folio importan poco). Preparamos el folio, dividiéndolo en 3 filas por 4 columnas por delante y por detrás, y dibujamos en cada uno de los cuadrados que nos han salido un número del 1 al 4 tal y como se indica en los gráficos adjuntos. También se subraya en la "cara delantera" tres segmentos por los que hay que cortar con unas tijeras o un cúter para hacer una "ventana".

Esta es la "cara delantera" del folio. Al centro observamos tres segmentos por los que hay que cortar, que abrirán una especie de ventana lateral. Más abajo veremos cómo se pliega esa ventana.

Esta es la "cara trasera" del folio.

A continuación vamos a ver una secuencia de fotografías de cómo preparar el folio y de cómo cortarlo y plegarlo.

Se dobla el folio por la mitad

Se vuelve a doblar por la mitad, así vamos a obtener las cuatro columnas necesarias.

Sin desplegar todavía, se dobla por dos dobleces de forma que nos queden tres partes de igual longitud.

Desplegamos el folio, y si lo hemos hecho bien, ahora los dobleces marcados nos dividen el folio en tres filas por cuatro columnas, cada espacio aproximadamente cuadrado.

Dibujamos en la "cara delantera" los números y señalamos las líneas de corte (en azul).
Recordamos que estas líneas son tres segmentos, uno arriba, otro abajo, y uno a la izquierda. En la derecha no hay segmento.

Le damos la vuelta al folio y en la "cara trasera" dibujamos el otro grupo de números.

Procedemos al corte por los segmentos señalados. Para hacerlo de forma fácil, doblamos el folio por la mitad y hacemos dos cortes, uno arriba...

... y otro abajo.

Desdoblamos el folio y terminamos el último corte, el del segmento de la izquierda.

Se obtiene una ventana central.

Doblamos la ventana central hacia la derecha, como indica la foto.

El extremo de la ventana (el que tiene el número 1) lo doblamos hacia atrás, rodeando el folio.

Ahora doblamos la columna de la izquierda, "enrollándola" hacia la derecha.

Volvemos a doblar la columna de la izquierda, "enrollándola", y terminando los dobleces.
Si lo hemos hecho bien, nos debe quedar como en la imagen, todo lleno del número 2.

Le damos la vuelta al folio, por la parte de atrás debe quedar como en la imagen.
El 1 central de la izquierda lo vamos a unir con celofán adhesivo al 1 de la derecha.

Colocamos celofán adhesivo entre los dos 1 centrales, uniéndolos.
Es importante que el celofán no se pegue a otras partes que haya debajo de los 1, ni que sobrepase la anchura del centro.
Nuestro Folio de Cuatro Caras ya está listo.
En la imagen vemos la Cara 1.

Si le damos la vuelta tenemos la Cara 2, pero ¿dónde están las caras que faltan?

Doblamos la Cara 2 por la mitad y hacia atrás, y abrimos por el centro de la Cara 2.

¡Con sorpresa veremos que se puede abrir y que aparece la Cara 3!

Ahora seguimos doblando la Cara 3 por la mitad y hacia atrás, y buscamos abrirla por el centro.

¡Y aquí está la Cara 4!

El Folio de Cuatro Caras es una actividad simpática y fácil, y se puede presentar como si fuera un truco de magia.

También es una actividad que podemos ampliar: hemos empleado números para dibujar en los cuadrados, pero los números se pueden sustituir por letras o por dibujos.

Además, con los cuatro números repetidos no se puede apreciar, pero si hacemos dibujos diferentes por columnas veremos que la configuración no aparece igual en la Cara 2 y en la Cara 3 según las abramos. Si vamos de la Cara 1 a la Cara 2, la Cara 2 aparece de una forma; si vamos de la Cara 3 a la Cara 2, la Cara 2 aparece con las columnas intercambiadas respecto a la forma anterior. Lo mismo ocurre con la Cara 3, no es lo mismo ir de la Cara 2 a la 3 que ir de la 4 a la 3, la Cara 3 aparece con las columnas en orden diferente según el camino por el que llegamos a ella. Repetimos: esto no se aprecia cuando estamos dibujando todos los números iguales.

Por otro lado, el diseño de este Folio no está limitado a las Cuatro Caras. Se puede hacer un Folio de Seis Caras, de Ocho Caras, etc., siempre en número par. Por ejemplo, para el Folio de Seis Caras, tenemos que dividir el folio en tres filas y 6 columnas, y colocar en la "cara delantera" los números:

6  6  5  4  3  2

2  3  4  5  6  6

6  6  5  4  3  2

También hay que dibujar una ventana central, similar a la que hemos hecho con el Folio de Cuatro Caras y que abarque el grupo central de números: 3  4  5  6. Por la "cara trasera" dibujaremos los números:

1  1  2  3  4  5

5  4  3  2  1  1

1  1  2  3  4  5

El sistema de corte y de plegado del Folio de Seis Caras es completamente similar al del Folio de Cuatro Caras, y dejamos al lector que experimente por sí mismo. Observando cómo es la distribución de los números en Cuatro Caras y Seis Caras, no es difícil imaginarse cuál es la distribución para un Folio de Ocho Caras. Igualmente, se pueden construir Folios más elaborados, que en lugar de tener una sola ventana tengan dos. Para ello basta con dividir el folio en cinco filas, en lugar de en tres, repitiendo alternadamente las filas. Y de dos ventanas podemos pasar a tres, a cuatro o las que se quieran.

Espero que esta construcción sea un entretenimiento exitoso.