Leyenda sobre el tablero de ajedrez

Entre todas las versiones que he leído sobre la invención del ajedrez, la que voy a transcribir a continuación es la que más me ha gustado, pues su ambientación logra trasladarme al encantado mundo de las mil y una noches.

Esta versión aparece en el libro Matemáticas recreativas de Yakob Perelman [traducción de F. Blanco y C. Pérez, Ediciones Martínez Roca].

El juego del ajedrez fue inventado en la India. Cuando el rey hindú Sheram lo conoció, quedó maravillado de lo ingenioso que era y de la variedad de posiciones que en él son posibles. Al enterarse de que el inventor era uno de sus súbditos, el rey lo mandó llamar con objeto de recompensarle personalmente por su acertado invento.

Figura 1

El inventor, llamado Seta, se presentó ante el soberano. Era un sabio vestido con modestia, que vivía gracias a los medios que le proporcionaban sus discípulos.

-Seta, quiero recompensarte dignamente por el ingenioso juego que has inventado -dijo el rey.

El sabio contestó con una inclinación.

-Soy bastante rico como para poder cumplir tu deseo más elevado -continuó diciendo el rey-. Di la recompensa que te satisfaga y la recibirás.

Seta continuó callado.

-No seas tímido -le animó el rey-. Expresa tu deseo. No escatimaré nada para satisfacerlo.

-Grande es tu magnanimidad, soberano. Pero concédeme un corto plazo para meditar la respuesta. Mañana, tras maduras reflexiones, te comunicaré mi petición.

Cuando al día siguiente Seta se presentó de nuevo ante el trono, dejó maravillado al rey con su petición, sin precedente por su modestia.

-Soberano -dijo Seta-, manda que me entreguen un grano de trigo por la primera casilla del tablero de ajedrez.

-¿Un simple grano de trigo? -contestó admirado el rey.

-Sí, soberano. Por la segunda casilla, ordena que me den dos granos; por la tercera, 4; por la cuarta, 8; por la quinta, 16; por la sexta, 32... 

Figura 2

-Basta -le interrumpió irritado el rey-. Recibirás el trigo correspondiente a las 64 casillas del tablero de acuerdo con tu deseo: por cada casilla doble cantidad que por la precedente. Pero has de saber que tu petición es indigna de mi generosidad. Al pedirme tan mísera recompensa, menosprecias, irreverente, mi benevolencia. En verdad que, como sabio que eres, deberías haber dado mayor prueba de respeto ante la bondad de tu soberano. Retírate. Mis servidores te sacarán un saco con el trigo que solicitas.

Seta sonrió, abandonó la sala y quedó esperando a la puerta del palacio.

Durante la comida, el rey se acordó del inventor del ajedrez y envió a que se enteraran de si habían ya entregado al irreflexivo Seta su mezquina recompensa.

-Soberano, están cumpliendo tu orden -fue la respuesta-. Los matemáticos de la corte calculan el número de granos que le corresponden.

El rey frunció el ceño. No estaba acostumbrado a que tardaran tanto en cumplir sus órdenes.

Por la noche, al retirarse a descansar, el rey preguntó de nuevo cuánto tiempo hacía que Seta había abandonado el palacio con su saco de trigo.

-Soberano -le contestaron-, tus matemáticos trabajan sin descanso y esperan terminar los cálculos al amanecer.

-¿Por qué va tan despacio este asunto? -gritó iracundo el rey-. Que mañana, antes de que me despierte, hayan entregado a Seta hasta el último grano de trigo. No acostumbro a dar dos veces la misma orden.

Por la mañana comunicaron al rey que el matemático mayor de la corte solicitaba audiencia para presentarle un informe muy importante.

El rey mandó que le hicieran entrar.

-Antes de comenzar tu informe -le dijo Sheram-, quiero saber si se ha entregado por fin a Seta la mísera recompensa que ha solicitado.

-Precisamente por eso me he atrevido a presentarme tan temprano -contestó el anciano-. Hemos calculado escrupulosamente la cantidad total de granos que desea recibir Seta. Resulta una cifra tan enorme...

-Sea cual fuere su magnitud -le interrumpió con altivez el rey- mis graneros no empobrecerán. He prometido darle esa recompensa, y por lo tanto, hay que entregársela.

-Soberano, no depende de tu voluntad el cumplir semejante deseo. En todos tus graneros no existe la cantidad de trigo que exige Seta. Tampoco existe en los graneros de todo el reino. Hasta los graneros del mundo entero son insuficientes. Si deseas entregar sin falta la recompensa prometida, ordena que todos los reinos de la Tierra se conviertan en labrantíos, manda desecar los mares y océanos, ordena fundir el hielo y la nieve que cubren los lejanos desiertos del Norte. Que todo el espacio sea totalmente sembrado de trigo, y ordena que toda la cosecha obtenida en estos campos sea entregada a Seta. Sólo entonces recibirá su recompensa.

El rey escuchaba lleno de asombro las palabras del anciano sabio.

-Dime cuál es esa cifra tan monstruosa -dijo reflexionando.

-¡Oh, soberano! Dieciocho trillones cuatrocientos cuarenta y seis mil setecientos cuarenta y cuatro billones setenta y tres mil setecientos nueve millones quinientos cincuenta y un mil seiscientos quince.

Hasta aquí la leyenda. A continuación, algunos comentarios matemáticos.

La leyenda de la invención del ajedrez nos ilustra sobre el rápido crecimiento de una progresión geométrica (de razón mayor que la unidad). En este caso tenemos una progresión geométrica en la que la razón es 2, pues cada término de la progresión es el doble del anterior.

La sucesión de términos es: 1, 2, 4, 8, 16, 32,... Obsérvese que esta sucesión coincide con las potencias de dos: 2⁰, 2¹, 2², 2³, 2⁴, 2⁵,...

El término general de la progresión, la fórmula que nos da cada número, es: aₙ = 2ⁿ⁻¹.

En la última casilla hay exactamente: 2⁶³ = 9.223.372.036.854.775.808 (un poco más de 9 trillones) granos de trigo.

El número de granos de trigo totales se calcula sumando todos los términos: 1 + 2 + 4 + 8 + ... Esto se hace más sencillamente gracias a la fórmula de la suma de los términos de una progresión geométrica:

Como curiosidad, si añadimos un grano más de trigo a la suma, obtenemos la siguiente potencia de 2: 2⁶⁴ = 18.446.744.073.709.551.616. Esto es debido a que conforme vamos sumando los granos de cada casilla, siempre nos quedamos a un solo grano de la casilla siguiente:

1 + 2 = 3 = 4 − 1
1 + 2 + 4 = 7 = 8 − 1
1 + 2 + 4 + 8 = 15 = 16 − 1, etc.

Todos estos números, 1, 3, 7, 15, etc., son llamados números de Mersenne. Se llama número de Mersenne a cualquier número anterior a una potencia positiva de 2, más concretamente a los números de la forma Mₙ = 2ⁿ − 1, con n ≥ 1.

Un aspecto interesante que merece la pena reflexionar es el comentario del matemático mayor del rey Sheram, cuando le explica que el número de granos de trigo es una cifra monstruosa. Pienso, y puedo estar equivocado, que cuando uno de nosotros lee la cifra, le parece simplemente una cifra grande, pero no tiene realmente idea de lo grande que es. De hecho, los granos de trigo son cosas de un tamaño muy pequeño, y en un saco de trigo puede haber muchísimos granos, aunque no sabemos cuántos.

Debemos tener en cuenta que cualquiera de nosotros, en nuestra época actual, hemos oído hablar de muchos ejemplos de cifras monstruosas: la población mundial, el producto interior bruto de un país desarrollado, la edad del universo, el número de estrellas que hay en la Vía Láctea, el número de kilómetros que equivale a un año-luz, el número de moléculas que hay en un mol de una sustancia (número de Avogadro), el gúgol, etc. Si con la imaginación nos trasladamos a la mitológica época del rey Sheram, a la India de los Vedas, a los inicios del sistema numérico decimal que ahora tenemos, podemos comprender que ya el mismo hecho de calcular, a mano, números tan grandes, debía suponer un enorme esfuerzo para los matemáticos de la época, que debían estar acostumbrados a contabilidades prácticas con números mucho más manejables.

Para hacerse una idea de lo grande que es la cantidad de 18 trillones de granos de trigo, hay que convertirla a una unidad más manejable, gramos, kilogramos o toneladas de trigo, y compararla con la producción de trigo mundial. Se pueden encontrar muchas páginas que hacen esta conversión, pero curiosamente hay discrepancia entre ellas.

En la wikipedia (en español), por ejemplo, hay una estimación de unos 1200 granos de trigo por kilogramo, con lo que cada grano de trigo pesaría casi un gramo, (lo cual me parece exagerado). Según dicha estimación, tomando toda la producción mundial actual de trigo, se necesitarían más de 22000 años para acumular los 18 trillones de granos pedidos por el inventor Seta.

La página de wikipedia en inglés, estima que cada grano de trigo pesa 0,065 gramos, lo cual equivale a que en un kilo hay unos 15000 granos de trigo, y calcula que el total de trigo del tablero de ajedrez es más de 1600 veces la producción mundial.

En Matemáticas cercanas, la estimación es de unos 25000 granos de trigo por kilo, es decir, cada grano de trigo pesaría 0,04 gramos. Según este cálculo, se necesitarían más de 1000 años para acumular los granos del tablero de ajedrez.

En la página de SMPM y en la de Me llevo las Mates de calle, se estima que un grano de trigo pesa 0,03 gramos, lo cual hace que en un kilo quepan unos 33000 granos de trigo, y que se necesiten unos 800 años para completar el pedido.

En cualquier caso, si aceptamos que para completar el pedido del inventor Seta se necesita aproximadamente la producción mundial de trigo durante 1000 años, ya sí nos podemos hacer una idea de lo monstruosa que es la cifra calculada por los matemáticos del rey Sheram.

Créditos de las imágenes:

Figura 1: extraída de Collectors Weekly.

Figura 2: By McGeddon [CC BY-SA 4.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0)], via Wikimedia Commons.

Sudoku de letras (15)

Regla de este Sudoku: llenar las casillas vacías de forma que en cada fila, en cada columna y en cada caja de 3×3 estén todas las letras del siguiente conjunto:

B  C  D  E  I  O  R  S  U

Una vez resuelto, en la fila central aparecerá el verbo que falta en la siguiente oración: Cristóbal Colón … América.

[El Problema de la Semana] El radio desconocido

Y otro antiguo problema más rescatado de nuestra web doDK:

Averigua la longitud del radio de la circunferencia que aparece en el gráfico adjunto:

Si usted quiere saber la solución

sírvase girar la rueda del ratón.

Hablando de radios: el toro o torus es una figura geométrica en forma de donut o de flotador de playa. En él se pueden distinguir cuatro radios: el radio menor A, el radio mayor B, el radio interior C y el radio exterior D. En realidad los radios esenciales son dos: A y B, porque C es igual a B−A, y D es igual a A+B.
La imagen la hemos sacado de BlenderWiki.

Solución:

Si nos fijamos que 8 cm es lo que mide la diagonal del rectángulo, y que justamente la otra diagonal es el radio, entonces el radio mide 8 cm, ya que las dos diagonales de un rectángulo miden lo mismo. La medida de los 3 cm sólo sirve para despistar, y no influye para nada en la solución.

Notas: este problema está extraído de la web Problemas de Geometría realizada por Jesús Escudero Martín. Los gráficos están realizados con el programa Geogebra.

Sudoku de letras (14)

Regla de este Sudoku: llenar las casillas vacías de forma que en cada fila, en cada columna y en cada caja de 3×3 estén todas las letras del siguiente conjunto:

A  C  E  I  L  M  N  O  T

Una vez resuelto, en la fila central aparecerá una palabra: las abejas la hicieron para vivir en ella, pero les salió un poco pequeña.

Kolam (4) : Más Variaciones

Continuamos en esta cuarta parte profundizando en el trazado del kolam y en sus variaciones.

El kolam se enriquece enormemente en variaciones cuando empezamos a poner tramas de puntos pivote de formas diferentes a las ya vistas, y también cuando abrimos huecos interiores quitando ciertos puntos pivote y por tanto eliminando también los puntos x asociados.

Otra forma de construir variaciones consiste en colocar muros o barreras interiores, que no es otra cosa que impedir que el kolam pase por ciertos puntos x que nosotros seleccionamos libremente.

Veamos ejemplos de cada caso:

Figura 1.
Ejemplo de trama simétrica que parte de un cuadrado y a la que se han quitado algunos pivotes.

Figura 2.
Se obtiene este kolam, de recorrido muy sencillo, formado por nueve líneas: 4 salchichas verdes, 2 marrones, un cuadrado rosa y dos rectángulos azules.

Figura 3.
Experimentamos con esta trama, un hexágono de lado 4 al que hemos quitado cuatro pivotes interiores.

Figura 4.
Con sorpresa comprobamos que el kolam se resuelve con una sola línea (a pesar de algún error enmendado con corrector líquido).
En general, con tramas aleatorias, no podemos saber de antemano cuántas líneas vamos a necesitar para resolver un kolam.

Figura 5.
Aquí tenemos una trama en forma de rombo más alargado.

Figura 6.
Este kolam también se resuelve con una sola línea.

Figura 7.
Aquí tenemos un rombo de lado 4 al que hemos quitado cuatro pivotes.
Obsérvese que ha quedado una estructura lineal, formada por una cruz principal que en cada una de sus puntas tiene cruces más pequeñas.

Figura 8.
Cuando resolvemos el kolam, la estructura lineal se hace evidente.
En este kolam no hay largas diagonales de puntos x. La línea progresa rectamente en diagonal como máximo durante dos puntos x, luego tiene que girar alrededor del pivote correspondiente.

Figura 9.
Este kolam parte de un hexágono de lado 3 al que hemos quitado dos pivotes interiores.
Recuerda a la estructura de las figuras 3 y 4.

Figura 10.
Sin embargo se resuelve, no con una línea, sino con tres, haciendo un conjunto simple, pero bastante bello.

Figura 11.
Otro ejemplo de trama...

Figura 12.
... que también se resuelve con una sola línea.

Figura 13.
Aquí tenemos una especie de octógono simple.

Figura 14.
Este octógono se resuelve con 4 líneas-salchicha rojas.

Figura 15.
Un octógono mayor.

Figura 16.
Esta trama se ha resuelto con 5 líneas: 4 salchichas azules y un cuadrado rojo.

Figura 17.
Aquí experimentamos con una trama en forma de rectángulo oblicuo. La solución no tiene misterio, es similar a la de los cuadrados-rombos de la entrada anterior sobre los kolam.

Figura 18.
Esta trama es un hexágono como el de la figura 10, pero sin huecos interiores. Su solución es también bastante simple.

Figura 19.
Kolam lineal muy simple.

Figura 20.
Otro kolam lineal.

Figura 21.
Kolam que sigue el contorno de un cuadrado. En los tres últimos ejemplos vemos como las tramas lineales obligan a las curvas del kolam a formar cadenas.

Figura 22.
Esta trama parte de un cuadrado de lado 5 al que se le han quitado los cinco pivotes que forman parte de la cruz interior central.

A continuación veamos ejemplos de kolam con muros o paredes interiores. Esta opción es muy fértil para nuevas formas del kolam.

Figura 23.
Comenzamos con una trama cuadrada y le colocamos muros o paredes, prohibiendo así que el kolam pase por los puntos x involucrados en dichas paredes.

Figura 24.
Hacemos el trazado siguiendo de forma natural las diagonales de puntos x, y "rebotando" en las paredes (sin tocarlas), siguiendo una trayectoria que busca el siguiente punto x para continuar su diagonal.

Figura 25.
Si hemos dibujado los muros a lápiz, sólo tenemos que borrarlos y conseguimos el kolam terminado.

Figura 26.
Otro ejemplo.

Figura 27.

Figura 28.

Figura 29.

Figura 30.

Figura 31.

Figura 32.

Figura 33.

Figura 34.

Figura 35.

Figura 36.

Figura 37.

Figura 38.

Figura 39.

Figura 40.

Con estos ejemplos terminamos esta cuarta entrada dedicada al kolam.

Sudoku de letras (13)

Regla de este Sudoku: llenar las casillas vacías de forma que en cada fila, en cada columna y en cada caja de 3×3 estén todas las letras del siguiente conjunto:

A  E  I  L  N  R  S  U  V

Una vez resuelto, en la fila central aparecerá un adjetivo: el Diluvio lo fue.

[El Problema de la Semana] Un pastor ingenioso

Otro antiguo problema rescatado de nuestra web doDK:

Había un pastor que sólo sabía contar hasta diez y tenía a su cargo un rebaño numeroso. Para saber si le faltaba alguna oveja, inventó un sistema que ponía en práctica todos los días a la caída de la tarde. Agrupaba a sus animales de dos en dos, luego de tres en tres, después de cuatro en cuatro, más tarde de cinco en cinco y, por último, de seis en seis: en todos los casos le sobraba una oveja. Las agrupaba entonces de siete en siete, y todos los grupos le quedaban con idéntica cantidad de ovejas.

¿De cuántas ovejas se componía el rebaño?

La solución... ¿A estas alturas no sabe donde está la solución? ¡Qué vergüenza!

Mire más abajo de la ilustración.

Imagen extraída de un artículo del Huffington Post. Lo curioso es que las ovejas parecen estar saltando la valla en orden inverso al habitual: la primera que ha saltado la valla es la 4, luego la 3, luego está saltando la valla la 2 y detrás de ellas viene la 1. ¿Cuáles vendrán detrás, la 0, la −1, la −2, etc.?

Solución:

Llamemos n al número de ovejas que hay en el rebaño. Está claro que si quitamos una oveja, el número obtenido, n−1, es múltiplo de 2, 3, 4, 5, 6. Teniendo en cuenta que el m.c.m. de 2, 3, 4, 5, 6, es 60, n−1 es un múltiplo de 60. Basta encontrar el n que sea divisible por 7.

si n−1 = 60, entonces n = 61, que no es múltiplo de 7

si n−1 = 120, entonces n = 121, que no es múltiplo de 7

si n−1 = 180, entonces n = 181, que no es múltiplo de 7

si n−1 = 240, entonces n = 241, que no es múltiplo de 7

si n−1 = 300, entonces n = 301, que sí es múltiplo de 7

Luego el número de ovejas del rebaño es 301.