[El Problema de la Semana] El baile de fin de curso

Como ya nos vamos acercando al fin de curso, es interesante que vayamos pensando en el baile:

Los alumnos y alumnas que se han graduado están de celebración. Han organizado un baile; el cuadrado de la doceava parte ya han salido a la pista, y el resto, 35, todavía están sentados charlando.

¿Cuántos alumnos se han graduado?

La respuesta, como siempre, más abajo de la ilustración.

 

Esta imagen proviene de la película High School Musical 3 y está tomada de esta web.

 

SOLUCIÓN:

Si llamamos x al número de alumnos que se han graduado, entonces es fácil plantear la ecuación, basta sumar los que han salido a la pista con los que están sentados charlando para que nos dé el número total de alumnos.

(x/12)² + 35 = x;

 

desarrollamos la ecuación: 

 

x²/144 + 35 = x;

 

quitamos denominadores y ordenamos, pasando todo al primer miembro:

 

x² − 144x + 5040 = 0;

se trata de una ecuación de segundo grado; la resolvemos y obtenemos dos soluciones:

x₁ = 84

x₂ = 60

Sorprendentemente, las dos soluciones son válidas. En la primera, la doceava parte son 7, su cuadrado son 49, que son los que están en la pista bailando, y 49 + 35 = 84. En la segunda solución, la doceava parte son 5, su cuadrado son 25 que son los que están en la pista bailando, y 25 + 35 = 60.

Este problema ha sido adaptado del libro Álgebra Recreativa, de Yakob Perelman.