[El Problema de la Semana] Las diagonales del pentágono

Este problema va de ángulos y geometría:

Tenemos un pentágono regular y desde un vértice cualquiera trazamos las dos diagonales que parten de él. Estas dos diagonales, con los dos lados que se juntan en el vértice, forman tres ángulos.

¿Son iguales estos tres ángulos? ¿Cuál es su medida?

La solución, como siempre, más abajo.

Hablando de pentágonos, se nos ha ocurrido inmediatamente incluir una foto del archiconocido edificio del Pentágono, en Washington, sede del Departamento de Defensa de los Estados Unidos. Hasta el día de hoy es el edificio de oficinas más grande del mundo, y en él trabajan unos 23000 empleados, civiles y militares. Cada uno de sus lados mide aproximadamente 281 metros y su altura sobre el suelo alcanza 22 metros.

SOLUCIÓN:

Si trazamos las dos diagonales que parten de un vértice cualquiera de un pentágono regular, el pentágono nos queda dividido en tres triángulos. Por la simetría y regularidad del pentágono, se puede apreciar que los triángulos son isósceles; dos de ellos tienen el lado desigual más largo que los otros dos lados iguales, y el triángulo central tiene el lado desigual más corto que los otros dos lados.

Por la misma división en tres triángulos, y recordando que la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo vale 180º, deducimos que la suma de los ángulos interiores del pentágono vale

180º · 3 = 540º

y por tanto cada ángulo interior vale

540º : 5 = 108º

De aquí se deduce fácilmente que en los dos triángulos isósceles de base más ancha los ángulos miden respectivamente 108º el opuesto a la base, y 72º la suma de los otros dos ángulos que al ser iguales miden 36º cada uno.

También es fácil darse cuenta, mirando en el dibujo del pentágono, que los ángulos que faltan por conocer en el triángulo central de base corta son: 108º - 36º = 72º cada uno de los ángulos iguales de la base, y el ángulo desigual 108º - 36º - 36º = 36º.

Como conclusión, los tres ángulos que nos pregunta el problema miden 36º cada uno y por tanto son iguales.

 

Aquí tenemos la ilustración de lo que acabamos de explicar, realizada con el programa GeoGebra.

 

Nota: este problema ha sido extraído del libro Problemas a mí, de Fernando Corbalán y José María Gairín.