[El Problema de la Semana] El tamaño de la pantalla

Este problema va de hacer cálculos sobre el tamaño de la pantalla de un televisor. Resolviéndolo podemos aprender la relación entre las pulgadas que mide, la proporción de sus lados o "relación de aspecto", y el tamaño real de los lados.

Nuestro televisor es de "40 pulgadas", esto quiere decir que la diagonal de la pantalla mide 40 pulgadas. Además es panorámico: la proporción entre sus lados o "relación de aspecto" es 16:9.

Intenta averiguar con estos datos la longitud de los lados en centímetros y el área de la pantalla en metros cuadrados.

No aparten sus ojos de la pantalla: la solución está más abajo.

SOLUCIÓN:

Lo primero que vamos a hacer es pasar las pulgadas a centímetros. Teniendo en cuenta que 1 pulgada = 2,54 cm, entonces:

40 pulgadas = 40 · 2,54 = 101,6 cm.

Si llamamos x e y al ancho y alto de la pantalla respectivamente, entonces podemos establecer dos relaciones.

Por un lado tenemos el teorema de Pitágoras: x e y son los catetos de un triángulo rectángulo en el que la hipotenusa es igual a 40 pulgadas o 101,6 centímetros:

x² + y² = 101,6²

Por otro lado la relación entre los lados es 16 : 9, esto quiere decir que se cumple la proporción:

x/y = 16/9, es decir, x = 16y/9

Sustituyendo en la ecuación del teorema de Pitágoras tenemos:

(16y/9)² + y² = 101,6²

hacemos operaciones, quitamos denominadores y tenemos:

256y² + 81y² = 101,6² · 81  

de donde:

337y² = 836127,36

despejamos la y:

y = 49,8 centímetros

calculamos la x:

x = 16y/9 = 88,6 centímetros.

Teniendo en cuenta que el ancho de la pantalla es de 88,6 cm = 0,886 m, y el alto es de 49,8 cm = 0,498 m, entonces el área de la pantalla es:

Área = 0,886 · 0,498 = 0,4412 m².