La Ecuación de Tercer Grado

Cuaderno de bitácora: a pesar de haber evitado estas aguas durante muchos años, he reunido suficiente coraje para entrar en ellas y empezar a explorarlas. Se trata de la solución a la ecuación de tercer grado.

[Pintura de James Brereton]

No es la primera vez que me acerco a esta ecuación, pero sí la primera que me atrevo a explorarla hasta el final, dispuesto a vencer los obstáculos que aparezcan en mi camino.

En este caso, la teoría para resolver una ecuación de tercer grado no es difícil, sin embargo la práctica se complica enormemente. Pero veamos la teoría, con los pasos concretos que se han de dar.

Supongamos que tenemos una ecuación de tercer grado:

 (1)

Para que sea de tercer grado el coeficiente de la x³ debe ser distinto de cero, así que podemos dividir toda la ecuación por a, y obtenemos la siguiente ecuación:

 (2)

Si a₁ es distinto de cero, hacemos el siguiente cambio de variable:

 (3)

Sustituimos, simplificamos, y nos queda una ecuación en la que ha desaparecido el término de segundo grado:

 (4)

Supondremos a partir de ahora que tanto p como q son distintos de cero, porque si alguno de ellos fuera cero, resolver la ecuación (4) sería muy sencillo. En efecto, si p = 0, entonces y se calcula haciendo la raíz cúbica de −q. Si q = 0, entonces y se calcula factorizando: una solución sería 0, y otras dos soluciones saldrían de la raíz cuadrada de −p.

Buscamos las soluciones de la ecuación (4) considerando la siguiente ecuación auxiliar de segundo grado:

 (5)

La ecuación (5) puede tener dos soluciones, basta con que tomemos una de ellas, z₁, entonces calculamos su raíz cúbica, obteniendo u y v de la siguiente forma:

 (6)

 (7)

Entonces y = u + v es una solución de (4), y aplicando el cambio (3), obtenemos la solución de la x.

Hasta aquí todo parece relativamente sencillo, pero debemos tener en cuenta lo siguiente:

-Podemos plantear una ecuación sencilla en (1), pero la ecuación (2) nos puede salir con coeficientes fraccionarios.

-Aunque la ecuación (2) no tenga fracciones sino solo números enteros sencillos, al hacer el cambio (3) debemos saber elevar al cubo un binomio, y además la ecuación (4) probablemente nos saldrá con coeficientes fraccionarios.

-Después de muchos cálculos, llegamos al paso (5), y tenemos una ecuación de segundo grado. Al resolverla, si nos sale la raíz cuadrada de un número negativo, no vale decir que no hay solución, sino que debemos echar mano de los números complejos y resolver cualquier raíz que se nos presente.

-En el paso (6) tenemos que hacer una raíz cúbica, y la debemos hacer en sentido completo, es decir, debemos operar con números complejos y sacar las tres raíces cúbicas. Así obtendremos u₁, u₂, u₃, y para cada una calcularemos v₁, v₂, v₃. Sumando cada u con cada v obtendremos tres soluciones y₁, y₂, y₃ para (4) y de ellas, con la igualdad (3), obtendremos las tres soluciones x₁, x₂, x₃ de la ecuación (1).

Vamos a hacer un ejemplo para que se vea bien la cruda realidad de los cálculos involucrados.

Primero nos preparamos una ecuación de tercer grado sencilla, de la que sabemos de antemano las soluciones. Supongamos que las soluciones van a ser −2, 1, 3. Obtenemos el polinomio con estas raíces:

 (8)

Entonces la ecuación de tercer grado que vamos a resolver es:

 (9)

Hacemos la sustitución:

 (10)

Sustituimos en la ecuación (9) y hacemos operaciones. Observamos que ya nos van saliendo números fraccionarios.

 (11)

 (12)

 (13)

Ahora consideramos la ecuación auxiliar de segundo grado:

 (14)

 (15)

 (16)

Resolvemos la ecuación de segundo grado, y no nos salen soluciones sencillas, precisamente, sino que aparece una raíz cuadrada con radicando negativo:

 (17)

Si simplificamos todo lo posible nos queda:

 (18)

Si queremos continuar adelante, no tenemos más remedio que meternos en el dominio de los números complejos. La raíz cuadrada del número negativo la sustituimos por la unidad imaginaria i. De las dos soluciones posibles de (18) elegimos una de ellas y hacemos las divisiones, tomando decimales:

 (19)

Ahora tenemos que hacer raíces cúbicas a un número complejo. Todo aquel matenavegante que maneje un poco los números complejos sabrá que el procedimiento habitual es, en primer lugar, pasar ese número complejo a forma trigonométrica, calculando su módulo y su argumento.

El módulo:

 (20)

El argumento:

 (21)

En este cálculo hemos tomado el arcotangente que corresponde con el cuadrante donde se encuentra el número complejo. Además, el argumento tiene una solución múltiple que se obtiene dando valores enteros a k.

Para calcular la raíz cúbica de un número complejo hay que hacerle la raíz cúbica al módulo y dividir el argumento por tres, y al hacer esta división debemos darle a k valores 0, 1 y 2 para obtener tres soluciones esencialmente diferentes:

 (22)

 (23)

 (24)

 (25)

Para k = 0:

 (26)

Para k = 1:

 (27)

Para k = 2:

Y ya está. Lo hemos conseguido. Después de tremendos cálculos inesperados hemos llegado a la sencilla solución de la ecuación planteada en (9). No está mal para un neófito en la exploración de la ecuación de tercer grado.

Nada tiene que ver este proceso con el sencillo y famoso método de Ruffini. Dicho método nos hubiera dado las soluciones rápidamente y casi sin esfuerzo, pero es un método de ensayo-error: hay que probar con números hasta que salgan los válidos. Pero si el método de Ruffini no funciona con los enteros divisores del término independiente del polinomio, entonces es inútil tratar de usarlo probando con números decimales cualesquiera: hay infinitos.

El método que hemos visto en nuestra entrada, basado en las fórmulas de Cardano-Tartaglia, es arduo pero nos da las soluciones, no hay que ir probando nada, tan solo hacer los cálculos.

En una próxima entrada nos enfrentaremos a una odisea aún más dura: la ecuación de cuarto grado.

Nota: nuestro proceso para resolver la ecuación de tercer grado se basa en este documento del Departamento de Álgebra de la Universidad de Sevilla.