El pentágono y la razón áurea

Cuaderno de bitácora: en una entrada anterior, hicimos la construcción del pentágono a partir del rectángulo áureo. Uno se podría preguntar qué relación hay entre el pentágono y la razón áurea que permite hacer dicha construcción. En esta entrada vamos a justificar que la razón áurea se encuentra dentro del mismo pentágono de forma muy natural.

Primero consideramos un pentágono regular de lado 1:

Trazamos una de las diagonales, EC, y se ve claramente que es paralela al lado AB; vamos a calcular lo que mide esta diagonal, llamémosle x:


Trazamos una segunda diagonal, AD, obteniendo el punto F, y nos damos cuenta que ABCF es un rombo, pues AD es paralelo e igual a BC, por tanto AB y FC son iguales y paralelos, y lo mismo ocurre con AF y BC, y los cuatro lados del rombo miden 1:

Si trazamos ahora otra diagonal, AC, tenemos dos triángulos ACF y EFD, que por el teorema de Tales, al tener dos lados en las mismas rectas y un tercer lado paralelo, son semejantes. Las medidas de dichos lados son x, 1, 1 en el triángulo ACF y 1, x-1, x-1 en el triángulo EFD:

Como son triángulos semejantes, sus lados son proporcionales dos a dos, y entonces podemos escribir la siguiente proporción:

Pero esta proporción ya la conocemos, la hemos estudiado en una de las entradas anteriores sobre la construcción del rectángulo áureo, en la que presentábamos la definición de número áureo; resolviendo la ecuación de segundo grado que nos aparece, y eligiendo la única solución positiva de dicha ecuación, obtenemos que x = φ, donde φ es:

Resumiendo, si el lado de un pentágono vale 1, la diagonal mide exactamente φ, el número áureo.

Si trazamos el segmento CG, paralelo a AE, tenemos que AG también mide φ, y así queda justificada la construcción del pentágono a partir de la razón áurea y del rectángulo áureo:

Notas:
En la página Matemáticas Visuales hay una demostración similar a la que hemos realizado en esta entrada. También está llena de artículos interesantes.
Todas las ilustraciones del artículo están realizadas con Geogebra.

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