Construcción del rectángulo áureo

Cuaderno de bitácora: recientemente hemos tenido la oportunidad de leer el magnífico libro El Código Secreto, de Priya Hemenway. Se trata de un libro sencillo en su contenido, ilustrado con una gran cantidad de imágenes, y a un precio muy asequible, dada la calidad de su impresión.

El libro está centrado en el estudio de la proporción áurea, en su origen y descubrimiento, su relación con la sucesión de Fibonacci, y su aparición en la naturaleza, el arte, el pensamiento y la mística.

La proporción áurea es aquella que se establece en un conjunto al que se divide en dos partes, de forma que la relación o razón entre el tamaño del conjunto y el de la parte mayor coincide con la razón entre la parte mayor y la menor.

Si esto lo visualizamos en un segmento limitado por dos puntos AB, la cuestión es determinar un tercer punto C en el interior del segmento tal que se dé la siguiente proporción entre las longitudes: AB/AC = AC/BC.


Si suponemos que AC = 1, AB = x y BC = x − 1, entonces la proporción se escribe:


De aquí se deduce una ecuación de segundo grado, cuya resolución sería como sigue:


Lo que nos daría dos soluciones:



Se ve claramente que la segunda solución, al dar un resultado negativo, no es válida para el contexto en el que hemos resuelto la ecuación de segundo grado. A la primera de las soluciones, (la única solución válida de la ecuación) se le llama con la letra griega fi, que se puede escribir en mayúscula Φ o minúscula φ:


Acabamos de ver el método algebraico, mediante una ecuación de segundo grado, para calcular fi. Veamos ahora el método geométrico: dibujamos un cuadrado ABCD de lado 1:


A continuación encontramos el punto medio E del lado base del cuadrado y trazamos el segmento que une E con C, un vértice opuesto:



Teniendo en cuenta que el triángulo EBC es rectángulo, y sabemos las longitudes de los catetos, BC = 1 y EB = 1/2, podemos calcular con el teorema de Pitágoras la longitud de la hipotenusa, EC, que nos sale exactamente raíz cuadrada de 5 partido por 2:


Luego con un compás trazamos el arco de centro E y radio EC y lo cortamos con la prolongación de la recta AB, obteniendo el punto F:


Es muy sencillo comprobar que la longitud de AF es exactamente el número fi:


Si levantamos un rectángulo AFGD, éste es un perfecto rectángulo áureo.


A partir de esta construcción es fácil trazar un pentágono y una estrella de cinco puntas, pero eso se contará en otra ocasión.

[Los dibujos están realizados con la aplicación Geogebra].

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