17.3.17

Ramas matemáticas

Aunque las Matemáticas parecen ser, para el lego en la materia, una sola cosa que trata de números y sus operaciones, en realidad es una ciencia con diversas ramas. De hecho la misma palabra "Matemáticas" está en plural, indicando que es algo múltiple y no unívoco.

Durante los estudios básicos, la Secundaria y el Bachillerato, la asignatura de Matemáticas se da en un bloque único; el profesor puede mencionar algunas de sus partes, como la aritmética, el álgebra o la geometría, pero no es hasta que uno ingresa en la Universidad cuando esas ramas se separan en disciplinas distintas, con nombres propios.

Cuando en mis años de preparación para matenavegante ingresé en la Facultad de Matemáticas, me sorprendió bastante tener solo cuatro asignaturas en el primer curso: Geometría, Álgebra, Análisis Matemático y Topología. La organización de las clases era bastante sencilla, cuatro horas cada mañana, con cada una de estas cuatro materias, y un recreo de media hora en medio. Entrábamos a las 9 de la mañana y salíamos a las 13:30.

Recordando aquellos años mozos ya pasados, vamos a citar las principales ramas de las Matemáticas:

En primer lugar, tenemos la Aritmética (del griego arithmos = número), la ciencia que trata sobre los números y las operaciones entre ellos. Todo lo que sean números naturales, y aprender a sumar, restar, multiplicar y dividir, entra dentro de la Aritmética. También entran en ella los números enteros, las fracciones, y se cuelan también los números irracionales, como pi, así como las potencias y las raíces. Cuando vamos teniendo claro qué es un múltiplo, un divisor y un número primo, nos vamos a acercando a las cimas de la Aritmética, que se alcanzan con el Teorema Fundamental de la Aritmética: "Todo número natural mayor de uno se puede factorizar de forma única como producto de números primos".

[esta imagen tan simpática, realizada con las fichas "quesitos" del Trivial Pursuit, la hemos encontrado en esta web de fotografía matemática]

Luego tenemos la Geometría (que significa medida de la tierra). La Aritmética y la Geometría son las disciplinas más antiguas de las Matemáticas, y son las que se estudian en primer lugar durante la educación básica. Puntos, segmentos, rectas, ángulos, polígonos, círculos y figuras tridimensionales, son su campo de acción principal. El Teorema de Tales: "Si dos rectas que se cortan en un vértice son a su vez cortadas por otras dos rectas paralelas, los segmentos determinados entre el vértice y las dos rectas paralelas son proporcionales dos a dos" y el de Pitágoras: "En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos", son de los teoremas más conocidos por todos. La Geometría va de los conceptos más simples a las situaciones más complejas. La Geometría que manejamos en la vida diaria es la Euclídea, sin embargo existen otras concepciones muy útiles, como la Geometría Proyectiva, o las geometrías no euclídeas que se desarrollaron en el siglo XIX: la Hiperbólica y la Elíptica.
[En la imagen vemos una representación gráfica del paraboloide hiperbólico, figura clave en la Geometría Hiperbólica, una de las geometrías no euclídeas. La imagen la hemos tomado de Galileo's Pendulum]

A continuación podemos mencionar el Álgebra. Es una disciplina con raíces muy antiguas, casi tanto como la Aritmética y la Geometría, aunque no empezó a definirse por sí misma hasta hace cinco o seis siglos. Su nombre viene del título de un libro escrito por el matemático árabe Al-Juarismi. En principio trata sobre las expresiones algebraicas: polinomios y ecuaciones principalmente, aunque luego se extiende con el estudio de estructuras como los grupos, los anillos y los cuerpos. Una de las ramas es el Álgebra Lineal, que estudia los sistemas de ecuaciones lineales, los cuales dan lugar a las matrices y los determinantes. Hay muchos teoremas importantes en el Álgebra, pero ahora se me vienen dos a la cabeza, el primero de ellos muy antiguo, el Teorema Chino del Resto, que da una fórmula explícita para resolver un sistema de ecuaciones en congruencias, y el otro el Teorema Fundamental del Álgebra, demostrado por Gauss: "Todo polinomio de grado n con coeficientes complejos tiene exactamente n raíces complejas, contando sus multiplicidades".
[Esta imagen está sacada de esta web, y ha sido confeccionada con las raíces de todos los polinomios de grado menor o igual que 5 y de coeficientes enteros entre -4 y 4. Teniendo en cuenta que cada uno de los coeficientes puede tener 9 valores diferentes, y que cada polinomio de grado menor o igual que cinco tiene seis coeficientes, el número total de polinomios diferentes es 9 elevado a 6, es decir, 531.441]


Con el Análisis Matemático, también llamado Cálculus o Cálculo Infinitesimal, podemos decir que las Matemáticas alcanzan históricamente su edad adulta. El inicio del Análisis se localiza en los trabajos de Newton y Leibniz, los cuales, cada uno por su cuenta, desarrollaron al mismo tiempo el Cálculo Diferencial. El Análisis Matemático se apoya principalmente en los números reales y en el estudio de las funciones, y en ellas estudia los conceptos de límites, continuidad, derivadas e integrales. Un paso más allá lo da el Análisis Complejo, ubicado en el conjunto de los números complejos o imaginarios. Uno de los teoremas más importantes en esta rama es el Teorema Fundamental del Cálculo, que conecta a las integrales con las derivadas, demostrando que un proceso es el inverso del otro.

[Mostramos unas páginas del libro Cálculo Diferencial e Integral, de N. Piskunov, editado por Mir en 1966. Algo tienen las integrales que son de mis partes preferidas de las matemáticas, y supongo que también serán las preferidas de muchos matenavegantes.]

De las ramas más nuevas de las Matemáticas, podemos mencionar la Topología, que nació de ciertos lugares de la Geometría en los que no importaban tanto las distancias y los ángulos, sino la forma global de los objetos, y si se podían deformar para convertirse en otros, si tenían agujeros, o nudos, o caminos diferentes para llegar de un punto a otro, etc. En sus orígenes está el famoso problema de los puentes de Konitzberg, el problema de los cuatro colores y el problema de las casas y los pozos.
[Presentamos uno de los ejemplos introductorios de la Topología: una taza de café y un donut son topológicamente la misma cosa, porque se pueden deformar continuamente uno en el otro, sin cortar ni pegar. Este gif animado está tomado de la página Galileo's Pendulum.]

Otra rama bastante nueva históricamente hablando es la Estadística y Probabilidad, quizás una de las ramas que tienen mayor aplicación en el mundo actual. Hoy en día, según mi opinión, dicha aplicación está sobredimensionada y sobrevalorada. La Estadística, cuyo nombre viene de la palabra estado, se limita a organizar informaciones procedentes de poblaciones y a calcular parámetros y gráficas que nos ayuden en la mejor comprensión de dichas informaciones. La Probabilidad es la que le da la fuerza a la Estadística. Se centra en el estudio de los sucesos y de ellos construye las variables aleatorias y la función probabilidad. Algunos de sus principales resultados son la Ley de los Grandes Números y el Teorema Central del Límite, que describen el comportamiento de las muestras de una población cuando el número de muestras aumenta. En la descripción de dicho comportamiento la campana de Gauss tiene un papel fundamental.

[Cosas de matemáticos: diseñar campanitas de Navidad con la forma de la campana de Gauss para colgar en el árbol. Además los extremos de la campana, que corresponden al 5% de la distribución normal, están confeccionados en una tela diferente. La imagen está tomada de esta web.]

Existen otras ramas de las matemáticas, como el Análisis Numérico, la Teoría de la Medida, las Ecuaciones Diferenciales o la Teoría de Números, que no describiremos para no extendernos más.

A pesar de que son ramas diferentes, todas están conectadas entre sí. Los matemáticos se han sorprendido muy a menudo cuando al investigar una de las ramas se han encontrado conceptos relacionados con otras ramas que no se esperaban. Por eso todas las ramas forman parte de un sólo árbol, como todas las olas forman parte de un mismo océano: las Matemáticas.