La fórmula sin apotemas

Cuaderno de bitácora: hace ya bastante tiempo publicamos un artículo titulado Apotemas Falsas, en el que se explicaba que la conocida fórmula para calcular el área de un polígono regular, perímetro por apotema partido por dos, era una fórmula tramposa.

Debemos tener en cuenta que si sabemos el perímetro de un polígono regular, y por tanto conocemos la longitud del lado, entonces la apotema está determinada unívocamente por ese lado, es decir, no podemos "inventarnos" la longitud de la apotema una vez que tenemos el perímetro, pues si lo hacemos así lo más probable es que no pueda existir ningún polígono regular que cumpla con las dos medidas. Por tanto, debemos tener una fórmula en la que sólo intervenga el lado del polígono.

A continuación vamos a calcular esa fórmula explícita que sólo depende del lado para hacer el cálculo del área. Para ello necesitamos echar mano de la trigonometría.

Supongamos que tenemos un pentágono regular como en el dibujo:
Para calcular el área de este pentágono, lo mismo que cualquier otro polígono regular, el procedimiento es dividirlo en triángulos iguales. Se toma el centro del polígono, O, se trazan los radios que van del centro a cada uno de los vértices. El polígono queda dividido en n triángulos iguales, siendo n el número de lados, y las apotemas son las alturas de esos triángulos. El área de cada triángulo es base por altura partido por dos, pero la base es el lado x del polígono, y la altura es la apotema. Sumando las áreas de todos los triángulos llegamos a la conocida fórmula de perímetro por apotema partido por dos.

Fijémonos en el ángulo beta. Es la mitad del ángulo superior del triángulo que une O con los dos vértices. Como hay cinco triángulos en el pentágono, y cada ángulo superior mide dos betas, la medida de beta es:
Si este razonamiento lo repetimos para un polígono regular de n lados entonces el beta correspondiente vale:
Teniendo en cuenta el triángulo rectángulo que se forma con el radio del polígono, la apotema y la mitad del lado x, el ángulo alfa del pentágono vale:
Y en el caso del polígono de n lados, alfa vale:
Usando la tangente del ángulo alfa, tenemos la relación entre el lado x del polígono y la apotema a:
Despejamos la apotema:
Sustituimos el valor de a en la fórmula del área:
Simplificamos y ordenamos, y nos queda la fórmula que estamos buscando:
 [1]

Con esta fórmula sólo necesitamos saber la longitud del lado x y el número n de lados que tiene el polígono regular. Así, por ejemplo, podemos calcular la fórmula del área del pentágono regular:
Donde hemos aproximado la tangente de 54º y la hemos multiplicado por 5/4 obteniendo el coeficiente 1.7205.

También podemos tener, como ejemplos, el área del hexágono regular y el del heptágono regular (seis y siete lados respectivamente):
Aplicando sucesivamente la fórmula [1], podemos obtener expresiones sencillas para el área de los polígonos regulares, desde n = 3 en adelante. Lo único que varía es el coeficiente que aparece multiplicando a la x cuadrado.

Es interesante comprobar que cuando n = 4 ese coeficiente vale exactamente 1, y obtenemos la sencilla fórmula del área de un cuadrado.

[El dibujo del pentágono ha sido realizado con el programa Geogebra]

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