21.8.13

La ley de Bode


Cuaderno de bitácora: todavía me viene a la memoria un artículo que encontré hace muchos años en un suplemento dominical del diario ABC. Trataba de astronomía, y voy a intentar recrear aquel artículo tal y como lo recuerdo.

Si nos situamos en la Europa de mediados del siglo dieciocho, podemos descubrir una sociedad que está viviendo muchas convulsiones, especialmente en el mundo del conocimiento. Nos encontramos en la Ilustración, en pleno Siglo de las Luces, en el que personajes de la talla de Diderot, D'Alambert, Montesquieu, Rousseau y Voltaire en Francia, Benjamin Franklin y Thomas Jefferson en lo que se iba a convertir en los Estados Unidos, Emmanuel Kant en Alemania, Adam Smith en Escocia, están dispuestos a "disipar las tinieblas de la humanidad mediante las luces de la razón".

[En la imagen vemos un retrato, realizado por Francisco de Goya, de Gaspar de Jovellanos, uno de los principales representantes de la Ilustración en España. Detrás de él, a la derecha, se aprecia la imagen de la Diosa de la Sabiduría, Minerva, que parece bendecirlo.]

En esa época se da un avance importante en muchos campos de la ciencia, y la astronomía no puede faltar a esa acelerada evolución.

Hace ya tiempo que las teorías geocéntricas de Ptolomeo han sido desplazadas por el modelo heliocéntrico de Copérnico, y los astrónomos se dedican a mejorar sus telescopios y tomar mediciones cada vez más exactas de las dimensiones del sistema solar y de los planetas conocidos.

A mediados del siglo dieciocho todavía no se conocen más planetas que los que se pueden ver a simple vista: Mercurio, Venus, nuestro planeta Tierra, Marte, Júpiter y Saturno, pero se ha calculado con bastante precisión la distancia al Sol de cada uno de ellos.

Una forma de expresar la distancia de los planetas al Sol es tomando como unidad la distancia de la Tierra al Sol. Esta distancia es de 150 millones de kilómetros aproximadamente, y es lo que se llama unidad astronómica (UA).

Podemos medir las distancias de los planetas al Sol usando esta unidad, y así obtenemos una idea más clara de cual es cada distancia en comparación con la de la Tierra:

Mercurio - 0.39 UA
Venus - 0.72 UA
Tierra - 1.00 UA
Marte - 1.52 UA
Júpiter - 5.20 UA
Saturno - 9.54 UA

Es fácil darse cuenta que estos seis números forman una sucesión ascendente que en los primeros cuatro planetas parece crecer de forma ordenada, pero que de Marte a Júpiter da un salto significativo. Fijémonos en los primeros cuatro números:

0.39 - 0.72 - 1.00 - 1.52

Si les damos unas cuantas vueltas para tratar de encontrar alguna relación entre ellos, podemos redondearlos, 0.4 - 0.7 - 1.0 - 1.6, y restar a cada uno 0.4, y obtenemos

0 - 0.3 - 0.6 - 1.2

Tenemos claramente una sucesión en la que el primer término es 0, el segundo es 0.3, y luego cada término va siendo el doble del anterior. Podemos extender esta sucesión multiplicando por dos en cada paso

0 - 0.3 - 0.6 - 1.2 - 2.4 - 4.8 - 9.6 - 19.2 ...

¿Tiene alguna relación esta sucesión con las distancias de los planetas al Sol? Basta sumar 0.4 a cada término y vemos que los números resultantes son muy parecidos a dichas distancias medidas en UA, salvo por un detalle: hay un salto entre Marte y Júpiter

0 + 0.4 = 0.4;       distancia de Mercurio al Sol:   0.39 UA  error 2.6%
0.3 + 0.4 = 0.7;    distancia de Venus al Sol:        0.72 UA  error 2.8%
0.6 + 0.4 = 1.0;    distancia de la Tierra al Sol:    1.00 UA  error 0%
1.2 + 0.4 = 1.6;    distancia de Marte al Sol:        1.52 UA  error 5.3%
2.4 + 0.4 = 2.8;          ¿?
4.8 + 0.4 = 5.2;    distancia de Júpiter al Sol:       5.20 UA  error 0%
9.6 + 0.4 = 10.0;  distancia de Saturno al Sol:     9.54 UA  error 4.8%

Mirando la tabla observamos que la sucesión encaja bastante bien con las distancias de los planetas al Sol, con errores pequeños, salvo por ese salto entre la distancia de Marte y la de Júpiter. Esta correlación es encontrada por Johann Daniel Titius en 1766 y por Johann Elert Bode en 1772. Tradicionalmente se ha conocido como Ley de Bode, aunque desde que se comprobó que Titius fue el primero en descubrirla se le llama Ley de Titius-Bode.

Cuando Bode formula la correlación entre la sucesión y las distancias de los planetas, no duda en sugerir que el quinto término de la sucesión debe corresponder a un planeta no descubierto cuya órbita se encuentra entre Marte y Júpiter y cuya distancia al Sol debe ser aproximadamente 2.8 UA.

En 1781, pocos años después de la formulación de la Ley de Titius-Bode, el astrónomo William Herschel descubre un planeta más alejado que Júpiter y Saturno, el planeta Urano, el primero descubierto con la ayuda del telescopio. Al calcular la distancia de Urano al Sol descubren que coincide muy bien con el siguiente término de la sucesión de Bode:

19.2 + 0.4 = 19.6;    distancia de Urano al Sol:      19.2 UA  error 2.1%

Esto no hace sino reforzar la Ley de Bode, y afianzar la esperanza de encontrar el quinto planeta perdido, cuya órbita debe estar entre Marte y Júpiter.

No es necesario esperar mucho tiempo para encontrarlo. En 1796 Joseph Lalande recomienda la búsqueda del planeta desconocido, y desde ese momento un nutrido grupo de astrónomos se "reparten" la franja del firmamento correspondiente al zodiaco y comienzan una exploración sistemática con sus telescopios.

Sin embargo será otro astrónomo, Giuseppe Piazzi, ajeno al grupo comprometido en la búsqueda, el que en 1801, desde su observatorio de Palermo, va a descubrir casi por casualidad un objeto que al principio cataloga de cometa, y que luego se comprueba que es el "planeta" buscado y es nombrado como Ceres, en honor a la Diosa de la agricultura de la mitología romana.


Sin embargo, Ceres es muy pequeño y difícil de observar, y los astrónomos le pierden la pista conforme el Sol se va colocando delante. De las observaciones de Ceres se tienen pocos datos, y se plantea el problema de calcular su órbita con suficiente precisión para poder recuperar su posición una vez que el Sol se haya alejado.

Los astrónomos europeos intentan localizarlo durante meses sin conseguirlo. En esos momentos interviene uno de los matemáticos más brillantes de la historia, Karl Friedrich Gauss, el cual, con la ayuda de su método de los mínimos cuadrados y su increíble capacidad para el cálculo determina con éxito la órbita, e indica a los astrónomos dónde deben apuntar sus telescopios. Una vez que lo hacen, los astrónomos comprueban que, efectivamente, allí está de nuevo Ceres.

Haciendo cálculos de la distancia de Ceres al Sol, se establece esta distancia en 2.77 UA, con lo cual se confirma que es el planeta que faltaba en la sucesión de Bode, ya que la distancia coincide muy bien con el término quinto y rellena perfectamente el hueco entre Marte y Júpiter:

2.4 + 0.4 = 2.8;    distancia de Ceres al Sol:        2.77 UA  error 1.1%

Búsquedas posteriores determinan que Ceres no es el único "planeta" que se encuentra a esa distancia del Sol. En realidad se empiezan a descubrir una infinidad de cuerpos pequeños, todos en la misma órbita; en 1802 Heinrich Wilhelm Olbers encuentra a Palas, y en 1807 a Vesta; en 1804 Karl Ludwig Harding descubre a Juno, y así sucesivamente, de modo que para la década de 1850 ya se han descubierto más de una docena de estos pequeños objetos.

La comunidad astronómica se da cuenta que en la órbita donde debía estar el quinto planeta no hay un solo cuerpo, sino una infinidad de pequeños objetos, a los que llama asteroides, y a esa región se le da el nombre de cinturón de asteroides. Las conclusiones sobre la presencia de este cinturón afirman que, efectivamente, en tiempos remotos ha existido un quinto planeta en la órbita predicha por la Ley de Bode, y que por causas desconocidas, ese planeta se ha desintegrado, y sus restos se han esparcido entre Marte y Júpiter a lo largo de las eras.

[esta imagen está obtenida del Miki's Blog sobre astronomía y astrofísica]

No se conoce actualmente ninguna explicación satisfactoria a por qué los planetas están distribuidos según la Ley de Titius-Bode. Esta ley, además, no es absoluta, pues el planeta Neptuno, que se descubre en 1846 por Urbain Le Verrier, no cumple la ley, o más bien diremos que se separa de la ley en un error bastante pronunciado:

38.4 + 0.4 = 38.8;    distancia de Neptuno al Sol:        30.06 UA  error 29.1%

Por otro lado, en 1930 Clyde William Tombaugh descubre Plutón, cuya distancia media al Sol es de 39.44 UA, ¡que sí coincide con muy poco error con lo que predice la Ley de Bode para Neptuno! Para que esta ley sea perfecta, Neptuno debe encontrarse donde está Plutón, y Plutón debe retroceder hasta el doble de distancia del Sol de la que tiene ahora.

Pero el universo no se rige tal y como a la lógica humana le puede gustar. Es posible que en un futuro se encuentren más respuestas sobre el origen de la Ley de Bode y por qué funciona en la mayoría de los casos.

Para completar esta historia podemos ver que los astrónomos han encontrado sucesiones similares a la Ley de Bode en algunos de los satélites de Júpiter, concretamente en Amaltea, Io, Europa, Ganímedes y Calisto, cuyas distancias a Júpiter siguen una sucesión de comportamiento similar a la de los planetas del sistema solar, aunque con coeficientes distintos; también se comportan así los cinco satélites principales de Urano: Miranda, Ariel, Umbriel, Titania y Oberón, y en Saturno los satélites se ajustan en distancia a una ley similar a la de Bode, pero con huecos entre algunas órbitas.

Para consultar las fórmulas exactas de cada una de las sucesiones y más información sobre el tema, se puede consultar la página de la Wikipedia sobre la Ley de Titius-Bode.

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