26.7.09

Entrando en la habitación de Fermat

Cuaderno de bitácora: hace ya varios meses que vi la película La Habitación de Fermat. Me gustó mucho y sólo puedo hacer comentarios elogiosos sobre la misma. En primer lugar, sorprende agradablemente encontrar este tipo de películas en el cine español. Es una de las pocas que utiliza las matemáticas como eje central de su argumento, y lo hace con suma brillantez, mezclando campos tan diferentes como la historia de las matemáticas, los acertijos de las matemáticas recreativas, el ambiente de investigación universitaria, y hasta un problema clásico sin solución hasta la fecha, como es la demostración de la Conjetura de Goldbach. Sabe crear una historia de suspense muy interesante con pocos elementos pero perfectamente aprovechados. Introduce personajes que captan la atención del espectador, personajes en los que muchos de nosotros podemos vernos reflejados. Y no necesita recurrir a obscenidades ni violencia gratuita para contarnos su historia. Y además dura menos de 90 minutos, no alarga su metraje innecesariamente como hacen muchas otras, especialmente las que vienen de Hollywood.


Aprovechando la aparición de esta película, se la hemos recomendado a los grumetes, los cuales, tras verla, han manifestado unánimemente opiniones muy favorables sobre ella. También nos ha servido para conocer algunos puntos históricos interesantes que ya comentaremos en próximas entradas.

La película, como hemos mencionado, presenta acertijos y problemas que los protagonistas han de resolver presionados por un tiempo que se acaba. La mayoría de los acertijos que aparecen en la película son ya conocidos por los matenavegantes, aparecen en libros y revistas como pasatiempos matemáticos y luego circulan entre los aficionados, que se los cuentan unos a otros para poner a prueba el ingenio. En nuestro Barco Escuela hemos propuesto alguno que otro como Problema de la Semana para que lo resolvieran los grumetes, mucho antes de que aparecieran en la película.

A continuación recogemos los enunciados de casi todos los problemas propuestos en La Habitación de Fermat. El que quiera conocer la solución, en el caso de que no sea capaz de encontrarla por sí mismo, sólo tiene que ver el film, que es, por si no ha quedado claro todavía, altamente recomendable, o bien mirar más abajo, donde se pone una lista de todas las soluciones.

1. ¿En qué orden están los siguientes números? 5 - 4 - 2 - 9 - 8 - 6 - 7 - 3 - 1

2. Un pastor que lleva una oveja, un lobo y una col, quiere cruzar un río. Para ello dispone de una barca en la que sólo caben dos, el pastor y algo más. Pero al cruzar con la barca, si deja solos al lobo con la oveja, el lobo se comerá a la oveja, y si deja a solas la oveja con la col, la oveja se comerá a la col. ¿Cómo debe proceder para cruzar el río y que lleguen todos sanos y salvos a la otra orilla?

3. Un pastelero recibe tres cajas opacas. Una caja contiene caramelos de menta, otra caramelos de anís, y otra un surtido de caramelos de menta y de anís. Las cajas tienen etiquetas que ponen "caramelos de menta" "caramelos de anís" o "mezclados", pero el pastelero recibe el aviso de que todas las cajas están mal etiquetadas. ¿Cuántos caramelos tendrá que sacar el pastelero como mínimo para verificar el contenido de las cajas?

4. ¿Cómo se descifra el siguiente código de 169 dígitos? 0000000000000 0011111111100 0111111111110 0111111111110 0110001000110 0110001000110 0111110111110 0111100011110 0011111111100 0001010101000 0001101011000 0001111111000 0000000000000

5. En el interior de una habitación herméticamente cerrada hay una bombilla, y fuera de la habitación hay tres interruptores. Sólo uno de los tres enciende la bombilla. Mientras la puerta esté cerrada puedes pulsar los interruptores las veces que quieras, pero al abrir la puerta debes decir cuál de los tres interruptores enciende la bombilla. ¿Cómo resolver el problema?

6. ¿Cómo se puede cronometrar un tiempo de nueve minutos utilizando dos relojes de arena, uno de cuatro minutos y otro de siete?

7. Un alumno le pregunta a un profesor "¿Qué edad tienen tus tres hijas?", y el profesor contesta "Si multiplicas sus edades da 36, y si las sumas da el número de tu casa"; "me falta un dato", contesta el alumno, y el profesor le responde "es verdad, la mayor toca el piano".

8. En la Tierra Falsa todos los habitantes mienten siempre. En la Tierra Cierta todos los habitantes siempre dicen la verdad. Un extranjero se encuentra atrapado en una habitación que tiene dos puertas. Una puerta lleva a la libertad y la otra no. Las puertas están custodiadas por un carcelero de la Tierra Falsa y otro de la Tierra Cierta. Para dar con la puerta que lleva a la libertad el extranjero puede hacer sólo una pregunta a uno de los dos carceleros, pero no sabe cuál es el de la Tierra Falsa y cuál el de la Tierra Cierta. ¿Qué pregunta formuló?

Comentarios: el acertijo número 2 es muy antiguo y conocido, aunque en la película los personajes reaccionan como si para ellos fuera algo nuevo. Uno de ellos, el apodado Pascal, pregunta con razón que "¿por qué un pastor iba a llevar a un lobo?". A mí me contaron este acertijo cuando era niño, y en aquella ocasión no me pareció extraño lo del lobo. Los niños no piensan tanto como los adultos y aceptan las cosas sin cuestionárselas.

El acertijo número 4 me ha recordado la época en la que empecé a introducirme en el mundo de la informática gracias al Spectrum 48K. Sobre ello escribiré en una próxima entrada.

La chica que se llama Oliva, comenta, cuando escucha el acertijo número 8, que lo vio en una película. En efecto, la película es, probablemente, Labyrinth, o en español Dentro del laberinto, protagonizada por Jennifer Connelly y David Bowie y dirigida por Jim Henson. Sobre ella también escribiremos en una próxima entrada.

Soluciones a los problemas-acertijos:

1. Los números están en orden alfabético según sus nombres en castellano.

2. En el primer viaje, toma a la oveja y se la lleva a la otra orilla, dejando al lobo con la col. Regresa solo. Toma ahora al lobo, por ejemplo, y se lo lleva a la otra orilla. Regresa con la oveja. Deja a la oveja en la primera orilla y toma la col, y se la lleva a la otra orilla, dejando a la col con el lobo. Regresa solo. Recoge a la oveja y la lleva a la otra orilla, terminando así el cruce del río.

3. Sólo tiene que sacar un caramelo de la caja que dice "mezclados", con esto es suficiente para averiguar el contenido de cada caja. Al estar todas las cajas mal etiquetadas, la caja con la etiqueta "mezclados" no puede ser de caramelos mezclados, y el caramelo que saque le dirá al pastelero si es la caja de los de anís o de los de menta. Supongamos que el caramelo que saca es de anís, entonces la caja que dice "mezclados" es la de los caramelos de anís, la caja que dice "caramelos de menta" tiene que tener la de los mezclados, y la que dice "caramelos de anís" es la de los caramelos de menta. Si el caramelo es de menta, la caja que dice "mezclados" es la de los de menta, la caja que dice "caramelos de anís" es la de los mezclados, y la que dice "caramelos de menta" es la de los de anís.

4. Hay que fijarse que 169 es el cuadrado de 13, por lo tanto los dígitos se pueden disponer en un cuadrado de 13 filas por 13 columnas (para hacerlo más evidente, he separado los grupos de 13 dígitos con un espacio entre cada uno de ellos). Si construimos el cuadrado dándoles a los dígitos diferentes colores según sean ceros o unos, obtenemos el siguiente gráfico:
0000000000000
0011111111100
0111111111110
0111111111110
0110001000110
0110001000110
0111110111110
0111100011110
0011111111100
0001010101000
0001101011000
0001111111000
0000000000000
Se puede apreciar que se trata del gráfico de una calavera.

5. Conectas el primer interruptor. Conectas el segundo interruptor durante un minuto y luego lo desconectas. Dejas sin tocar el tercer interruptor. Entras en la habitación. Si la bombilla está encendida, es el primer interruptor el que vale. Si la bombilla está apagada, la tocas; si está caliente, es el segundo interruptor el que vale. Si está apagada y fría, es el tercer interruptor el que vale.

6. Una forma de hacerlo: Das la vuelta a los dos relojes de arena. Cuando se acaba el de 4 minutos, quedan 3 minutos en el de 7. Das la vuelta al de 4 minutos. Cuando se acaba el de 7 minutos, queda 1 minuto en el de 4, y a partir de aquí empezamos el cronómetro. El minuto que queda pasa, damos la vuelta al reloj de 4 minutos, y cuando se acaba volvemos a darle la vuelta al de 4 minutos. La suma de 1+4+4 dan los 9 minutos que queríamos cronometrar.

7. Factorizamos 36 como producto de tres números. Se puede hacer de varias maneras:
(a) 36 = 1·1·36, suma de los factores: 38.
(b) 36 = 1·2·18, suma de los factores: 21.
(c) 36 = 1·3·12, suma de los factores: 16.
(d) 36 = 1·4·9, suma de los factores: 14.
(e) 36 = 1·6·6, suma de los factores: 13.
(f) 36 = 2·2·9, suma de los factores: 13.
(g) 36 = 2·3·6, suma de los factores: 11.
(h) 36 = 3·3·4, suma de los factores: 10.
Aunque nosotros no sabemos la suma de las edades, el alumno sí la conoce, pues es el número de la casa donde vive, pero el alumno dice que "le falta un dato", y esto significa que con la información del producto y de la suma no es suficiente. De aquí deducimos que la suma de las edades ha de ser 13, pues para esta suma hay dos posibilidades, la (e) y la (f), y esto justifica que al alumno le falten datos, pues no puede todavía decidir cuál es la respuesta. Como el profesor añade que "la mayor toca el piano", esto indica una de las hijas es mayor que las otras dos, luego la opción correcta es la (f) y las edades deben ser 2, 2 y 9 años, respectivamente, pues en la otra opción, la (e), dos hijas tendrían 6 años y serían ambas mayores a la otra de 1 año, y no habría "una mayor" que las demás.

8. La pregunta que debe formular a uno cualquiera de los carceleros debe ser algo así: "Si pregunto a tu compañero cuál es la puerta que conduce a la libertad, ¿cuál me señalará?". Según la respuesta que el carcelero le dé, el extranjero debe elegir siempre la puerta contraria. En efecto, si pregunta al carcelero de la Tierra Cierta, éste le dirá la verdad, y como su compañero miente, le dirá que su compañero le va a indicar la puerta falsa. Si pregunta al carcelero de la Tierra Falsa, éste le mentirá, y le dirá que su compañero, el que dice la verdad, le indicará la puerta falsa. Luego en ambos casos la respuesta que le darán al extranjero es la puerta que no lleva a la libertad.

4 comentarios:

Anónimo dijo...

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Paulino Valderas dijo...

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Salva dijo...

lo cierto es que es una peli muy buena e interesante.

Anónimo dijo...

Falta el acertijo final, el número 9.