El Primer Examen de Oposiciones

Muchos de mis compañeros oficiales del Barco Escuela tienen que presentarse a las próximas oposiciones. Se celebrarán este año, como viene siendo habitual, a finales de junio. En las oposiciones tendrán que hacer un primer examen escrito, que han de aprobar. En él se les preguntará un tema elegido al azar entre el temario oficial de cada materia.

Por ejemplo, si uno se quiere presentar a las Oposiciones a Profesor de Inglés, el temario tiene 69 temas. En esta convocatoria, aunque todavía no ha sido publicada, se comenta que para el primer examen se sortearán 5 de esos temas, y cada persona que se presente elegirá uno de esos cinco temas y lo desarrollará. El problema es saberse al menos uno de esos cinco temas.

Para la mayoría de los que se presentan, el tiempo de estudio del temario es muy escaso, y no suele bastar para estudiarse todos los temas. El problema está entonces en que si, por ejemplo, de esos 69 temas nos estudiamos 20, 30 ó 40, ¿qué probabilidad hay de que en el sorteo caiga uno de los temas que nos hemos estudiado?

Vamos con un ejemplo concreto: supongamos que son 69 temas, y que te has estudiado 40 y te has dejado 29 temas sin estudiar.

Si sólo se sorteara un tema, la probabilidad de que te toque uno de los temas que te has estudiado es:

suceso A = "que te toque uno de los temas que te has estudiado"
p(A) = 40/69 = 0.5797, es decir, un 57.97% de probabilidades de que te toque.

Este caso es muy sencillo. Pero supongamos que son 2 temas los que se sortean. Nos interesa que al menos uno de ellos sea de los que nos hemos estudiado, pero aquí hay varias situaciones: que el primer tema de los sorteados sea el que nos sabemos, que sea el segundo, o que tanto el primero como el segundo sean temas de los que nos hemos estudiado.

Para calcular la probabilidad de una forma más sencilla, hay que razonar con lo contrario: ¿cuál es la probabilidad de que al sortear dos temas ninguno de los que salgan sea de los que nos hemos estudiado? Hay que calcular entonces la probabilidad de que el primer tema sorteado no sea de los estudiados y de que el segundo tampoco. Necesitamos usar las fórmulas de la probabilidad de una intersección.

En matemáticas, la probabilidad de la intersección de dos sucesos es igual a la probabilidad del primero multiplicada por la probabilidad del segundo condicionado al primero:

p(A y B) = p(A) · p(B/A)

En el caso ejemplo que estamos viendo, un temario de 69 temas, nos sabemos 40 y nos faltan 29 por saber, el cálculo sería:

suceso A = "que el primer tema sorteado no sea uno de los que te has estudiado"
suceso B = "que el segundo tema sorteado no sea uno de los que te has estudiado"

p(A y B) = p(A) · p(B/A) = 29/69 · 28/68 = 0.1731, es decir, un 17.31%

Hay un 17.31% de probabilidades de que no sepamos ninguno de los temas.

Luego la probabilidad de que sí te toque alguno de los que te has estudiado es de 82.69% (lo que falta hasta el 100%)

Esta fórmula se puede extender a la intersección de varios sucesos, todos los que se quiera. En el caso de cinco sucesos, la fórmula adquiere un aspecto impresionante, pero no es difícil de comprender una vez que se analiza con detalle:

p(A y B y C y D y E) = p(A) · p(B/A) · p(C/A y B) · p(D/A y B y C) · p(E/A y B y C y D)

Veamos ahora el caso que nos ocupa: sortean 5 temas a elegir uno. Nuestro temario se compone de 69 temas. Nos sabemos 40 y no nos sabemos los 29 restantes. Entonces el cálculo es más largo pero no muy difícil:

suceso A = "que el primer tema sorteado no sea uno de los que te has estudiado"

suceso B = "que el segundo tema sorteado no sea uno de los que te has estudiado"

suceso C = "que el tercer tema sorteado no sea uno de los que te has estudiado"

suceso D = "que el cuarto tema sorteado no sea uno de los que te has estudiado"

suceso E = "que el quinto tema sorteado no sea uno de los que te has estudiado"

p(A y B y C y D y E) = p(A) · p(B/A) · p(C/A y B) · p(D/A y B y C) · p(E/A y B y C y D)

= 29/69 · 28/68 · 27/67 · 26/66 · 25/65 = 0.0106, es decir, un 1.06%

Hay un 1.06% de probabilidades de que no te salga ninguno de los temas estudiados.

Luego la probabilidad de que al menos uno de los temas sí sea de los que te has estudiado es de 98.94%

Una probabilidad bastante alta, ¿no?

He elaborado una tabla con las probabilidades de que caiga algún tema de los estudiados, según el número de temas que tiene el temario y el número de temas que uno se estudia. He abarcado un rango de temarios de 40 hasta 80 temas, tomados de cinco en cinco. Las probabilidades están expresadas en tanto por ciento y redondeadas a dos cifras decimales. En la fila de arriba están los temas de los que consta un temario, y en la columna de la izquierda los temas estudiados. Ejemplo: si uno tiene un temario de 75 temas y se estudia 25, entonces la probabilidad de saberse al menos uno de entre los cinco temas elegidos al azar es de 87.72% (compruébese buscando en la tabla). Para valores intermedios, es sencillo hacer una interpolación aproximada.

	40	45	50	55	60	65	70	75	80
5	50,66	46,14	42,34	39,09	36,30	33,88	31,75	29,88	28,21
10	78,34	73,43	68,94	64,88	61,21	57,88	54,87	52,14	49,65
15	91,93	88,34	84,68	81,08	77,63	74,35	71,26	68,36	65,64
20	97,64	95,65	93,27	90,67	87,95	85,21	82,49	79,84	77,28
25	99,54	98,73	97,49	95,90	94,06	92,03	89,91	87,72	85,53
30	99,96	99,75	99,27	98,47	97,39	96,07	94,56	92,92	91,19
35	100,00	99,98	99,86	99,55	99,03	98,27	97,32	96,19	94,92
40	100,00	100,00	99,99	99,91	99,72	99,36	98,82	98,12	97,26
45		100,00	100,00	99,99	99,95	99,81	99,56	99,17	98,65
50			100,00	100,00	100,00	99,96	99,87	99,69	99,41
55				100,00	100,00	100,00	99,98	99,91	99,78
60					100,00	100,00	100,00	99,98	99,94
65						100,00	100,00	100,00	99,99
70							100,00	100,00	100,00
75								100,00	100,00
80									100,00

¡Suerte a todos!