En busca de la fórmula perdida

Cuaderno de bitácora: en la entrada anterior que dediqué a la revista Temáticas, se explicaba que "las páginas interiores no estaban numeradas siguiendo una secuencia natural, sino siguiendo la sucesión: 1, 41, 59, 26, 53, 58, 97, 93, 23, 84, 62, 64, 33, 83, 27, 95, 2, 88, 41, 97, 16, 93, 99, 37, 51, 05, 82, 09, 74, 94, 45, 92, 30, 78, 16, 40, 62, 86, 20, 89, 98, 62, 80, 34, 82, 53, 42, 11, 70, 67, 98, 21, 45, 8, 65, 13, 28, 23, 6, 64, 70, 93". En la revista se proponía, como concurso, averiguar la fórmula o ley que hace aparecer dichos números.

Se suponía que era una fórmula sencilla de encontrar para los estudiantes de la Facultad. Han pasado tantos años desde aquello que no recordaba en absoluto la fórmula, y me propuse encontrarla.

Yo sabía que en el número anterior de la revista se había propuesto el mismo concurso con otra sucesión: las páginas del número pi+4 de la revista Temáticas tampoco se habían numerado secuencialmente, como se numeran las páginas de cualquier libro, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,... sino con la sucesión: 1, 68, 35, 2, 69, 36, 3, 70, 37, 4, 71, 38,...

En realidad, para encontrar la ley o fórmula que crea esta segunda sucesión, tenemos que ver un tipo de conjuntos cerrados de números naturales, en los que es posible sumar, restar, multiplicar y dividir siguiendo un patrón cíclico.

Veamos por ejemplo la siguiente sucesión de números: 12, 7, 2, 9, 4, 11, 6, 1, 8, 3, 10, 5. ¿Podemos encontrar el sentido a su construcción?

Sí. Para ello sólo necesitamos imaginarnos un reloj de manecillas. Pongamos la aguja de las horas en las 12. Éste sería el primer término de la sucesión. Supongamos que pasan 7 horas, ¿dónde se coloca la aguja? Pregunta tonta: la aguja estará en las 7, ya tenemos el segundo término. Y si pasan otras siete horas, ¿dónde estará la aguja? ¡Sorpresa! La aguja marca las 2, el tercer término. Y después de otras siete horas, la aguja marca las 9, y así sucesivamente, de siete en siete horas, tenemos los restantes términos: 4, 11, 6, 1, 8, 3, 10, 5. Si vuelven a pasar otras siete horas, la aguja regresa a las 12 y vuelta a empezar.

Esta sucesión, por tanto, consiste en empezar en el 12 e ir sumando siete, y suponer que el resultado lo miramos en un reloj de doce horas. ¿Podría aparecer esta sucesión en la vida diaria? ¡Claro! Imaginemos un trabajo de veinticuatro horas que se realiza en turnos de siete horas. Un primer empleado entra a trabajar por ejemplo a las 12 del mediodía y termina su turno a las 7 de la tarde, hora en la que es sustituido por otro empleado. Éste, empezando a las 7 de la tarde, terminará a las 2 de la madrugada, y es sustituido por otro que empezando a las 2, terminará su turno a las 9 de la mañana, etc. Así se van marcando los términos de la sucesión.

Los números del 1 al 12 forman en este caso un conjunto numérico cerrado, en el que se pueden hacer sumas. Si al sumar dos números nos pasamos de 12, basta con tomar la diferencia que nos hemos pasado: así por ejemplo 9 + 7 = 16, y todos sabemos que las 16 horas es lo mismo que las 4 de la tarde, porque 16 − 12 = 4.

De la misma forma que se puede sumar, en este conjunto de números también se puede restar y multiplicar. Por ejemplo, si son las 8, y retrasamos la aguja once horas, estaría en las 9; efectivamente, de forma aritmética, 8 − 11 = −3, y −3 + 12 = 9. También multiplicando: Una aguja que empiece en las 12 y la hacemos avanzar 5 horas, y otras 5, y 5 más, y 5, acaba en las 20 horas, que son las 8, o de forma aritmética, 5  · 4 = 20, y 20 − 12 = 8.

En el reloj, las horas están dispuestas cíclicamente. Cuando sumamos dos horas y el resultado se pasa de 12, no importa, la aguja ha dado una vuelta completa al reloj y se coloca en la hora equivalente. Lo mismo pasa con los números. Cuando tomamos dos números entre 1 y 12 y los sumamos, los restamos o los multiplicamos entre sí, y el resultado se sale del límite entre 1 y 12, basta imitar lo que ocurre en el reloj, y sumar o restar 12 las veces que necesitemos hasta obtener el resultado equivalente entre 1 y 12. En la esfera del reloj, si la manecilla horaria está en una posición y pasan 12 horas, la manecilla estará en la misma posición: sumar o restar doce horas no afecta a la posición de la manecilla porque es darle una vuelta completa a la misma en un sentido o en otro.

Hemos estado hablando de sumar, restar y multiplicar. Pero dividir es diferente. Dividir números entre 1 y 12 y que el resultado salga entre 1 y 12, como decía Michael Ende en su Historia Interminable, "es otra historia y será contada en otra ocasión".

Este tipo de operaciones y equivalencias, se llaman matemáticamente congruencias. La manera técnica de decir que las 8 de la tarde y las 20 horas es lo mismo sería 20 es congruente con 8 módulo 12, o también de forma abreviada 20 = 8 mod(12).

La sucesión 1, 68, 35, 2, 69, 36, 3, 70, 37,... está basada en una congruencia, en una construcción del mismo tipo que el conjunto cerrado de los números del reloj, pero no módulo 12 como la de las horas del reloj, sino módulo 100. Se puede construir fácilmente tomando como primer término el 1, y luego ir sumando 67, y considerar que estamos en un conjunto cerrado cíclico del 1 al 100, (basta imaginarse un reloj de 100 horas en lugar de 12).

Así, se toma el primer término, 1. Para obtener el segundo término sumo 67:

1 + 67 = 68.

Para obtener el tercer término vuelvo a sumar 67:

68 + 67 = 135.

Me ha dado 135, pero esto se ha pasado de 100, luego cuento sólo lo que se ha pasado, 35.

Para obtener el cuarto término vuelvo a sumar 67:

35 + 67 = 102.

También se ha pasado de 100, me quedo sólo con el 2.

Para el quinto término, sumo 67 otra vez:

2 + 67 = 69.

Para el sexto término: 69 + 67 = 136, y me quedo con el 36, etc.

Todo esto tenía yo en la mente, cuando intenté sacar la fórmula de la primera sucesión que hemos mencionado: 1, 41, 59, 26, 53, 58, 97, 93, 23, 84, 62, 64, 33, 83, 27, 95, 2, 88, 41, 97, 16, 93, 99, 37, 51, 05, 82, 09, 74, 94, 45, 92, 30, 78, 16, 40, 62, 86, 20, 89, 98, 62, 80, 34, 82, 53, 42, 11, 70, 67, 98, 21, 45, 8, 65, 13, 28, 23, 6, 64, 70, 93, y empecé a darle vueltas a las congruencias, tomando diversos módulos, sumando diversas cantidades, incluso multiplicando por varios números. Estuve bastante rato garrapateando con papel y lápiz, probando, probando, una y otra vez, pero no encontraba la fórmula.

Me extrañaban dos cosas que presentaba la sucesión: algunos números de las páginas se repetían, como el 97, el 93 o el 64 por ejemplo, pero sin regularidad ni lógica, y en dos ocasiones aparecía un cero inútil, concretamente en las páginas numeradas 05 y 09. Lo lógico era poner 5 y 9, pero si estaba escrito así tenía que haber alguna razón.

Estuve empecinado en encontrar una fórmula de congruencias toda la tarde, hasta que cansado y convencido de que la solución no tenía que ser demasiado complicada, tan sólo ingeniosa, se me ocurrió dar un giro a mis hipótesis y buscar algo distinto a las congruencias.

Y de repente... ¡Eureka! Con un súbito flash lo vi todo claro. ¡Menuda tontería! ¿Cómo no me había dado cuenta antes de que la sucesión en realidad nace del número más famoso entre los matenavegantes? (Ver comentarios para la solución.)