La Ecuación de Tercer Grado

Cuaderno de bitácora: a pesar de haber evitado estas aguas durante muchos años, he reunido suficiente coraje para entrar en ellas y empezar a explorarlas. Se trata de la solución a la ecuación de tercer grado.

[Pintura de James Brereton]

No es la primera vez que me acerco a esta ecuación, pero sí la primera que me atrevo a explorarla hasta el final, dispuesto a vencer los obstáculos que aparezcan en mi camino.

En este caso, la teoría para resolver una ecuación de tercer grado no es difícil, sin embargo la práctica se complica enormemente. Pero veamos la teoría, con los pasos concretos que se han de dar.

Supongamos que tenemos una ecuación de tercer grado:

 (1)

Para que sea de tercer grado el coeficiente de la x³ debe ser distinto de cero, así que podemos dividir toda la ecuación por a, y obtenemos la siguiente ecuación:

 (2)

Si a₁ es distinto de cero, hacemos el siguiente cambio de variable:

 (3)

Sustituimos, simplificamos, y nos queda una ecuación en la que ha desaparecido el término de segundo grado:

 (4)

Supondremos a partir de ahora que tanto p como q son distintos de cero, porque si alguno de ellos fuera cero, resolver la ecuación (4) sería muy sencillo. En efecto, si p = 0, entonces y se calcula haciendo la raíz cúbica de −q. Si q = 0, entonces y se calcula factorizando: una solución sería 0, y otras dos soluciones saldrían de la raíz cuadrada de −p.

Buscamos las soluciones de la ecuación (4) considerando la siguiente ecuación auxiliar de segundo grado:

 (5)

La ecuación (5) puede tener dos soluciones, basta con que tomemos una de ellas, z₁, entonces calculamos su raíz cúbica, obteniendo u y v de la siguiente forma:

 (6)

 (7)

Entonces y = u + v es una solución de (4), y aplicando el cambio (3), obtenemos la solución de la x.

Hasta aquí todo parece relativamente sencillo, pero debemos tener en cuenta lo siguiente:

-Podemos plantear una ecuación sencilla en (1), pero la ecuación (2) nos puede salir con coeficientes fraccionarios.

-Aunque la ecuación (2) no tenga fracciones sino solo números enteros sencillos, al hacer el cambio (3) debemos saber elevar al cubo un binomio, y además la ecuación (4) probablemente nos saldrá con coeficientes fraccionarios.

-Después de muchos cálculos, llegamos al paso (5), y tenemos una ecuación de segundo grado. Al resolverla, si nos sale la raíz cuadrada de un número negativo, no vale decir que no hay solución, sino que debemos echar mano de los números complejos y resolver cualquier raíz que se nos presente.

-En el paso (6) tenemos que hacer una raíz cúbica, y la debemos hacer en sentido completo, es decir, debemos operar con números complejos y sacar las tres raíces cúbicas. Así obtendremos u₁, u₂, u₃, y para cada una calcularemos v₁, v₂, v₃. Sumando cada u con cada v obtendremos tres soluciones y₁, y₂, y₃ para (4) y de ellas, con la igualdad (3), obtendremos las tres soluciones x₁, x₂, x₃ de la ecuación (1).

Vamos a hacer un ejemplo para que se vea bien la cruda realidad de los cálculos involucrados.

Primero nos preparamos una ecuación de tercer grado sencilla, de la que sabemos de antemano las soluciones. Supongamos que las soluciones van a ser −2, 1, 3. Obtenemos el polinomio con estas raíces:

 (8)

Entonces la ecuación de tercer grado que vamos a resolver es:

 (9)

Hacemos la sustitución:

 (10)

Sustituimos en la ecuación (9) y hacemos operaciones. Observamos que ya nos van saliendo números fraccionarios.

 (11)

 (12)

 (13)

Ahora consideramos la ecuación auxiliar de segundo grado:

 (14)

 (15)

 (16)

Resolvemos la ecuación de segundo grado, y no nos salen soluciones sencillas, precisamente, sino que aparece una raíz cuadrada con radicando negativo:

 (17)

Si simplificamos todo lo posible nos queda:

 (18)

Si queremos continuar adelante, no tenemos más remedio que meternos en el dominio de los números complejos. La raíz cuadrada del número negativo la sustituimos por la unidad imaginaria i. De las dos soluciones posibles de (18) elegimos una de ellas y hacemos las divisiones, tomando decimales:

 (19)

Ahora tenemos que hacer raíces cúbicas a un número complejo. Todo aquel matenavegante que maneje un poco los números complejos sabrá que el procedimiento habitual es, en primer lugar, pasar ese número complejo a forma trigonométrica, calculando su módulo y su argumento.

El módulo:

 (20)

El argumento:

 (21)

En este cálculo hemos tomado el arcotangente que corresponde con el cuadrante donde se encuentra el número complejo. Además, el argumento tiene una solución múltiple que se obtiene dando valores enteros a k.

Para calcular la raíz cúbica de un número complejo hay que hacerle la raíz cúbica al módulo y dividir el argumento por tres, y al hacer esta división debemos darle a k valores 0, 1 y 2 para obtener tres soluciones esencialmente diferentes:

 (22)

 (23)

 (24)

 (25)

Para k = 0:

 (26)

Para k = 1:

 (27)

Para k = 2:

Y ya está. Lo hemos conseguido. Después de tremendos cálculos inesperados hemos llegado a la sencilla solución de la ecuación planteada en (9). No está mal para un neófito en la exploración de la ecuación de tercer grado.

Nada tiene que ver este proceso con el sencillo y famoso método de Ruffini. Dicho método nos hubiera dado las soluciones rápidamente y casi sin esfuerzo, pero es un método de ensayo-error: hay que probar con números hasta que salgan los válidos. Pero si el método de Ruffini no funciona con los enteros divisores del término independiente del polinomio, entonces es inútil tratar de usarlo probando con números decimales cualesquiera: hay infinitos.

El método que hemos visto en nuestra entrada, basado en las fórmulas de Cardano-Tartaglia, es arduo pero nos da las soluciones, no hay que ir probando nada, tan solo hacer los cálculos.

En una próxima entrada nos enfrentaremos a una odisea aún más dura: la ecuación de cuarto grado.

Nota: nuestro proceso para resolver la ecuación de tercer grado se basa en este documento del Departamento de Álgebra de la Universidad de Sevilla.

Sudoku de letras (12)

Reglas de este Sudoku: llenar las casillas vacías de forma que en cada fila, en cada columna y en cada caja de 3×3 estén todas las letras del siguiente conjunto:

A  C   E   I   L   Ñ  O  P   S

Una vez resuelto, en la fila central aparecerá el nombre de un municipio de la provincia de Castellón.

La Espiral de Fibonacci (2) : Las Curvaturas y el Circuito de Montecarlo

Cuaderno de bitácora: en una entrada anterior hicimos la construcción en papel de la llamada Espiral de Fibonacci. Para ello utilizamos una hoja cuadriculada estándar, tamaño folio, donde hacer el dibujo de forma sencilla. También comentamos las propiedades de los rectángulos que habíamos ido dibujando con la espiral, y cómo se aproximaban en sus proporciones al rectángulo áureo.

Figura 1.
Aquí tenemos la Espiral de Fibonacci dibujada, con el conjunto de cuadrados y rectángulos que se basan en los términos de la sucesión de Fibonacci.

Al igual que cada uno de los rectángulos que hemos dibujado es una aproximación cada vez más exacta del rectángulo áureo, la espiral que hemos dibujado es una aproximación de una espiral llamada Espiral Áurea. Vamos a tratar de entender cómo se construye la Espiral Áurea y qué diferencia tiene con la Espiral de Fibonacci.

Hablemos ahora de un aspecto importante dentro de la Geometría de las Curvas, una parte de las matemáticas que se engloba dentro de la Geometría Diferencial. Centrémonos en curvas planas y veamos qué es eso de la curvatura de una curva plana.

Ilustremos este tema con un sencillo ejemplo: el famoso circuito de Fórmula 1 en Montecarlo.

Figura 2.
En esta imagen vemos el trazado del circuito de Montecarlo, con cada una de las curvas numeradas.
El autor de la imagen es Will Pittenger. Ver créditos abajo.

El trazado del circuito de Montecarlo se puede asimilar a una línea curva cerrada. Si observamos la imagen, esa línea se curva más o menos según el punto donde nos encontremos. Hay puntos donde la curvatura es muy pronunciada: en el punto ⑥, por ejemplo, donde está el Grand Hotel Hairpin (hairpin = horquilla), en ese punto la fuerza centrífuga que experimentan los coches de Fórmula 1 es máxima, y tienen que frenar mucho si no se quieren salir del circuito. Otros puntos tienen una curvatura muy pequeña, como la curva ⑨, el Túnel; en él hay poca fuerza centrífuga, y los coches pueden acelerar hasta el máximo sin peligro de salirse del trazado. También hay tramos rectos, como el tramo entre el ⑪ y el ⑫; en ese tramo la curvatura es cero, y también es cero la fuerza centrífuga.

Es sencillo comprender que la curvatura mide lo doblada que está una curva en un punto; a mayor curvatura, la curva está más doblada y es más cerrada, y a menor curvatura la curva es más abierta. Si la curvatura es cero, entonces la curva es en realidad una línea recta.

También es sencillo entender que la curva plana más sencilla de todas es la circunferencia, y que en todos los puntos de la circunferencia la curvatura siempre es la misma. Además, la curvatura de una circunferencia se puede calcular numéricamente, como el inverso de su radio. Una circunferencia de radio igual a 2 tiene una curvatura igual a 1/2 = 0,5. Una circunferencia de radio 4 tiene una curvatura igual a 1/4 = 0,25. Una circunferencia muy pequeña de radio 0,1 tiene una curvatura igual a 1/0,1 = 10.

Figura 3.
Aquí vemos varios ejemplos de circunferencias de diferentes tamaños, con sus radios y sus curvaturas respectivas.

En una curva plana que no sea una circunferencia, podemos también medir la curvatura en cada punto. Basta encontrar en dicho punto el círculo osculador, (ósculo = beso) que para entendernos sería el círculo "que más se parece" a la curva en dicho punto. En ese caso, la curvatura de la curva sería la del círculo osculador en dicho punto. Aquí debemos advertir que no todo punto de una curva admite un círculo osculador, pues hay puntos donde la curva cambia bruscamente de curvatura, por ejemplo puntos que forman el vértice de un ángulo, y otros tipos de puntos que veremos más abajo.

En la figura siguiente, con la ayuda del programa Geogebra, hemos trazado aproximadamente los círculos osculadores de tres curvas del circuito de Montecarlo.

Figura 4.

Se puede ver en amarillo el círculo osculador de la curva ⑥ Grand Hotel Hairpin, en azul celeste el círculo de la curva ④ en el Casino, y en verde claro el círculo de la curva ⑨ en el Túnel.

Gracias al trazado de estos círculos, podemos calcular (con el programa Geogebra) los radios y las curvaturas de los círculos osculadores. Tenemos en cuenta también la escala en que está trazado el gráfico, y para ello hemos hecho coincidir la escala del trazado con el eje de coordenadas cartesianas.

Curva ⑥ Grand Hotel Hairpin: radio ≅ 11 metros; curvatura ≅ 0,09.
Curva ④ Casino: radio ≅ 58 metros; curvatura ≅ 0,0173.
Curva ⑨ Túnel: radio ≅ 274 metros; curvatura ≅ 0,00365.

(El símbolo ≅ significa que los cálculos son aproximados.)

Con estos cálculos podemos comparar la curvatura de la curva ⑥ Grand Hotel Hairpin con la de la curva ⑨ Túnel, dividiendo ambas cantidades:

0,09 : 0,00365 ≅ 25

Es decir, la curva del Grand Hotel Hairpin tiene una curvatura aproximada 25 veces superior a la del tramo del Túnel, según las mediciones que hemos hecho sobre el gráfico del circuito de Montecarlo, y este dato ya no depende de la escala que tomemos, tan sólo de lo exactos que sean el gráfico y los trazados de nuestros círculos.

Apliquemos lo que hemos aprendido sobre curvaturas a la Espiral de Fibonacci. En el caso de la Espiral, calcular su curvatura en cada punto es extremadamente sencillo, pues la Espiral está formada por arcos de circunferencia, cada uno abarcando un ángulo de 90º, inscritos en cuadrados. Precisamente, el radio de cada arco de circunferencia coincide con el lado del cuadrado donde está inscrito. Así, las curvaturas serán:

-En los dos cuadrados de lado 1, la curvatura de la Espiral es de 1/1 = 1.
-En el cuadrado de lado 2, la curvatura de la Espiral es de 1/2.
-En el cuadrado de lado 3, la curvatura de la Espiral es de 1/3.
etc.

La curvatura de la Espiral en cada arco de 90º va tomando los siguientes valores: 1, 1/2, 1/3, 1/5, 1/8, 1/13, 1/21, 1/34..., los inversos de la sucesión de Fibonacci.

Veamos un detalle muy importante: la curvatura varía conforme avanzamos por la espiral. En una circunferencia, la curvatura es constante. En una espiral, la curvatura va disminuyendo si nos desplazamos hacia afuera, y aumenta si nos desplazamos hacia dentro, hacia el origen de la espiral. Para entender esto mejor, podemos imaginarnos dentro de un coche en un circuito de fórmula 1: si el circuito es una circunferencia perfecta, podemos desplazarnos por él colocando el volante en una posición fija, y siempre sentiremos la misma fuerza centrífuga. Si el circuito es una espiral y nos desplazamos hacia afuera, alejándonos del origen, tendremos que ir modificando la posición del volante, poniéndola cada vez más recta, y notaremos cómo va disminuyendo la fuerza centrífuga, y sucederá lo contrario si nos desplazamos hacia dentro, hacia el origen de la espiral.

Aunque el comportamiento de la curvatura es similar en todos los tipos de espirales, en la Espiral de Fibonacci, la curvatura disminuye o aumenta de forma discontinua, a saltos: cuando pasamos de un arco al siguiente, hay un salto brusco de la curvatura, y si nos desplazáramos en un coche por un circuito en forma de Espiral de Fibonacci, notaríamos cambios bruscos en la fuerza centrífuga y en la dirección del volante en cada cambio de tramo.

Continuaremos con este tema en una próxima entrada, donde estudiaremos la Espiral Áurea.

Créditos de la imagen del circuito de Montecarlo:

By Will Pittenger (Own work) [CC BY-SA 3.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0)], via Wikimedia Commons

Sudoku de letras (11)

Regla de este Sudoku: llenar las casillas vacías de forma que en cada fila, en cada columna y en cada caja de 3×3 estén todas las letras del siguiente conjunto:

A  B  C  E  I  L  P  R  U

Una vez resuelto, en la fila central aparecerá una palabra: una forma de gobierno que hubo en España entre 1931 y 1936.

Papiroflexia Matemática: El Cubo Inflable

La papiroflexia, también llamado origami, se ha convertido en un auténtico arte manual en el que a través de la manipulación de piezas de papel se consiguen construir modelos que van desde los sencillos aviones de papel hasta las más complejas estructuras geométricas.

Como quiera que nuestro interés principal son las matemáticas, estamos sacando varios artículos y entradas sobre modelos de papiroflexia relacionados con objetos matemáticos. Basta hacer una sencilla y rápida búsqueda en la red para encontrar innumerables páginas, en especial vídeos demostrativos de construcciones con papiroflexia, y no son menos abundantes las construcciones de poliedros y figuras geométricas muy diversas. Pero siempre nos han atraído las construcciones que requieren conocimientos y manipulaciones simples y conducen a resultados sólidamente satisfactorios, descartando aquellas construcciones que son, o demasiado simplonas y vacías, que ofrecen resultados mediocres, o aquellas que son enormemente dificultosas, y pueden desmotivar a los matenavegantes que se inician en el arte de doblar papel.

La construcción que traemos en este artículo es una de esas que, siendo sencillas, ofrecen un resultado sorprendente. Se le puede dar el nombre de Cubo Inflable.

Partimos de una hoja cuadrada de papel, puede ser papel especial de origami, o puede ser de un simple folio de tamaño A4. Veamos en la secuencia de fotografías los pasos que se dan para construir nuestro mágico cubo-globo.

Figura 1.
Si partimos de un folio A4, conseguimos un cuadrado por el método tradicional: doblamos en diagonal desde una esquina y recortamos el rectángulo lateral que nos sobra.

Figura 2.
Una vez que tenemos el cuadrado, hacemos cuatro dobleces, por la mitad en horizontal y vertical, y las dos diagonales principales.

Figura 3.
Doblamos el cuadrado en horizontal. Trasladamos la esquina inferior derecha hacia la esquina inferior izquierda, ahuecando el papel y formando un triángulo.

Figura 4.
Éste es el resultado del movimiento anterior.

Figura 5.
Damos la vuelta al papel y hacemos lo mismo: trasladamos la esquina inferior derecha hacia la esquina inferior izquierda, formando otro triángulo semejante.

Figura 6.
Esta es la construcción resultante, dos triángulos isósceles unidos.

Figura 7.
Levantamos las dos esquinas inferiores hacia arriba, llevándolas al vértice superior.

Figura 8.
Damos la vuelta al papel y llevamos las otras dos esquinas inferiores al vértice superior. Nos queda este rombo.

Figura 9.
Se doblan las puntas laterales y se llevan al centro del rombo (aunque en la imagen no lo parece porque están un poco desdobladas, las puntas laterales deben llegar hasta el centro de la figura).

Figura 10.
Se le da la vuelta al papel y se hace lo mismo por la otra cara.

Figura 11.
Las puntas superiores se doblan también hacia el centro de la figura. Por el otro lado también se hace el mismo doblez.

Figura 12.
Se introducen los últimos triángulos formados dentro del bolsillo que forman los triángulos laterales, como se ve en la imagen. La esquina superior marcada es la que tiene que introducirse en el bolsillo, junto a todo el triángulo, que una vez doblado quedará completamente oculto.

Figura 13.
Ya está terminada la figura y lo único que falta es soplar por la abertura inferior.

Figura 14.
Al soplar debemos tener paciencia y podemos ir ayudando al papel a tomar forma, hasta que poco a poco se va hinchando. El mismo vapor de agua de nuestro aliento lo va humedeciendo, lo que ayuda a que se vuelva más moldeable.

Figura 15.
El cubo va tomando forma.

Figura 16.
Otra vista del cubo. Una vez que está inflado, se le puede ir dando forma a las aristas, para que deje de tener el aspecto de "globo" y adquiera un aspecto más poliédrico.

Figura 17.
Aquí vemos el resultado final.

Figura 18.
Aquí vemos otros dos cubos de distintos tamaños. El grande está hecho de un folio A4 azul y el pequeño se ha hecho con un papelito de los tacos de notas, de unos 8 centímetros de lado.

Para finalizar esta entrada, dejo la siguiente cuestión (que no he resuelto todavía), por si algún lector quiere enfrentarse a ella: ¿Qué proporción hay entre el lado del cuadrado de papel que hemos utilizado y el lado del cubo?