Kolam (1) : Iniciación

Cuaderno de bitácora: en nuestros viajes por los matemares, hemos hallado otra de esas joyas que se encuentran entre las matemáticas, el arte y el folklore de los pueblos: el Kolam. Esta joya también la hemos obtenido de ese cofre-libro titulado Bricológica (ver la entrada sobre Papirolas).

Si nos vamos acercando al Kolam desde un punto de vista matemático, descubriremos que sus inicios son muy simples. En nuestros ratos aburridos es normal que a veces dibujemos garabatos en un papel de nuestro cuaderno, de un periódico, o del margen de un libro. Algunos garabatos pueden ser simples curvas cerradas. Esas curvas se pueden enredar sobre sí mismas, cortándose, haciendo nudos. Para que esos nudos se dispongan de una forma geométrica regular, nos ayudamos de puntos que harán de pivotes de giro.

Si queremos empezar desde lo más sencillo, podemos empezar de cero: la curva cerrada más simple es un círculo o un óvalo (un cero) que gira alrededor de un centro o pivote. La siguiente curva en orden de sencillez es un 8, o el símbolo del infinito, que se retuerce con ayuda de dos pivotes. A partir de ahí, podemos ir añadiendo pivotes y volutas y construir curvas cada vez más complejas.

El Kolam empieza desde lo más simple: una curva que rodea un punto (un cero) o que rodea dos puntos (el infinito) o que rodea a tres puntos...

También podemos combinar varias curvas cerradas y hacer que sus cruces se combinen con las volutas de las propias curvas.

Aquí tenemos ejemplos de varios kolams simples sobre tramas de pivotes cada vez más amplias. Cada curva cerrada ha sido dibujada de un color diferente

El Kolam en su forma básica, consiste precisamente en esto: curvas cerradas combinadas que se curvan en torno a pivotes, que se cruzan y se cortan a sí mismas y unas a otras, formando motivos geométricos.

Para construir el Kolam nos guiamos por una cuadrícula básica. En dicha cuadrícula vamos a señalar los puntos que nos van a servir de pivotes, separados entre sí dos cuadritos en cada dirección.

Aquí tenemos una sencilla trama de pivotes de tamaño 4×4.
Obsérvese que los pivotes están separados dos cuadritos en cada dirección.

Tomando como referencia los pivotes básicos, que delimitan una trama cuadrada de 2×2 cuadritos, hay otros dos tipos de puntos:

Por un lado tenemos los puntos que se encuentran al centro de cada grupo de cuatro pivotes; a estos puntos los vamos a llamar puntos vacíos, pues por ellos no va a pasar ninguna curva, tan solo serán huecos en el dibujo.

En el centro de cada cuadrado de cuatro pivotes hay un punto vacío, que aquí representamos en color azul.
Por ellos no pasan las curvas del kolam.

Por otro lado tenemos los puntos que están entre cada dos pivotes, a la misma distancia de cada pivote; a estos puntos los llamamos puntos de diagonal o puntos x, pues por ellos van a pasar las curvas del kolam en diagonal, cruzándose y formando una x.

Hemos señalados los puntos x en rojo. Las líneas del kolam siguen las diagonales de puntos x.

Este es el kolam terminado.

Es muy importante tener claro cuál es el papel de cada punto, y aquí lo resumimos: los puntos pivote por ellos no pasan las curvas, pero sí son rodeados por las curvas; los puntos vacíos por ellos no pasan las curvas, permanecen al margen de todos los movimientos; los puntos x son por los que sí pasan las curvas, y en todos hay un cruce en forma de x, salvo en aquellos que expresamente han sido excluidos del paso de las curvas.

Una vez que tenemos claro los tipos de puntos que hay en la cuadrícula, el siguiente paso es definir el grupo de pivotes sobre el que se trazará el kolam, aclarando cuáles serán los límites del dibujo.

Para empezar podemos dibujar una trama de puntos pivote cuadrada o rectangular: empecemos por un cuadrado de 3×3:

Dibujamos la primera curva, empezando en uno de los puntos x entre dos pivotes, y siguiendo la diagonal para pasar por los demás puntos x. El recorrido de la línea debe ser recto y no debe torcerse hasta alcanzar el final de la trama. En ese momento en que nos salimos de la trama giramos alrededor del pivote correspondiente más cercano, buscando el siguiente punto x. El giro puede ser de 90º, de 180º, de 270º o incluso de 360º, pero siempre debemos hacer el mínimo giro necesario.

La curva, después de un recorrido más o menos largo, regresará a su punto de partida y quedará cerrada.

La línea empieza en un punto x, siguiendo una diagonal sin desviarse, hasta que sale de la trama.
Entonces gira alrededor del pivote más próximo.
En este ejemplo ha tenido que dar un giro de 180º para regresar a la trama y continuar por otra diagonal.

Continuamos la línea por la diagonal, y cuando nos salimos de la trama hacemos los giros necesarios para regresar a ella.
Finalmente la línea vuelve a su punto de partida y la curva se cierra.

Si partimos de otro punto x, tenemos otra curva. En este ejemplo, la línea al salir de la trama "rebota" o regresa a la trama dando un giro de 90º 

Aquí tenemos la curva completada.

En el ejemplo de 3×3 esta es la curva que falta.

Y aquí la tenemos completada.

Kolam 3×3 completo con tres curvas.

Hay kolams que están formados por varias curvas cerradas como el de 3×3. Pero hay otros que una sola curva completa el kolam. Veamos el ejemplo del kolam 2×3:

Empezamos en cualquier punto x.

Continuamos el dibujo siguiendo las diagonales y girando en los pivotes de los extremos.

La línea regresa al punto de partida, pero por una diagonal diferente, por lo tanto prosigue su recorrido sin cerrarse. 

La línea completa su recorrido.

Como regla general, todos los pivotes deben quedar completamente rodeados por curvas. Cuando cerramos una curva debemos comprobar si todos los pivotes están rodeados y si hemos pasado por todos los puntos x posibles, cruzando dos curvas en cada punto x siguiendo las dos diagonales; si no fuera así elegimos un punto x por el que falte alguna curva y comenzamos un nuevo trazo.

En próximas entradas continuaremos explicando más aspectos del kolam.

Papiroflexia Matemática: Papirolas

Cuaderno de bitácora: hace ya unos años llegó a mis manos el estupendo libro de Robert Ghattas, Bricológica - Treinta objetos matemáticos para construir con las manos, de la editorial Rialp.

[portada tomada de la casa del libro, en ella se puede apreciar la foto de un icosaedro estrellado, hecho a base de módulos de papiroflexia]

Uno de los capítulos del libro está dedicado a la construcción de módulos de papiroflexia básicos o papirolas, con los que se pueden montar luego diferentes estructuras geométricas: figuras bidimensionales, (el molinete, la estrella, tapetes), y también tridimensionales (cubos y conjuntos de cubos, el octaedro estrellado, el icosaedro estrellado).

Para construir los módulos básicos o papirolas, emplearemos cuadrados de papel de diferentes colores. Se pueden emplear papel especial para origami, pero una opción cómoda y barata se encuentra en los tacos cuadrados de papel de notas que venden en las papelerías, pero que no sean los adhesivos.

Partiendo de un cuadrado de papel, podemos formar la papirola con los siguientes pasos:

1. Se dobla el papel por la mitad y luego se desdobla.

2. Se dobla cada mitad hasta hacer coincidir el borde con el centro del papel.

3. Aquí tenemos el resultado.

4. Ahora vamos a doblar en triángulo, empezando por la esquina superior derecha.

5. Hacemos coincidir el borde derecho del papel con el borde inferior.

6. Con la esquina inferior izquierda hacemos lo mismo, obteniendo este romboide.

7. Se desdobla el papel, y observamos que nos han quedado unos triángulos pequeños a modo de solapas en los extremos.

8. Los triángulos pequeños los doblamos hacia adentro del papel, ocultándolos. 

9. Se vuelve a doblar la esquina superior derecha, ahora introduciendo la esquina dentro del "bolsillo" inferior.

10. Hacemos lo mismo con la esquina inferior izquierda, metiéndola en el correspondiente bolsillo superior.

11. Aquí tenemos el resultado.

Es importante que todas las papirolas nos queden en la misma orientación, para que luego se puedan montar. Si hay papirolas de orientaciones diferentes no encajarán correctamente y no podremos formar las figuras tridimensionales.

Si en el paso 5 de los anteriores hemos doblado la esquina superior izquierda en lugar de la derecha, la papirola nos queda en otra orientación. Papirolas de distinta orientación no encajan correctamente.

Si queremos empezar formando un cubo, debemos construir seis papirolas. Es recomendable tomar tres colores para los papeles, es decir, dos papeles de cada color, 6 en total. También se puede hacer con todos los papeles del mismo color, o con los seis de colores diferentes, etc. Eso depende del gusto de cada uno y de la disponibilidad de colores.

Ejemplo de papirolas. Todas deben tener la misma orientación.

A cada papirola se le doblan los "triángulos" de los extremos para que quede de frente un cuadrado con una x en medio.

Ya tenemos las seis papirolas y ahora viene el momento de montarlas para formar el cubo. La regla básica es introducir cada oreja triangular de una papirola por el lateral del cuadrado de otra papirola. Las orejas triangulares no deben quedar debajo del cuadrado de las otras papirolas, esto también impediría el montaje completo de nuestro cubo.

Siguiendo un patrón lógico y buscando la forma geométrica del cubo, al final no es demasiado difícil conseguir completarlo. En Youtube hay varios tutoriales en vídeo que muestran la construcción completa.

Hexaedro o cubo.

Una vez que dominamos la construcción del cubo, podemos atrevernos a construir un octaedro estrellado. Para ello necesitaremos 12 papirolas, y es recomendable elegir grupos de 3 papeles de 4 colores diferentes. Además, las papirolas tendrán un doblez más en una de las diagonales del cuadrado para facilitar la construcción del poliedro.

Las papirolas deben doblarse por una de las diagonales del cuadrado, (la diagonal que permite que la papirola se pliegue como un acordeón en una forma triangular)

La forma básica que va a componer el octaedro estrellado y luego el icosaedro estrellado es la pirámide triangular formada con tres papirolas. El octaedro va a tener ocho de estas pirámides y el icosaedro veinte pirámides.

Octaedro estrellado.

El mayor desafío es la construcción de un icosaedro estrellado, con 30 papirolas, en grupos de 6 papeles de 5 colores diferentes.

Icosaedro estrellado

Aquí podemos ver los tres sólidos juntos y comparar sus tamaños relativos.

Encajando papirolas en un plano sin darles forma tridimensional, podemos formar tapetes, partiendo de las figuras simples de un molinete o una estrella. 

Preparamos cuatro papirolas en dos parejas y las unimos de la forma indicada.

Asi obtenemos la figura llamada estrella.

Si las unimos en otra posición diferente...

... Obtenemos el molinete. Podemos ampliar los tapetes uniendo cuatro estrellas entre sí o cuatro molinetes entre sí, y de ahí en adelante.

Si hacemos varios cubos, podemos combinarlos para formar poliedros más alargados y complejos. Por ejemplo, podríamos hacer el puzle del cubo Soma, todo de papiroflexia, partiendo de 27 cubos. Es un trabajo muy laborioso y de mucho tiempo, que quedará para otra ocasión.

Sudoku de letras (5)

Regla de este Sudoku: llenar las casillas vacías de forma que en cada fila, en cada columna y en cada caja de 3×3 estén todas las letras del siguiente conjunto:

E   G   I   J   L   O   R   S   U

Una vez resuelto, en la fila central aparecerá una palabra en plural: pájaros muy bonitos y de cara colorida que cantan muy bien.

Sudoku de letras (4)

Regla de este Sudoku: llenar las casillas vacías de forma que en cada fila, en cada columna y en cada caja de 3×3 estén todas las letras del siguiente conjunto:

A  D  E  I  N  ñ  O  S  V

Una vez resuelto, en la fila central aparecerá una palabra en plural: son los dulces que vamos a ir comiendo dentro de poco.

[El Problema de la Semana] Chismes

Presentamos un problema lógico sencillo pero interesante:

Las dos ancianas habían estado contándose chismes de amigos y conocidos, hasta que finalmente acabaron hablando de dos jóvenes parientes.

-Guillermo se casó con Juliana, y Daniel con Elizabeth -declaró una de ellas.

-No, no -discrepó la otra-; Guillermo se casó con María, y Daniel con Juliana.

De hecho, ninguna de las ancianas estaba totalmente errada. Entonces, ¿quién se casó con quién?

La solución debajo de la ilustración.

[Esta simpática taza la hemos encontrado en la web etsy. Es un buen regalo para los matemáticos: "todo lo que necesitas es AMOR". La palabra LOVE está escrita con las gráficas de varias curvas, y al lado de ellas está la ecuación que define a cada una de las curvas. Una pequeña crítica: la escala representada en los ejes de coordenadas no parece ajustarse exactamente a las curvas en cuestión, concretamente a la L, la O y la E. Por ejemplo, la ecuación de la O es la de una circunferencia de radio 3, sin embargo, la gráfica parece representar una circunferencia de radio 5. Lo mismo ocurre con la última: el tamaño de las jorobas de la E debería ser 3 y en la gráfica parece ser 5. Por otro lado, en la V, la ecuación puede ser también y = |2x|, el signo menos no interviene para nada, al estar dentro del valor absoluto.]

Solución:

Vamos a numerar las afirmaciones de las dos ancianas:

(1) Guillermo se casó con Juliana

(2) Daniel se casó con Elizabeth

(3) Guillermo se casó con María

(4) Daniel se casó con Juliana

Si (1) es cierta, entonces (3) y (4) serían ambas falsas, pero entonces la segunda anciana estaría completamente errada, y esto es incompatible con el enunciado. Por tanto (1) debe ser falsa.

Al ser (1) falsa, entonces (2) tiene que ser cierta, pues en caso contrario la primera anciana estaría completamente errada. Al ser (2) cierta, (4) tiene que ser falsa, y en consecuencia (3) tiene que ser cierta, pues si no volveríamos a tener que la segunda anciana está completamente errada.

Conclusión: las afirmaciones ciertas son (2) y (3), es decir, Daniel se casó con Elizabeth y Guillermo con María.

Nota: Este problema ha sido adaptado del libro de Jaime Poniachik: Situaciones problemáticas.

Sudoku de letras (3)

Regla de este Sudoku: llenar las casillas vacías de forma que en cada fila, en cada columna y en cada caja de 3×3 estén todas las letras del siguiente conjunto:

A  B  I  M  N  O  R  S  U

Una vez resuelto, en la fila central aparecerá una palabra: organización y ordenación de los edificios y espacios en las ciudades.

[El Problema de la Semana] Una ocasión especial

Continuamos con nuestra sección de los Problemas de la Semana que se proponen a los grumetes en el nuevo Curso del Barco Escuela:

–Me alegro por tus amigos, pero ese sitio al que fuisteis me parece demasiado caro –dijo Carina–; ¿cuánto te costó?

–Vamos –dijo Fernando con una sonrisa–, sabes que se trataba de nuestra reunión anual. La cena sólo costó 99.97 euros, de modo que pudimos dividir la cuenta en partes exactamente iguales entre todos.

¿Cuánto le costó la cena a Fernando, y cuántos amigos eran en la reunión?

La solución, más abajo de la ilustración.

[Esta foto de una factura antigua del año 1968, la hemos encontrado en una página web de coleccionismo. El importe está en pesetas. Llama la atención que todo lo que es antiguo se ofrezca a la venta, hasta una factura de una cena. Es interesante pensar que si compramos esta factura antigua, el vendedor nos puede dar a su vez una factura por esta compra, y que esa nueva factura, cuando pase el tiempo suficiente se convertirá en una antigüedad, tendrá valor por sí misma y podrá ser vendida y generará una nueva factura, que a su vez se hará antigua con el tiempo, y así sucesivamente. Esto podría ser una prueba de que las facturas tienen la facultad de reproducirse, como los seres vivos. Por otro lado, hemos comprobado la suma y nos da 872, en lugar de 892. El hostelero que hizo la suma, probablemente de cabeza, porque en esa época no había calculadoras de bolsillo, puso 20 pesetas de más, ¿error intencionado?]

Solución:

Por comodidad, convertimos el importe en céntimos, obteniendo el número 9997. Si tratamos de factorizar este número, probando a dividirlo por los sucesivos números primos, descubrimos al cabo de poco que es divisible por 13, y que su factorización es

9997 = 13 · 769

Tanto 13 como 769 son números primos y no se pueden descomponer más. Esto nos indica lógicamente que el número de amigos de la reunión debió ser 13, y el importe exacto que cada uno tuvo que pagar fue de 7.69 euros.

Sin embargo, no hay ninguna contradicción al tomar otra posibilidad: que fueran 769 amigos en la reunión y que cada uno aportara exactamente 0.13 euros, o 13 céntimos. Pero esta situación no parece adecuarse a la realidad, por motivos obvios (hoy en día con 13 céntimos apenas hay para un chicle o un caramelo, y con eso no se cena).

Yendo todavía más lejos incluso podríamos decir que la reunión podría ser de 1 persona que pagó los 99.97 euros (pero, salvo que Fernando mienta a Carina, se habla de un grupo de amigos, en plural), o también que los amigos fueran en total 9997 y cada uno pusiera 1 céntimo (¿qué cena se podría hacer con ese presupuesto???).

Nota: Este problema ha sido adaptado del libro de Jaime Poniachik: Situaciones problemáticas.

Sudoku de letras (2)

Cuaderno de bitácora: en el nuevo periplo que hemos comenzado hace un mes, ya estamos elaborando actividades extra para nuestros grumetes. Una de ellas, titulada El Problema de la Semana, se ha estado realizando a lo largo de varios años.

En los Problemas de la Semana se suele incluir un pasatiempo. Algunas veces es un sudoku, pero en vez de presentar un sudoku tradicional con números, hemos optado por algo un poco menos corriente: un sudoku de letras en el que aparece una palabra cuando lo resolvemos.  Para más información, se puede consultar la entrada Sudokus de letras.

Reglas de este Sudoku: llenar las casillas vacías de forma que en cada fila, en cada columna y en cada caja de 3×3 estén todas las letras del siguiente conjunto:

A  C  E  I  J  N  O  R  T

Una vez resuelto, en la fila central aparecerá una palabra: conjunto de cortinas que decoran una habitación.

Notas:

Estos sudokus son originales: se confeccionan eligiendo una palabra de nueve letras que tenga todas las letras diferentes, y luego se toma un sudoku tradicional extraído de algún periódico u obtenido con algún programa y se sustituye cada número por una de las letras, de forma que en la fila central aparezca la palabra elegida.

Para obtener el documento con El Problema de la Semana en el que aparece este sudoku, se puede pulsar al enlace del Aula Moodle del IES La Madraza, y entrar como invitado.

El nombre y la inspiración para El Problema de la Semana nos lo proporcionó nuestro compañero matenavegante Rafael Núñez Villamandos, al que desde este blog enviamos un cordial saludo.

La idea del sudoku de letras nos ha venido del libro de David J. Bodycombe, The Riddles of the Sphinx, que contiene entre sus muchos pasatiempos un par de word sudokus con palabras ocultas.

El tronco de la pirámide

Cuaderno de bitácora: recientemente ha caído en nuestras manos un excelente libro, La Secta de los Números (El Teorema de Pitágoras) de Claudi Alsina, publicado en formato de revista monográfica por RBA en edición especial de National Geographic.

[Esta imagen está sacada de El Kiosko de Jesús]

Hablando sobre los papiros egipcios matemáticos que se conservan, este libro-revista menciona el papiro de Moscú, y en él sobre un problema que presenta la fórmula para calcular el volumen de un tronco de pirámide:

Junto al papiro Rhind, el más importante documento matemático del antiguo Egipto es el famoso papiro de Moscú, datado en el año 1890 a.C., actualmente conservado en el Museo de Bellas Artes de Moscú, del que toma el nombre. Su forma es peculiar: tiene 5 metros de longitud, pero tan sólo 8 centímetros de anchura. En ese angosto espacio, aparecen 25 problemas matemáticos (...) En el papiro de Moscú aparecen cálculos sobre el volumen de una pirámide truncada, pero sobre todo destaca el problema 14, que presenta por primera vez la fórmula exacta del volumen de un tronco de pirámide de bases cuadradas.

En mis viajes por los mateocéanos, nunca he prestado atención a los troncos de pirámides, y me he limitado a estudiar con los grumetes las fórmulas de volúmenes de los sólidos más sencillos, como el del prisma o el de la pirámide. Picado por la curiosidad ante lo que he leído en el libro de Claudi Alsina, he reflexionado sobre la antigüedad que tiene la fórmula del volumen de un tronco de pirámide, y he dedicado un rato a deducirla.

Tenemos un tronco de pirámide de bases cuadradas, como el de la ilustración, y los datos de que disponemos son: el lado de la base inferior, a, el lado de la base superior, b y la altura h.

Para calcular su volumen vamos a apoyarnos en que ya sabemos la fórmula del volumen de una pirámide, así que ampliamos nuestro tronco hasta completar la pirámide con el vértice superior. Concretamos también dos triángulos en el interior de la pirámide que nos van a servir para hacer los cálculos.

Estos triángulos, ELN y EMJ, son semejantes por estar en posición de Tales (un ángulo común y los lados opuestos paralelos). Si llamamos H a la altura de la pirámide entonces NJ = h, EN = H − h, además JM = a/2, NL = b/2.

También tenemos en cuenta que si trazamos una recta paralela a EJ por L, obtenemos el punto Q y un pequeño triángulo, LQM, también semejante a los anteriores, en el que QM = (a − b)/2.

Aprovechando la semejanza de los tres triángulos, podemos escribir las siguientes proporciones:

De las dos últimas proporciones podemos despejar H y H − h:

Ahora debemos tener en cuenta que el volumen del tronco de pirámide es igual a la diferencia entre el volumen de la pirámide total y el volumen de la pirámide superior más pequeña. Debemos tener en cuenta que el volumen de una pirámide es igual a un tercio del área de su base por la altura de la pirámide.

Simplificamos:

Dividimos numerador entre denominador en la fracción, y obtenemos finalmente la fórmula buscada:

Notas: Si consultamos, por ejemplo, en la página Universo Fórmulas, nos encontramos la siguiente fórmula para el volumen del tronco de una pirámide:

Obsérvese que en nuestro caso el área de la base mayor es a al cuadrado y el de la base menor es b al cuadrado, luego sustituyendo convenientemente en esta fórmula, cuando la pirámide es de base cuadrada obtenemos la misma expresión.

Los gráficos están realizados con el programa GeoGebra.