31.5.18

[El Problema de la Semana] Los trabajadores enfermos

Este problema parece difícil:

Cierta empresa ha hecho una estadística de las enfermedades que han sufrido sus trabajadores. El 84% enfermó de gripe, el 81% tuvo gastroenteritis, y el 75% padeció ataques de alergia.

¿Qué porcentaje mínimo tuvo los tres tipos de dolencias?

¿Cómo se soluciona? Razonando, como se puede ver más abajo de la imagen. 

Figura 1. Fotografía en alta velocidad de una persona tosiendo, en la que se aprecian los rastros de las gotitas expulsadas durante la tos. Las líneas trazadas se componen de un tramo inicial más recto y después una caída parabólica cuando la gota ha sido frenada por el rozamiento con el aire. La distancia que alcanzan las gotitas en la foto supera los 70 centímetros, y con el impulso de la tos pueden incluso llegar hasta los 4 metros. También hay gotitas minúsculas que se quedan flotando en suspensión por el aire. Las toses y estornudos de una persona enferma que no se tapa con un pañuelo, reparten microbios a una considerable distancia y son una de las principales fuentes de contagio de las enfermedades. La imagen ha sido tomada de una página del MIT.

SOLUCIÓN:

Para resolver este problema nos basamos en el principio del palomar.

El principio del palomar es un razonamiento lógico muy sencillo: si en un palomar hay m huecos y llegan n palomas a ocuparlos, y n > m, entonces al menos 1 hueco debe estar ocupado por más de una paloma.

La razón es muy sencilla y se puede establecer como sigue: llega la primera paloma y ocupa uno de los huecos. Llega la segunda paloma y tiene dos opciones:

-Compartir el hueco de la primera paloma, con lo cual ya tenemos 1 hueco con más de una paloma, y el razonamiento termina.

-Elegir un hueco vacío.

Conforme van llegando palomas, pueden ir eligiendo compartir un hueco ya ocupado, con lo que tendríamos lo que buscábamos y terminamos el razonamiento, o en el peor de los casos ir ocupando los huecos libres. En este último supuesto, cuando han llegado m palomas, en el palomar no quedan más huecos libres, y por tanto la paloma número m + 1 debe compartir obligatoriamente espacio con otra paloma, y necesariamente este hueco tendría más de una paloma.

Figura 2. Aplicación del principio del palomar: si tenemos un palomar con 9 huecos y llegan 10 palomas, entonces necesariamente al menos 1 hueco será ocupado por más de una paloma. Es muy sencillo ver que las primeras 9 palomas que llegan tienen huecos libres a su disposición, pero si se distribuyen evitando los huecos ya ocupados por sus compañeras, la 10ª paloma ya no encuentra hueco libre y se ve obligada a compartir espacio con otra de sus congéneres. La imagen está extraída de la página Pigeonhole principle de la wikipedia.

Con los trabajadores enfermos podemos imaginarnos algo similar para poder razonar sobre los porcentajes. Supongamos que tenemos una cuadrícula que hace las veces de palomar, con 100 casillas, representando el 100% de los trabajadores.

Figura 3. Disponemos de una cuadrícula que representa el 100% de los trabajadores. Cada cuadrito es un 1%.

Sabemos que el 84% de los trabajadores tuvo gripe. Es decir, el virus de la gripe ocuparía 84 casillas de las 100 de nuestro palomar.

Figura 4. El 84% de los trabajadores se enfermó de gripe, y por tanto tenemos el virus de la gripe en 84 casillas.

Sabemos que un 81% tuvo gastroenteritis y podemos imaginar que el virus de la gastroenteritis aparece para ocupar 81 casillas de nuestro palomar, en el que ya se ha establecido el virus de la gripe. ¿En qué casillas se irán colocando los nuevos virus? No lo sabemos, pero si buscamos el mínimo número de casilllas ocupadas por los dos tipos de virus, entonces primero tenemos que ocupar las casillas vacías, el 16%, y luego no tendrá más remedio que entrar en casillas ya ocupadas.

Figura 5. Al llegar el nuevo virus de la gastroenteritis (81%), si queremos que haya el mínimo número de contagios dobles posibles, el virus entraría primero en las 16 casillas que están sanas.

El virus de la gastrenteritis ha infectado al 16% sano, pero todavía queda 81% − 16% = 65% por infectar, que necesariamente tiene que compartir con el de la gripe. La primera conclusión, por tanto es que al menos un 65% de personas se ha infectado con gripe y gastroenteritis.

Figura 6. Después de que el virus de la gastroenteritis entrara en las 16 casillas libres, todavía quedan 65 que deben compartir casillas con el virus de la gripe.
Pero ahora llegan los ataques de alergia, que representan un 75%. Ya no nos quedan casillas libres, pero sí nos quedan 16% + 19% = 35% casillas en las que hay un solo virus. Si queremos evitar a lo máximo que haya una triple enfermedad, entonces los ataques de alergia ocuparán en primer lugar todas las casillas que solo tienen un virus.

Figura 7. Evitando la triple enfermedad, la alergia ocupa primero las 35 casillas que solo tienen un virus.

Sin embargo queda todavía un 75% − 35% = 40% de alergia sin adjudicar, que necesariamente tendrá que entrar en casillas ocupadas por los otros dos virus.

Figura 8. Para poder completar el 75%, la alergia ha tenido que repartirse en 35 casillas ocupadas por un solo virus y 40 casillas ocupadas por los dos virus.

Y así finalmente llegamos a la solución: Ha habido al menos un 40% de trabajadores que tuvo los tres tipos de dolencia.

Figura 9. La solución al problema está sombreada en amarillo: hay como mínimo 40 casillas en las que coinciden las tres dolencias.


Nota: este problema ha sido adaptado de uno de los que aparecen en el libro Un cuento enmarañado y otros problemas de almohada, de Lewis Carroll.

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