[El Problema de la Semana] Una cuerda y dos palos

Supongo que al lector le pasará algo parecido a lo que me pasó a mí cuando leí este problema por primera vez. Inmediatamente me imaginé una complicada situación de análisis matemático en la que debía calcular el mínimo de una función exponencial. Pero no es así. La situación es mucho más sencilla de lo que parece.

Una cuerda de 40 metros de longitud tiene sus extremos atados a la parte superior de dos palos de 22 metros de altura. Si la cuerda cuelga a 2 metros del suelo, ¿cuál es la separación entre los dos palos?

La solución cuelga más abajo, aunque no a 22 metros de distancia.

[Cuando una cuerda cuelga entre dos palos o postes, la gravedad hace que forme una curva, llamada catenaria. En las líneas férreas, los trenes eléctricos suelen tomar la electricidad de cables colgados de postes que discurren por encima del tren, y a estas líneas de cables también se les llama catenarias. La imagen procede de esta web, en donde también se puede obtener más información sobre estos puntos.]

Solución:
Nada más hay que fijarse en que la cuerda tiene que bajar desde un palo y subir al otro, y como mide 40 metros estará 20 bajando y otros 20 subiendo; pero los palos miden 22 metros, y el extremo inferior de la cuerda cuelga a dos metros del suelo, por tanto la cuerda no puede formar una curva, tiene que bajar 20 metros en vertical y subir 20 metros en horizontal, y esto solo es posible si los dos palos están juntos. Luego la separación entre los dos palos es de 0 metros, no hay separación.

Ampliación:
La fórmula matemática que adopta la curva de una cuerda colgada entre dos postes, la llamada catenaria, palabra que se deriva de cadena, es la del coseno hiperbólico. La expresión básica del coseno hiperbólico es f(x) = ch(x) = (ex + e-x)/2, y la forma de cualquier cuerda se puede obtener con una fórmula derivada de esta, del tipo f(x) = a(ex/a + e-x/a)/2. Si le pedimos a la cuerda que tenga una longitud de 40 metros, entonces tenemos que entrar en el cálculo de integrales, porque la longitud de una curva se calcula con una integral.
Si el problema nos dijera que la cuerda cuelga a 5 metros del suelo, por ejemplo, entonces calcular la distancia a la que tienen que estar los postes no es un problema trivial, sino de análisis matemático avanzado.
Por supuesto, siempre podemos tomar dos palos de 22 metros, atar a sus puntas una cuerda de 40 metros,  ir separando los palos hasta que la cuerda cuelgue a 5 metros del suelo exactamente y medir la separación de los dos palos. Pero encontrar y manejar dos palos de 22 metros de largo (la altura de un edificio de siete pisos) y desplazarlos de forma que en todo momento estén verticales, no debe ser nada fácil.

Nota: este problema ha sido extraído del libro El país de las mates, 100 problemas de ingenio 1, de Miquel Capó Dolz, editorial El rompecabezas.

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