[El Problema de la Semana] ¡Dejaré de fumar!

Con la entrada de la nueva ley antitabaco, quizás alguno que otro se pueda inspirar en el siguiente problema para dejar de fumar:

La señora Menchu, una gran fumadora durante muchos años, finalmente decidió dejar de fumar al enterarse de la malignidad del tabaco y ver que todos sus amigos y amigas estaban dejándolo ya. “Acabaré los 27 cigarrillos que quedan”, se dijo, “y jamás volveré a fumar”. 
La costumbre de la señora Menchu era fumar exactamente 2/3 de cada cigarrillo. 
No tardó mucho en descubrir que con la ayuda de una cinta engomada podía pegar tres colillas y hacer otro cigarrillo. 
Con 27 cigarrillos, ¿cuántos puede fumar antes de abandonar el tabaco para siempre? 

Ponemos la solución debajo de la imagen.

[John Norwood es un artista que ha realizado, entre otras obras, esculturas geométricas con paquetes de tabaco. La imagen se ha tomado de la web del artista.]

Solución:
Cuando fume los 27 cigarrillos le quedan 27 colillas, cada una 1/3 de cigarrillo. Uniendo tres colillas se obtiene un cigarrillo, luego con las 27 colillas Menchu puede confeccionar 9 cigarrillos más. Pero aquí no se acaba la cosa; cuando se fuma estos 9 cigarrillos, le quedan 9 colillas, y con ellas puede elaborar 3 cigarrillos más, y cuando se fuma estos últimos, con las 3 colillas restantes puede conseguir un último cigarrillo, que dará una última colilla, y esta sí que ya no se puede aprovechar.
En total: 27 + 9 + 3 + 1 = 40 cigarrillos en total.

Ampliación:
Hemos sumado una pequeña progresión geométrica, de cuatro términos, con término inicial 27 y razón 1/3. Si permitimos a Menchu seguir fumando la colilla que le queda y se sigue cumpliendo que cada vez el tamaño de la colilla se reduce en 2/3, podríamos continuar la suma de la progresión
27 + 9 + 3 + 1 + 1/3 + 1/9 + 1/27 + ...
Esta progresión infinita tiene una suma finita, que se calcula con la operación 27/(1 - 1/3) = 81/2 = 40.5

Nota: este problema es bastante antiguo y creo que no es la primera vez que se lo propongo a los grumetes como problema de la semana. Por cierto, nunca es tarde para recordar e insistir que fumar tabaco es muy perjudicial para la salud, y que en cada inhalación estamos introduciendo en el cuerpo miles de sustancias venenosas que a la larga nos pueden producir todo tipo de enfermedades, especialmente cancerosas. Espero que a nadie se le ocurra tomar este problema o la imagen contenida en él como una inducción al tabaquismo.

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