Las Fórmulas Desconocidas

Cuaderno de bitácora: a lo largo de varios años, cuando ha llegado el momento, he tenido que explicarles a los grumetes la resolución de ecuaciones de primer y segundo grado.

En esas ocasiones, y a manera de introducción, les he contado un poco sobre las ecuaciones, sus grados, y sus soluciones.

La ecuación de primer grado y la ecuación de segundo grado son conocidas desde la antigüedad. Vienen recogidas de una u otra manera en viejos libros de matemáticas de varias culturas.

Diferente es el caso de la ecuación de tercer y cuarto grado. Para resolverlas en su totalidad hay que esperar hasta el Renacimiento, concretamente el siglo XVI, y trasladarnos a Italia, en la que aparecen grandes matemáticos de la talla de Niccolò Fontana (apodado Tartaglia), Gerolamo Cardano, y Lodovico Ferrari. Fueron ellos los que encontraron el método general para resolver dichas ecuaciones.

Retrato de Gerolamo Cardano

Pero un caso diferente es el de las ecuaciones de quinto grado y superiores. Infructuosamente se buscó una fórmula para ellas, hasta que los trabajos de Abel y Galois en teoría de grupos, ya en el siglo XIX, demostraron que no existía ni puede existir una fórmula general para resolver las ecuaciones a partir del quinto grado. Es uno de esos resultados sorprendentes que resultan difíciles de creer. Que no se haya encontrado la fórmula parece aceptable, pero que sea imposible encontrarla...

Después de explicar todo esto, les comento a los grumetes que aunque sí existen fórmulas generales para resolver las ecuaciones de tercer y cuarto grados, yo no me las sé. Les aseguro que son fórmulas muy difíciles, y que no merece la pena estudiarlas. Sin embargo, a base de repetir lo mismo me entró el otro día la inquietud de revisarlas y conocerlas a fondo, y me embarqué en su búsqueda. Después de surcar con viento favorable los mateocéanos, me encontré frente a frente, por fin, con las fórmulas desconocidas.

Y estaba en lo cierto. Son realmente muy complicadas. En la Wikipedia se explica el método de cálculo y también se dan las fórmulas explícitas de las soluciones, pero escritas en línea, usando paréntesis y el símbolo ^ para indicar las potencias y las raíces, con lo que se hacen aún más difíciles de leer. Las he pasado a la forma habitual con ayuda del editor de ecuaciones del Word, y se pueden ver pulsando este vínculo: fórmulas de las soluciones de la ecuación de tercer grado.

En general, dado el volumen de estas fórmulas, no se suelen utilizar directamente para solucionar la ecuación. Más bien se utiliza un proceso en varios pasos, con cambios de variable que hace más cómodo el cálculo. Para los matenavegantes expertos, pueden descargar un documento del Departamento de Álgebra de la Universidad de Sevilla en el que se explica con todo rigor matemático la forma de resolver las ecuaciones de tercer y cuarto grado, y también trata sobre el Teorema Fundamental del Álgebra.