Más allá de los números perfectos

Cuaderno de bitácora: hace ya tiempo que conozco la existencia en los Matemares de los números perfectos, aquellos que son iguales a la suma de sus divisores propios. Escasean como diamantes preciosos en el inmenso cofre de la Aritmética, pero puedo nombrar a los primeros: el 6, el 28, el 496, el 8128. También descubrí uno de esos días de Matenavegación incansable a los números amigos, como el par 220 y 284, que cumplen que la suma de los divisores propios de uno es igual al otro y viceversa.

Una buena tarde, con viento favorable y mar en calma, decidí emprender en solitario una búsqueda nueva, al menos para mí. Pensé que si existían números perfectos y números amigos podrían existir números a los que en principio llamé simpatizantes. Me dije que debían haber grupos cerrados de números tales que al sumar los divisores propios del primero de ellos me diera el segundo, al sumar los divisores propios del segundo me diera el tercero, y así sucesivamente hasta que al sumar los divisores propios del último me diera el primero de los números y así se cerrara el círculo. Es decir, conjuntos cíclicos en los que la suma de los divisores se mantenga girando entre ellos eternamente.

Desgraciadamente para mí, en los Mateocéanos existen ya pocas tierras desconocidas, y la de mis números simpatizantes es una tierra visitada ya por muchos otros matenavegantes.
En efecto, los que llamé números simpatizantes se llaman en realidad números sociables. Al encontrarlos en Internet, me di cuenta de que mi búsqueda hubiera resultado inútil, pues armado tan solo con un bolígrafo, un cuaderno y una calculadora, llegué en mis indagaciones no más allá del 500 sin éxito, quedándome lejos del primer grupo de números sociables que existe, el formado por los cinco números: 12.496, 14.288, 15.472, 14.536, 14.264, descubrimiento que he obtenido gracias a toda la información que circula por la red.
Además me enteré que todo esto de sumar los divisores propios de un número para obtener otro, y luego sumar los divisores propios de éste para obtener un tercero, y así sucesivamente se llama una sucesión alícuota. Sí, a mí también me asustó esta última palabra cuando la leí por primera vez.
Habitualmente, la sucesión alícuota de los números que no son perfectos, amigos o sociables acaba en 1. Invito a todos los matenavegantes a que prueben con diversos ejemplos. Pongamos por caso el número 34. Tiene divisores propios 1, 2, 17, luego 1+2+17=20; el 20 tiene divisores 1, 2, 4, 5, 10, 1+2+4+5+10=22; divisores propios del 22 son 1, 2, 11, y 1+2+11=14; divisores del 14 son 1, 2, 7, y 1+2+7=10; divisores del 10 son 1, 2, 5; 1+2+5=8; divisores del 8 son 1, 2, 4; 1+2+4=7; el 7 es un número primo luego su único divisor propio es el 1, y la sucesión alícuota acaba en 1. La sucesión alícuota completa del 34 sería: 34, 20, 22, 14, 10, 8, 7, 1.
Pero dentro de mi viaje particular descubrí rápidamente unos islotes inadvertidos, y en ellos cierto tipo de números a los que no se les ha puesto nombre todavía y yo me he atrevido a bautizar como números fans. Uno de ellos es el 25. La sucesión alícuota de 25 no acaba en 1, sino que acaba en un número perfecto. Si sumamos sus divisores propios, 1 y 5, obtenemos 6, un número perfecto, luego su sucesión alícuota no termina en 1 sino en 6. Podemos decir que el 25 admira al 6, y me parece ver a los dos números como si uno fuera una celebridad y otro fuera su fan incondicional, de ahí el nombre que le he puesto. Además del 25 existen otros números cuya sucesión alícuota acaba en un número perfecto. Animo a los matenavegantes a que encuentren otros ejemplos.
Los números fans... ¿Acaso nadie todavía se había fijado en este tipo de números? ¿Nadie había prestado atención a una tierra que estaba delante de todos y que no tenía nombre hasta ahora?

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