El Túnel de los Polígonos

Cuaderno de bitácora: investigando en el libro Mathematics and the Imagination, escrito por Edward Kasner y James Newman, hemos descubierto una construcción a la que podríamos llamar "el túnel de los polígonos".

La construcción es muy sencilla de entender: se comienza trazando un círculo, a continuación se traza un triángulo equilátero inscrito dentro de él, luego se inscribe otro círculo dentro del triángulo, después se inscribe un cuadrado dentro de este segundo círculo, a continuación se inscribe un pentágono regular dentro del tercer círculo... Y así sucesivamente, inscribiendo sucesivamente un círculo y dentro un polígono regular, de forma que en cada paso el polígono tiene un lado más que el polígono anterior.

Es evidente que esta construcción es infinita, ya que podemos continuarla con tantos polígonos como números naturales existen. Conforme avanzamos en la construcción, el "túnel" se va cerrando, los círculos se van empequeñeciendo, y puede parecer que en el infinito los círculos terminen por cerrarse en el centro. Sorprendentemente, esto no ocurre así, el "túnel" permanece abierto, y los círculos tienden a un círculo límite, de forma que el radio no tiende a cero, sino a una cantidad aproximadamente igual a 1/12 del radio del círculo inicial.

En la siguiente figura se dibujan los primeros pasos de la construcción y la circunferencia límite aproximada en el centro, trazada en línea discontinua.

Esta construcción se puede hacer en sentido inverso, es decir, hacia afuera: partimos de un círculo de radio definido y trazamos un triángulo equilátero, pero esta vez exterior, circunscrito al círculo inicial. Proseguimos trazando figuras exteriores o circunscritas: otro círculo, un cuadrado, un tercer círculo, un pentágono regular, un cuarto círculo, un hexágono regular, etc. La construcción va aumentando en tamaño, y podría parecer que los círculos trazados son cada vez más grandes con su radio tendiendo a infinito, pero no es así, aunque aumentan, sus radios tienden a un límite, que es aproximadamente igual a 12 veces el radio del círculo inicial.

A continuación vemos la figura de los primeros pasos de la construcción y en el exterior el círculo límite que no llega a superarse.

En el libro de Kasner y Newman no viene la demostración de este resultado, y supongo que debe ser una demostración difícil. Pero eso ya lo dejamos, como se suele decir, para los muy cafeteros...

Nota: los gráficos han sido trazados con el programa Geogebra.

Espiral de triángulos rectángulos

Hoy vamos a presentar una construcción geométrica que ha surgido cuando explicábamos a los grumetes la semejanza entre triángulos y más concretamente la de los triángulos rectángulos.

Empecemos trazando un triángulo rectángulo, por ejemplo uno de los más conocidos, el que tiene como medidas de los catetos y la hipotenusa 3, 4 y 5 unidades respectivamente, en la figura es el triángulo AOB. Recordemos que 3, 4, 5, es una terna pitagórica, pues son números enteros que cumplen que 3² + 4² = 5².

A continuación dibujamos otro triángulo rectángulo que va a ser semejante al primero. Para ello tomamos una perpendicular a la hipotenusa AB, y extendemos hasta cortar a la recta AO en el punto C.

El segundo triángulo BOC es semejante al primero, ya que el ángulo OBC es igual al ángulo OAB. Recordemos que para que dos triángulos rectángulos sean semejantes basta comprobar la igualdad de los ángulos agudos de ambos triángulos.

Como el segundo triángulo es semejante al primero, los lados correspondientes son proporcionales. La razón de proporción en este caso es muy fácil de calcular, comparando los catetos pequeños de ambos triángulos: 4/3. De aquí, las medidas, en el segundo triángulo rectángulo, de los catetos y la hipotenusa son 4, 16/3, 20/3, respectivamente.

Podemos continuar con el proceso y trazar un tercer triángulo rectángulo, semejante a los dos primeros. Para ello tomamos una perpendicular a BC y cortamos con la recta BO en el punto D. La razón de semejanza del tercer triángulo respecto al segundo sigue siendo 4/3, y los catetos y la hipotenusa de este tercer triángulo son, respectivamente, 16/3, 64/9 y 80/9.

Para completar nuestro ejemplo, vamos a dibujar un cuarto triángulo siguiendo el mismo proceso en espiral, tomando una perpendicular a CD que corte a OA en E, y construyendo el triángulo DOE. La razón de semejanza con el tercer triángulo vuelve a ser 4/3, y los catetos y la hipotenusa son, respectivamente 64/9, 256/27 y 320/27.

Podemos continuar la espiral indefinidamente, trazando triángulos rectángulos cada vez más grandes (porque la razón de semejanza, 4/3, es mayor que la unidad) y obteniendo dos progresiones geométricas, la de los catetos y la de las hipotenusas, ambas de razón 4/3:

Progresión geométrica de los catetos: 3, 4, 16/3, 64/9, 256/27, 1024/81, ...

Progresión geométrica de las hipotenusas: 5, 20/3, 80/9, 320/27, 1280/81, ...

Es evidente que esta construcción se puede realizar con cualquier triángulo rectángulo. A continuación hacemos el proceso comenzando con el triángulo rectángulo de lados 1, 2, y √5.

En este caso, la razón de proporcionalidad es 2, las progresiones geométricas crecen más rápidamente y la espiral es más abierta que la del primer ejemplo.

 

Si comenzamos con un triángulo rectángulo en el que el segundo cateto sea menor que el primero, entonces la razón de proporcionalidad es menor que la unidad y por tanto los triángulos que van apareciendo son menores y la espiral se enrolla hacia el interior. Así sucede, por ejemplo, con el triángulo de catetos 6, 5, √61, con razón de proporcionalidad 5/6.

Si comenzamos con un triángulo rectángulo isósceles, como el que tiene de lados 1, 1, √2, entonces la razón de proporcionalidad vale 1, los triángulos sucesivos salen iguales, y la espiral no se ensancha ni se estrecha, sino que regresa a su punto de partida, cerrándose y formando un cuadrado.

AMPLIACIONES:

-Se pueden hacer espirales de triángulos semejantes no rectángulos. Si por ejemplo tomamos el ángulo que apunta al centro de la espiral con una medida de 72º, y luego vamos haciendo que los ángulos de brazos de la espiral siempre midan 108º, obtenemos una espiral que va siguiendo las particiones de un pentágono.

En la imagen partimos de un triángulo en el que los dos lados que flanquean al ángulo de 72º valen, respectivamente 3 y 4. El tercer lado ya sale decimal, 4'19. Los ángulos del triángulo son 72º, 65'1º y 42'9º. Los triángulos semejantes que se obtienen siguen la razón de semejanza 4/3.

Igualmente se pueden hacer espirales de triángulos semejantes partiendo de cualquier triángulo que tenga los ángulos que se quiera, aunque la estética del dibujo obtenido puede ser discutible.

-Interesante es el caso de las ternas pitagóricas, los triángulos rectángulos en los que los catetos y la hipotenusa son números enteros. Como hemos visto en el ejemplo 3, 4, 5, el primer triángulo de la sucesión si tiene una terna pitagórica, pero a partir del segundo triángulo van apareciendo números fraccionarios. Esto es así porque la razón de semejanza, 4/3 en el ejemplo, es un número fraccionario. Se puede comprobar que esto es una regla general: si comenzamos con una terna pitagórica, la razón de proporcionalidad siempre es una fracción, y viceversa, si la razón de proporcionalidad es un número entero, entonces el triángulo rectángulo de partida no presenta una terna pitagórica.

Nota: todos los gráficos se han hecho con Geogebra.