La nota mínima para aprobar

Cuando llega junio el profesor de matemáticas tiene que hacer cálculos para asignar la nota correspondiente a cada alumno que ha tenido durante el curso.

Se trata de recopilar todas las calificaciones, sumar, restar, hacer porcentajes, hacer medias, etc.

Es evidente que al hacer todos estos cálculos, lo habitual es obtener un número decimal, que hay que redondear, pues la nota final se expresa como un número entero.

Si un alumno tiene de calificación un 6'8, entonces con el redondeo se le pondrá en la nota final un 7. Igualmente, si un alumno tiene de calificación un 9'1, entonces tendrá un 9.

¿Y si el decimal acaba en un 5? Entonces el criterio es redondear hacia arriba; por ejemplo, un 7'5 se redondea a un 8.

¿Y para aprobar? El criterio es que un alumno con una nota igual a superior a 4'5 aprueba con el redondeo, ya que 4'5 redondea a 5.

Pero si un alumno tiene varios decimales, ¿cómo aplicar el redondeo?

La mayoría de las situaciones son sencillas: si la calificación obtenida es, por ejemplo, 4'813 entonces el redondeo es a 4'8 y por tanto quedaría un 5.

Pero ¿y si tenemos por ejemplo un 4'47?

Hay dos opciones: la primera es decir que 4'47 es menor que 4'5 y por tanto el redondeo total sería a 4, luego el alumno quedaría suspenso.

La segunda opción sería redondear a la décima y decir que 4'47 redondea a 4'5 y en el redondeo final sería 5.

Como el profesor de matemáticas quiere ayudar al máximo a que sus alumnos aprueben, decide elegir esta segunda opción, y redondear de forma progresiva todos los decimales.

Así una calificación de 4'446 redondearía a 4'45, y de aquí a 4'5 y por último a 5.

Según esta regla de redondeo progresivo, ¿cuál es la calificación mínima para aprobar y cuál es la máxima en la que todavía no se llega al aprobado?

Dejemos al lector que piense un poco en el problema...

La respuesta es sencilla: con el redondeo progresivo, la nota máxima en la que el alumno no llega al aprobado sería el decimal infinito periódico 4'444444444...

Cualquier nota mayor que esta ya significa un aprobado, redondeando de forma progresiva:

Por ejemplo, si tenemos un 4'44445, este número redondea al 4'4445, y éste a su vez al 4'445, luego al 4'45, luego al 4'5 y finalmente al 5.

Sin embargo, curiosamente, no existe un número mínimo para aprobar: teniendo en cuenta los decimales infinitos, si nos dan un número en el que tenemos el aprobado, siempre podemos encontrar un número menor para el cual el redondeo también es aprobado.

Así, el 4'44445 es aprobado, pero podemos encontrar un número menor, por ejemplo el 4'444445, y luego otro menor, el 4'4444445, y así sucesivamente, y todos ellos redondean progresivamente al 5.

No obstante, el ínfimo de este conjunto de números: 4'5; 4'45; 4'445; 4'4445; ... es el número 4'44444444..., y este número es una nota de suspenso.

Hablando de forma más matemática, el conjunto de notas suspensas tiene un supremo, el 4'44444444... que pertenece al conjunto y al que se le llama máximo. Pero el conjunto de notas aprobadas tiene un ínfimo, el mismo número 4'444444444... que no pertenece al conjunto, pues es una nota suspensa, y por tanto el conjunto no tiene mínimo, porque a este número que no pertenece al conjunto no se le puede llamar mínimo.

Conclusión: la nota mínima para aprobar no existe.