[El Problema de la Semana] Matrícula a la fuga

¡Cuidado con las infracciones!:

Tres matemáticos observaron que un conductor de un automóvil infringía gravemente las normas de tráfico y se daba a la fuga. Todo fue tan rápido que no pudieron anotar el número de la matrícula. Sin embargo, el primer matemático se fijó en que las dos primeras cifras del número eran iguales. El segundo matemático vio que las dos últimas cifras del número también eran iguales, y el tercer matemático se fijó que el número de cuatro cifras era un cuadrado perfecto.

¿Sabrías averiguar el número de la matrícula con estos datos?

La matrícula se resolverá más abajo

SOLUCIÓN:

Recordemos la regla de la divisibilidad por 11: "un número es divisible por 11 si al tomar la suma de las cifras colocadas en lugar par y la suma de las cifras colocadas en lugar impar y restar ambas cantidades, el resultado sale 0, 11 o múltiplo de 11".

Tenemos un número de cuatro cifras con las dos primeras iguales y las dos últimas iguales: XXYY, entonces las cifras colocadas en lugar par (segundo y cuarto lugar) suman X+Y, y las colocadas en lugar impar (primer y tercer lugar) también suman X+Y. Si restamos ambas cantidades iguales, nos da 0, luego el número de la matrícula es divisible por 11.

Como el número es un cuadrado perfecto y 11 es primo, entonces necesariamente será múltiplo de 11² = 121. Además, si dividimos el número de cuatro cifras por este factor, el cociente también será un cuadrado perfecto (en un cuadrado perfecto, todos los factores primos de su descomposición han de aparecer elevados a exponente par).

Basta ir multiplicando 121 por los cuadrados perfectos hasta encontrar la solución:

121 · 1 = 121

121 · 4 = 484

121 · 9 = 1089

121 · 16 = 1936

121 · 25 = 3025

121 · 36 = 4356

121 · 49 = 5929

121 · 64 = 7744

121 · 81 = 9801

El número de la matrícula es 7744, que es el cuadrado de 88 = 8 · 11.

Nota: este problema ha sido extraído del libro Álgebra Recreativa, de Yakob Perelman.