[El Problema de la Semana] Pájaros a la pesca

En esta ocasión, un problema de resolución muy sencilla, pero que tiene un fondo interesante:

Situados uno a cada orilla de un hermoso río tropical, y subidos en lo más alto de dos enormes árboles, se encuentran dos pájaros que se alimentan de pescado. De pronto aparece un pez en el río y los pájaros se lanzan a cazarlo al mismo tiempo y con la misma velocidad. Los dos pájaros alcanzan al pez al mismo tiempo. El río mide 70 metros de ancho y los árboles tienen una altura de 30 y 40 metros respectivamente.

¿Sabrías encontrar en qué punto del río estaba el pez?

No se preocupen, que nosotros también vamos a cazar a este pez, debajo de la ilustración.

Este es uno de los grabados del genial Maurits Cornelis Escher. Su título es Cielo y Agua II, y consideramos que viene perfecto para ilustrar nuestro problema de hoy.

SOLUCIÓN:

Es fácil dibujar un esquema del río con los dos árboles y darse cuenta de que si los dos pájaros van a la misma velocidad, recorrerán el mismo espacio en el mismo tiempo, luego los vuelos de los dos pájaros son dos segmentos rectilíneos que miden la misma longitud.

 

Para que esto suceda, el pez tiene que estar en un punto que diste 40 metros del árbol de 30 metros de altura, y que por tanto diste 30 metros del árbol de 40 metros de altura. Así se forman dos triángulos rectángulos exactamente iguales, de catetos 30 y 40 metros, tal y como se puede apreciar en la ilustración.

Nota: aunque en el dibujo no se aprecia, estamos suponiendo que el ancho del río es lo mismo que la distancia entre las bases de los árboles.

Se puede calcular mediante el teorema de Pitágoras la longitud de los segmentos rectilíneos que recorren los pájaros: ambos segmentos miden 50 metros.

Ampliación:

 

La solución de este problema es muy sencilla debido a la elección de los datos, ya que justamente el ancho del río coincide con la suma de las alturas de los árboles. Sin embargo, si planteamos una situación más general, entonces tenemos que emplear razonamientos más avanzados, aunque no demasiado difíciles.

 

Así, supongamos que las alturas de los árboles son a y b respectivamente, y que el ancho del río, o la distancia entre las bases de los árboles vale L. Tenemos una situación como la del esquema siguiente:

Nos han aparecido dos triángulos rectángulos, y si les aplicamos el teorema de Pitágoras a cada uno de ellos, obtenemos las ecuaciones siguientes:

x² = a² + y²

x² = b² + (L - y)²

 

Igualando ambas ecuaciones:

 

a² + y² = b² + (L - y)² 

 

Haciendo operaciones, la y al cuadrado se cancela y nos queda una ecuación de primer grado en la que podemos despejar la y sin dificultad:

 

y = (b² + L² - a²)/(2L)

 

Puede comprobar el lector que si aplicamos esta fórmula cuando a = 40, b = 30 y L = 70, obtenemos el valor de y = 30.

 

Nota: este problema ha sido extraído del libro Problemas a mí, de Fernando Corbalán y José María Gairín.