El papel doblado que llega hasta el final del Universo

Cuaderno de bitácora: uno de esos días, pensando en las musarañas, me vino al recuerdo esa paradoja que afirma que doblando un papel muchas veces podemos conseguir el grosor que queramos. Aparece, por ejemplo, en el libro de Adrián Paenza, Matemática... ¿Estás ahí?, y en muchos otros sitios.

Por centrarnos en una fuente, en la web de Gizmodo aparece un artículo de Carlos Zahumenszky titulado Si doblas un papel 103 veces será más grueso que el Universo. Concretamente, expone el artículo:

La leyenda urbana dice que es imposible doblar una hoja de papel por la mitad más de ocho veces. En realidad, el récord mundial lo tiene Britney Gallivan, con 12 pliegues. Lo fascinante es que, según las matemáticas, si doblamos un papel por la mitad 103 veces, su grosor sería mayor que el diámetro del Universo observable, estimado en 93.000 millones de años luz.

La explicación a esta deliciosa paradoja está en el crecimiento exponencial. Una hoja de papel normal (el típico formato A4 con un gramaje de 80 gm /m²) tiene un grosor de 0,1 milímetros. Si la doblamos exactamente por la mitad, tendremos el doble de ese grosor.

A medida que la sigamos doblando una y otra vez por la mitad las cosas se ponen interesantes (e imposibles). Doblada siete veces, la hoja tiene un grosor equivalente a un cuaderno. Si la pudiéramos doblar 23 veces, su grosor ya superaría el kilómetro. 30 pliegues nos llevarían al espacio, sobrepasando la barrera de los 100 kilómetros. En 42 pliegues llegaríamos a la luna, y en 52 al sol.

El grosor del papel sigue aumentando exponencialmente. En 81 pliegues, su grosor sería casi el de la galaxia de Andrómeda, con 127 años luz. Solo 9 pliegues más llevarían a nuestro papel imaginario más allá de los confines del Supercluster de Virgo en el que nuestra galaxia convive con al menos otras cien.

Llegamos al papel doblado 103 veces. Su grosor sería superior a 93.000 millones de años luz.

En el artículo hemos resaltado en negrita o cursiva algunos detalles, pues con su ayuda queremos comentar y puntualizar esta paradoja.

Figura 1. El Universo observable representado en escala logarítmica. La imagen es de Pablo Carlos Budassi y está tomada de la wikipedia.

Es correcto decir que las matemáticas nos aportan las herramientas necesarias para estudiar el problema, como el crecimiento exponencial. En efecto, si vamos doblando en cada paso el grosor del papel, no se necesitan muchos pasos (103 pasos en total según los cálculos del artículo) para ir de un grosor de tan solo 0,1 milímetros, a un grosor superior al tamaño del Universo. Hagamos los cálculos para comprobar que es así:

0,1 · 2¹⁰³ = 1014120480182583521197362564300,8 milímetros

Dividimos por 1.000.000 y nos da:

= 1.014.120.480.182.583.521.197.362 kilómetros aproximadamente

Dividimos por 300.000 · 3600 · 24 · 365 = 9.460.800.000.000 para pasar esta distancia a años-luz y nos da:

= 107.191.831.576 años-luz aproximadamente, un poco mayor que 93.000 millones de años-luz.

Llegar y superar el tamaño del Universo conforme doblamos el grosor de papel es idealmente posible, pero no es posible hacerlo mediante dobleces de un simple folio A4. Si empleamos la lógica y las matemáticas nos podemos dar cuenta rápidamente que la tarea es imposible si no se tiene una hoja de papel de tamaño adecuado.

Por un lado debemos destacar algo obvio: si doblamos un papel por la mitad, el grosor aumenta al doble, pero el tamaño del papel se reduce a la mitad. Por otro lado, cada doblez se hace curvando el papel, y la longitud del papel se emplea también en rodear la curva del doblez. Véase, por ejemplo, el siguiente gráfico:

Figura 2.

En la zona D se acumula el papel doblado, pero además tenemos a un lado y otro capas de dobleces en forma semicircular. La longitud de la hoja de papel se ha ido distribuyendo en todas estas capas, gastándose según el grosor del papel, y de esta forma queda limitado el número de dobleces que se pueden hacer por la propia longitud o tamaño del papel.

La primera persona que, de forma documentada, estableció esta limitación del número de dobleces fue Britney Gallivan, en 2001. No sólo argumentó esta limitación, sino que además obtuvo una fórmula que daba exactamente la relación entre la longitud del papel, L, el grosor t, y el número de dobleces n. Como conclusión a su estudio y demostración práctica de su fórmula, tomó un papel suficientemente largo y lo dobló 12 veces.

Como ilustración de nuestra entrada, traducimos a continuación el artículo de la Historical Society of Pomona Valley, publicado el 3 de abril del 2005:

DOBLANDO PAPEL POR LA MITAD 12 VECES

Britney Gallivan ha resuelto el Problema de Doblar Papel. Este bien conocido desafío consistía en doblar papel a la mitad más de siete u ocho veces, usando papel de cualquier tamaño o forma.

En abril de 2005, el éxito de Britney fue mencionado en el show televisivo de la CBS Numb3rs, en hora de máxima audiencia.

Para conseguir créditos extra para una clase de matemáticas, a Britney le plantearon el desafío de doblar cualquier cosa 12 veces. Después de experimentar de forma exhaustiva, dobló una lámina de oro 12 veces, rompiendo el récord. Lo hizo usando direcciones alternadas de doblado. El desafío se redefinió para doblar un papel. Britney estudió el problema y fue la primera persona en darse cuenta de la causa básica de los límites, y entonces dedujo la fórmula del límite de doblado para cualquier tamaño. Se dedujeron fórmulas de límite para el caso de doblar en direcciones alternadas y para el caso de doblar en una sola dirección usando una larga tira de papel. Las ventajas de cada forma de doblar son discutibles, pero para un alto número de dobleces, el doblado en una sola dirección requiere menos papel.

Se dedujo el límite exacto para el caso del doblado en una sola dirección. Se basa en los efectos limitantes acumulados por cada uno de los dobleces durante el proceso. Si consideramos la complejidad del problema, la fórmula tiene un aspecto relativamente simple.

Para el caso de doblado en una sola dirección, la fórmula exacta del límite es:

 (1)

donde L es la longitud mínima posible del material, t es el grosor del material, y n es el número de dobleces posibles en una dirección. L y t deben expresarse en las mismas unidades.

El doblado en direcciones alternas tiene el siguiente límite:

Esta fórmula da la anchura W de la pieza cuadrada de papel que se necesita para doblarla n veces, en direcciones alternas. La fórmula completa del doblado alterno es compleja, pero esta fórmula relativamente simple nos da una cota que no puede excederse y está bastante cerca del límite exacto.

Para papel no cuadrado, la anterior fórmula da un límite ajustado. Si el papel tiene una proporción entre el largo y el ancho de 2:1, podemos imaginar que lo doblamos una vez y así comienza con un grosor del doble del original, y entonces usamos la fórmula anterior, recordando que debemos añadir el primer doblado.

Britney definió reglas y definiciones estrictas para el proceso de doblado. Una regla es: Para que una hoja se considere doblada n veces debe documentarse convincentemente y verificarse independientemente que 2ⁿ capas únicas descansan en al menos una línea recta. Las secciones que no cumplen este criterio no se cuentan como parte de la sección doblada.

En algunas páginas web, los límites encontrados por Britney son descritos como debidos a la relación entre el grosor y la anchura de los dobleces finales, o atribuídos a que la persona que dobla no es suficientemente fuerte para doblar más veces. Ambas explicaciones para los límites matemáticos son incorrectas y no dan con la auténtica razón detallada para el límite físico-matemático.

En un solo día Britney fue la persona en conseguir el récord de doblar papel a la mitad en 9, 10, 11 y 12 veces.

Algunos hablan equivocadamente de humedecer el papel para conseguir más dobleces, estrujar la hoja de papel como una guía de teléfonos para dividir a la mitad su grosor, o estirar el papel húmedo o seco. Humedecer el papel sólo consigue que se rasgue más fácilmente. Rasgar y cortar no es doblar.

Figura 3. Britney Gallivan sobre el doblez número 11, antes de efectuar el doblez número 12.

Bien, si usamos la fórmula (1) obtenida por Britney Gallivan y queremos tener realmente un papel que doblado alcance el grosor del universo visible, entonces haciendo cuentas:

L = π · 0,1 · (2¹⁰³ + 4) · (2¹⁰³ − 1) / 6 ≅ 5,385 · 10⁶⁰ milímetros

Si esta cantidad la dividimos entre 1.000.000 para pasarla a kilómetros, y entre 9.460.800.000.000 para pasarla a años-luz, nos da aproximadamente 5,69 · 10⁴¹ años-luz. Si comparamos esta enorme cantidad con la anchura del universo, 93.000 millones de años-luz, entonces tenemos aproximadamente:

6.120.218.381.123.657.274.171.314.576.586,2 ≅ 6 quintillones

Resumiendo: según la fórmula de Gallivan, si queremos doblar un papel hasta que su grosor alcance el ancho de nuestro universo observable, debemos doblarlo sobre sí mismo 103 veces, y esto sólo sería posible con un papel de grosor 0,1 milímetros si tuviera una longitud superior a 6 quintillones de veces la anchura de nuestro universo.

Por otro lado, si queremos doblar 12 veces un papel de grosor 0,1 milímetros, como hizo Britney Gallivan en 2001, debemos tomar una tira de papel cuya longitud sea por lo menos mayor que:

L = π · 0,1 · (2¹² + 4) · (2¹² − 1) / 6 ≅ 879.096 milímetros, es decir, un poco más de 879 metros.

Lo único que nos resta es hacer el experimento.

Notas: el número 2¹⁰³ = 10.141.204.801.825.835.211.973.625.643.008 está mencionado en nuestra entrada Potencias de dos, pues se acerca mucho a una potencia de 10, concretamente a 10³¹ (diez quintillones), y apenas se separa de este número un 1,4%.

Referencias: la figura 2 es una adaptación de la imagen que aparece en la página de la Historical Society of Pomona Valley conservada en el Internet Archive, que relata el trabajo de Britney Gallivan.