Trivial Matemático (2) y Conjunto de Mandelbrot

Seguimos con el trivial matemático, y proponemos hoy otras diez preguntas:

1. ¿Cuántos son dos tercios de 60?
2. ¿Qué es un gúgol?
3. ¿Qué es un gúgolplex?
4. ¿Qué es el conjunto o continente de Mandelbrot?
5. ¿Cuántas cifras decimales tiene el número pi?
6. ¿Cómo se llama el conjunto de números {1, 2, 3, 4,…}, es decir, los números que sirven para contar?
7. Diga rápidamente el 1% de 100.
8. ¿Cuál es el máximo común divisor de 4 y 9?
9. Calcule cuánto es un quinto de 45.
10. ¿Cuál es el perímetro de un cuadrado cuyo lado mide 2 metros y medio?




1. 40 2. diez elevado a cien 3. diez elevado a un gúgol 4. un fractal 5. infinitas 6. números naturales 7. 1 8. 1 9. 9 10. 10

El conjunto de Mandelbrot es uno de los más bellos ejemplos de fractales, y uno de los más famosos. Para entender de donde sale, es necesario conocer algo de los números complejos.

Cualquier matenavegante, por muy novato que sea, debe saber que cuando hacemos la raíz cuadrada a un número negativo, tenemos problemas. Una cosa es hacer una raíz cuadrada, por ejemplo, la raíz cuadrada de 16 es 4 ya que 4 al cuadrado es 16; otra cosa es que la raíz cuadrada no sea exacta: por ejemplo la raíz cuadrada de 2 no es exacta, pero se puede aproximar lo que se quiera: 1,4142135623730950488016887242097...

Diferente es la raíz cuadrada de un número negativo. Así, la raíz cuadrada de -4, por ejemplo. No es -2, ya que -2 al cuadrado da 4. Si la intentamos con la calculadora nos da error. Si lo hacemos con la calculadora científica de Windows sale "Entrada no válida para func."

Los matemáticos de siglos pasados no se conformaron con no poder hacer raíces cuadradas de números negativos, y decidieron usar la imaginación. A la raíz cuadrada de -1 la designaron por i, y la llamaron unidad imaginaria. Con ayuda de esta unidad construyeron un nuevo conjunto, el conjunto de los números complejos, C, cuyos elementos son de la forma a+bi, donde a y b son números reales. Con estos números no sólo es posible sumar, restar, multiplicar, dividir, sino también hacer todas las raíces que antes no se podían hacer en los números reales, además de ampliar otras muchas funciones, como la función logarítmica y la exponencial, las funciones trigonométricas, etc.

Si los números reales se representan gráficamente como una recta, la recta real, los números complejos, al estar compuestos por dos números reales, uno solo, a (la parte real) y el otro b (la parte imaginaria) acompañado de i, se pueden representar gráficamente como un plano, el plano complejo. Los números reales se pueden entender incluidos dentro de los complejos, con la parte imaginaria b=0.

Conjuntos como el conjunto de Mandelbrot aparecen cuando realizamos repetidamente operaciones con los números complejos. Tomemos un número complejo, c, y construyamos una sucesión a partir de él: el primer término será 0, el segundo término será c, y luego vamos elevando cada término al cuadrado y sumando c. Si por ejemplo c=1, la sucesión será 0, 1, 2, 5, 26, 677,... Si c=0, la sucesión será 0, 0, 0, 0, 0,... Si c=-1 la sucesión será, 0, -1, 0, -1, 0, -1,... Según el número complejo que elijamos, la sucesión tiene un comportamiento determinado: puede irse al infinito, como la primera, o estar acotada, como la segunda y la tercera.

Supongamos que esta sucesión la construimos para todos los números complejos. Cuando la sucesión está acotada, diremos que el número pertenece al conjunto de Mandelbrot, y si no está acotada, no pertenece. Los números complejos que pertenecen al conjunto de Mandelbrot son puntos del plano complejo y los dibujaremos con color negro. El conjunto de Mandelbrot es, por tanto, todo lo que aparece negro en la ilustración.

Sin embargo, cuando con ayuda de los ordenadores se empezó a dibujar el conjunto, se descubrió que la frontera del conjunto no era, ni mucho menos, una zona perfectamente definida, no era una línea suave, recta o curva, sino que se parecía más bien a la costa de un continente, llena de acantilados, entrantes, salientes, promontorios, islotes, etc., y por eso el conjunto también recibió el nombre de continente de Mandelbrot.

Profundizando en el comportamiento de las sucesiones que se construían a partir de cada número complejo, resulta que hay números, como el 1 en el que las sucesiones se disparan hacia el infinito rápidamente; otros números, como el 0 y el -1, en los que la sucesión está claramente acotada, pero en los números de la frontera del conjunto, la sucesión oscila y es necesario repetir la operación muchas veces (miles de veces) para ir teniendo una idea de su comportamiento.

Surgió la ocurrencia de dar colores distintos a los puntos del plano complejo según la velocidad con que la sucesión crecía hacia el infinito, y al hacerlo y programar a ordenadores cada vez más potentes con los algoritmos necesarios, empezaron a aparecer extraordinarios dibujos de sobrecogedora belleza, gradaciones suaves en donde se multiplican ramas, espirales, autocopias de estructuras cada vez más pequeñas, rosetones, líneas quebradas infinitamente como los rayos de una tormenta, burbujas, etc.

Lo más interesante es que se pueden ampliar las zonas de la frontera del conjunto de Mandelbrot todo lo que se quiera (todo lo que da la capacidad de los ordenadores) y explorar dicha frontera sin límite, obteniendo nuevas formas de complejidad creciente que no tienen fin.

Hoy en día existen multitud de programas que permiten "explorar el continente de Mandelbrot" así como otros fractales famosos, como el de Julia o el de Newton. Uno de los programas más recomendables es el Ultra Fractal, con el que se obtienen magníficos gráficos, especialmente cuando ampliamos el número de iteraciones a 50.000. En esta página, encontramos algunas ilustraciones y ampliaciones muy buenas conseguidas con el programa.