[El Problema de la Semana] Las patatas fritas

Esta semana les hemos puesto a los grumetes el siguiente problema:

Tres viajeros se detienen en un bar para cenar, pero el cocinero sólo puede ofrecerles patatas fritas. Los viajeros se duermen agotados. Uno de ellos se despierta, se come la tercera parte de las patatas y se vuelve a dormir. Al poco se despierta otro, que se come la tercera parte de las patatas restantes. El tercero hace lo mismo. El cocinero vuelve a la mesa y se encuentra a los tres viajeros dormidos y ocho patatas en el plato. ¿Cuántas había al principio?

La solución se explica más abajo de la ilustración. Ya sabe que si quiere intentar el problema usted por sí solo, ¡no debe seguir leyendo!

El problema se puede solucionar bien por tanteo, bien mediante el planteamiento de un esquema con fracciones, bien con una ecuación.

Nosotros lo vamos a resolver usando fracciones.

El primer viajero se come 1/3 de las patatas, luego deja 2/3 sin comer.

El segundo viajero se come 1/3 de las que quedan, y 1/3 de 2/3 es exactamente 2/9 (hay que multiplicar las fracciones). Si se ha comido 2/9, entonces quedan 2/3 − 2/9 = 4/9.

El tercer viajero se come 1/3 de las que quedan, y 1/3 de 4/9 es exactamente 4/27. Luego al final sobran 4/9 − 4/27 = 8/27. Si han quedado 8 patatas en el plato, y esta cantidad es 8/27 de lo que había al principio, no es difícil darse cuenta de que al principio había 27 patatas, que es la solución.

Nota: este problema ha sido seleccionado por Marisa Fernández Villanueva, del IES Veles e Vents, en Torrent, para el calendario matemático publicado el curso pasado por la editorial SM.

[El Problema de la Semana] El cumpleaños

Creo que este problema o acertijo puede ser muy interesante:

Antonio me comentaba el otro día: anteayer tenía 22 años, pero el año próximo tendré 25. ¿Cuándo es mi cumpleaños?

Recuérdese que la solución está incluida más abajo. Si quiere resolverlo por sí mismo, STOP! ¡no siga leyendo!

Solución: El cumpleaños de Antonio es el 31 de diciembre.

Hoy es 1 de enero. Anteayer era 30 de diciembre, y tenía 22 años. Ayer era 31 de diciembre, cumplió años, y tiene 23 años desde ayer hasta el 31 de diciembre del presente año, en que cumplirá 24. El 31 de diciembre del año que viene cumplirá 25.

Comprendo que la solución puede ser difícil de comprender. Si le cuesta entenderla, pregúntese primero ¿qué día es hoy (entendiendo por "hoy" el día en el que está hablando Antonio)? Hágase un esquema con un calendario. Estos problemas de calendarios y tiempos son complicados. No desespere.

El Cofre de los Tesoros Matemáticos: Caleidoscopios

Cuaderno de bitácora: supongo que todos los que ven por primera vez un caleidoscopio quedan fascinados por él. A mi me enseñaron uno cuando era pequeño, y me pareció algo precioso, y ya de mayor he podido comprar un par de ellos que en su día encontré en algunos mercados portuarios de cierto país costero.

El funcionamiento de un caleidoscopio es muy sencillo. El corazón del aparato, lo que le da vida, son dos espejos alargados rectangulares unidos por uno de sus lados mayores, formando un ángulo determinado. Esos dos espejos se colocan dentro de un tubo, uno de cuyos extremos se utilizará como abertura para ver la imagen, y el otro se cierra habitualmente con un cristal o plástico transparente y sobre él un papel o plástico translúcido. Entre el cristal transparente y el plástico translúcido, se suelen colocar pedacitos sueltos de cristal o plástico de colores, para que al mover el caleidoscopio o agitarlo vayan adquiriendo nuevas posiciones, formando patrones cambiantes y siempre nuevos. Éste sistema de los pedacitos de colores colocados entre un cristal transparente y uno translúcido es el más corriente, pero se han desarrollado muchas variantes, como se puede contemplar en esta página sobre caleidoscopios: tubos llenos de aceite por los que circulan los pedacitos de colores, imágenes fijas translúcidas que se pueden cambiar o desplazar, etc.

Una de las variantes del caleidoscopio es lo que se ha denominado teleidoscopio o tomoscopio: el final del tubo del caleidoscopio se completa con una semiesfera de cristal en lugar de los pedacitos de colores; así la imagen del lugar donde nos encontramos se filtra por la esfera de cristal, miniaturizándose, y lo que se ve por el tomoscopio es la multiplicación simétrica de esa imagen, y podemos jugar, por tanto, con la imagen real de nuestro entorno, en lugar de los motivos geométricos más sencillos habituales.

Si el corazón del caleidoscopio son sus dos espejos, el alma del caleidoscopio es el ángulo que forman los dos espejos y el consiguiente efecto de simetría múltiple que provoca este ángulo. Según la apertura del ángulo, la imagen se repetirá en los espejos formando hermosos rosetones. Para que la simetría sea perfecta, el ángulo de los espejos ha de ser coincidente con una partición exacta del círculo. Si el ángulo es, por ejemplo, de 90º (la cuarta parte del círculo), entonces la imagen se verá multiplicada por cuatro; si el ángulo es de 72º tendremos un rosetón de exactamente cinco figuras simétricas; si el ángulo es de 60º, obtendremos seis figuras, etc.

Precisamente, uno de los ángulos más utilizados en los caleidoscopios es el de 60º, ya que si los espejos se disponen en esta abertura, podemos añadirles un tercer espejo de las mismas dimensiones, y así los tres formarán un triángulo equilátero, multiplicando el reflejo y consiguiendo un motivo simétrico mucho más amplio. Además, la estructura de los tres espejos en triángulo tiene mucha solidez y estabilidad a la hora de construir el caleidoscopio y colocar los espejos dentro del tubo.

No es necesario que el ángulo sea de 60º para añadir un tercer espejo, podemos cerrar con un tercer espejo la formación, sea el que sea el ángulo de partida, y buscando combinaciones diferentes se pueden conseguir muchos efectos. También se pueden colocar, por ejemplo, cuatro espejos en lugar de tres. Si ponemos cuatro espejos iguales formando ángulos de 90º, obtenemos un infinito reflejo simétrico cuadrado muy llamativo, que me recuerda a la siguiente ilustración del artista M.C.Escher:

En el artículo de la Wikipedia dedicado al caleidoscopio se afirma que este aparato fue inventado por David Brewster en 1816. Un colaborador de la Wikipedia ha completado el artículo afirmando poéticamente que "el caleidoscopio puede transportarte a un mundo, que por una extraña razón es el lugar mismo donde se fabrican los sueños y las canciones de cuna". Efectivamente, es extraña la razón de que las construcciones geométricas, las simetrías, los giros, sean capaces de crear mundos mágicos de misterio y ensueño.

No son pocas las películas que utilizan el tema de los espejos para crear escenas llenas de magia y evocación. En muchas se aprovecha dicho tema para ubicar en esas escenas los momentos álgidos del argumento, conflictos terribles, luchas épicas. Recordemos, por ejemplo, las escenas finales de La Dama de Shanghai, protagonizada por Orson Welles y Rita Hayworth, de las cuales incluimos un fotograma a continuación:

También tenemos la lucha final de Operación Dragón, la mítica película de Bruce Lee (véase la ilustración más abajo), y se me viene al recuerdo unas escenas de Conan el Destructor, protagonizada por Arnold Schwarzenegger, Grace Jones y el impresionante jugador de la NBA Wilt Chamberlain (que todavía conserva el récord de los 100 puntos en un solo partido, y otros 71 récords más).

En el Parque de las Ciencias de Granada, existe una Sala dedicada a la percepción, en la que entre otras experiencias se muestran varias actividades con espejos. Una de ellas, concretamente, es un espacio en forma de triángulo equilátero rodeado por tres espejos; la persona que se introduce en ese espacio ve su imagen multiplicada hasta el infinito entre los espejos, como si se encontrara en el interior de un caleidoscopio.

[imagen extraída de flickr]

Poder entrar y situarse entre los tres espejos, y contemplar el reflejo en ellos, es una experiencia inquietante, porque no sólo nos podemos ver de frente, sino que también vemos nuestro perfil y nuestra espalda, en vivo y en directo, lo cual suele parecernos extraño y es posible que hasta nos cause rechazo y cierto complejo. Hay que tener en cuenta que cada uno de nosotros tiene una imagen idealizada de sí mismos, que no coincide con la realidad, y cuando tenemos la oportunidad de contemplar por primera vez esa imagen real, nos suele parecer peor de lo que es, y surge un sentimiento de mucha vergüenza, porque nos damos cuenta de que esa imagen de nosotros que nos desagrada es la que ven continuamente las personas que nos rodean.

La geometría también es un instrumento particularmente evocador, por ejemplo, en tiempos como la Navidad. Los motivos geométricos navideños son abundantes: los copos de nieve, con su simetría hexagonal, la estrella de Belén, habitualmente de cinco puntas como el pentagrama pitagórico, los abetos en su forma triangular-cónica y ligeramente fractal, las piñas de los abetos, que esconden entre sus escamas espirales con números de Fibonacci, las bolas navideñas de colores, como esferas perfectas, etc... No es de extrañar que la Navidad sea un momento perfecto para regalar caleidoscopios y disfrutar de su contemplación mientras dejamos que vuele nuestra fantasía...

Para terminar, quiero comentar que existe una asociación, la Brewster Kaleidoscope Society, dedicada a los aficionados a los caleidoscopios y que lleva precisamente el nombre de Brewster en honor al inventor del caleidoscopio; en su página web se detalla una extensa biografía de aquel portentoso científico escocés que destacó en muy diversos campos, contribuyendo a la ciencia no sólo con la invención del caleidoscopio (con mucho su logro más popular), sino con el perfeccionamiento del estereoscopio, la invención de esas lentes cortadas en capas usadas en los faros, el estudio de las leyes de la polarización de la luz y de la reflexión de la luz sobre los metales, y otras muchas propiedades ópticas muy importantes y de uso corriente hoy en día.

Tres cuartos de asesinato

Cuaderno de bitácora: como quiera que en las largas horas de matenavegación también dedico tiempo a mi amor por la literatura, desde hace meses he estado leyendo poco a poco Las aventuras del buen soldado Svejk, de Jaroslav Hasek, "una de las novelas más hilarantes y subversivas de la literatura universal, en la que se da vida al entrañable y humilde soldado Svejk, enrolado en el ejército austrohúngaro durante la Primera Guerra Mundial" y en la que aparece inesperadamente un pasaje curioso que no me resisto a reflejar en el blog.

Svejk, debido a una circunstancia estúpida, pierde el tren con destino a Budejovice, tren que le tenía que llevar a incorporarse al regimiento 91, al que pertenece. Entonces decide dirigirse a Budejovice a pie, atravesando pueblo tras pueblo, y en uno de esas poblaciones es arrestado por los gendarmes y acusado de deserción o, lo que es peor, de espionaje.

El centinela llevó a Svejk al despacho. El jefe de los gendarmes lo invitó a sentarse con un gesto amistoso y comenzó a interrogarlo de nuevo. Para empezar, le preguntó si sus padres vivían:

-No.

El jefe de los gendarmes pensó enseguida que era mejor así, al menos nadie tendría que llorar por aquel desdichado. Entonces miró la cara bondadosa de Svejk y en un repentino impulso de cordialidad le dio unos golpecitos en la espalda, se inclinó hacia él y le dijo en tono paternal:

-¿Se encuentra a gusto en Bohemia?

-Me encuentro a gusto en todas partes, en Bohemia -respondió Svejk-; por el camino me he encontrado muy buenas personas.

El jefe de los gendarmes asintió con la cabeza:

-En nuestro país la gente es buena y cordial. De vez en cuando hay algún robo o alguna pelea, delitos sin importancia. Ya hace quince años que estoy aquí, y si hago un cálculo, resulta que se producen tres cuartos de asesinato por año.

-¿Se refiere a un asesinato incompleto? -preguntó Svejk.

-No, no quiero decir eso. El hecho es que durante quince años sólo hemos investigado once asesinatos. Cinco fueron con robo y los otros seis homicidios comunes, de los que apenas tienen importancia.

El jefe de los gendarmes hizo una pausa y después retomó su método de interrogatorio:

-¿Y qué pretendía hacer en Budejovice?

-Incorporarme al regimiento 91.

"Si hago un cálculo, resulta que se producen tres cuartos de asesinato por año... El hecho es que durante quince años sólo hemos investigado once asesinatos..." De repente, como quien no quiere la cosa, en medio de este clásico de la literatura checa, aparece un pequeño problema de comparación de fracciones.

Se han producido once asesinatos en quince años, eso quiere decir una proporción de 11/15 de asesinato por año. Pero el jefe de los gendarmes no se queda con esta fracción, sino que la redondea a 3/4 directamente. No son las mismas fracciones, pero ¿son parecidas?

¿Qué faltaría para que haya exactamente tres cuartos de asesinato por año? (las respuestas a estas preguntas están en los comentarios)

No son éstas las únicas matemáticas que aparecen en la genial obra de Hasek. Las matemáticas se filtran como ladrones en la noche en los lugares más insospechados, y las grandes novelas de la literatura universal no están libres de ellas. Más adelante, en el mismo libro, una vez que Svejk ha esquivado a los gendarmes y se ha logrado reunir con su regimiento y éste se dirige en tren hacia el frente de Rusia, continúa contando Hasek:

El capitán Ságner recibió una delegación de la "Asociación para el acogimiento de los héroes", que consistía en dos señoras completamente agotadas. Éstas le entregaron un regalo para el tren, es decir, veinte cajitas de caramelos perfumados, artículos de propaganda de una fábrica de dulces de Budapest. Las cajitas eran metálicas y en la tapa estaba pintado un soldado húngaro dando la mano a un militar austríaco; encima de ellos, resplandecía la corona de san Esteban. Alrededor, había una inscripción en alemán y en húngaro: "Por el emperador, Dios y la patria".

La fábrica de dulces era tan leal a la monarquía que había puesto al emperador antes que a Dios.

Cada cajita contenía unos ochenta caramelos, de modo que tocaban a cinco pastillas para cada tres personas.

Según esto último, podemos plantear la siguiente cuestión: ¿de cuántas personas se componía el regimiento? Es un problema sencillo cuya respuesta la he puesto en los comentarios a esta entrada.

PD: matenavegando, hemos encontrado el blog titulado Matemáticas Recreativas, y en él un problema, precisamente, sobre cajas de caramelos. Los autores del blog lo han propuesto para que se les mande la respuesta. Invito al lector a que lo intente resolver, aunque por mi parte ya mandé la respuesta y está en los comentarios de dicho problema.

[El Problema de la Semana] El concurso de música

Otro de los problemas que en su momento incluí en doDK es el que traemos a continuación. Es un problema muy sencillo.

Recuérdese que más abajo se incluye la solución del problema. El lector que quiera resolverlo por sí mismo no debe leer más allá de la ilustración.

En un concurso de música han acudido siete participantes, y el jurado ha decidido que participen en el siguiente orden: Dolores Pérez, Remedios García, Miranda Fernández, Fátima Rosales, Soledad Moreno, Laura Martín, Silvia Hermosillo.

Las concursantes aceptan el orden de participación pero se preguntan el porqué de dicho orden.

¿Sabrías tú explicar por qué el jurado ha decidido que participen en dicho orden?

[En la imagen, la cantante de jazz Diana Krall. Fotografía de Skip Bolen]

Solución: el orden se ha seguido según la propia escala musical; si nos fijamos en las primeras letras de cada nombre nos daremos cuenta de que coinciden con las notas musicales.

Sobre Gauss

Recuperamos otro de los restos del naufragio de doDK, una biografía sobre uno de los matemáticos más importantes de todos los tiempos.

Gauss, un genio sobrehumano

Hay quien afirma que Carl Friedrich Gauss ha sido el más grande de los matemáticos y quizás el genio más dotado de cuantos se tiene noticia. En él se dieron cita tantas cualidades que resulta una figura enigmática para el mundo científico, una figura que se sale del ámbito de lo humano y entra en lo sobrehumano. Tenía intuición, originalidad, potencia y capacidad por encima del resto de científicos, y una persistente tenacidad, y sus descubrimientos fueron extraordinariamente diversos y profundos.

Nació en 1777 en Brunswick, al norte de Alemania. Desde pequeño mostró una extraordinaria capacidad para los números. Se dice, por ejemplo, que Gauss fue un niño prodigio al estilo de Goethe o Mozart, cada uno en su campo. Goethe, cuando tenía seis años, escribía y dirigía pequeñas obras para un teatro de marionetas; Mozart, con cinco años, ya componía y daba conciertos para la aristocracia y la realeza europea; Gauss corrigió un error en las cuentas salariales de su padre a la edad de tres años.

Suya es la siguiente anécdota, bastante conocida. Ocurrió en la escuela de Brunswick, cierto día de 1786, cuando Gauss contaba nueve años. El maestro encargó a sus alumnos que hiciesen como ejercicio de adición la suma de todos los números enteros desde el 1 hasta el 100, ambos inclusive. Se trataba de sumar la sucesión 1, 2, 3, 4, ... , 99, 100. Los alumnos, con una sola excepción, empezaron sumando 1 + 2; al resultado de esta suma, 3, le añadieron el 3, lo cual les dio 6, luego 4, obteniendo 10 y así sucesivamente.

La suma de los cien sumandos por este procedimiento había de tener ocupados a los estudiantes por un buen rato. Sin embargo, cuentan las crónicas que, al poco tiempo de propuesta la tarea, cierto alumno, Gauss, se presentó a su maestro con el resultado correcto: 5050. El maestro, perplejo, le preguntó al pequeño cómo se las había arreglado para hacer la tarea tan pronto. Gauss le explicó que los números que se iban a sumar se podían agrupar en parejas: 1 + 100, 2 + 99, 3 + 98, etc. cada una de las parejas sumando 101. Como se formaban 50 parejas, bastaba hacer 101 · 50 = 5050. Gauss acababa de descubrir el método para sumar las progresiones aritméticas, método ya conocido desde la antigüedad, pero resultaba extraordinario que un niño de nueve años, por sí solo, sin ayuda de nadie, pudiera deducirlo instantáneamente de forma tan clara y sencilla. [En la biografía que aparece en la Wikipedia, se comenta esta anécdota con más detalle]

El Duque de Brunswick conoció a Gauss cuando era un muchacho y decidió pagar su educación al quedarse impresionado por sus capacidades. Gauss estudió en el Colegio Carolina de Brunswick y más tarde en la Universidad de Göttingen. Cuando tenía catorce o quince años, descubrió el teorema de los números primos, que no sería demostrado hasta 1896 después de ímprobos esfuerzos de numerosos matemáticos; inventó el método de los mínimos cuadrados y concibió la ley gaussiana o normal de la distribución de probabilidades.

En la universidad se sintió atraído por la filología y desilusionado con las matemáticas, por lo que durante un tiempo la dirección de su futuro fue incierta, pero tras el descubrimiento a los dieciocho años de un bello teorema geométrico, se decidió en favor de las ciencias exactas. El teorema que Gauss descubrió se refería a la construcción con regla y compás de los polígonos regulares de n lados: desde épocas antiguas se conocía la construcción con regla y compás de los polígonos regulares de 3, 4, 5 y 15 lados, además de todos los que se obtienen al biseccionar los anteriores, como los de 6, 8, 10 lados, etc. Gauss demostró que un polígono regular se podía construir con regla y compás si y sólo si su número de lados n era igual a una potencia de dos multiplicada por uno o varios números primos de la forma 2^k + 1, con k = 2ⁿ [estos primos son los llamados Números Primos de Fermat]. Algunos números primos son de esta forma, como el 3, el 5, el 17 o el 257. En la época de Gauss fue muy sorprendente encontrar, por ejemplo, la forma de construir un polígono regular de 17 lados con regla y compás, pero el joven Gauss, con tan solo diecinueve años, la encontró [ver nota al final del artículo].

Durante esos años de su juventud Gauss se vio abrumado por el torrente de ideas que afluían a su mente. Inició un diario científico donde anotaba brevemente sus ideas y descubrimientos, que eran demasiado numerosos para profundizarlos en aquella época.

En el año 1799 Gauss presentó su tesis doctoral, uno de los hitos de la historia de las matemáticas. En ella se ofrecía por primera vez una demostración del teorema fundamental del álgebra: todo polinomio no constante con coeficientes reales o complejos tiene al menos una raíz real o compleja. Con dicha demostración Gauss inauguraba la era de las demostraciones de existencia en matemática pura.

En el año 1801 publicó su famoso tratado Disquisitiones Arithmeticae, una obra completamente original que marca el comienzo de lo que se conoce en matemáticas avanzadas como teoría de números. En ella Gauss creó asimismo el enfoque riguroso de la matemática moderna, en contraposición al enfoque relajado y las demostraciones vagas de sus predecesores.

Sin embargo, su estilo era tan pulido, tan terso, tan desprovisto de motivación, tan acabado, que en algunas ocasiones resultaba prácticamente ininteligible, lo que restaba difusión a sus ideas. En una carta a un amigo afirmaba el propio Gauss: "Sabe que escribo lentamente. Esto se debe sobre todo a que no quedo satisfecho hasta que no consigo decir todo cuanto me sea posible en unas pocas palabras, y escribir de modo conciso lleva mucho más tiempo que hacerlo con extensión".

Gauss se dedicó en los años posteriores a la matemática aplicada. En los inicios del siglo XIX tuvo la oportunidad de hacerse famoso gracias a la astronomía. En las últimas décadas del siglo anterior, muchos astrónomos buscaron un nuevo planeta entre las órbitas de Marte y Júpiter, donde la ley de Bode predecía que debía localizarse. En realidad, entre dichas órbitas no hay ningún planeta, sino los restos de lo que pudo haber sido uno: un gigantesco cinturón de asteroides, entre los que destaca el más grande de todos ellos, bautizado como Ceres. Los astrónomos acertaron a descubrirlo en 1801, pero el pequeño cuerpo era difícil de observar y pronto se le perdió la pista conforme el sol se fue colocando delante. De las observaciones de Ceres se tenían pocos datos, y se planteó el problema de calcular su órbita con suficiente precisión para poder recuperar su posición una vez que el sol se hubiera alejado. Los astrónomos europeos intentaron localizarlo durante meses sin conseguirlo, hasta que Gauss, con la ayuda de su método de los mínimos cuadrados y su increíble capacidad para el cálculo determinó la órbita, indicó a los astrónomos dónde debían apuntar sus telescopios, y estos pudieron comprobar que, efectivamente, allí estaba Ceres.

El Duque de Brunswick, ante el éxito de Gauss, le aumentó la pensión y le nombró, en 1807, profesor y primer director del nuevo observatorio de Göttingen. Aunque le desagradaban las tareas administrativas y no sentía entusiasmo por la docencia, cumplió seriamente con sus responsabilidades e impartió excelentes clases.

Gauss se casó dos veces y tuvo seis hijos, y a pesar de las ofertas para trabajar en otros lugares decidió permanecer en Göttingen toda su vida, viviendo de forma sencilla y tranquila. Además de la ciencia, se interesaba por la historia, la literatura, la política internacional y las finanzas públicas. Este último interés por las finanzas le enriqueció, permitiéndole, al morir, legar un capital equivalente a cien veces sus ingresos anuales medios.

Durante las dos primeras décadas del siglo XIX se dedicó a trabajar sobre temas astronómicos, considerando la matemática solo como una diversión. En el año 1820 el gobierno de Hannover le pidió un estudio geodésico del reino, una labor que le ocuparía durante algunos años, una tarea tediosa y carente de interés, que sin embargo le inspiró una de las aportaciones más profundas y de mayor alcance de la matemática pura: la geometría diferencial intrínseca de superficies. Gracias a este trabajo pudo ser posible, por ejemplo, el desarrollo de la teoría de la relatividad de Einstein casi un siglo después.

Gauss publicó numerosas obras, pero dejó un número no menor de obras sin publicar que salieron a la luz después de su fallecimiento, cuando se pudo analizar con detalle sus cuadernos de anotaciones y su correspondencia científica. Muchos descubrimientos aportados por matemáticos posteriores pueden ser atribuidos a Gauss, que ya los esbozó y los conocía en sus notas, pero que no se molestó en publicarlos, tarea para la que hubiera necesitado varias vidas.

Una de las ideas de las que fue pionero fue la de la existencia de geometrías no euclídeas, pero no reveló sus conclusiones. Su silencio en este tema fue debido al clima intelectual de la época, dominado en Alemania por la filosofía de Kant. Uno de los supuestos básicos de dicha filosofía se apoyaba en que la geometría euclídea era la única posible, y Gauss se dio cuenta de que aquella idea era falsa, y que el sistema de Kant no tenía cimientos sólidos. Pero como no quería abandonar su vida tranquila para ponerse a discutir con filósofos decidió callar y guardarse lo que pensaba.

En la teoría de funciones elípticas se adelantó treinta años a los descubridores oficiales de esta rama de las matemáticas, Jacobi y Abel. Jacobi, atraído por un pasaje críptico de las Disquisitiones, visitó a Gauss en 1829, lleno de sospechas. Le contó sus más recientes descubrimientos, y en cada ocasión Gauss sacaba un manuscrito de treinta años antes en los que ya se hallaba lo que Jacobi acababa de mostrarle. Jacobi se sintió profundamente triste, pero Gauss, a su edad, ya era completamente indiferente a la fama y agradeció librarse de la preparación de un tratado sobre tales materias, dejando al joven Jacobi, de 26 años, la exclusiva de su publicación.

En 1830 Gauss trabajó sobre los residuos bicuadráticos, dando un enfoque nuevo a la teoría de números, y a partir de la década de 1830-40 se fue dedicando cada vez más a la física, enriqueciendo todas las ramas en las que tomó parte: la teoría de la tensión superficial, la óptica, el geomagnetismo y la teoría general de las fuerzas y del potencial.

Finalmente, Gauss falleció en 1855 a la edad de 77 años, superando de tal forma a los demás hombres de talento que a veces se tiene la impresión de que pertenecía a una especie superior.

Notas: El presente texto ha sido corregido y ampliado desde la última vez que apareció en doDK. Está extraído principalmente del libro de George F. Simmons, Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones y notas históricas, editorial McGraw-Hill, y la anécdota escolar sobre la suma de los cien primeros números, así como la ilustración que la acompaña se ha tomado de un artículo de Francisco M. Biosca, Aritmética y Álgebra, incluido en el tomo 6 de la Enciclopedia Labor, edición de 1976.

Para contemplar la sorprendente y compleja construcción del polígono de 17 lados con regla y compás, se puede ver el programa de la serie Universo Matemático, Gauss: de lo Real a lo Imaginario, de Antonio Pérez Sánz, o visitar esta página de José Manuel Arranz, que forma parte de una web dedicada a construcciones geométricas con el programa Cabri II.

[El Problema de la Semana] El papel doblado como una malla hexagonal

Recuperamos hoy otro problema, publicado ya en doDK, que más que problema podríamos denominar pasatiempo, juego o truco de magia. Se trata de tomar un folio o una cuartilla de papel, y sin ayuda de ningún medio exterior, tan solo con las manos, doblarlo de forma que los dobleces aparezcan formando una especie de malla hexagonal, igual que las de algunas alambradas, como en la ilustración:

Es éste un juego que casi todos los cursos les enseño a los grumetes. Lo aprendí en el libro de Martin Gardner, Rosquillas anudadas y otras amenidades matemáticas. Transcribo a continuación lo que Gardner comenta en el libro sobre el truco:

El truco de la alambrada

Este extraño truco de salón se debe a Tan Hock Chuan, mago profesional chino que vive en Singapur. Chuan se lo describió en una carta a Johnnie Murray, un prestidigitador aficionado de Portland, Maine, quien me lo hizo llegar.

Una cuartilla corriente, de unos 20 por 13 cm, es marcada por un observador, a fin de poderla identificar luego. El mago la sostiene a sus espaldas (o debajo de la mesa) durante unos 30 segundos. Cuando vuelve a mostrarla, la cuartilla está cubierta de arrugas y marcas que forman una teselación regular a base de hexágonos (como la de la figura). ¿Cómo hacerlo? Casi todo el mundo acusa al mago de haber presionado la cuartilla contra un trozo de alambrada de gallinero, pero en realidad las marcas se han hecho usando las manos nada más.

Martin Gardner, al final del capítulo, comenta la solución (no siga leyendo si quiere intentar resolver el pasatiempo por sí mismo):

Para dejar marcada una cuartilla de papel con un entramado hexagonal, se empieza enrollando la cuartilla y formando un tubo de un centímetro o centímetro y medio de diámetro. Pellizcando uno de los extremos del tubo entre los dedos índice y pulgar de la mano izquierda, se aplasta esa boca hasta dejarla plana. Manteniendo con la mano izquierda la presión en el mismo lugar, se aplasta el tubo entre el índice y el pulgar de la mano derecha en un punto tan cercano al anterior como se pueda, pellizcándolo en un plano perpendicular al del aplastamiento anterior. Hay que apretar fuertemente con ambas manos, y al mismo tiempo empujar los aplastamientos el uno hacia el otro, a fin de hacer que las líneas de los pliegues sean lo más nítidas posible. Ahora es la mano derecha la que mantiene la presión mientras con la izquierda se hace un tercer aplastamiento adyacente y perpendicular al segundo. Se prosigue de igual modo, cambiando alternativamente de mano al ir avanzando a lo largo del tubo, hasta haber pellizcado el tubo entero. (Los niños suelen hacer esto mismo con pajitas de refresco, para hacer "cadenas".) Se desenrolla el papel. Al hacerlo, vemos en él una teselación hexagonal sumamente desconcertante para el no iniciado.

John H. Coker me escribió diciendo que cuando él iba a la escuela, a comienzos de los años treinta, en Yugoslavia, su maestro arrollaba y aplastaba de este modo las notas dirigidas a otros profesores. Por ser extremadamente difícil desenrollar un tubo así y volverlo a enrollar exactamente como estaba antes, el tubo ponía el mensaje a salvo de los niños encargados de transmitir la nota.

Este truco tiene mucho éxito entre todas las personas que lo contemplan, y los grumetes se entusiasman con él, haciéndose rápidamente muy popular en cuanto se enseña.

El hundimiento de doDK

Cuaderno de bitácora: lo que temíamos desde hace semanas ha sucedido por fin: doDK ya no existe.

Fue precisamente en octubre de 2003 cuando iniciamos la andadura por la Matenavegación, y creamos doDK, una página web alojada en Geocities, de Yahoo. En ella, con ilusión, fuimos incluyendo algunos artículos, pasatiempos, problemas, curiosidades, anécdotas, chistes... lo que nos parecía interesante en aquellos momentos.

Pasó el tiempo y descubrimos Blogger y el fenómeno de los blogs, y decidimos abrir éste en el que estamos embarcados, con el nombre de El Matenavegante, y nos dimos cuenta que nos gustaba el formato de los blogs, y que trabajar con ellos era sencillo y ágil.

Como no manejo mucho el mundo de las páginas web, y tan sólo sé hacer unas cuantas cosas muy sencillas, me pareció que, de momento, trabajar a través del blog era lo más adecuado para lo que buscaba, y doDK se quedó como una página estática que poco a poco dejé de actualizar.

Así ha permanecido durante meses y años amarrada a puerto, hasta que Yahoo ha decidido la clausura del muelle de Geocities, y no ha habido más remedio que dejar que doDK, humilde pero valiente nave, se hunda en el mateocéano con todos los honores.

Sin embargo, muchas de las mercancías que guardaba en la bodega se han podido salvar del naufragio, y así, poco a poco, en este mismo blog, iremos publicando los artículos, curiosidades, problemas y pasatiempos que contenía, aprovechando la ocasión para corregirlos, actualizarlos y ampliarlos.

[El Problema de la Semana] Los Relojes

Veamos el problema de esta semana para los grumetes:

En el mismo instante, el reloj A marca las cinco y el reloj B marca las siete. A adelanta un minuto cada hora y B retrasa 2 minutos cada hora.

a) ¿En cuánto tiempo marcarán la misma hora por primera vez?
b) ¿Cuál es la hora común que marcarán en ese momento?
c) ¿Cuántas veces coincidirán marcando la misma hora en un año?

a) La diferencia entre los dos relojes es de dos horas. Si A adelanta un minuto por hora, y B atrasa dos minutos por hora, entonces A le gana tres minutos por hora a B, y por tanto, para reducir la diferencia de 120 minutos entre los dos, necesita 120 : 3 = 40 horas.

b) Si A marca las cinco, dentro de cuarenta horas marcará cuarenta horas más, y al adelantar un minuto por hora, cuarenta minutos más. Cuarenta horas es lo mismo que tres vueltas completas de doce horas, y cuatro horas. La hora marcada por A será las 9:40. Evidentemente, B marcará exactamente la misma hora.

c) Después de coincidir una vez, A seguirá adelantando un minuto por hora y B atrasando dos, con lo que A lleva una velocidad relativa de tres minutos por hora más que B. Para que A de una vuelta completa más que B, es decir, 60 · 12 = 720 minutos, necesita 720 : 3 = 240 horas = 10 días.

Si cada diez días los dos relojes vuelven a coincidir, entonces en un año podrán coincidir 36 veces como máximo, marcando la misma hora.

Notas: aunque no tenga nada que ver, he recordado que el título de este problema coincide con el de la primera novela de Agatha Christie que yo leí cuando era pequeño.

Este problema ha sido seleccionado por Marisa Fernández Villanueva, del IES Veles e Vents, en Torrent, para el calendario matemático publicado el curso pasado por la editorial SM.

El Lema de Zorn (relato)

Cuando salió del estrecho desfiladero por el que había cruzado la cordillera, se encontró con un amplio valle iluminado por el sol de la tarde. El paisaje era seco y escaso en vegetación, pero no carecía de belleza. En el fondo del valle se extendía una pequeña población, y en su centro parecía distinguirse un edificio importante. El Estudiante observó una torre cuadrada coronada con un tejado puntiagudo, de aspecto evocador. Detrás de ella, lejos, en las brumas del horizonte, apenas se adivinaban las cumbres blancas de un sistema montañoso. A un lado y al otro del sendero, el espacio estaba colonizado, a parches, por grandes agrupaciones de brezos combinados con diversas especies de árboles que el joven no supo reconocer.

Con un movimiento reflejo, volvió a colocarse correctamente el saco sobre la espalda. En él llevaba, además de algo de comida y ropa de abrigo, un par de libros, varios cuadernos, instrumentos de escritura, una palmatoria con su vela, una daga, un anteojo y un reloj de arena. De momento, era todo lo que poseía. Si las cosas funcionaban como le había explicado el Viejo Ridras, su maestro, en la Escuela le darían alojamiento y manutención a cambio de dedicar unas horas a trabajar en los huertos y a limpiar las estancias.

Jamás antes el Estudiante había abandonado su tierra natal en el lejano sur. Pero Ridras le había enseñado todo lo que sabía respecto a esa extraña ciencia de números y letras que casi nadie era capaz de entender. Cuando el joven le insistió para seguir avanzando en el conocimiento, el Viejo sólo le pudo decir que si quería de verdad profundizar en sus secretos debía viajar al norte, hasta la Escuela de Brezales. Era el sitio más cercano donde los estudiosos podían acceder a completas bibliotecas con los títulos más avanzados sobre cada materia. Muchos de los libros contenidos en ellas eran copias únicas escritas a mano por sus propios autores. Algunos eran tan antiguos que muy pocos sabían descifrar la lengua y la caligrafía en que estaban redactados.

El Estudiante llegó a Brezales justo antes de que cayera la noche, y fue recibido en la Escuela por un portero de mediana edad, aunque bastante estropeado por los años, que lo condujo a una habitación baja en el extremo de un gran edificio de paredes amarillentas. Antes de atravesar la puerta e internarse en los pasillos que conducían hacia su cuarto, pudo ver que anexa al edificio se destacaba la torre cuadrada de tejado puntiagudo que dominaba sobre todo el poblado. La habitación a la que le condujo el portero, tenía dos literas adosadas a paredes opuestas, y cada litera disponía de tres camas; las camas de abajo ya habían sido ocupadas por sendos jóvenes que parecían dormir plácidamente. El Estudiante vio también a un tercer joven que escribía sentado a una mesa junto a la ventana, y se iluminaba con los restos de una vela a la que quedaban pocos minutos para apagarse. Esta visión y un cierto olor a cerrado fueron las impresiones que más se le quedaron marcadas de su llegada a la Escuela, y que no olvidaría el resto de su vida.

La adaptación durante los días siguientes fue progresiva, mientras aprendía las tareas cotidianas que tenía que realizar desde el amanecer hasta el mediodía. Al cabo de una semana se le permitió, por primera vez, acceder a la planta baja de la inmensa biblioteca de la torre. Los Escolares le dieron ese acceso, que apenas duró una hora, para que tuviera una primera vista de la estancia, de la gran cantidad de libros que almacenaba, del ambiente que reinaba en ella, y sobre todo, de la distribución de las estanterías, mesas y sillas. A partir de ese momento, todas las tardes tendría la tarea de limpiar y ordenar la biblioteca durante varias horas, sin permiso de momento, para sentarse a consultar ningún volumen.

Tuvo que pasar un mes hasta que le dieron licencia para leer durante la última hora de la tarde. Ése, sin duda, también sería un momento grandioso en sus recuerdos, pero le surgió la pequeña duda de qué libro tomar durante esa hora. No obstante, el momento de duda duró poco, porque desde los primeros días se había sentido atraído por un tomo grueso de tapas de color castaño oscuro grabadas con letras doradas, cuyo título era simplemente Elementos de Matemática. Su autor, un tal Pedro Abellanas, era desconocido para el Estudiante, pero eso no le impidió admirar desde un principio su trabajo, aunque en realidad conociera tan poco de él.

Aquella noche podría haber abierto el libro por la primera página y haber empezado su lectura ordenadamente. Sin embargo la página que apareció fue la 42. A mitad de la hoja amarillenta, unos renglones atraparon su mirada: "Otra consecuencia muy importante del axioma de Zermelo es el siguiente: TEOREMA DE ZORN.- Todo conjunto inductivo posee un elemento maximal, por lo menos".

Fueron esos dos nombres que empezaban por zeta, Zermelo, Zorn, los que cautivaron al momento la imaginación del muchacho. Jamás los había oído antes, pero su sonoridad le sugería algo importante y misterioso. Cierto es que llevaba cinco semanas sin hacer otra cosa que limpiar y remover la tierra del huerto, que todavía no había hecho amigos (aunque sí había notado un par de veces la mirada interesada de una joven estudiante que ya tenía pleno derecho a trabajar en la biblioteca todas las tardes), y que no había leído otra cosa en su vida que los escasos y manoseados libros del Viejo Ridras, que apenas llegaban a la docena. Decidió que tenía que empezar por averiguar quiénes eran esos dos personajes de nombre tan sonoro, y tratar de desentrañar lo que decía aquél teorema, del que no había entendido nada aunque solo abarcara un renglón.

En la página 41 del mismo libro, encontró el Axioma de Zermelo al que se referían aquellos renglones anteriores: "AXIOMA DE LA LIBRE ELECCIÓN DE ZERMELO.- Si c es una correspondencia arbitraria entre X e Y, tal que or(c) = X, existe una aplicación f entre X e Y tal que para todo x perteneciente a X se verifica que el par (x, f(x)) es un par de la correspondencia c".

Debajo de este axioma se encontraba otro resultado que parecía importante: "TEOREMA DE LA BUENA ORDENACIÓN.- En todo conjunto C se puede definir una buena ordenación".

Investigando en los viejos volúmenes, averiguó que Ernst Zermelo y Max Zorn habían sido dos sabios, el primero alemán, y el segundo estadounidense, que habían trabajado en teoría de conjuntos, álgebra abstracta, teoría de grupos y otras disciplinas que el Estudiante aún no conocía. Además, descubrió que el Axioma de la libre elección de Zermelo, o simplemente Axioma de elección (cuyo enunciado, de forma más sencilla dice que "dado X, un conjunto de conjuntos no vacíos, entonces se puede tomar o elegir un elemento de cada conjunto de X"), era un principio muy importante, sobre el que los sabios seguían discutiendo si debía ser aceptado o no, y asimismo, el Lema de Zorn se utilizaba muchas veces en las ramas abstractas de diversas disciplinas numéricas.

Al Estudiante le costó muchos días desentrañar el significado completo de aquellas simples frases que le habían llamado tanto la atención. Sin embargo, finalmente empezó a comprender algunos términos, y en la mesa de su habitación, armado de pluma y papel, fue anotando los términos y un ejemplo para cada uno de ellos:

Correspondencia: una relación cualquiera entre dos conjuntos; ejemplo: sea el conjunto de los estudiantes de la Escuela, y el conjunto de los libros de la Biblioteca, se puede definir una correspondencia relacionando cada estudiante con aquellos libros que ha leído en alguna ocasión. Habrá estudiantes que no han leído ningún libro, otros uno, y otros muchos.

Aplicación: una correspondencia en la que a cada elemento del primer conjunto le corresponde un solo elemento del segundo conjunto; ejemplo: el conjunto de estudiantes y el conjunto de habitaciones de la Escuela. Cada estudiante tiene una habitación asignada, y solo una. Aunque hay estudiantes que comparten la misma habitación, y puede que haya habitaciones vacías.

Orden: una relación entre los elementos de un conjunto, en la que se puede determinar si un elemento es menor o igual que otro. Cumple unas propiedades (que más adelante explicaré). Un ejemplo puede ser, la relación de orden entre las personas a través de la edad: una persona es menor que otra cuando tiene menos años. Otra relación puede ser a través de su estatus dentro de la Escuela: una persona es menor que otra siempre que su puesto sea de menor importancia; los Estudiantes son menores que los Escolares, los Escolares menores que el Decano.

Orden total: aquel orden en que dados dos elementos, uno de ellos siempre es menor o igual que el otro. Esto no ocurre en todos los órdenes; cuando viene uno de los nobles de visita, yo no sé decir si tiene menor o mayor categoría que uno de nuestros Escolares, porque no pertenece a nuestra Escuela.

Buena ordenación: aquel orden total establecido en un conjunto en el que si tomo cualquier subconjunto, éste tiene un mínimo. Los números naturales 1, 2, 3, 4, 5, ... están bien ordenados.

Cota superior: si tengo un conjunto ordenado y tomo un subconjunto, una cota superior es aquel elemento del conjunto que es mayor que todos los del subconjunto.

Conjunto inductivo: conjunto en el que hay un orden, y en el que si tomamos un subconjunto con un orden total dentro de él (a este subconjunto se le llama también cadena), entonces ése subconjunto tiene una cota superior.

Elemento maximal: un elemento de un conjunto ordenado, tal que no existe ningún otro elemento mayor que él.

Más adelante, una templada tarde en la que apetecía estar fuera, paseando entre los huertos, el Estudiante tuvo oportunidad de charlar con la joven que había visto en la Biblioteca los días anteriores. Le explicó todo lo que había aprendido hasta ese momento, y lo difícil que le había resultado al principio entender aquella terminología y adaptar su mente a conceptos tan abstractos, pero que ahora veía, por ejemplo, que el Axioma de Libre Elección o el Teorema de Buena Ordenación de Zermelo parecían algo de lo más natural del mundo.

-Si yo tengo por ejemplo un conjunto de cajas -decía el Estudiante-, y en cada caja tengo un conjunto de objetos, ¿no es lógico que pueda ir tomando un objeto de la primera caja, otro de la segunda, otro de la tercera, y así sucesivamente hasta terminar las cajas? Y si tengo un conjunto de objetos, ¿no parece trivial ir colocando todos los objetos en un buen orden, uno el primero, otro el segundo y así sucesivamente hasta terminar?

-Eso es muy sencillo -contestaba la joven- cuando el número de objetos con el que trabajas es finito, porque esa tarea que describes acaba finalmente. Pero empieza a no ser tan sencillo cuando los conjuntos son infinitos.

Y entonces la joven empezó a hablarle al Estudiante del infinito, y de todas las clases de infinitos que existían, los infinitos numerables y los no numerables, y todas las paradojas que se producían al tratar con conjuntos infinitos. Estuvieron charlando durante un buen rato, hasta que la luz del atardecer empezó a menguar y un viento frío azotó los árboles frutales, y entonces, escuchando la cálida voz de su acompañante, el Estudiante se dijo que a través de las infinitas posibilidades que ofrece el destino, no quería vivir otra diferente de la que tenía en esos momentos, y aquella ocasión la atesoró en su memoria hasta el fin de sus días.

[El Problema de la Semana] Rutas posibles

Aquí tenemos el problema que la última semana se les puso a los grumetes para que lo resolvieran:

¿De cuántas maneras puedo ir de A hasta B por las líneas, si sólo se puede ir de arriba a abajo y de izquierda a derecha?

Para encontrar la solución se necesitan ir combinando todas las posibilidades, lo cual puede ser un trabajo tedioso en el que es fácil equivocarse y dejar algún posible camino sin contar. Pero tenemos aquí un gráfico se puede dividir claramente en dos partes más simples: cualquier camino que vaya de A a B tiene que pasar forzosamente por el punto central, llamémosle C, y podemos estudiar en primer lugar el caso más simple que es ir de A hasta C.

Si estudiamos la parte cuadrada del gráfico que va de A a C, no es demasiado complicado contar los posibles caminos uno a uno:

Si sólo podemos movernos de izquierda a derecha y de arriba a abajo, tenemos 6 caminos posibles para ir de A a C. Teniendo en cuenta de que de C a B el gráfico es el mismo, entonces tendremos otros 6 caminos posibles para ir de C a B.

Combinando todos los caminos: 6 · 6 = 36 caminos en total.

Nota: este problema ha sido seleccionado por Marisa Fernández Villanueva, del IES Veles e Vents, en Torrent, para el calendario matemático publicado el curso pasado por la editorial SM.

[El Problema de la Semana] El cuadrado aparecido

Este enigma es todo un clásico. Se trata de descubrir dónde está el truco.

Como se puede apreciar en la ilustración de la izquierda, tenemos un cuadrado que hemos dividido en varias piezas, de varios colores. Obsérvese que el cuadrado ocupa 64 cuadraditos más pequeños (8x8).

Hemos dispuesto las piezas de colores de otra manera, formando ahora un rectángulo, en el que hay 65 cuadraditos (5x13) en total. De repente ha aparecido un cuadradito más pero los dibujos de las piezas son los mismos, ¿o no? ¿Por qué hay un cuadradito más en este nuevo dibujo que en el de arriba?

Solución:

Observando bien el dibujo y haciéndolo con precisión, veremos que las uniones en el rectángulo no están hechas correctamente, y si encajamos las piezas como deben ser encajadas nos quedaría el dibujo correcto que se puede ver pulsando aquí, es decir, nos quedaría un fino hueco alargado entre las piezas. Ese fino hueco es el cuadrado de más que aparece al contar el número total.

El Caso del Sorteo Injusto

Cuaderno de bitácora: aquí en España, los padres se encuentran con algunos problemas para que sus hijos ingresen en el colegio preferido por ellos. En algunos colegios la demanda de plazas es superior a la oferta: hay muchos más niños que solicitan ingresar al colegio que plazas disponibles. Para poder acceder a ellos las familias son puntuadas con un baremo por la situación familiar, el domicilio, el nivel de ingresos económicos, etc. De ese modo los niños con más puntos tienen preferencia para entrar en los colegios que solicitan, pero aún así, se dan muchos casos en los que los colegios siguen teniendo una demanda excesiva y tienen que recurrir a un sorteo para asignar las plazas disponibles.

Así le ha ocurrido a un compañero oficial del Barco Escuela. Su hija está en edad de ingresar en el colegio para la etapa Infantil, y en el centro que sus padres han elegido aquí en Granada había 50 plazas disponibles, mientras que el número de solicitantes ascendía a 111.

El sorteo para asignar las plazas se celebró hará cinco meses, y a la hija de mi compañero no le tocó. Días después de que se hiciera el sorteo, habló conmigo y me expresó ciertas dudas que tenía sobre cómo se había realizado. Me explicó que para seleccionar a los niños se les había ordenado por orden alfabético y se les había asignado un número, del 1 al 111. A la hija de mi compañero le dieron el 78. Después se sorteó uno de los números y una dirección para contar, ascendente o descendente.

Por ejemplo, si sale el número 40 y luego se sortea una dirección y sale ascendente, entonces los alumnos que ingresarían en el colegio serían los que tienen los números 40, 41, 42, …, 88 y 89, es decir, se cuentan cincuenta niños a partir del que ha salido, en sentido ascendente. Si hubiera salido el 40 en sentido descendente, los niños serían los números 40, 39, 38, …, 2, 1, 111, 110, 109, ... , 103 y 102. Cuando se termina la lista en sentido ascendente o descendente, se supone que se continúa cíclicamente por el otro extremo.

Hasta aquí, todo es correcto. El problema surgió al sortear el número que sería el punto de partida para el conteo. En lugar de tomar, por ejemplo, 111 bolas numeradas, introducirlas en una bolsa o en un bombo y sacar una al azar, a los responsables no se les ocurrió otra cosa que sortear la centena, luego la decena y luego la unidad.

Así dijeron: "primero sorteamos 0 ó 1, y saldrá menos de cien o más de cien". (Al sortear, salió el 1.) "Ya tenemos un número de cien en adelante. Luego, como los mayores de cien son del 100 al 111, sorteamos la decena: también 0 ó 1 solamente". (Salió el 1 también.) "Ya sólo queda sortear entre el 110 y el 111, otra vez elegimos entre 0 y 1". (Volvió a salir el 1.) Salió como número elegido, por tanto, el 111. Se sorteó luego el sentido, salió ascendente, y los niños seleccionados para las plazas disponibles fueron los que tenían los números 111, 1, 2, 3, 4, …, 49.

Muy mal hecho. Este sorteo es totalmente injusto. No asigna las mismas probabilidades de salir a cada niño. Es muy fácil entender, por ejemplo, que al sortear la centena se están dando las mismas probabilidades a dos conjuntos diferentes: los 99 primeros niños (del 1 al 99), cuya centena es 0, y los 12 niños siguientes (del 100 al 111) cuya centena es 1. Es mucho más ventajoso estar en el segundo grupo, pues hay menos competidores. Lo mismo ocurre luego con la decena, pues tenemos dos grupos diferentes también, uno de 10 niños (del 100 al 109) y otro de sólo 2 (110 y 111). Así tenemos que, de entrada, números como el 78 tienen una probabilidad entre 200 de salir (un 0’5%), mientras que el 110 ó el 111 tienen una probabilidad de salir de una entre ocho (12’5%), una probabilidad 25 veces superior. De esa forma, el sorteo está viciado desde el origen, pues luego al contar cincuenta ya no se tienen las mismas probabilidades.

A mi compañero también le recordé que hubo un sorteo parecido hace unos años con los reclutas de la mili (el servicio militar obligatorio que existió en España hasta hace poco). Al igual que en el colegio del que estamos hablando, las plazas en el ejército para hacer la mili eran ese año menos del número de reclutas que se presentaban. Había unos 160.000 reclutas para unas 70.000 plazas (más o menos, según lo que recuerdo). Se numeró a los reclutas, puede que por orden alfabético, y se sorteó un número, y a partir de él se contaban los 70.000.

El problema estuvo en que el número se sorteó con los bombos de la lotería, pero éstos sólo contienen 100.000 números, con lo que en primer lugar se sorteó la centena de millar 0 ó 1: si salía 0, el número que saliera en el bombo (del 00000 al 99999) sería el válido, pero si salía 1, sólo se tendrían en cuenta del 00000 al 60000 y al número que saliera en el bombo había que ponerle un 1 delante. Así se hizo, pero luego salió el caso en la prensa y se explicaba que había sido un sorteo injusto, y se incluía un estudio probabilístico de las posibilidades de salir de todos los números. No recuerdo si el sorteo fue recurrido por los que sí fueron seleccionados, porque a la mili no quería ir nadie que fuera lo suficientemente sensato, al contrario de nuestro colegio, en el que lo que interesa es conseguir la plaza.

Me ofrecí a hacer un estudio probabilístico completo del sorteo tal y como se había realizado, para demostrar que con él, los niños tenían distintas probabilidades de entrar. En efecto, me salió, por ejemplo, que la hija de mi compañero tenía una probabilidad del 47% aproximadamente, la misma que tenían bastantes otros niños, pero en otros la probabilidad oscilaba desde una máxima, un 53% para el 110 y el 111, hasta una mínima, de un 26% para el 50. Estuve entretenido un par de horas haciendo cálculos laboriosos, trabajando en este problema que me parecía tan interesante, y luego le mandé el resultado a mi compañero para que pudiera presentar la reclamación correspondiente. Así lo hizo, y después de varias semanas sin noticias, pareció que la Delegación de Educación de Granada estaba teniendo en cuenta los argumentos y era posible que se repitiera el sorteo.

Todo este caso me parece un ejemplo muy interesante de cómo las matemáticas de un nivel medio pueden ser útiles en situaciones importantes de la vida cotidiana, distintas de la economía, la construcción, el bricolaje y otras más habituales. Sin embargo, si se repitiera el sorteo no quiere decir que la hija de mi compañero fuera a obtener la plaza con seguridad, pero al menos disfrutaría de una nueva oportunidad, y en este caso con un sorteo justo, no como el primero. Habría, sin embargo, padres que sus hijos sí salieron entre los seleccionados y si el sorteo se volviera a hacer, esos niños se quedarían probablemente fuera del colegio. Para ellos sería difícil aceptar nuestra reclamación, pero hay que comprender que la responsabilidad de todo el asunto recae en las personas que organizaron este sorteo, las cuales lo prepararon sin cuidado y con ignorancia de las leyes de probabilidad, haciendo un tratamiento injusto y arbitrario, aunque no fuera esa su intención, de algo tan delicado como el futuro de 111 niños y niñas y sus respectivas familias.

Al cabo de los meses, después de las vacaciones de verano, tras regresar de nuestros respectivos periplos por los templados mares tropicales, mi compañero oficial me ha informado que, desgraciada e inexplicablemente, la Delegación de Educación ha desestimado la reclamación. Para seguir reclamando queda abierta la vía judicial, pero para tomar esta vía se necesita un abogado, un juicio, que, según le han dicho, puede tardar en resolverse ¡de cinco a ocho años!, y que tras el juicio, si se ganara la causa, lo único que se conseguiría es que ¡se repitiera el sorteo! Repetir un sorteo para ver si una niña entra en un colegio cuando la niña puede estar ya en el instituto, cursando la Secundaria...

Todo este asunto no hace más que dejar un sabor amargo de decepción al enfrentarse con la realidad de las matemáticas en la vida cotidiana, y descubrir la ignorancia de las leyes básicas de la probabilidad entre personas con puestos sociales importantes, como los Directores de colegios, la poca importancia que se le da a garantizar que los sorteos sean justos desde la misma Delegación de Educación, y la terrible, espantosa lentitud con la que funcionan a veces los tribunales de justicia y que los convierte finalmente en injustos, sea cual sea el veredicto final.

PD: para todos los interesados en profundizar en el problema, pretendo subir pronto a la red el documento PDF en el que está resuelto y calculadas todas las probabilidades.

[El Problema de la Semana] Triangulitis

El problema propuesto esta semana a los grumetes va de calcular áreas:

El triángulo exterior de la figura es equilátero y su área es de 4 metros cuadrados. Los triángulos interiores se han construido uniendo los puntos medios de los lados. Calcula el área de la zona sombreada.

(Debajo de la imagen viene la solución. Si el lector quiere intentar resolver el problema por sí mismo, no debe seguir leyendo.)

Como el triángulo exterior lo hemos dividido en cuatro partes, una de ellas sombreada, y luego la parte central se ha dividido en cuatro partes a su vez, una sombreada, y luego volvemos a dividir en cuatro sombreando una, podemos resolver el problema con una suma de fracciones; si el área total es de 4 metros cuadrados, la primera área sombreada será de solo 1 metro cuadrado, la siguiente de 1/4 metros cuadrados, y la última de 1/16 metros cuadrados.

1 + 1/4 + 1/16 = (16 + 4 + 1)/16 = 21/16 metros cuadrados.

Los grumetes no han usado fracciones para resolver el problema, sino números decimales:

1 + 0'25 + 0'0625 = 1'3125 metros cuadrados.

Ambas respuestas, en fracciones o en números decimales, son correctas.

Ampliación del problema: da la sensación de que eso de dividir cada triángulo en cuatro partes y tomar una y luego dividir otra de esas partes y tomar una, etc., es un proceso que se podría repetir todas las veces que se quisiera.

Supongamos que repetimos el proceso infinitas veces. ¿Se podría calcular el área total de los infinitos triángulos sombreados?

La suma sería una serie infinita de fracciones, con denominadores potencias de 4:

1 + 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + 1/1024 + ...

Para los matenavegantes que conozcan las progresiones aritméticas y geométricas, la sucesión 1, 1/4, 1/16, 1/64, 1/256, etc., es una progresión geométrica, ya que cada término se obtiene del anterior multiplicando por 1/4, y a este número se le llama razón de la progresión. En este caso que nos ocupa, la razón de la progresión, 1/4, es menor que 1, y por lo tanto la serie infinita es convergente, es decir, es posible calcular la suma de las áreas de los infinitos triángulos.

La fórmula que nos da esa suma es S = a₁/(1 − r), donde a₁ es el primer término de la sucesión (1 en nuestro caso) y r es la razón (1/4 en nuestro caso).

Hacemos las cuentas pertinentes y obtenemos que:

S = 1/(1 − 1/4) = 1/(3/4) = 4/3 = 1'333333...

La suma de las áreas de los infinitos triángulos vale 4/3 metros cuadrados, o también 1'333333... metros cuadrados.

Nota: el problema Triangulitis ha sido seleccionado por Marisa Fernández Villanueva, del IES Veles e Vents, en Torrent, para el calendario matemático publicado el curso pasado por la editorial SM.

El extraño caso de Oliva Sabuco

Cuaderno de bitácora: en la película La Habitación de Fermat (ver la entrada correspondiente en este blog) cinco personajes son citados misteriosamente a una reunión para resolver enigmas, y cada uno de ellos se presenta bajo un seudónimo, o nick, como diríamos hoy, tomado de algún personaje de la historia de las matemáticas. Así tenemos al propio Fermat, mencionado en el título de la película, y también a Hilbert, Pascal, Galois y Oliva. Para todos los matenavegantes los cuatro primeros son matemáticos famosos, pero la única mujer del grupo lleva el seudónimo de una tal Oliva Sabuco, que hasta que salió en la película era totalmente desconocida para mí.

He investigado a esta mujer de la antigüedad, y lo que he averiguado a través de Internet me ha interesado mucho, además de llenarme de incógnitas sin despejar, sobre todo en relación al papel que toma en la película.

¿Quién es Oliva Sabuco? Hay diversas páginas con información sobre ella. Tenemos por ejemplo Oliva Sabuco en la Wikipedia, en la que aparece con el nombre completo de Oliva Sabuco de Nantes Barrera, y se dice que fue una esposa y madre española de la época renacentista a la que se le atribuye la redacción del libro Nueva Filosofía de la naturaleza del hombre, no conocida ni alcanzada de los grandes filósofos antiguos, la cual mejora la vida y salud humana. Por la publicación de este libro, algunos autores afirman que Oliva Sabuco fue una destacada médica y filósofa de su época.

Si estudiamos su biografía, Oliva Sabuco nació en Alcaraz, Albacete, en 1562. La fecha de su muerte es incierta, pero se afirma que es posterior a 1629, es decir, que probablemente llegó a cumplir los 67 años. En 1580, cuando tenía unos dieciocho años, contrajo matrimonio con Acacio de Buedo, con el que tuvo al menos cuatro hijos. Acacio ocupó varios cargos públicos en Alcaraz, y el matrimonio dispuso de una posición desahogada, legando dotes sustanciosas a sus hijos.

No está registrado en ninguna parte que Oliva Sabuco cursara estudios; se dice que fue formada en su casa, y que su padre había organizado tertulias intelectuales. En realidad, éste era el único camino para que la joven Oliva adquiriera una formación, porque en aquella época los estudios académicos oficiales estaban prohibidos para las mujeres. Fuera como fuese, la joven Oliva se las ingenió para redactar el libro Nueva Filosofía de la naturaleza del hombre... antes de 1585, con menos de veintitrés años, y lo publicó en 1587. Estas circunstancias han suscitado la controversia sobre si Oliva Sabuco fue realmente la autora del texto, y hay estudiosos que están a favor de su autoría, y otros que definitivamente niegan tal posibilidad.

Por un lado tenemos una mujer muy joven, de veinte y pocos años, recién casada, de la que algunos historiadores afirman que tuvo que dedicarse desde el momento en que contrajo matrimonio a sus tareas de esposa y madre, sin formación académica documentada y crecida en un pueblo o aldea de Albacete, lejos, en principio, de los círculos intelectuales de entonces. Por otro lado un libro escrito en un castellano de elevado estilo, un tanto arcaico para la época en que creció Oliva Sabuco, con partes escritas en un latín excelente, y de un contenido muy avanzado, científico-naturalista y filosófico, que fue elogiado por muchos autores de la época y recibió varias ediciones. Oliva Sabuco, además, no mantuvo ningún tipo de correspondencia científica con los autores y sabios de su tiempo, ni volvió a escribir ningún otro libro, ni dejó otros textos sin publicar que se conozcan, sino que su vida fue sencilla, oscura y desconocida para las crónicas, la vida de un ama de casa de buena posición en aquellos años.

Debido a estas circunstancias, hay muchos estudiosos que afirman que la autoría del libro no pertenece en realidad a Oliva, sino a su padre, el bachiller Miguel Sabuco, quien, al parecer, habría escrito el libro y al intentar publicarlo, temeroso de que su avanzado contenido le granjeara una denuncia por hereje, cedió la autoría a su hija, y más tarde, cuando vio que el libro había recibido las licencias para su publicación, intentó recuperar su nombre como autor del mismo.

Hay, sin embargo, ardientes defensores de que dicho libro fue escrito, efectivamente por la propia Oliva, y tratan de mantener el prestigio de esta mujer como una de las pocas mujeres científicas de la antigüedad, y una de las escasas figuras femeninas españolas que destacaron en aquellos tiempos en los campos del saber. Tenemos, por ejemplo, la Sociedad Oliva Sabuco, en la que se estudian todos los pormenores y detalles de su historia, concretamente en la página dedicada a su biografía.

Mi postura personal, en cuanto al caso de esta mujer, está más cerca, en principio, de la de la Sociedad Oliva Sabuco, pues no veo por qué hay que negar la posibilidad ni el mérito a una mujer joven para ser una gran estudiosa y la autora de un libro importante, a pesar de las dificultades de la época en que vivía. Parece ser, además, que tuvo acceso a importantes bibliotecas de Alcaraz, como la de su padrino, el Doctor Heredia, y pudo departir con personajes de la talla del profesor Simón Abril, eminencia en autores clásicos latinos y griegos, que llegó al pueblo por aquellos años y luego sería nombrado profesor de la Universidad de Zaragoza.

Tenemos pues, por un lado, el descubrimiento de esta mujer excepcional, bastante desconocida, y de su libro, un descubrimiento lleno de puntos interesantes. Pero por otro lado, nos encontramos con el papel de esta mujer en la película La Habitación de Fermat.

Aquí las cosas no me coinciden. En primer lugar, la película trata sobre matemáticos, y los seudónimos empleados son nombres de matemáticos famosos, excepto Oliva, porque ella, se dude o no, es conocida como médica y filósofa, no como matemática. Su libro no trata de matemáticas, sino de medicina y filosofía. En segundo lugar, en un momento clave de la película, se comenta que Oliva Sabuco murió a la edad de 26 años, edad que coincide con la de la mujer que lleva su seudónimo. Pero los pocos datos de su biografía con los que se cuenta dicen que pudo llegar a vivir más de sesenta años.

Habiendo mujeres matemáticas famosas en la historia, ¿por qué se ha incluido en la película a Oliva Sabuco, que no era matemática? Y si la edad de la muerte de los matemáticos mencionados es un punto importante en el argumento, ¿por qué se afirma que murió a una edad que no parece ser cierta?

Quedan abiertas para nosotros estas pequeñas incógnitas, difíciles de resolver por el momento, salvo que algún día tengamos acceso a conocer las intenciones de los guionistas del film. En cualquier caso, es curioso cómo algunas veces hay detalles que llaman la atención, y que luego, al investigarlos, resultan ser más interesantes de lo que parecían en un principio, como sucede con cualquier travesía a traves de los mateocéanos: en la distancia, la isla que se ve a los lejos es solo un punto que rompe la continuidad del horizonte; cuando te acercas lo suficiente, sin embargo, se revela ante tus ojos todo un paisaje nuevo de exhuberante vegetación cuajado de flores y frutos, elevadas montañas, ríos caudalosos interrumpidos por rugientes cascadas, y ocultas tras ellas, oscuras cuevas de paredes forradas con piedras preciosas que conducen, inevitablemente, al corazón del misterio.

[El Problema de la Semana] La altura del tronco

Inauguramos un nuevo tipo de entradas a los que vamos a llamar El Problema de la Semana.

Desde hace ya cinco años, en nuestro Barco Escuela venimos proponiendo problemas a los grumetes, un problema por semana, aunque no todas las semanas, porque en total salen unos quince problemas durante el curso. Suelen ser problemas variados, algunos de ellos ingeniosos, que se pueden resolver de diversas maneras. Habitualmente los extraemos de los libros de nuestra biblioteca matemática, aunque también hay algunos que proceden de la web, o nos los cuentan espontáneamente otros matenavegantes, etc. A aquellos grumetes que entregan más problemas resueltos se les da un premio al final del curso.

El problema de esta semana es muy sencillo:

¿Qué altura tiene un tronco que es 2 metros más corto que un árbol de altura triple que la del tronco?

La solución viene debajo de la ilustración. Si el lector quiere intentar resolverlo por sí mismo, no debe seguir leyendo.

[autor de la fotografía: Luis Diago]

Hay varias formas de resolver el problema. Una de ellas puede ser por cálculo mental, tanteando con algunas cantidades, aunque en realidad no hay que tantear mucho. Otra forma es plantear una ecuación.

Llamemos x a la altura del tronco. Entonces x es 2 unidades menor que 3x. En forma de ecuación:

x = 3x − 2

Es fácil despejar x:

x − 3x = −2

−2x = −2

x = −2/(−2)

x = 1

Solución: el tronco mide 1 metro de altura.

Nota: este problema ha sido seleccionado por Marisa Fernández Villanueva, del IES Veles e Vents, en Torrent, para el calendario matemático publicado el curso pasado por la editorial SM.

El método americano para el cálculo del mínimo común múltiplo

Cuaderno de bitácora: la navegación por los matemares nunca deja de traernos descubrimientos inesperados. El último ha sido hace un par de días, cuando uno de nuestros grumetes me ha mostrado lo que podemos llamar como "método americano para el cálculo del mínimo común múltiplo".

En los colegios españoles es costumbre enseñar a los alumnos la descomposición factorial de los números en factores primos. Esto es lo que entre los matenavegantes se conoce como Teorema Fundamental de la Aritmética: todos los números enteros positivos se pueden descomponer de forma única como producto de números primos.

Tal y como está enunciado, para que éste Teorema sea cierto, es necesario que el 1 no sea un número primo. Los números primos son, por tanto, 2, 3, 5, 7, 11, 13, etc.

Muchas personas recuerdan una de las definiciones más corrientes de número primo: un número que sólo es divisible por 1 y por sí mismo. Si seguimos al pie de la letra esta definición, el 1 sí sería primo, ya que sólo es divisible por 1 y por sí mismo, 1.

Sin embargo, es muy incómodo dejar que el 1 sea primo, ya que entonces la factorización en factores primos de los números naturales (también llamados enteros positivos) permitiría expresiones como: 6 = 1·2·3, o que 6 = 1·1·1·2·3, en lugar de limitarnos a decir que 6 = 2·3. La factorización en factores primos no sería única, podría variar todo lo que quisiéramos introduciendo tantos factores 1 como nos apeteciera.

Una definición más ajustada de número primo es, por tanto, la siguiente: un número primo es un número natural mayor que 1 que sólo es divisible por 1 y por sí mismo. (Así el 1 queda excluido, y con él, los problemas de unicidad de las descomposiciones.)

Cuando se trata de calcular el máximo común divisor (mcd) y el mínimo común múltiplo (mcm) de dos o más números, en los colegios españoles, tradicionalmente, se ha enseñado que los números han de descomponerse en factores primos, y luego tomar

-para el mcd los factores comunes con el menor exponente.

-para el mcm los factores comunes y no comunes con el mayor exponente.

Pero eso de tomar los factores comunes, no comunes, mayor, menor exponente... muchos grumetes se hacen un verdadero lío, y no les queda nada claro. Se les olvida rápidamente, y aunque la intención de los profesores es buena, no parece que este método de cálculo de mcd y mcm tenga el éxito que merece en el aprendizaje de nuestros alumnos.

Da la sensación de que al enseñar todos estos procesos se pretende que el alumno vaya captando algunos conceptos abstractos que, en realidad, son bastante avanzados, como la unión y la intersección de conjuntos, y esa íntima arquitectura de los números que se descifra gracias a su descomposición factorial.

Se me ocurre comparar un número con el motor de un coche. Descomponer un número sería como desmontar un motor: usando las herramientas adecuadas para cada tornillo y cada tuerca, cualquiera puede aprender a desmontar un motor. Pero sacar a partir de las descomposiciones el mcd y el mcm se asemeja a tener el motor de un coche desmontado y lograr que una persona aprenda a recombinar las piezas para conseguir, por ejemplo, el motor de una motocicleta o el de un camión. Eso ya es una tarea mucho más difícil, que requiere conocer profundamente el funcionamiento interno del motor, conceptos como la energía y el trabajo, la potencia, el diseño de las piezas, y muchos aspectos técnicos que quizás sólo son interesantes para especialistas de la talla, por ejemplo, de los que trabajan como mecánicos en la Fórmula Uno.

Cuando aprendemos a sumar y restar fracciones, nos enseñan que hay que calcular el mínimo común denominador de las fracciones. Esto no es necesario, porque basta calcular un común denominador, no hace falta que sea el mínimo, siempre que en el resultado final nos habituemos a simplificar o reducir las fracciones hasta conseguir una fracción irreducible.

Las calculadoras científicas corrientes que se usan en la Enseñanza Secundaria, permiten trabajar con fracciones y es muy sencillo simplificar con ellas cualquier fracción. Pero no están programadas para calcular el mínimo común múltiplo, por lo que averiguar el mcm es una tarea que en clase hay que hacerla a mano.

Aunque calcular el mínimo común denominador no es necesario, como hemos dicho antes, se les acostumbra a los grumetes a realizar el cálculo, y entonces, como no se acuerdan del algoritmo, surgen los problemas: ¿cómo se calculaba el mcm de los denominadores? ¿cogemos los factores comunes o los no comunes? ¿cuántas potencias de cada factor tomamos? Además, el proceso de sumar o restar las fracciones queda interrumpido por el cálculo del mcm, que a veces resulta largo y tedioso.

Estábamos dedicados en el Barco Escuela a este tipo de ejercicios cuando uno de los grumetes me preguntó si el método que estaba empleando se podía usar. Y entonces me enseñó un procedimiento que yo no había visto antes, y que a él le habían enseñado en tierras americanas.

Dicho método o algoritmo me ha parecido tan sencillo que lo voy a tratar de explicar aquí. Aunque utiliza la descomposición en factores primos, no se necesita hablar explicitamente de factores comunes ni de mayores o menores potencias. Se toman los números a los que se quiere calcular el mínimo común múltiplo. Se ponen en fila. A un margen de la fila se coloca un factor primo, que aparezca al menos en uno de los números, y se dividen todos los números que se puedan por ese factor, colocando los cocientes debajo de cada número. Luego se coloca otro factor primo, puede que el mismo si en algunas columnas todavía se puede seguir dividiendo por él, y se dividen todos los números que ahora tenemos en la parte inferior de cada columna (los cocientes de la primera división y los que no se pudieron dividir en el primer paso) por el nuevo factor. El caso es ir logrando que todos los números vayan siendo divididos progresivamente hasta que cada columna termine en 1. Luego se toman todos los factores que pusimos al margen y se multiplican; el resultado es el mcm buscado.

Ilustrémoslo con un ejemplo: sean los números 12, 18, 30, 45. Busquemos el mcm de estos cuatro números.

Empezamos escribiendo en el margen el número primo 2, que divide a algunos de los números. Los que se pueden dividir son divididos, los que no, se quedan como están (véase ilustración)

Como todavía en la primera columna se puede dividir por 2, volvemos a ponerlo al margen, y dividimos lo que podemos.

Continuamos con el 3, que ponemos al margen, y dividimos los números de la parte inferior de las columnas por 3, los que se puedan, (en este caso se pueden todos).

Obsérvese que en la primera columna ya hemos conseguido llegar a 1. Esa columna ya está terminada. Como en algunas de las otras columnas todavía se puede dividir por 3, volvemos a colocar un 3 al margen y dividimos.

Ya hemos terminado también la segunda columna, nos quedan sólo la tercera y la cuarta, ponemos un 5 al margen y dividimos.

Hemos llegado al final. Si observamos el margen, hemos recopilado todos los factores necesarios para el mcm, que será 2·2·3·3·5 = 180.

El lector puede hacer sus propias comprobaciones con otros ejemplos, como el siguiente: calcular el mcm de 28, 32, 40. El proceso debe ser el que aparece en la ilustración, en la que hemos reflejado todos los pasos:

Obtenemos finalmente que el mcm de 28, 32 y 40 es 2·2·2·2·2·5·7 = 1120.

PD: todos los matenavegantes expertos saben que para el cálculo del mcd de dos números existe un algoritmo clásico muy antiguo, fácil y rápido, conocido como algoritmo de Euclides que no emplea la descomposición en factores primos. Consúltese, por ejemplo, la página de Vitutor, que lo explica de forma muy sencilla.