Re Mi Do Do Sol

Cuaderno de bitácora: donde menos se piensa y cuando menos se piensa, salta la liebre matemática.

Hace unos días estaba escuchando el podcast La Órbita de Endor, más concretamente el audio sobre la película Encuentros en la Tercera Fase. Los colaboradores del programa explicaban cómo Steven Spielberg, el director, y John Williams, el compositor de la banda sonora, se ponían de acuerdo para elegir las cinco notas musicales que iban a ser el mensaje de saludo de los extraterrestres a los humanos, y entonces surgió la cuestión matemática. Veamos cómo fue todo el asunto.

Según lo que explica el propio John Williams,

Steven repetía que debían ser cinco notas. Y recuerdo que yo le decía que si podía hacerlo con siete u ocho notas [...] Cinco notas me lo ponían más difícil que siete, ocho o nueve. Le dije a Steven que saldría mejor. Y dijo: "no, ni siquiera debería ser una melodía. Debería ser como llamar al timbre de una puerta, como cuando Avon llama a tu puerta, ya sabes, 'Ding Dong'. No es una melodía, ni siquiera es una frase, sólo intervalos musicales sin ritmo asignado. Sólo cinco notas."

Era muy difícil hacer que la señal tuviera algún sentido musical. Y recuerdo haber escrito puede que 250, 300 de estas cosas. Tuve varias reuniones con Steven para interpretarle todos estos pequeños temas, y no nos decidíamos. Nunca podíamos decir "¡Eureka! ¡Este es exactamente el que queremos!". Me encanta contar esta historia, porque pensé que lo habíamos agotado todo con trescientos ejemplos de variaciones de cinco notas dentro de la escala. Y Steven dijo, "Oh, tiene que haber más. Llamaremos a un amigo mío que es matemático y le preguntaremos cuántas combinaciones de cinco notas dentro de la escala de doce se pueden crear." Entonces el amigo de Steven nos telefoneó una hora después y dijo "aproximadamente 134.000."

Nos dimos cuenta que apenas habíamos empezado a explorar lo que se podía hacer con cinco notas. Así que finalmente, llenos de exasperación, trazamos un círculo alrededor de uno de los temas. Al día siguiente regresamos y probé unas cuantas notas más, y Steven dijo "toca la que circulamos ayer". Y regresamos a aquel tema. Finalmente dijo: "Bueno, supongo que éste es: debe ser el mejor que podemos conseguir."

Bien, la señal se ha hecho muy familiar, lo que me produce satisfacción, porque al principio las cinco notas que finalmente usamos eran tan distantes como todos los otros ejemplos que se nos ocurrieron.

[Este texto ha sido traducido de la página de la Biblioteca de la Universidad de Illinois en Urbana-Champaign, y procede de las entrevistas que aparecen en la Edición del Coleccionista de "Encuentros en la Tercera Fase"]

Carátula de la película, extraído de la web de CINeol

Bien, hagamos el papel del amigo matemático de Steven Spielberg, y tratemos de calcular cuántas combinaciones dentro de la escala de doce se pueden crear. El problema es sencillo, un matenavegante con conocimientos elementales de combinatoria debería poder resolverlo en unos minutos.

El problema, tal como está planteado, es ambiguo, porque no especifica si las notas se pueden repetir o no. Veamos los dos casos:

Si las notas se pueden repetir, entonces, entonces tenemos que elegir cinco notas entre doce tonos posibles, (en lenguaje matemático serían variaciones con repetición de doce notas tomadas de cinco en cinco). Es muy sencillo entender que para elegir la primera nota tenemos doce posibilidades, que luego se irán multiplicando por otras doce para elegir la segunda nota, otras doce para la tercera y así hasta cinco veces:

12 · 12 · 12 · 12 · 12 = 248.832 posibles variaciones si las notas se pueden repetir.

Sin embargo es más lógico que las notas no se repitan, (en lenguaje matemático son variaciones sin repetición de doce notas tomadas de cinco en cinco, aunque en textos ingleses aparecen como permutaciones). Entonces tenemos doce posibilidades para elegir la primera nota, una vez elegida nos quedan once posibilidades para la segunda, luego diez posibilidades para la tercera y así hasta cinco veces:

12 · 11 · 10 · 9 · 8 = 95.040 posibles variaciones si las notas no se pueden repetir

Y aquí viene el misterio:

¿Por qué el amigo matemático de Spielberg tardó una hora en contestar diciendo que había unas 134,000 variaciones, cifra que no coincide con los posibles resultados del problema?

La cifra aportada por el amigo de Spielberg no coincide para nada con ninguna de las dos situaciones planteadas. Como aproximación de cualquiera de ellas es muy errónea. Lo único que coincide de momento es que está entre los dos cálculos, aunque ni siquiera es la media de las dos cantidades.

Si tratamos de modificar ligeramente las condiciones del problema, obtenemos cifras un poco más cercanas a la respuesta del matemático.

Si puede haber hasta un máximo de dos notas iguales, entonces el número sería:

12 · 12 · 11 · 10 · 9 = 142.560, una cifra más cercana a la del matemático, pero que tampoco coincide con ella.

Si puede haber hasta un máximo de tres notas iguales, el número se aleja:

12 · 12 · 12 · 11 · 10 = 190.080.

También hay otro detalle. La variación que eligieron Spielberg y Williams, Re-mi-do-do-sol, no entra dentro de una sola octava, pues el segundo do es una octava inferior al primero. Es decir, entre las variaciones que hemos calculado hasta ahora no se encontraría la que eligieron, porque se sale de la octava. Entonces podemos suponer que en lugar de doce notas ampliamos a trece, y si las notas no se pueden repetir, el número de variaciones sería:

13 · 12 · 11 · 10 · 9 = 154.440, y tampoco coincide con las ciento treinta y cuatro mil que dice Willliams, aunque ya suena más parecido.

¿Planteó el amigo de Spielberg el problema de alguna otra forma distinta? ¿Se equivocó en el planteamiento o en los cálculos? ¿Dio simplemente una respuesta aproximada basada en cálculos mentales? ¿O es que John Williams se equivoca al recordar la cifra dada por el matemático?

Otro detalle que nos llama la atención es que el matemático tardara una hora en devolver la llamada. ¿Por qué tardó tanto? El planteamiento del problema es sencillo e inmediato. ¿Tuvo que hacer los cálculos a mano? Probablemente, pues en aquella época las calculadoras de bolsillo estaban apenas introduciéndose en los mercados. También es posible que se tomara su tiempo informándose en libros de texto, o simplemente que estuviera ocupado haciendo otras cosas y no pudiera devolver la llamada antes.

Hemos tratado en este artículo muchos detalles que sólo pueden interesar a un matenavegante ávido de conocimientos. Todas estas elucubraciones... se perderán como lágrimas en la lluvia... y en la historia del cine ¿quedará registrado sólo el testimonio de John Williams y su cifra misteriosa, sin que nadie se vuelva a preocupar de su justificación?

Notas: Explorando la web, en la página de la Santiago Canyon College, hemos encontrado un tema sobre combinaciones y permutaciones, subido por Joyce Wagner. Uno de los problemas propuestos en el tema es precisamente el que hemos tratado en este artículo:

In western music, an octave is divided into 12 pitches. For the film Close Encounters of the Third Kind, director Steven Spielberg asked composer John Williams to write a five-note theme, which aliens would use to communicate with people on Earth. Disregarding rhythm and octave changes, how many five-note themes are possible if no note is repeated?

[Traducción: En la música occidental, una octava está dividida en 12 tonos. Para el film Encuentros en la Tercera Fase, el director Steven Spielberg le pidió al compositor John Williams que escribiera un tema de cinco notas, que sería usado por los aliens para comunicarse con la gente de la Tierra. Descartando el ritmo y los cambios de octava, ¿cuántos temas de cinco notas son posibles si no se repite ninguna nota?]

La respuesta que aparece en el tema a este ejercicio es la segunda que hemos calculado: 95.040.

Matemáticas y cine: Dentro del Laberinto

Cuaderno de bitácora: parece que todos los cursos, en el Barco Escuela, estoy recurrentemente destinado a repetir a los grumetes los mismos temas. Uno de ellos surge cuando les presento al maravilloso y popular pintor M. C. Escher, y les muestro algunos de sus cuadros. Hay uno de ellos, Relatividad, que es muy conocido, y representa una especie de lugar fantástico, una casa o castillo, en el que las tres dimensiones van intercambiándose el papel de arriba-abajo, izquierda-derecha, delante-detrás. El dibujo parece estar presidido por escaleras que son subidas y bajadas por individuos anónimos, pero no hay una dirección para subirlas o bajarlas, sino que la referencia es relativa a cada individuo: para cada uno de ellos la perspectiva arriba o abajo, izquierda o derecha, delante o detrás, es diferente. El castillo se abre en arcos y balcones a un exterior que también es distinto en cada perspectiva, haciéndolo imposible de conciliar para la imaginación de los que observamos la escena.

En este mundo de fantasía plasmado por Escher, los individuos sin rostro parecen autómatas incapaces de interactuar entre sí, cada uno vive atrapado por su propia perspectiva y situación, carecen de ojos para ver, quizás porque la visión sería incomprensible para su cerebro, y también carecen de oídos y de boca, porque el diálogo entre ellos es inútil, pues nunca podrán ponerse de acuerdo en una forma común de ver el mundo.

Propongo al lector que observe por un momento el cuadro y agrupe los diferentes personajes anónimos por conjuntos, cada uno con la misma perspectiva. Por ejemplo, en la esquina superior izquierda, hay una pareja que camina dándonos la espalda, y a su lado un personaje apoyado en un pretil, y un poco a la derecha otro personaje que baja una escalera, los cuatro con la misma orientación y perspectiva. O, en la esquina inferior derecha hay dos individuos sentados a una mesa delante de lo que parecen comestibles, y un poco a la izquierda se ve a otro, con la misma orientación, bajando una escalera y llevando en su mano izquierda una bandeja con una botella. ¿Cuántas perspectivas hay en total? ¿Cuántos personajes pertenecen a cada orientación?

Supongo que se puede filosofar mucho sobre el significado de la imagen de Escher, y sacarle un paralelismo con la situación del mundo actual y la actitud de tantos sectores radicales y fanáticos de la sociedad respecto a los demás sectores. Sin embargo, el título del cuadro lo resume todo: relatividad, todo es relativo, cada persona interpretará su mundo de acuerdo a su propia visión y la comprensión mutua llegará cuando sepamos ver esa misma relatividad en la que se envuelve todo, o cuando seamos capaces de ponernos de acuerdo en elegir perspectivas comunes.

A los grumetes, en clase, les comento que éste es un cuadro utilizado en una hermosa película: Dentro del Laberinto (Labyrinth), que les recomiendo encarecidamente para que la vean si no lo han hecho ya.

Personalmente, la película Labyrinth está ligada a diversos recuerdos nostálgicos de mi adolescencia. Con diecisiete o dieciocho años formaba parte de una pandilla de amigos y amigas del colegio, salíamos a pasear, a tomar algo en alguna cafetería, a visitar juntos los centros comerciales, a ir al cine, etc. Una de las películas que proyectaron en las pantallas de aquella época fue Dentro del Laberinto. Quizás sea que recuerdo aquellos años y los vuelvo a ver con los ojos soñadores de un adolescente, pero estoy convencido que fue una de las mejores épocas para el cine. En las pantallas se estrenaban películas llenas de fantasía e imaginación; fueron los años del triunfo de Steven Spielberg y George Lucas, los años en los que se estrenó, por ejemplo, la que considero mejor película de toda la saga Star Wars: El Imperio Contraataca; los años en los que apareció Indiana Jones, Blade Runner, Alien, Excalibur, Galáctica, Terminator, Rocky, y tantos otros títulos que luego han dado lugar a sagas, remakes e imitaciones.

En Sevilla, en la calle República Argentina, existe todavía una tienda de la cadena Vips que fue abierta en aquellos tiempos. Disponía de lo último en videos y libros, y entre los que exponía pude hojear un libro dedicado a los personajes de la película Dentro del Laberinto. El libro se ilustraba con una enorme cantidad de dibujos y bocetos de los monstruos de la película, duendes, ogros, goblins, describiendo cada uno de ellos, sus características, sus ocupaciones, su comportamiento, etc. Aquella imagen del libro lleno de dibujos y bocetos se me ha quedado grabada en la memoria, como un permanente estímulo para la imaginación. Éste es uno de los momentos atesorados de mi adolescencia, que envuelto en el glamour de la tienda Vips, en el ambiente de mi pandilla y en la magia del cine, siempre que lo recuerdo me produce un profundo estremecimiento emocional.
En Labyrinth, la joven Sarah (interpretada por Jennifer Connelly) debe rescatar a su hermano pequeño, que ha sido secuestrado por el rey de los goblins, Jareth (interpretado por David Bowie). Para ello debe introducirse en el reino de los duendes y atravesar el laberinto que se extiende delante del castillo de Jareth, y llegar al castillo antes de que se cumplan las trece horas asignadas para el rescate.
Al principio de la película, podemos ver la habitación de Sarah; en una de sus paredes destaca un póster con el grabado Relatividad de Escher que hemos puesto arriba. Los autores del filme han colocado allí el grabado como una referencia al autor holandés, pues se han inspirado en su obra para plasmar el interior del castillo de Jareth, que tiene una disposición similar a la representada en el cuadro y que vamos a conocer al final de la película, en el momento del desenlace. Es entonces cuando sola y metida en una especie de mundo onírico, Sarah llega al castillo y se encuentra un salón incomprensible lleno de puertas y escaleras colocadas en imposibles perspectivas, por las que el rey de los goblins juega a bajar y subir, salir y entrar, violando las leyes de gravedad y retando a Sarah en un último juego de ingenio e imaginación. La joven trata de llegar hasta donde se encuentra su hermano Toby, pero éste se aparece siempre en la escalera equivocada y se muestra inalcanzable, por mucho que Sarah se esfuerza en encontrar el camino correcto. La muchacha deberá tener fe y romper la ilusión saliéndose de las normas retorcidas que quiere imponerle el rey de los goblins, para rescatar finalmente a su pequeño hermano.

Hay un momento en el filme que también tiene una referencia matemática muy concreta. Es el momento en el que Sarah se enfrenta con dos puertas, delante de las cuales hay dos personajes extraños, cada uno de ellos cubierto por un escudo tras el que se asoma una cabeza por arriba, otra por abajo, varias manos y varios pies. Los personajes informan a la joven que una de las puertas conduce directamente al castillo del rey de los goblins, y la otra a una muerte segura. Para averiguar cuál es la puerta buena, las reglas son que Sarah sólo podrá hacer una pregunta y sólo a uno de los dos personajes, pero uno de ellos siempre miente y el otro siempre dice la verdad, y la joven no sabe cuál es cada cual. Así que después de pensar unos momentos Sarah se acerca a uno de ellos y le hace la pregunta correcta: "¿Me diría tu compañero que ésta es la puerta que lleva al castillo?", y cuando le contesta que sí, entonces la chica deduce que la puerta buena es la otra (piense el lector por qué).

Éste es uno de los problemas más conocidos en el que aparecen personajes que siempre dicen la verdad y otros que siempre mienten, y que a través de lo que dicen, hay que deducir cuál es la verdad. Existen libros enteramente dedicados a este tipo de problemas de lógica.

El mismo problema aparece en el filme español La habitación de Fermat, y uno de sus protagonistas afirma que lo vio en una película; es evidente que se está refiriendo a Dentro del Laberinto.

Notas: para contemplar la obra de Escher, es recomendable visitar su página oficial.

2001 Una odisea del espacio: El misterioso monolito

Hoy, otro de los artículos de doDK, sobre Matemáticas y Cine, dedicado a la película 2001: Una Odisea del Espacio. Como en todos los artículos que estamos rescatando del naufragio de doDK, hemos aprovechado esta ocasión para corregir y ampliar el texto.

Para aquél que todavía no ha visto la película, avisamos que en este artículo comentamos ampliamente sobre su argumento, y no es nuestra intención estropear (spoil, en inglés) la intriga, así que si quiere ver el filme sin ideas preconcebidas, ¡no siga leyendo!

Quizás lo más recordado de esta película sea su banda sonora, donde aparece esa magnífica composición titulada Así habló Zaratustra de Richard Strauss. Los acordes rotundos se van escuchando mientras un supuesto precursor del homo sapiens aprende a manejar un hueso, golpeándolo violentamente contra otros huesos esparcidos por el suelo. Entre tanto, la escena está siendo contemplada por un misterioso monolito que ha venido de no se sabe dónde y que se convierte después en el núcleo de la película.

El monolito negro y enigmático aparece en ese momento en que comienza el despertar de la raza humana. Resulta ser una especie de guía, un instructor, un objeto cuya presencia es el punto de partida del desarrollo del hombre. No se sabe quién lo colocó allí, pero evidentemente se trata de una inteligencia superior que quiere que el ser humano evolucione, y que en esas épocas de fragilidad para la especie humana viene a ayudar en el desarrollo de destrezas inteligentes que permitirán a los homínidos tomar ventaja frente al ecosistema y las demás especies competidoras.

Posteriormente la película da un salto hacia una época futura situada en los albores del año 2001. Han pasado tres millones de años en los que la especie humana ha evolucionado hasta desarrollar una civilización tecnológica, capaz de emprender los primeros viajes interplanetarios. En la órbita terrestre se está construyendo una gran estación espacial, y los viajes a la Luna son trayectos cotidianos para científicos y astronautas, que han instalado una base permanente en el cráter Clavius.

Durante las investigaciones en la Luna, los científicos descubren otro monolito semejante al que presenció el inicio de la raza humana, enterrado bajo la superficie rocosa del cráter Tycho.  Cuando el extraño objeto es encontrado y desenterrado, y recibe los primeros rayos del Sol, manda una poderosa transmisión de radio hacia Júpiter. El artefacto fue colocado en la Luna como una especie de alarma o de avisador de esos seres desconocidos que ayudaron a la humanidad en sus comienzos; el que sea desenterrado significa que la raza humana ha triunfado en su desarrollo tecnológico, y es capaz de salir de su propio planeta, y el monolito está programado para mandar un mensaje con la noticia.

Los científicos deciden enviar una nave, la Discovery, hacia el planeta joviano, tripulada por varios cosmonautas entre los que se encuentra el protagonista, David Bowman. Tras sufrir ciertos contratiempos con el ordenador de a bordo HAL 9000, Bowman llega por fin a las cercanías de Júpiter y se encuentra allí, en medio del espacio, otro monolito, semejante a los dos primeros, pero de un tamaño gigantesco...

La película, dirigida por Stanley Kubrick y basada en un guión escrito por Kubrick y Arthur C. Clarke, es ya todo un clásico, no solo en el género de ciencia ficción, sino en toda la historia del cine. La elección de la forma de los objetos encontrados es uno más de sus aciertos: monolitos, por llamarlos de alguna manera, de unas características muy concretas; su color es negro, opaco, sin reflejo. El material del que están hechos es desconocido y se resiste a todo análisis. Lo único que se puede asegurar es que están fabricados por alguna inteligencia no humana. Pero esta afirmación apenas se insinúa... Es como una verdad que nadie se atreve a aceptar y menos a decir... Todo es misterio...

¿Qué es lo que asegura desde el principio que los monolitos están creados por una inteligencia y no son producto de la naturaleza? En realidad no su color ni su material, sino su perfecta forma geométrica. Las matemáticas son las encargadas de darnos la prueba de que no se trata de objetos aparecidos al azar.

Los científicos de la base lunar Clavius han descubierto el monolito al estudiar los campos magnéticos lunares. En el cráter Tycho se ha detectado una poderosa anomalía magnética que señala la presencia de algo desconocido, y cuando van excavando, se encuentran con el perfecto objeto geométrico, enterrado adrede por una inteligencia extraterrestre hace millones de años.

En la novela que Arthur C. Clarke escribió a la vez que desarrollaba la idea y el guión con Stanley Kubrick, y que publicó casi a la vez que se estrenaba la película, menciona una característica especial del monolito:

Una curiosa, y quizás poco importante, característica del bloque, había provocado discusiones interminables. El monolito tenía 11 pies de alto, y 1¼ por 5 pies en su sección transversal. Cuando sus dimensiones se midieron con gran cuidado, se descubrió que estaban en la proporción exacta 1 - 4 - 9, los cuadrados de los tres primeros números enteros. Nadie podía sugerir ninguna explicación convincente para esto, pero difícilmente podía ser una coincidencia, porque las proporciones se mantenían hasta los límites de la precisión de las medidas. Era humillante pensar que toda la tecnología terrestre no era capaz de dar forma a un bloque, aunque fuera inerte, de ningún material, con tan fantástico grado de precisión. A su forma, esta pasiva pero casi arrogante muestra de perfección geométrica era tan impresionante como cualquiera de los demás atributos del monolito.

Así, pues, cada uno de los bloques es un ortoedro perfecto con unas dimensiones exactas. Si consideramos el ancho como 1 unidad, el largo serían 4 unidades y el alto 9 unidades, es decir, sus dimensiones son proporcionales a los números 1, 4 y 9.

Para hacernos una idea, no se me ocurre otra cosa que compararlo con una pequeña tableta de turrón, que tuviera 1 centímetro de grueso, 4 de ancho y 9 de largo. O bien otra de 2 centímetros de grueso, 8 de ancho y 18 de largo. Ambas tabletas serían semejantes en sentido matemático, aunque por supuesto una sería más grande que la otra, pero las dimensiones de ambas seguirían las mismas proporciones 1:4:9.

Eso es lo que ocurre con los monolitos. Los tres son semejantes, los tres siguen exactamente las mismas proporciones, aunque son de distinto tamaño. En la novela, los científicos que se encargaron de medir el monolito de la Luna reconocen con asombro que las medidas son exactas hasta donde llega la precisión de sus aparatos de medida: no hay el más mínimo error en su fabricación. Son tan perfectos que no parecen del mundo real, como si fueran verdaderamente entes matemáticos ideales plasmados físicamente.

Las proporciones seguidas tampoco son al azar. 1, 4 y 9 son los cuadrados de los tres primeros números naturales, 1, 2 y 3. Al elegir esas proporciones se ha hecho una elección simple pero elegante. En efecto, el porte de los monolitos es estilizado e imponente. Y además, parecen sugerir una sucesión: 1, 2, 3... evidentemente, el siguiente número sería el 4, y en la sucesión de cuadrados, el 16. Si asociamos cada lado con una de las dimensiones del espacio, tenemos representadas en el monolito las tres dimensiones, pero la sucesión apunta hacia una cuarta dimensión, y luego una quinta, una sexta, etc.

Cuando se estrenó, el género de películas de ciencia ficción quedó transformado por 2001: Una Odisea del Espacio. Pero no se aprendieron las lecciones que mostraba en su factura. Se han hecho muchas películas de ciencia ficción con un exceso de efectos especiales que más allá de darles interés, llegan a saturar al espectador. Como si fuera un continuo despliegue de fuegos artificiales, se suceden las explosiones, las naves atravesando la pantalla, las hazañas imposibles en el último segundo. Los guionistas se niegan a representar cómo es el espacio realmente, y son muy pocas las películas que saben combinar un guión inteligente con una puesta en escena correcta y poco fantasiosa.

Es algo ya muy sabido que en el espacio no hay ningún medio por el que se pueda transmitir el sonido.  También sucede que en el espacio, sobre todo si no se viaja a la velocidad de la luz, los vuelos son larguísimos, y se tardan meses e incluso años en llegar de un cuerpo celeste a otro. Además cada planeta es diferente en peso, composición, vida... Un astronauta que llegara a un planeta distinto, aunque este planeta fuera semejante a la Tierra, necesitaría probablemente un periodo de adaptación. Por supuesto, habría un terrible peligro en los posibles virus y bacterias extraterrestres. No hace falta salir del planeta Tierra para tener que sufrir esa adaptación. Cuando viajamos a ciertos países tropicales, necesitamos vacunarnos de numerosas enfermedades. En otros países es corriente padecer males pasajeros por el cambio de agua y de alimentos, así en México es frecuente que los visitantes españoles sufran la venganza de Moctezuma, unas fuertes diarreas que aparecen los primeros días de estancia por culpa del cambio de agua.

Imaginemos entonces lo que puede ser aterrizar en otro planeta. De hecho lo normal es que en otros planetas haya otra fuerza gravitatoria. Si es más ligera ocurriría como en la Luna, los astronautas darían pasos que parecerían saltos, y cualquier objeto lanzado parecería moverse a cámara lenta. Pero en los planetas con mayor masa gravitatoria el cuerpo humano se vería sometido a un peso mayor y los huesos de los astronautas sufrirían horriblemente, les costaría mucho trabajo andar y se agotarían por el más mínimo esfuerzo. Un objeto lanzado al aire caería a plomo sobre el suelo.

Estos pequeños detalles que cualquiera puede entender han sido muy poco explotados por los guionistas de Hollywood, en parte debido a las complicaciones que supone tener que representar estas características. En la serie original Star Trek, estrenada en los años 60, debido al escaso presupuesto y las dificultades en representar un espacio más real, se decidió inventar el teletransporte para evitar que los protagonistas tuvieran que estar usando lanzaderas todo el rato para bajar a los planetas, y también se decidió que las naves tuvieran gravedad artificial. Asimismo, casi todos los planetas visitados tienen características similares a la Tierra, y los protagonistas no necesitan ningún tipo de adaptación ni protección frente al nuevo ambiente del planeta.

Tan solo películas como 2001 se han acercado en sus efectos y planteamiento al espacio real, y sorprendentemente, el resultado ha sido magnífico. La escena en la que el transbordador y la base orbital giran perfectamente acompasados mientras se acoplan, con la música del Danubio Azul de fondo, es de las mejor conseguidas. Contemplar la alargada nave que viaja hacia Júpiter moviéndose mes tras mes en el terrible vacío del espacio, en medio del silencio absoluto, es sobrecogedor. Acercarse a la inmensa mole del planeta más grande del sistema solar realizando maniobras que llevan días enteros te hace respetar y comprender lo que significa un planeta, un planeta entero, gigantesco, para la insignificancia que somos los seres humanos.

Por último la película desemboca en un final enigmático, abierto a todo tipo de especulaciones. Es uno más de los aciertos del film. En dicho final, Bowman se introduce por la puerta estelar que se abre en el monolito de la órbita de Júpiter, atraviesa pasajes interdimensionales flanqueados por luminosos patrones geométricos interminables, desemboca en lugares extraños de la galaxia donde están naciendo constantemente nuevas estrellas entre nubes de gas y polvo, y accede finalmente a algún planeta inimaginado en el que se van desplegando paisajes de colores invertidos, hasta que finalmente la cápsula termina en medio de lo que parece la habitación de un hotel, sintetizada por la misma inteligencia que ha fabricado los monolitos y que ha guiado a la cápsula hasta ese lugar. En una sucesión de escenas silenciosas, Bowman se ve envejeciendo rápidamente hasta morir, y después de hacerlo se convierte en una especie de niño estelar, como si se hubiera transformado y hubiera nacido a una nueva realidad, más allá del espacio tridimensional y de las dimensiones temporales del planeta Tierra.

Notas: para comprender la película a fondo, es importante leer la novela escrita por Arthur C. Clarke. Se lee muy fácil, es muy interesante, y da muchos más detalles de los que se ven en la pantalla. También hay bastantes puntos en los que la novela y la película difieren, a pesar de que Clarke escribía la novela conforme Kubrick filmaba, y que ambos trabajaron juntos para sacar el guión. Las diferencias se explican por la distinta visión que se tiene de la misma historia según se cuente en un libro o se exprese en el cine; además, a la hora de la filmación, los efectos técnicos y especiales permitían ciertas escenas, pero otras escenas resultaban demasiado complicadas de rodar en los años sesenta. Así, por ejemplo, Kubrick situó al tercer monolito en la órbita de Júpiter, mientras que en la novela, el tercer monolito se encuentra erguido sobre la superficie de Japeto, un satélite de Saturno; Júpiter era un planeta más conocido y fácil de representar que Saturno con su sistema de anillos. A mí, personalmente, estas diferencias entre novela y película no me molestan, y me parecen muy interesantes.

Por otro lado, si nos molestamos en medir sobre la pantalla las proporciones del monolito que aparece en la película, es posible que no coincidan exactamente con la terna 1 - 4 - 9. Yo no lo he medido, pero estoy seguro que el negro bloque usado por Kubrick es más estrecho de lo que debería ser, y creo que también más alargado. Así parece tener un aspecto más estilizado y enigmático. En el cine, la proporción de las cosas se varía a menudo para conseguir ciertas sensaciones.

Recomiendo también leer mi otra entrada HAL, IBM y otras naderías, para conocer más detalles interesantes de la película.

Algún día el álgebra os salvará la vida

Cuaderno de bitácora: en diciembre pudimos ver con los grumetes la película de ciencia ficción Planeta Rojo, protagonizada por Val Kilmer, Carrie-Anne Moss, Tom Sizemore y Benjamin Bratt, entre otros, y dirigida por Antony Hoffman.

Personalmente, la película me gustó desde el primer momento que la vi. Es cierto que su argumento puede ser poco original en ciertos puntos, y que a los personajes les falta algo de profundidad y desarrollo. Pero en general, me parece una historia honesta, bien contada, bastante entretenida y con sus puntos de suspense. Los efectos especiales son innovadores y están correctamente realizados, y el retrato de una posible misión a Marte se ha conseguido muy bien, tanto en su parte científica como en el paisaje marciano propiamente dicho.
La película, en su momento, fue un fracaso de taquilla, y de hecho pasó sin pena ni gloria por los cines, casi sin que nadie se enterara. Yo la descubrí en formato DVD, de oferta en unos grandes almacenes, y fue entonces cuando la pude comprar y ver.
El argumento de la película trata de una nave con una tripulación de seis miembros que intenta aterrizar en Marte. Debido a una tormenta solar, la cápsula de aterrizaje se desvía del punto previsto y los astronautas se encuentran perdidos y buscan la forma de orientarse para llegar a la base construida por una misión anterior.
De todos los momentos de la película, hay uno en especial que me encanta. Sé que es un momento un poco tonto, pero llega al sentimiento de cualquier matenavegante. Así dicen los personajes:

SANTEN (interpretado por Benjamin Bratt) - Según los últimos datos fiables, nos encontramos en esta elipse de sesenta por ciento veinte kilómetros.

BURCHENAL (interpretado por Tom Sizemore) - Todos los datos de la misión están aquí. Sólo hay que calcular las variables del aterrizaje. Simple matemática.

GALLAGHER (interpretado por Val Kilmer) - Por fin. Recuerdo que en el Instituto nos decían que algún día el Álgebra nos salvaría la vida.

BURCHENAL (riendo) - Estúpido.

GALLAGHER - Perdona.

Este diálogo resulta ser un pequeño guiño a todos los que han estudiado matemáticas en el colegio y en el instituto y se han preguntado alguna vez para qué pueden servir. También es un guiño a todos los sufridos profesores de matemáticas que día tras día luchan para enseñar una materia cuya mala fama se ha extendido a lo largo y ancho de la historia de la educación. En nuestro Barco Escuela han sido muchas las veces que los grumetes han preguntado para qué sirven, por ejemplo, los polinomios, o las ecuaciones de segundo grado. Yo nunca he llegado a ser tan atrevido como para responderles que el álgebra podría salvarles la vida algún día; simplemente, y de acuerdo al tema que estemos tratando, he procurado hacerles comprender la utilidad de lo que se enseña. En el caso de los polinomios, por ejemplo, les he dicho que son como el abecedario del álgebra, que aprender a manejar con soltura las operaciones de números y letras les preparaba para entender y poder aplicar cualquier fórmula o expresión matemática, y que las fórmulas aparecen donde menos se esperan: en el contrato de una cuenta bancaria, por ejemplo. Si uno no aprende polinomios, no sería capaz de manejar fórmulas correctamente, salvo aquéllas que sean extremadamente sencillas.
Las matemáticas son básicas para todo lo que necesite un mínimo de tecnología. Sin matemáticas, la civilización quedaría reducida a una sociedad tribal que viviría de la caza, de la pesca y de la recolección de frutos; con la agricultura nacieron, en el remoto pasado de hace miles de años, las primeras nociones matemáticas. Los egipcios y los mesopotámicos, por ejemplo, necesitaron de las matemáticas para medir las superficies de cultivo, (geometría significa literalmente, "medida de la tierra"), también para realizar cálculos del tránsito del sol, la luna y los planetas y elaborar calendarios exactos que les permitieran saber las fechas más apropiadas para cultivar, y luego fueron utilizando esas mismas matemáticas en los primeros recuentos estadísticos, en la arquitectura para levantar grandes monumentos, etc.
En la película que estamos tratando, las matemáticas están presentes no sólo en el diálogo que hemos mencionado más arriba, sino como base de todos los aspectos tecnológicos avanzados que se mencionan. Un viaje a Marte, como el que se presenta en la película, es factible con la tecnología que tenemos hoy en día, lo único que hace falta es el presupuesto y la voluntad para realizarlo. Nos encontramos actualmente en una era de gran avance tecnológico (aunque no necesariamente de avance en otros campos de la sociedad), y esto es debido a la contribución de las matemáticas.
En Planeta Rojo, además, la entrenada vista de un matemático reconoce al momento numerosas apariciones de aritmética, geometría, análisis, etc.
Así, por ejemplo, podemos hacer unos sencillos cálculos aritméticos con el tiempo que deben emplear Gallagher y sus dos compañeros en llegar hasta la cápsula soviética que puede salvarles, 19 horas, a las que hay que quitar al menos cinco debido a una tormenta de polvo y a los preparativos para hacer despegar la cápsula, junto con la distancia que deben recorrer, 100 kilómetros, lo que nos lleva a deducir la velocidad a la que deben caminar por Marte, al menos a 7 kilómetros por hora, velocidad bastante alta, casi de trote, pero que se supone que puede mantenerse en la baja gravedad marciana, aunque los astronautas avancen con sus pesados trajes puestos y en una atmósfera muy sutil y fría.

También podemos estudiar la forma geométrica de la cápsula en la que bajan los astronautas a Marte: es un poco extraña, y nos ha resultado bastante difícil de encontrar: un dodecaedro rómbico truncado (véase la ilustración, extraída de la Wikipedia). Justo antes de impactar contra el suelo marciano la cápsula despliega un globo o balón desde cada una de sus caras, como gigantes airbags que pretenden proteger a la tripulación de los violentos golpes, y vemos entonces un cúmulo de esferas, apiñadas como un perfecto racimo de uvas, que nos recuerdan los problemas de empaquetamientos de esferas, los cuales no son nada sencillos.
La infinidad de cálculos que tiene que hacer la computadora de a bordo, la cartografía del planeta, las órbitas alrededor de Marte que describe la nave, el tiempo que tarda la comunicación por radio de los astronautas en ser captada y respondida desde la Tierra... todos estos detalles no pueden escapar a una mente con un mínimo de cultura matemática.
El Matenavegante, desplazándose impertérrito en un inmenso piélago de conocimiento numérico, sí tiene claro que el álgebra en cualquier momento nos puede salvar la vida, porque en realidad, para él, el álgebra y las demás ramas de las matemáticas son la vida misma.
PD: Me ha venido al recuerdo que en otra película, bastante desconocida, llamada El Círculo de Hierro, o también La Flauta Silenciosa (Circle of Iron o The Silent Flute, de 1978, protagonizada por David Carradine, Jeff Cooper y Christopher Lee, y con guión de Bruce Lee), un guía o maestro le comenta a su discípulo: "Un día un pez me salvó la vida". "¿Cómo?" le pregunta el discípulo, y el maestro le responde: "Se dejó comer".
Imitando a este maestro, yo mismo podría decir: "El álgebra me ha salvado la vida". "¿Cómo?". "Enseñando álgebra me gano un sueldo que me permite comer a diario".

Trivial Matemático (4) y Donald en el País de las Matemáticas

Después de varios meses sin Trivial, hoy planteamos otras diez preguntas para comprobar la agilidad de cálculo y la cultura matemática. Es importante contestar rápidamente, sobre todo en las cuentas, ¡y nada de calculadoras!

1. ¿Cuánto vale el mínimo común múltiplo de 9 y 4?
2. Di rápidamente cuánto es el 25% de 300
3. ¿Quién fue el autor de la frase “Las matemáticas son el alfabeto con el que Dios ha escrito el Universo”?
4. ¿Quién demostró finalmente el teorema de Fermat en el año 1994?
5. ¿Qué matemático famoso fue el autor de Alicia en el País de las Maravillas?
6. ¿Cómo murió el joven matemático Evariste Galois?
7. ¿Dónde apuntó Fermat su famoso teorema que dejó sin demostrar?
8. El Cálculo Infinitesimal fue desarrollado durante el siglo XVII por dos matemáticos. ¿Quiénes eran?
9. Si simplificamos la fracción 5/10 queda la fracción…
10. Di rápidamente cuánto es el 50% de 700

Las soluciones, debajo de la ilustración.

[en la imagen, el sonriente gato de Cheshire, en la película de Walt Disney Alicia en el País de las Maravillas (1951)]

1. 36 2. 75 3. Galileo Galilei 4. Andrew Wiles 5. Lewis Carroll 6. en un duelo a pistola 7. en el margen de un libro 8. Newton y Leibnitz 9. 1/2 10. 350

Aprovechando que este año se estrena una nueva versión de Alicia en el País de las Maravillas, no conviene olvidar que el autor de los relatos de Alicia fue un matemático inglés, Lewis Carroll. Alguien, no recuerdo quien, comentó en alguna ocasión que Carroll era un excepcional ejemplo de matemático que además sabía escribir buena literatura. Según todos los indicios, parece difícil conjugar la creación literaria con la investigación matemática, y sin embargo, la propia Sofia Kovalévskaya afirmó que "Es imposible ser matemático sin tener alma de poeta".

La pregunta tercera es una cita de Galileo Galilei. Aparece al final del corto animado Donald en el País de las Matemáticas, que también se ha traducido por Donald en el País de las Matemágicas, un corto de Walt Disney, muy bonito e interesante, que hemos visto con los grumetes en años anteriores. Evidentemente, el corto está inspirado en el relato de Lewis Carroll, y en él aparecen muchas alusiones a la película, incluso el propio Pato Donald se viste en un momento dado con el vestido de Alicia, concretamente cuando aprende las relaciones matemáticas en el ajedrez.

Sobre la cita de Galileo, hay una anécdota graciosa. Cierta grumete, al pedirle que me hiciera una redacción sobre el corto de Donald, escribió la cita de memoria, pero se ve que no la entendió demasiado bien, porque lo que puso en la redacción fue "Las matemáticas son el analfabeto de todo y el centro de la vida".

En la desaparecida página doDK incluí en su momento (allá por el año 2005) un artículo sobre el corto de Donald, y le añadí los comentarios que los grumetes me hicieron sobre el mismo:

Nos encontramos ante un corto producido por Walt Disney en 1959, de una factura impecable, que nos enseña de forma muy amena algunos aspectos simples de la utilidad de las matemáticas.

Donald se introduce como un intrépido explorador en el país de las Matemágicas, en el que contempla sorprendido árboles con las raíces cuadradas, un río de números, un extraño animal con cuerpo de lápiz que lo reta a una partida de tres en raya, tres figuras geométricas (círculo, rectángulo y triángulo) que se juntan para formar un rostro, y ese rostro empieza a recitar los dígitos del número pi...

Después, guiado por el narrador, el pato Donald viaja a la antigua Grecia para conocer a los Pitagóricos, creadores de la escala musical, y aprende las proporciones que se encuentran en la estrella de cinco puntas, proporciones que conducen al número áureo y al rectángulo perfecto. Más adelante se nos muestra cómo tanto el pentagrama o estrella de cinco puntas como la proporción áurea se encuentra en muchos lugares de la naturaleza y ha sido empleado por artistas, arquitectos, escultores y pintores, en sus obras más famosas.

El pato Donald también descubre el empleo de la lógica matemática en el ajedrez, y la presencia de las matemáticas y de la geometría en los juegos y deportes. Así descubre el billar, en su modalidad de carambola a tres bandas, y el narrador le enseña cómo calcular el modo de obtener carambolas sencillas usando las marcas que aparecen en los bordes de la mesa de billar y sumando y restando números y fracciones simples.

Por último el corto nos enseña a utilizar la imaginación, ese poder de nuestra mente mediante el cual podemos ver las figuras geométricas, la esfera, el cono, el paraboloide, el cilindro... que luego tendrán aplicación en la óptica, ingeniería, mecánica, astronomía... Esa misma imaginación nos ayudará a ir abriendo las infinitas puertas del conocimiento que todavía nos quedan por abrir.

Veamos ahora LO QUE HAN OPINADO algunos estudiantes del I.E.S. Carmen Pantión después de ver el corto:

Creo que rompe con lo que la mayoría de la gente cree, que las matemáticas son muy aburridas. (María Aguilera González, 4º ESO)

Son muy necesarias, para todo necesitamos las matemáticas, e incluso para fabricar un violín hacen falta. (Ana Aguilera Torres, 4º ESO)

También para los juegos como el juego del billar a tres bandas, para hacer bien ese juego debes tener una fórmula matemática. (Agustín Ariza Cobo, 4º ESO)

Las matemáticas son la base de la ciencia y gracias a ello en el futuro se abrirán nuevas puertas que nos desvelarán nuevas tecnologías. (Javier Barea López, 4º ESO)

Nos propone que pensemos y lleguemos a hacer formas infinitas, las cuales no se pueden plasmar en un papel, solo se pueden crear utilizando la imaginación. (Ana Belén Burgos Mérida, 3º ESO)

El video nos muestra cosas que las vemos todos los días y no nos damos cuenta, como por ejemplo la relación que existe entre la forma de las flores y la estrella de Pitágoras... Lo del arpa yo personalmente no tenía conocimiento de ello, cómo partiendo un trozo de cuerda en segmentos, cada uno sonaba de una manera. (Nuria Cáliz Hinojosa, 4º ESO)

Cosas para nuestro disfrute, como puede ser la música tocada por instrumentos de cuerda, no solo entra en acción el arte, sino también las matemáticas. (Juan Jesús Campaña Gallardo, 2º ESO)

También me parece interesante que en las estructuras de los monumentos haya formas de las matemáticas y cómo de una figura geométrica puede salir otra. (Sandra Campaña Serrano, 4º ESO)

En este corto Donald hace un viaje, por las matemáticas que están presentes en la música, en la naturaleza, en el arte, en el billar, en el ajedrez, en el béisbol... Vaya, que está presente en todas las cosas. (Juan Carlos Cano Burgos, 3º ESO)

Las personas piensan lo mismo que el pato Donald antes de que le hablaran sobre ellas, que las matemáticas son una tontería y que prácticamente no sirven para nada. (Macarena Díaz Delgado, 3º ESO)

Yo, personalmente no pensaba que fuesen para empollones, pero al ver ese vídeo ha hecho que me dé cuenta de que las matemáticas están presentes en casi todas partes de nuestra vida cotidiana. (Alba García Palomar, 4º ESO)

Muestra como un hombre, viendo cómo está dividida la superficie del billar, golpeando en sitios puede conseguir golpear bolas que parecían imposibles. (Luis Alfonso Gómez Pareja, 3º ESO)

Aunque el pato intentaba jugar al billar con las matemáticas no sabía, pero al fin lo pudo lograr y darse cuenta de la importancia de las matemáticas. (Francisco Javier Gómez Sánchez, 3º ESO)

Cuenta el origen de las matemáticas, cómo Pitágoras relacionó la música con las matemáticas y así se inventó las notas de la música, do, re, mi, fa, sol, la, si, do. (Verónica González Cáliz, 3º ESO)

Para jugar a muchos juegos también debemos saber matemáticas. (Rocío González Reina, 3º ESO)

Otro ejemplo que me ha gustado mucho es la forma de las flores, y me ha sorprendido que hasta en la naturaleza existan las matemáticas. (Aida María Hermosilla Larrea, 4º ESO)

Si no fuese por las matemáticas no habría música, ni juegos de lógica y de más objetos. (Manuel Higueras Alcalá-Bejarano, 3º ESO)

Las matemáticas son esenciales para todo y a partir de ellas se creó la música, y el primero que lo descubrió fue Pitágoras. (Vanessa Jiménez Pulido, 3º ESO)

En el billar, haciendo unas sencillas operaciones puedes hacer todos los golpeos que quieras dando una fuerza intermedia. (Antonio Manuel Jiménez Sánchez, 3º ESO)

Todo lo que nos rodea ha sido conseguido por las matemáticas, por ejemplo los juegos, la música, los edificios... (Anabela Luque González, 4º ESO)

Casi todo el mundo puede aprender, no solo los estudiantes, esto lo demuestra el pato Donald, que también aprende, y que a ninguna persona se le pueden cerrar las puertas de aprender las matemáticas, sus símbolos y significados. (Silvia Mérida Jiménez, 4º ESO)

La película lo que te hace es abrirte como a mí me hizo a un mundo nuevo, de no ver solo las matemáticas como números y números. (José Antonio Mérida Palomar, 3º ESO)

Otra cosa que yo también opino es que si las matemáticas se diesen así de esta manera y no con tantas cuentas la gente se aficionaría más a la materia e incluso se comprendería mejor. (Elena José Molina Reina, 3º ESO)

Me interesó especialmente la parte en la que se mostraban ejemplos de la proporción áurea en la naturaleza y el arte. Es fascinante el que las matemáticas estén presentes en juegos tan comunes como el billar y no nos demos cuenta de ello. (Inmaculada Molina Aguilera, 4º ESO)

Lo que más me ha impresionado ha sido cómo en la historia los grandes matemáticos fueron descubriendo poco a poco las matemáticas. Me ha gustado mucho la forma picaresca de enseñar algo más de la infinidad de cosas que son las matemáticas. (María Dolores Montes García, 3º ESO)

Con todo lo que se sabe de matemáticas hoy en día todo ha ido avanzando y durante años se irán descubriendo miles de cosas más, puesto que todo son matemáticas, y estas son infinitas. (Rosa María Padilla Poyato, 4º ESO)

Yo pienso que si compagináramos las clases teóricas con este tipo de cortos habitualmente, un corto por tema, se tomaría muchísimo más interés por la materia que el que se tiene.(Maribel Pérez Aguilera, 3º ESO)

Si nos ponemos a mirar atentamente podremos encontrar montones de cuadrados o rectángulos perfectos... Me impresionó mucho lo de las técnicas del billar, porque yo no sabía que con unos cálculos podías hacer lo que querías. (Ana Belén Pérez Mérida, 3º ESO)

Al principio creí que iba a ser aburrido... Me ha gustado la actividad de romper con la rutina de las clases normales. (Isabel Pérez Zamora, 4º ESO)

Me ha gustado, porque son unos dibujos muy entretenidos con un personaje de Disney muy aclamado y encima nos enseña matemáticas. (Rocío Rodríguez Pulido, 4º ESO)

Lo que más me gustó y no tenía idea de nada era del juego del billar, ya que no sabía esos cálculos tan divertidos sólo para que dé tres golpes en las paredes y luego le dé a la bola. Yo no podría haber imaginado eso en la vida... Me gustó mucho y que pongas muchas películas más. Pero más largas. (María del Carmen Ruiz-Ruano Campaña, 4º ESO)

Hemos visto cómo multitud de objetos que nos rodean tienen una forma matemática como flores, árboles, y también elementos que se construyeron en la antigüedad como columnas, templos, etc... (María del Carmen Sánchez Romero, 4º ESO)

Al principio cuando Donald se entera que está en el país de Matemagilandia quiere irse, al igual que la mayoría de niños o adolescentes cuando le hablan de matemáticas. (Rosa Sevilla Rodríguez, 3º ESO)

A la mayoría de nosotros no se nos ocurriría relacionar este tipo de cosas con algo como son para la mayoría las aburridas matemáticas... Otra cosa que me resultó curiosísima y muy interesante fue lo de la escala musical. (Sandra Soberá Montes, 4º ESO)

Con la maravillosa ayuda de Youtube, podemos contemplar el corto en los siguientes videos:

El extraño caso de Oliva Sabuco

Cuaderno de bitácora: en la película La Habitación de Fermat (ver la entrada correspondiente en este blog) cinco personajes son citados misteriosamente a una reunión para resolver enigmas, y cada uno de ellos se presenta bajo un seudónimo, o nick, como diríamos hoy, tomado de algún personaje de la historia de las matemáticas. Así tenemos al propio Fermat, mencionado en el título de la película, y también a Hilbert, Pascal, Galois y Oliva. Para todos los matenavegantes los cuatro primeros son matemáticos famosos, pero la única mujer del grupo lleva el seudónimo de una tal Oliva Sabuco, que hasta que salió en la película era totalmente desconocida para mí.

He investigado a esta mujer de la antigüedad, y lo que he averiguado a través de Internet me ha interesado mucho, además de llenarme de incógnitas sin despejar, sobre todo en relación al papel que toma en la película.

¿Quién es Oliva Sabuco? Hay diversas páginas con información sobre ella. Tenemos por ejemplo Oliva Sabuco en la Wikipedia, en la que aparece con el nombre completo de Oliva Sabuco de Nantes Barrera, y se dice que fue una esposa y madre española de la época renacentista a la que se le atribuye la redacción del libro Nueva Filosofía de la naturaleza del hombre, no conocida ni alcanzada de los grandes filósofos antiguos, la cual mejora la vida y salud humana. Por la publicación de este libro, algunos autores afirman que Oliva Sabuco fue una destacada médica y filósofa de su época.

Si estudiamos su biografía, Oliva Sabuco nació en Alcaraz, Albacete, en 1562. La fecha de su muerte es incierta, pero se afirma que es posterior a 1629, es decir, que probablemente llegó a cumplir los 67 años. En 1580, cuando tenía unos dieciocho años, contrajo matrimonio con Acacio de Buedo, con el que tuvo al menos cuatro hijos. Acacio ocupó varios cargos públicos en Alcaraz, y el matrimonio dispuso de una posición desahogada, legando dotes sustanciosas a sus hijos.

No está registrado en ninguna parte que Oliva Sabuco cursara estudios; se dice que fue formada en su casa, y que su padre había organizado tertulias intelectuales. En realidad, éste era el único camino para que la joven Oliva adquiriera una formación, porque en aquella época los estudios académicos oficiales estaban prohibidos para las mujeres. Fuera como fuese, la joven Oliva se las ingenió para redactar el libro Nueva Filosofía de la naturaleza del hombre... antes de 1585, con menos de veintitrés años, y lo publicó en 1587. Estas circunstancias han suscitado la controversia sobre si Oliva Sabuco fue realmente la autora del texto, y hay estudiosos que están a favor de su autoría, y otros que definitivamente niegan tal posibilidad.

Por un lado tenemos una mujer muy joven, de veinte y pocos años, recién casada, de la que algunos historiadores afirman que tuvo que dedicarse desde el momento en que contrajo matrimonio a sus tareas de esposa y madre, sin formación académica documentada y crecida en un pueblo o aldea de Albacete, lejos, en principio, de los círculos intelectuales de entonces. Por otro lado un libro escrito en un castellano de elevado estilo, un tanto arcaico para la época en que creció Oliva Sabuco, con partes escritas en un latín excelente, y de un contenido muy avanzado, científico-naturalista y filosófico, que fue elogiado por muchos autores de la época y recibió varias ediciones. Oliva Sabuco, además, no mantuvo ningún tipo de correspondencia científica con los autores y sabios de su tiempo, ni volvió a escribir ningún otro libro, ni dejó otros textos sin publicar que se conozcan, sino que su vida fue sencilla, oscura y desconocida para las crónicas, la vida de un ama de casa de buena posición en aquellos años.

Debido a estas circunstancias, hay muchos estudiosos que afirman que la autoría del libro no pertenece en realidad a Oliva, sino a su padre, el bachiller Miguel Sabuco, quien, al parecer, habría escrito el libro y al intentar publicarlo, temeroso de que su avanzado contenido le granjeara una denuncia por hereje, cedió la autoría a su hija, y más tarde, cuando vio que el libro había recibido las licencias para su publicación, intentó recuperar su nombre como autor del mismo.

Hay, sin embargo, ardientes defensores de que dicho libro fue escrito, efectivamente por la propia Oliva, y tratan de mantener el prestigio de esta mujer como una de las pocas mujeres científicas de la antigüedad, y una de las escasas figuras femeninas españolas que destacaron en aquellos tiempos en los campos del saber. Tenemos, por ejemplo, la Sociedad Oliva Sabuco, en la que se estudian todos los pormenores y detalles de su historia, concretamente en la página dedicada a su biografía.

Mi postura personal, en cuanto al caso de esta mujer, está más cerca, en principio, de la de la Sociedad Oliva Sabuco, pues no veo por qué hay que negar la posibilidad ni el mérito a una mujer joven para ser una gran estudiosa y la autora de un libro importante, a pesar de las dificultades de la época en que vivía. Parece ser, además, que tuvo acceso a importantes bibliotecas de Alcaraz, como la de su padrino, el Doctor Heredia, y pudo departir con personajes de la talla del profesor Simón Abril, eminencia en autores clásicos latinos y griegos, que llegó al pueblo por aquellos años y luego sería nombrado profesor de la Universidad de Zaragoza.

Tenemos pues, por un lado, el descubrimiento de esta mujer excepcional, bastante desconocida, y de su libro, un descubrimiento lleno de puntos interesantes. Pero por otro lado, nos encontramos con el papel de esta mujer en la película La Habitación de Fermat.

Aquí las cosas no me coinciden. En primer lugar, la película trata sobre matemáticos, y los seudónimos empleados son nombres de matemáticos famosos, excepto Oliva, porque ella, se dude o no, es conocida como médica y filósofa, no como matemática. Su libro no trata de matemáticas, sino de medicina y filosofía. En segundo lugar, en un momento clave de la película, se comenta que Oliva Sabuco murió a la edad de 26 años, edad que coincide con la de la mujer que lleva su seudónimo. Pero los pocos datos de su biografía con los que se cuenta dicen que pudo llegar a vivir más de sesenta años.

Habiendo mujeres matemáticas famosas en la historia, ¿por qué se ha incluido en la película a Oliva Sabuco, que no era matemática? Y si la edad de la muerte de los matemáticos mencionados es un punto importante en el argumento, ¿por qué se afirma que murió a una edad que no parece ser cierta?

Quedan abiertas para nosotros estas pequeñas incógnitas, difíciles de resolver por el momento, salvo que algún día tengamos acceso a conocer las intenciones de los guionistas del film. En cualquier caso, es curioso cómo algunas veces hay detalles que llaman la atención, y que luego, al investigarlos, resultan ser más interesantes de lo que parecían en un principio, como sucede con cualquier travesía a traves de los mateocéanos: en la distancia, la isla que se ve a los lejos es solo un punto que rompe la continuidad del horizonte; cuando te acercas lo suficiente, sin embargo, se revela ante tus ojos todo un paisaje nuevo de exhuberante vegetación cuajado de flores y frutos, elevadas montañas, ríos caudalosos interrumpidos por rugientes cascadas, y ocultas tras ellas, oscuras cuevas de paredes forradas con piedras preciosas que conducen, inevitablemente, al corazón del misterio.

Entrando en la habitación de Fermat

Cuaderno de bitácora: hace ya varios meses que vi la película La Habitación de Fermat. Me gustó mucho y sólo puedo hacer comentarios elogiosos sobre la misma. En primer lugar, sorprende agradablemente encontrar este tipo de películas en el cine español. Es una de las pocas que utiliza las matemáticas como eje central de su argumento, y lo hace con suma brillantez, mezclando campos tan diferentes como la historia de las matemáticas, los acertijos de las matemáticas recreativas, el ambiente de investigación universitaria, y hasta un problema clásico sin solución hasta la fecha, como es la demostración de la Conjetura de Goldbach. Sabe crear una historia de suspense muy interesante con pocos elementos pero perfectamente aprovechados. Introduce personajes que captan la atención del espectador, personajes en los que muchos de nosotros podemos vernos reflejados. Y no necesita recurrir a obscenidades ni violencia gratuita para contarnos su historia. Y además dura menos de 90 minutos, no alarga su metraje innecesariamente como hacen muchas otras, especialmente las que vienen de Hollywood.

Aprovechando la aparición de esta película, se la hemos recomendado a los grumetes, los cuales, tras verla, han manifestado unánimemente opiniones muy favorables sobre ella. También nos ha servido para conocer algunos puntos históricos interesantes que ya comentaremos en próximas entradas.

La película, como hemos mencionado, presenta acertijos y problemas que los protagonistas han de resolver presionados por un tiempo que se acaba. La mayoría de los acertijos que aparecen en la película son ya conocidos por los matenavegantes, aparecen en libros y revistas como pasatiempos matemáticos y luego circulan entre los aficionados, que se los cuentan unos a otros para poner a prueba el ingenio. En nuestro Barco Escuela hemos propuesto alguno que otro como Problema de la Semana para que lo resolvieran los grumetes, mucho antes de que aparecieran en la película.

A continuación recogemos los enunciados de casi todos los problemas propuestos en La Habitación de Fermat. El que quiera conocer la solución, en el caso de que no sea capaz de encontrarla por sí mismo, sólo tiene que ver el film, que es, por si no ha quedado claro todavía, altamente recomendable, o bien mirar más abajo, donde se pone una lista de todas las soluciones.

1. ¿En qué orden están los siguientes números? 5 - 4 - 2 - 9 - 8 - 6 - 7 - 3 - 1

2. Un pastor que lleva una oveja, un lobo y una col, quiere cruzar un río. Para ello dispone de una barca en la que sólo caben dos, el pastor y algo más. Pero al cruzar con la barca, si deja solos al lobo con la oveja, el lobo se comerá a la oveja, y si deja a solas la oveja con la col, la oveja se comerá a la col. ¿Cómo debe proceder para cruzar el río y que lleguen todos sanos y salvos a la otra orilla?

3. Un pastelero recibe tres cajas opacas. Una caja contiene caramelos de menta, otra caramelos de anís, y otra un surtido de caramelos de menta y de anís. Las cajas tienen etiquetas que ponen "caramelos de menta" "caramelos de anís" o "mezclados", pero el pastelero recibe el aviso de que todas las cajas están mal etiquetadas. ¿Cuántos caramelos tendrá que sacar el pastelero como mínimo para verificar el contenido de las cajas?

4. ¿Cómo se descifra el siguiente código de 169 dígitos? 0000000000000 0011111111100 0111111111110 0111111111110 0110001000110 0110001000110 0111110111110 0111100011110 0011111111100 0001010101000 0001101011000 0001111111000 0000000000000

5. En el interior de una habitación herméticamente cerrada hay una bombilla, y fuera de la habitación hay tres interruptores. Sólo uno de los tres enciende la bombilla. Mientras la puerta esté cerrada puedes pulsar los interruptores las veces que quieras, pero al abrir la puerta debes decir cuál de los tres interruptores enciende la bombilla. ¿Cómo resolver el problema?

6. ¿Cómo se puede cronometrar un tiempo de nueve minutos utilizando dos relojes de arena, uno de cuatro minutos y otro de siete?

7. Un alumno le pregunta a un profesor "¿Qué edad tienen tus tres hijas?", y el profesor contesta "Si multiplicas sus edades da 36, y si las sumas da el número de tu casa"; "me falta un dato", contesta el alumno, y el profesor le responde "es verdad, la mayor toca el piano".

8. En la Tierra Falsa todos los habitantes mienten siempre. En la Tierra Cierta todos los habitantes siempre dicen la verdad. Un extranjero se encuentra atrapado en una habitación que tiene dos puertas. Una puerta lleva a la libertad y la otra no. Las puertas están custodiadas por un carcelero de la Tierra Falsa y otro de la Tierra Cierta. Para dar con la puerta que lleva a la libertad el extranjero puede hacer sólo una pregunta a uno de los dos carceleros, pero no sabe cuál es el de la Tierra Falsa y cuál el de la Tierra Cierta. ¿Qué pregunta formuló?

Comentarios: el acertijo número 2 es muy antiguo y conocido, aunque en la película los personajes reaccionan como si para ellos fuera algo nuevo. Uno de ellos, el apodado Pascal, pregunta con razón que "¿por qué un pastor iba a llevar a un lobo?". A mí me contaron este acertijo cuando era niño, y en aquella ocasión no me pareció extraño lo del lobo. Los niños no piensan tanto como los adultos y aceptan las cosas sin cuestionárselas.

El acertijo número 4 me ha recordado la época en la que empecé a introducirme en el mundo de la informática gracias al Spectrum 48K. Sobre ello escribiré en una próxima entrada.

La chica que se llama Oliva, comenta, cuando escucha el acertijo número 8, que lo vio en una película. En efecto, la película es, probablemente, Labyrinth, o en español Dentro del laberinto, protagonizada por Jennifer Connelly y David Bowie y dirigida por Jim Henson. Sobre ella también escribiremos en una próxima entrada.

Soluciones a los problemas-acertijos:

1. Los números están en orden alfabético según sus nombres en castellano.

2. En el primer viaje, toma a la oveja y se la lleva a la otra orilla, dejando al lobo con la col. Regresa solo. Toma ahora al lobo, por ejemplo, y se lo lleva a la otra orilla. Regresa con la oveja. Deja a la oveja en la primera orilla y toma la col, y se la lleva a la otra orilla, dejando a la col con el lobo. Regresa solo. Recoge a la oveja y la lleva a la otra orilla, terminando así el cruce del río.

3. Sólo tiene que sacar un caramelo de la caja que dice "mezclados", con esto es suficiente para averiguar el contenido de cada caja. Al estar todas las cajas mal etiquetadas, la caja con la etiqueta "mezclados" no puede ser de caramelos mezclados, y el caramelo que saque le dirá al pastelero si es la caja de los de anís o de los de menta. Supongamos que el caramelo que saca es de anís, entonces la caja que dice "mezclados" es la de los caramelos de anís, la caja que dice "caramelos de menta" tiene que tener la de los mezclados, y la que dice "caramelos de anís" es la de los caramelos de menta. Si el caramelo es de menta, la caja que dice "mezclados" es la de los de menta, la caja que dice "caramelos de anís" es la de los mezclados, y la que dice "caramelos de menta" es la de los de anís.

4. Hay que fijarse que 169 es el cuadrado de 13, por lo tanto los dígitos se pueden disponer en un cuadrado de 13 filas por 13 columnas (para hacerlo más evidente, he separado los grupos de 13 dígitos con un espacio entre cada uno de ellos). Si construimos el cuadrado dándoles a los dígitos diferentes colores según sean ceros o unos, obtenemos el siguiente gráfico:

0000000000000

0011111111100

0111111111110

0111111111110

0110001000110

0110001000110

0111110111110

0111100011110

0011111111100

0001010101000

0001101011000

0001111111000

0000000000000

Se puede apreciar que se trata del gráfico de una calavera.

5. Conectas el primer interruptor. Conectas el segundo interruptor durante un minuto y luego lo desconectas. Dejas sin tocar el tercer interruptor. Entras en la habitación. Si la bombilla está encendida, es el primer interruptor el que vale. Si la bombilla está apagada, la tocas; si está caliente, es el segundo interruptor el que vale. Si está apagada y fría, es el tercer interruptor el que vale.

6. Una forma de hacerlo: Das la vuelta a los dos relojes de arena. Cuando se acaba el de 4 minutos, quedan 3 minutos en el de 7. Das la vuelta al de 4 minutos. Cuando se acaba el de 7 minutos, queda 1 minuto en el de 4, y a partir de aquí empezamos el cronómetro. El minuto que queda pasa, damos la vuelta al reloj de 4 minutos, y cuando se acaba volvemos a darle la vuelta al de 4 minutos. La suma de 1+4+4 dan los 9 minutos que queríamos cronometrar.

7. Factorizamos 36 como producto de tres números. Se puede hacer de varias maneras:

(a) 36 = 1·1·36, suma de los factores: 38.

(b) 36 = 1·2·18, suma de los factores: 21.

(c) 36 = 1·3·12, suma de los factores: 16.

(d) 36 = 1·4·9, suma de los factores: 14.

(e) 36 = 1·6·6, suma de los factores: 13.

(f) 36 = 2·2·9, suma de los factores: 13.

(g) 36 = 2·3·6, suma de los factores: 11.

(h) 36 = 3·3·4, suma de los factores: 10.

Aunque nosotros no sabemos la suma de las edades, el alumno sí la conoce, pues es el número de la casa donde vive, pero el alumno dice que "le falta un dato", y esto significa que con la información del producto y de la suma no es suficiente. De aquí deducimos que la suma de las edades ha de ser 13, pues para esta suma hay dos posibilidades, la (e) y la (f), y esto justifica que al alumno le falten datos, pues no puede todavía decidir cuál es la respuesta. Como el profesor añade que "la mayor toca el piano", esto indica una de las hijas es mayor que las otras dos, luego la opción correcta es la (f) y las edades deben ser 2, 2 y 9 años, respectivamente, pues en la otra opción, la (e), dos hijas tendrían 6 años y serían ambas mayores a la otra de 1 año, y no habría "una mayor" que las demás.

8. La pregunta que debe formular a uno cualquiera de los carceleros debe ser algo así: "Si pregunto a tu compañero cuál es la puerta que conduce a la libertad, ¿cuál me señalará?". Según la respuesta que el carcelero le dé, el extranjero debe elegir siempre la puerta contraria. En efecto, si pregunta al carcelero de la Tierra Cierta, éste le dirá la verdad, y como su compañero miente, le dirá que su compañero le va a indicar la puerta falsa. Si pregunta al carcelero de la Tierra Falsa, éste le mentirá, y le dirá que su compañero, el que dice la verdad, le indicará la puerta falsa. Luego en ambos casos la respuesta que le darán al extranjero es la puerta que no lleva a la libertad.

HAL, IBM y otras naderías

Cuaderno de bitácora: la emisora de radio Ondacero está metiendo últimamente entre sus programas diversas cuñas de curiosidades. Una de ellas trata sobre el nombre del ordenador que aparece en la película 2001 Una Odisea del Espacio: HAL. Según la emisora, Stanley Kubrick propuso que el ordenador fuera un IBM, pero debido al papel que la máquina juega en la película, la empresa se negó a que se usaran sus siglas, y entonces Kubrick recurrió a un sencillo truco: para cada una de las letras I-B-M tomó la letra inmediatamente anterior en el alfabeto, obteniendo así H-A-L, que es el nombre que finalmente recibió.

Me pareció una curiosidad interesante, de estos detalles que gustan a los cinéfilos y que ayudan a conocer mejor la historia de las películas clásicas más populares. Sin embargo, estuve hojeando el libro de Martin Gardner, Los Mágicos Números del Doctor Matrix, en donde el genial divulgador matemático menciona, traídos por el testimonio imaginario del excéntrico y tramposo Dr. Matrix, una enorme multitud de coincidencias y hechos curiosos, desde las coincidencias entre Lincoln y Kennedy, curiosidades de los viajes a la Luna, sobre las pirámides y los fenómenos paranormales, etc. Precisamente en el capítulo de los viajes a la Luna, Martin Gardner menciona esta relación entre las siglas HAL e IBM, y narra que fue descubierta por casualidad. Él en persona habló de ella con Arthur C. Clarke, y éste le aseguró sorprendido que no la conocía, y que había sido una coincidencia completamente casual.

Hemos estado matenavegando sobre el tema, reuniendo alguna información, y podemos resumir así lo que se conoce: Arthur C. Clarke, uno de los más conocidos y celebrados autores de ciencia ficción, escribió un relato corto titulado The Sentinel (El Centinela) en 1948 que fue publicado en 1951. Posteriormente, Stanley Kubrick se interesó por el relato, y junto al propio Arthur C. Clarke extendieron la historia y prepararon un guión para la que luego sería la película 2001 Una Odisea del Espacio. Clarke adaptó el guión a forma de novela y la publicó posteriormente. Más tarde escribió varias secuelas, y una de ellas también fue adaptada al cine: 2010 Odisea Dos.

Clarke niega que la coincidencia entre las siglas de HAL e IBM sea intencionada. De hecho, en 2010 Odisea Dos, uno de sus protagonistas afirma: ""...cualquier idiota sabe que HAL significa Heuristic ALgorithmic", y el propio Clarke, en el prólogo de su posterior novela 3001 Odisea Final, vuelve a insistir en la falta de conexión. Sin embargo, cuando se le preguntó a Kubrick sobre el mismo tema, éste no contesto ni afirmativa ni negativamente, dejando la puerta abierta a la especulación, ya que la historia fue compuesta conjuntamente por el cineasta y por el escritor.

La relación entre las letras de los nombres de los dos ordenadores, el real y el ficticio, me recuerda el tema de una entrada anterior de este blog. En esa entrada ya mencionábamos el cifrado de los mensajes cambiando unas letras por otras. Así, por ejemplo, había una persona que publicaba mensajes en los periódicos firmando con el seudónimo Gfsñbñep, y si tomamos las letras anteriores a cada una de las de esta palabra, nos da Fernando como nombre auténtico del autor de los mensajes.

Existe una página web en la que a este cambio de letras lo llaman precisamente transformación HAL-IBM, y lo pone de ejemplo de método para jugar con los textos literarios obteniendo así resultados curiosos. Uno de los juegos podría ser encontrar palabras con sentido cuyas letras estén relacionadas; para que sea más fácil encontrar palabras con sentido, podemos avanzar las consonantes un lugar en el alfabeto hasta la siguiente consonante, y las vocales un lugar hasta la siguiente vocal, así la A pasa a la E, la E a la I, etc., y entre las consonantes, la B pasa a la C, la C a la D, la D a la F, etc. En dicha página web se da toda una lista de todas las parejas que recoge el Diccionario de la Real Academia de la Lengua cumpliendo esta propiedad. La mayoría son monosílabas, o como mucho bisílabas sin demasiado interés, pero hay algunos ejemplos curiosos: yo me he fijado, por ejemplo, en las parejas moza-nube, o rumí-sano. La página está extraída de la web de Josep M. Albaigès: http://www.albaiges.com/, que contiene muchas otras curiosidades.

PD: En el libro mencionado de Martin Gardner, Los Mágicos Números del Doctor Matrix, en el capítulo de las pirámides, se habla sobre la curiosa relación entre el número pi y el número fi que posibilita que la Gran Pirámide de Keops cumpla dos propiedades matemáticas diferentes. Descubrí dicha relación por mi cuenta hace unos siete u ocho años, y la publiqué en la web: ver el artículo La Gran Pirámide, Pi por la raíz de Fi es casi cuatro. Me sorprendió ver que algo en lo que me había fijado sin leerlo antes en ninguna parte, estuviera ya publicado y mencionado en un libro tan popular dentro de la divulgación matemática. Eso me pasa por hojear los libros sin leerlos a fondo.

Lo que sí está inspirado en las curiosidades divulgadas por Martin Gardner es mi otro pequeño artículo: La letra Z y los presidentes españoles, también publicado hace años, en el que señalo la coincidencia de que todos los presidentes españoles recientes elegidos en las urnas tienen la letra Z en uno o dos de los apellidos. Hoy es precisamente el día de las elecciones europeas, y me ha venido el tema a la cabeza. Esto de la letra Z puede usarse de pronóstico para decidir si un candidato a la presidencia española tiene posibilidades de ser elegido. Mariano Rajoy, cuyo segundo apellido es Brey, no lleva la famosa Z en su nombre ni en sus apellidos, sino que repite la R y la Y. ¿Será esto un impedimento en el futuro para que pueda llegar a la presidencia? Hasta ahora no ha sido elegido ningún candidato que no lleve la Z en sus apellidos. ¿Será capaz Rajoy de romper esta tendencia?