Espiral de triángulos rectángulos

Hoy vamos a presentar una construcción geométrica que ha surgido cuando explicábamos a los grumetes la semejanza entre triángulos y más concretamente la de los triángulos rectángulos.

Empecemos trazando un triángulo rectángulo, por ejemplo uno de los más conocidos, el que tiene como medidas de los catetos y la hipotenusa 3, 4 y 5 unidades respectivamente, en la figura es el triángulo AOB. Recordemos que 3, 4, 5, es una terna pitagórica, pues son números enteros que cumplen que 3² + 4² = 5².

A continuación dibujamos otro triángulo rectángulo que va a ser semejante al primero. Para ello tomamos una perpendicular a la hipotenusa AB, y extendemos hasta cortar a la recta AO en el punto C.

El segundo triángulo BOC es semejante al primero, ya que el ángulo OBC es igual al ángulo OAB. Recordemos que para que dos triángulos rectángulos sean semejantes basta comprobar la igualdad de los ángulos agudos de ambos triángulos.

Como el segundo triángulo es semejante al primero, los lados correspondientes son proporcionales. La razón de proporción en este caso es muy fácil de calcular, comparando los catetos pequeños de ambos triángulos: 4/3. De aquí, las medidas, en el segundo triángulo rectángulo, de los catetos y la hipotenusa son 4, 16/3, 20/3, respectivamente.

Podemos continuar con el proceso y trazar un tercer triángulo rectángulo, semejante a los dos primeros. Para ello tomamos una perpendicular a BC y cortamos con la recta BO en el punto D. La razón de semejanza del tercer triángulo respecto al segundo sigue siendo 4/3, y los catetos y la hipotenusa de este tercer triángulo son, respectivamente, 16/3, 64/9 y 80/9.

Para completar nuestro ejemplo, vamos a dibujar un cuarto triángulo siguiendo el mismo proceso en espiral, tomando una perpendicular a CD que corte a OA en E, y construyendo el triángulo DOE. La razón de semejanza con el tercer triángulo vuelve a ser 4/3, y los catetos y la hipotenusa son, respectivamente 64/9, 256/27 y 320/27.

Podemos continuar la espiral indefinidamente, trazando triángulos rectángulos cada vez más grandes (porque la razón de semejanza, 4/3, es mayor que la unidad) y obteniendo dos progresiones geométricas, la de los catetos y la de las hipotenusas, ambas de razón 4/3:

Progresión geométrica de los catetos: 3, 4, 16/3, 64/9, 256/27, 1024/81, ...

Progresión geométrica de las hipotenusas: 5, 20/3, 80/9, 320/27, 1280/81, ...

Es evidente que esta construcción se puede realizar con cualquier triángulo rectángulo. A continuación hacemos el proceso comenzando con el triángulo rectángulo de lados 1, 2, y √5.

En este caso, la razón de proporcionalidad es 2, las progresiones geométricas crecen más rápidamente y la espiral es más abierta que la del primer ejemplo.

 

Si comenzamos con un triángulo rectángulo en el que el segundo cateto sea menor que el primero, entonces la razón de proporcionalidad es menor que la unidad y por tanto los triángulos que van apareciendo son menores y la espiral se enrolla hacia el interior. Así sucede, por ejemplo, con el triángulo de catetos 6, 5, √61, con razón de proporcionalidad 5/6.

Si comenzamos con un triángulo rectángulo isósceles, como el que tiene de lados 1, 1, √2, entonces la razón de proporcionalidad vale 1, los triángulos sucesivos salen iguales, y la espiral no se ensancha ni se estrecha, sino que regresa a su punto de partida, cerrándose y formando un cuadrado.

AMPLIACIONES:

-Se pueden hacer espirales de triángulos semejantes no rectángulos. Si por ejemplo tomamos el ángulo que apunta al centro de la espiral con una medida de 72º, y luego vamos haciendo que los ángulos de brazos de la espiral siempre midan 108º, obtenemos una espiral que va siguiendo las particiones de un pentágono.

En la imagen partimos de un triángulo en el que los dos lados que flanquean al ángulo de 72º valen, respectivamente 3 y 4. El tercer lado ya sale decimal, 4'19. Los ángulos del triángulo son 72º, 65'1º y 42'9º. Los triángulos semejantes que se obtienen siguen la razón de semejanza 4/3.

Igualmente se pueden hacer espirales de triángulos semejantes partiendo de cualquier triángulo que tenga los ángulos que se quiera, aunque la estética del dibujo obtenido puede ser discutible.

-Interesante es el caso de las ternas pitagóricas, los triángulos rectángulos en los que los catetos y la hipotenusa son números enteros. Como hemos visto en el ejemplo 3, 4, 5, el primer triángulo de la sucesión si tiene una terna pitagórica, pero a partir del segundo triángulo van apareciendo números fraccionarios. Esto es así porque la razón de semejanza, 4/3 en el ejemplo, es un número fraccionario. Se puede comprobar que esto es una regla general: si comenzamos con una terna pitagórica, la razón de proporcionalidad siempre es una fracción, y viceversa, si la razón de proporcionalidad es un número entero, entonces el triángulo rectángulo de partida no presenta una terna pitagórica.

Nota: todos los gráficos se han hecho con Geogebra.

Otra leyenda sobre el tablero de ajedrez

Cuaderno de bitácora: he estado leyendo recientemente el libro Tradiciones y Leyendas Sevillanas, de José María de Mena, publicado por Plaza y Janés en los años 80 del siglo pasado, y me he encontrado con una versión alternativa de la leyenda sobre el tablero de ajedrez. Esta versión se centra en el siglo XI, y los protagonistas son el moro Abenamar, poeta, visir y amigo del rey Almotamid, y el rey castellano Alfonso VI.

Figura 1

Transcribimos a continuación la leyenda, tal y como la narra José María de Mena:

De cómo Abenamar salvó a Sevilla

El poderoso rey Alfonso VI de Castilla, en su juventud, siendo príncipe, perseguido por su hermano usurpador del reino, hubo de refugiarse en la corte árabe de Toledo, en la que dedicado a forzosa ociosidad, se entretuvo en aprender el noble juego del ajedrez.

Muerto el usurpador, y exaltado al trono don Alfonso tras la jura de Santa Gadea, en Burgos, se propuso ensanchar el reino castellano, a cuyo efecto conquistó Toledo, y cruzando después la línea del Tajo hizo incursiones en dirección a Andalucía, sembrando el temor entre los reyes de taifas andaluces.

Almotamid, rey de Sevilla, al saber que Alfonso VI se acercaba, tuvo la idea de enviarle, no un ejército, sino solamente una embajada que habría de pactar con el castellano.

Designó Almotamid para realizar tan difícil misión, a su amigo el poeta Abenamar, que ocupaba el cargo de visir, quien con acompañamiento de un lucido séquito llevando valiosos presentes, salió de Sevilla y encontró junto a Sierra Morena al rey Don Alfonso.

Plantó Abenamar una lujosa tienda de campaña, de rica seda, y convidó al rey de Castilla a que viniera, para ofrecerle un agasajo.

Durante la comida, condimentada con especias y perfumes, según la usanza mora, Abenamar se esforzó en sonsacar a Don Alfonso sus gustos e inclinaciones para saber cómo podría mejor captarse su voluntad. Y habiéndose enterado de que al rey le agradaba mucho el ajedrez, le dijo:

—Si os place, de sobremesa podríamos jugar una partida. Precisamente traigo un lindo tablero de nácar y ébano, y figurillas labradas en marfil, que no las hay mejores en España.

Mucho agradó a Don Alfonso la proposición, pues se tenía por gran jugador, y para demostrarlo, propuso:

—Habremos de jugar apostando algún dinero, pues no es razón que juguemos como las mujeres o los chiquillos.

—Muy puesta en razón es vuestra sugerencia; sin embargo me temo que yo, simple embajador, no tendré dineros para apostarlos en cantidad suficiente para jugar nada menos que contra un rey. Sin embargo os propongo una apuesta más sencilla. Si os gano me daréis dos granos de trigo por el primer cuadro del tablero, cuatro granos por el segundo, dieciséis por el tercero, y así multiplicando el número por sí mismo a cada escaque. Si yo pierdo os daré igual.

Hízole gracia a Don Alfonso la forma de jugar, y más cuando Abenamar le indicó que tenía un pequeño terreno, y que con el trigo que pensaba ganarle podría sembrar su parcela cuando llegase el otoño.

Sin embargo Abenamar estaba preparándole un ingenioso ardid a Don Alfonso VI con el propósito de salvar a Sevilla.

Jugaron, pues, la partida, y perdió Don Alfonso. Sonriendo, dijo:

—Bien, Abenamar, me habéis ganado. Os pagaré lo que apostamos. En cuanto llegue a Castilla daré orden de que os envíen unos cuantos sacos de trigo, y podréis sembrar vuestro campito con buen trigo castellano.

—¿Cómo unos cuantos sacos? Bromeáis, señor. Hagamos la cuenta, pues no quiero recibir ni un solo grano de más, pero tampoco de menos.

Alfonso, de buena gana, y todavía riendo, tomó papel y pluma y empezó a hacer la cuenta. Dos granos por el primer escaque del tablero, cuatro por el segundo, dieciséis por el tercero.

Pero a medida que iban siendo más escaques, la cifra, siempre multiplicada por sí misma, iba alcanzando unas cantidades que escapaban a todo lo imaginable. La progresión era tal, que cuando llegaban a menos de la mitad del tablero, ya no había posibilidad de operar, y para completar el tablero no habría trigo en todos los graneros de Castilla, al que cada año pagaba un impuesto o parias, a cambio había empeñado su palabra de rey, y le era imposible el cumplirla.

En tal situación, abatido y confuso el rey castellano, Abenamar le propuso:

—Señor, pues que la pérdida es tan grande y no podéis pagarla, yo me daría por satisfecho de condonaros la deuda a cambio de que retiraseis vuestro ejército fuera de las fronteras de mi señor el rey Almotamid de Sevilla. Y si queréis hacer guerras, dirigir más bien vuestros afanes hacia Badajoz, o hacia Murcia o Granada, cuyos reyes no son vasallos del de Sevilla.

No satisfizo mucho al castellano la solución, pero como no podía tomar otra, hubo de aceptarla, y así, despidiéndose de Abenamar, ordenó la retirada de su ejército hasta la línea fronteriza, tal como el poeta le había pedido.

Así fue cómo gracias a su ingenio, a su habilidad en el juego del ajedrez, y a su conocimiento de las matemáticas, pudo Abenamar salvar a Sevilla.

En un artículo del Diario ABC, se recoge la misma historia, y se sitúa la leyenda en el año 1078.

Figura 2

 
Además del exquisito ambiente romántico y caballeresco que tiene esta leyenda, nos ha llamado mucho la atención su contenido matemático, que vamos a estudiar a continuación.

En el relato hemos resaltado en negrita la propuesta de Abenamar, que volvemos a reproducir aquí: "Si os gano me daréis dos granos de trigo por el primer cuadro del tablero, cuatro granos por el segundo, dieciséis por el tercero, y así multiplicando el número por sí mismo a cada escaque". Se trata de una sucesión de números en la que cada término se obtiene multiplicando por sí mismo el anterior:

En el primer escaque: 2
En el segundo escaque: 2 · 2 = 4
En el tercer escaque: 4 · 4 = 16

Si continuamos la sucesión iremos obteniendo:

En el cuarto escaque: 16 · 16 = 256
En el quinto escaque: 256 · 256 = 65536
En el sexto escaque: 65536 · 65536 = 4294967296
En el séptimo escaque: 4294967296 · 4294967296 = 18446744073709551616, etc.

Si conocemos la leyenda del inventor del ajedrez, que se puede leer en una entrada de este blog, nos daremos cuenta rápidamente que aunque las leyendas son parecidas, las sucesiones de granos sobre los escaques del tablero son muy diferentes.

En la leyenda del inventor del ajedrez, la sucesión de granos era:
1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, ...

En nuestra leyenda de hoy entre Abenamar y Alfonso VI, la sucesión de granos sobre los escaques es:
2, 4, 16, 256, 65536, 4294967296, 18446744073709551616, ...

Una cosa que salta a la vista comparando ambas sucesiones es que en la sucesión de Abenamar aparecen de forma inmediata números ENORMES. En efecto, la primera sucesión crece de forma mucho más suave y lenta que la segunda, y esta última tiene un crecimiento brutalmente acelerado.

De hecho, podemos comprobar que esta segunda sucesión está formada por las potencias de 2 con exponente igual a los términos de la primera sucesión:

2¹ = 2
2² = 4
2⁴ =16
2⁸ = 256
2¹⁶ = 65536
2³² = 4294967296
2⁶⁴ = 18446744073709551616, etc.

Si seguimos avanzando en los escaques, podemos comprobar que en el último escaque el número de granos de trigo sería:

2^{9223372036854775808} = ?

¿Cuánto puede ser esta cantidad? No es un trabajo fácil hacerse una idea de este número. Si por ejemplo tratamos de calcularlo con la calculadora científica que aparece en la página Web2.0calc, la respuesta que nos sale es directamente "infinity".

Con la ayuda de los logaritmos, podemos hacer una aproximación en potencias de 10 o notación científica:

2^{9223372036854775808} ≈ 1.38 · 10^{2776511644261678566}   (*)

Como se puede ver, se trata de una cifra del orden de un 1 seguido de más de dos trillones de ceros. Este número es grande, pero ¿cuánto de grande? Recordemos que un gúgol es 10 elevado a 100, es decir, un 1 seguido de 100 ceros. Un gúgol es un número enorme; los astrofísicos han calculado que el número de partículas subatómicas que existen en nuestro universo visible no va mucho más allá de 10 elevado a 80. Pero el número que hay en la última casilla del tablero de Abenamar es MUCHO, pero MUCHÍSIMO más grande, es 10 elevado a 2.7 trillones.

Si queremos verlo desde otro punto de vista, regresemos a los primeros escaques del tablero. En el séptimo escaque, el número de granos se dispara a los 18 trillones (que es casi exactamente el número de granos TOTALES que cabían en el tablero completo de ajedrez de la primera leyenda). Si calculamos el octavo, el noveno y el décimo escaque:

2¹²⁸ ≈ 3.4 · 10³⁸
2²⁵⁶ ≈ 1.15 · 10⁷⁷
2⁵¹² ≈ 1.34 · 10¹⁵⁴

Es decir, en el décimo escaque habría que poner una cantidad en granos de trigo superior a un 1 seguido de 154 ceros. Si cada partícula del universo visible se transformara en grano de trigo, no habría suficiente trigo en todo el universo para llenar el décimo escaque. Y todavía faltarían por rellenar el undécimo escaque, el duodécimo, etc., hasta el número 64.

Y eso no es todo. Además habría que sumar todos los granos de los 64 escaques. Sin embargo, en este caso no tiene demasiada importancia. Cuando el número de granos crece, hay tanta diferencia entre un escaque y el siguiente que la suma total de granos es muy poco mayor que la cantidad de granos que hay en el último escaque, el número que hay en (*).

Para terminar quisiéramos hacer un último comentario: por lo que se cuenta en la leyenda, creemos que el narrador no tiene una idea ni siquiera aproximada de las cifras que aparecen en la sucesión de Abenamar. En la leyenda se dice literalmente que "... A medida que iban siendo más escaques, la cifra, siempre multiplicada por sí misma, iba alcanzando unas cantidades que escapaban a todo lo imaginable. La progresión era tal, que cuando llegaban a menos de la mitad del tablero, ya no había posibilidad de operar..."

Si tenemos en cuenta que en aquella época había que hacer las cuentas a mano, y que en Europa todavía se seguían utilizando los números romanos, es muy improbable que el rey Alfonso VI pasara de la séptima casilla, que ya alcanza los cuatro mil millones, y que ya implica una multiplicación de dos números de cinco cifras. Intentar calcular la octava casilla es ya una tarea muy larga y complicada a mano, incluso con nuestro sistema decimal, y las demás casillas se tornan prácticamente imposibles. No sólo no podemos llegar a la mitad del tablero (32 casillas), sino que nos quedamos muy lejos de dicha mitad, como mucho sólo es calculable a mano la primera de las filas.

[Créditos de las imágenes: la Figura 1 es un retoque de una imagen tomada de la página web Mercado Libre Argentina, y la Figura 2 ha sido tomada del artículo periodístico publicado en ABC.]

[El Problema de la Semana] Los peregrinos

Avancemos hacia el siguiente problema:

Ambrosio y Bonifacio son dos peregrinos que empiezan a caminar a las 8 de la mañana del mismo día por una carretera en el mismo sentido. Bonifacio lleva 28 kilómetros de ventaja, y ambos caminan cada día desde las 8 de la mañana hasta las 8 de la tarde. Ambrosio camina con paso regular 20 kilómetros el primer día, 18 el segundo, 16 el tercero y así sucesivamente. Bonifacio camina con paso regular 4 kilómetros el primer día, 8 el segundo, 12 el tercero, y así sucesivamente.

¿Cuándo y dónde se encontrarán?

 La solución, como siempre, más abajo.

Figura 1. Esta imagen no tiene nada que ver con el enunciado del problema, pero no hemos podido resistir el impulso de usarla de ilustración. Es la foto de una gotita rebotando sobre la superficie de un fluido. La foto aparece ilustrando un artículo de John W. M. Bush, de la MIT.

SOLUCIÓN:

Consideramos que el punto desde donde parte Ambrosio es el kilómetro 0, y Bonifacio parte del kilómetro 28 de la carretera. Ahora observemos dónde está cada uno al final de cada día:

Cuando ha terminado el primer día, Ambrosio ha caminado 20 kilómetros, y Bonifacio 4. Luego Ambrosio está en el kilómetro 20, y Bonifacio en el kilómetro 32, (todavía le lleva 12 kilómetros de ventaja).

Cuando ha terminado el segundo día, Ambrosio ha caminado 18 kilómetros más, y Bonifacio 8. Luego Ambrosio está en el kilómetro 38, y Bonifacio en el kilómetro 40, (ya sólo le lleva 2 kilómetros de ventaja).

Cuando ha terminado el tercer día, Ambrosio ha caminado 16 kilómetros más, y Bonifacio 12. Luego Ambrosio está en el kilómetro 54, y Bonifacio en el kilómetro 52, y por lo tanto, en algún momento del tercer día Ambrosio ha alcanzado a Bonifacio.

¿En qué momento y en qué lugar se ha producido el encuentro entre ambos?

Los dos peregrinos caminan con paso regular, luego su velocidad es constante. La velocidad de Ambrosio durante el tercer día se calcula dividiendo el espacio recorrido, 16 kilómetros, entre el tiempo empleado, 12 horas. Análogamente la velocidad de Bonifacio es de 12 kilómetros en 12 horas:

Velocidad de Ambrosio: 16 / 12 = 1,333... km/hora.
Velocidad de Bonifacio: 12 / 12 = 1 km/hora.

Recordemos que espacio es igual a espacio inicial más velocidad por tiempo, y en el tercer día Ambrosio parte del kilómetro 38 y Bonifacio del kilómetro 40, luego las expresiones del espacio en función del tiempo t son:

Espacio recorrido por Ambrosio: 38 + 1,333t
Espacio recorrido por Bonifacio: 40 + 1t

En el momento en que se encuentran tanto el espacio como el tiempo son iguales:

38 + 1,333t = 40 + 1t

Resolvemos la ecuación:

0,333t = 2
t = 2 / 0,333 = 6 horas.

Y de aquí el espacio es 38 + 1,333 · 6 = 40 + 1 · 6 = 46 kilómetros.

Por tanto Ambrosio y Bonifacio se encontrarán el tercer día en el kilómetro 46 de la carretera, a las 8 + 6 = 14 horas, es decir, a las dos de la tarde.

AMPLIACIÓN:

Aquí no acaba la cosa.

Como se puede apreciar, cada día Ambrosio recorre menos kilómetros, y Bonifacio recorre más. La velocidad de Ambrosio va disminuyendo y la de Bonifacio va aumentando.

Aunque Ambrosio alcanza a Bonifacio el tercer día y lo supera, su paso va "perdiendo fuelle", y al cuarto día, Ambrosio, que ya ha superado a Bonifacio, va caminando a ritmo más lento, luego se puede esperar que Bonifacio alcance a Ambrosio y lo supere, teniendo lugar un segundo encuentro entre los dos.

Siguiendo la progresión de velocidades, en el cuarto día, Ambrosio recorre 14 kilómetros, y Bonifacio 16. Por tanto al final del cuarto día, tanto Ambrosio como Bonifacio están en el kilómetro 68. Es decir, se produce un segundo encuentro entre ambos el cuarto día a las 8 de la tarde.

En el quinto día, la velocidad de Ambrosio disminuye aún más, y la de Bonifacio sigue aumentando, por lo que ambos se separan, y si la progresión de velocidades continúa al mismo ritmo, ya nunca más se volverán a encontrar.

Curiosamente, si la progresión de velocidades sigue el mismo ritmo, se puede calcular que Ambrosio en el décimo día sólo recorre 2 kilómetros, en el undécimo día no recorre ningún kilómetro (se queda descansando en el kilómetro 110), y en el duodécimo día recorre −2 kilómetros, es decir, empieza a deshacer el camino y a regresar por la carretera. Bonifacio hace 48 kilómetros en el duodécimo día, y al final del mismo se encuentra en el kilómetro 312 de la carretera.

Figura 2. En este gráfico se pueden apreciar los recorridos de ambos peregrinos. Las gráficas están formadas por segmentos rectos. En el tiempo se han eliminado los periodos de descanso. Obsérvese que los tramos de Ambrosio tienen cada vez menos pendiente, es decir, cada vez menos velocidad, mientras que los de Bonifacio van aumentando en pendiente y por tanto en velocidad

OTRA AMPLIACIÓN MÁS:

Este problema es tan jugoso que todavía podemos comentar más cosas sobre él. En la figura 2 se pueden apreciar las gráficas de los dos peregrinajes, y aunque están formadas por tramos rectos, pues el enunciado del problema nos dice que los peregrinos caminan con paso regular en cada etapa, no podemos dejar de ver una curva implícita en cada gráfica.

De hecho las curvas implícitas son dos parábolas. En efecto, haciendo algunos cálculos, podemos obtener las siguientes fórmulas:

Parábola de Ambrosio: y = (-1/144)x² + (7/4)x

Parábola de Bonifacio: y = (1/72)x² + (1/6)x + 28

Se puede comprobar que ambas parábolas pasan por los puntos señalados al final de cada día. Según esto, los puntos de encuentro entre Ambrosio y Bonifacio podrían ser calculados como los puntos de intersección de ambas parábolas. Si así lo hacemos, nos daremos cuenta que el segundo encuentro coincide en el momento que habíamos calculado, pero el primer encuentro no coincide en el mismo lugar, lo cual se puede ver en la siguiente gráfica:

Figura 3. Las parábolas que se ajustan a los recorridos de los dos peregrinos se cortan en el segundo encuentro (segundo punto verde), pero no coinciden en el primer encuentro (primer punto verde), sino un poco antes, donde está señalado el punto negro.

Más concretamente, estas parábolas se cortan cuando x = 28 y cuando x = 48, y traduciéndolo a términos de días, el primer encuentro tendría lugar el tercer día a las 12 de la mañana (12 + 12 + 4 horas), y el segundo al final del cuarto día (12 + 12 + 12 + 12 horas).

Nota: este problema ha sido adaptado de uno de los que aparecen en el libro Un cuento enmarañado y otros problemas de almohada, de Lewis Carroll.

Los gráficos han sido trazados con Geogebra.

El Triángulo de Sierpinski en pop-up

Cuaderno de bitácora: Hace años, cuando nuestro periplo nos llevaba por los matemares de Priego de Córdoba, aprendimos una construcción con papel y tijeras que queremos presentar aquí, para deleite de nuestros "numerosos" seguidores: el pop-up del Triángulo de Sierpinski.

(Entiéndase la palabra numerosos en sentido estricto matemático: hay un número de seguidores de nuestro blog, no importa si ese número es grande o pequeño, y menos importa en matemáticas, donde un número tan grande como un gúgol está tan cerca del infinito como el número uno.)

Recordamos en las siguientes imágenes qué es el triángulo de Sierpinski:

Tomamos un triángulo (en negro) y lo "agujereamos" quitando el triángulo central que conecta los puntos medios de los lados, obtenemos tres triángulos (negros) semejantes al primero, ahora volvemos a agujerear esos tres triángulos, y obtenemos nueve triángulos, volvemos a agujerearlos y así vamos iterando el proceso hasta el infinito.

El resultado es un fractal llamado Triángulo de Sierpinski.
[Imagen realizada por Beojan Stanislaus.]

Bien, si ya estamos provistos de un folio A4 y de unas tijeras, podemos empezar a construir nuestro pop-up o relieve en papel. También son muy útiles una regla, un lápiz y una goma. Sigamos la secuencia de fotografías para saber cómo se debe proceder.

Figura 1.
Se dobla el folio por la mitad. El rectángulo formado vamos a llamarlo escalera de 1 peldaño. Cortamos desde la mitad del doblez hasta la mitad del peldaño.

Figura 2.
Doblamos la parte de arriba, haciendo coincidir el borde del rectángulo pequeño con el borde izquierdo del folio.
Remarcamos el doblez.

Figura 3.
Desdoblamos e invertimos el doblez, introduciendo el rectángulo entre las dos caras del folio.
Con esto ya tenemos la escalera de 2 peldaños.

Figura 4.
Aquí tenemos una vista desde arriba de la escalera de 2 peldaños, formando ya una estructura tridimensional.

Figura 5.
Otra vista de la misma escalera, donde se aprecia el hueco formado por los dobleces interiores.

Figura 6.
En el siguiente paso cortamos cada uno de los dos peldaños por la mitad hasta el centro del rectángulo, tal como se indica en la imagen.

Figura 7.
Doblamos los rectángulos superiores a los cortes.

Figura 8.
Procedemos a invertir los dobleces, empujando los peldaños hacia el interior del papel, y obtenemos la escalera de 4 peldaños.

Figura 9.
Este es el resultado, en forma de pop-up tridimensional, de la escalera de 4 peldaños.

Figura 10.
Continuamos haciendo otra iteración o repetición del mismo proceso.

Figura 11.
Hacemos los dobleces formando los nuevos peldaños.

Figura 12.
Esta es la forma tridimensional en este tercer paso de la escalera de 8 peldaños. 

Figura 13.

Figura 14.
Conforme aumentan los peldaños, el número de dobleces también aumenta, de forma exponencial. Ya estamos en una escalera de 16 peldaños.

Figura 15.
La escalera de 16 peldaños. La forma tridimensional se va pareciendo cada vez más al triángulo de Sierpinski.

Figura 16.
Continuamos con la quinta iteración. 

Figura 17.
Hemos conseguido la escalera de 32 peldaños.
Invertir los dobleces de esta escalera es un trabajo meticuloso que lleva un buen rato de esfuerzo y paciencia.

Figura 18.
El resultado final.

Con un folio A4, el máximo objetivo es la escalera de 32 peldaños y el pop-up de la figura 18. Llegar hasta este paso requiere bastante paciencia. Suponemos que es posible hacer una escalera de 64 peldaños, pero imaginamos que ya es un trabajo para especialistas en miniaturas, en busca de batir récords, y no digamos de 128 peldaños. También se puede empezar por hojas más grandes, de tamaño A3, A2 o incluso más grandes.

Hay que tener en cuenta que el número de dobleces interiores que tenemos que realizar, se multiplica por 3 en cada paso. Para la primera escalera tuvimos que invertir 1 doblez, para la segunda 3, para la tercera 9, para la cuarta 27 y para la quinta 81. Si quisiéramos conseguir la escalera de 64 peldaños nos esperan nada más y nada menos que 243 inversiones de dobleces más.

Leyenda sobre el tablero de ajedrez

Entre todas las versiones que he leído sobre la invención del ajedrez, la que voy a transcribir a continuación es la que más me ha gustado, pues su ambientación logra trasladarme al encantado mundo de las mil y una noches.

Esta versión aparece en el libro Matemáticas recreativas de Yakob Perelman [traducción de F. Blanco y C. Pérez, Ediciones Martínez Roca].

El juego del ajedrez fue inventado en la India. Cuando el rey hindú Sheram lo conoció, quedó maravillado de lo ingenioso que era y de la variedad de posiciones que en él son posibles. Al enterarse de que el inventor era uno de sus súbditos, el rey lo mandó llamar con objeto de recompensarle personalmente por su acertado invento.

Figura 1

El inventor, llamado Seta, se presentó ante el soberano. Era un sabio vestido con modestia, que vivía gracias a los medios que le proporcionaban sus discípulos.

-Seta, quiero recompensarte dignamente por el ingenioso juego que has inventado -dijo el rey.

El sabio contestó con una inclinación.

-Soy bastante rico como para poder cumplir tu deseo más elevado -continuó diciendo el rey-. Di la recompensa que te satisfaga y la recibirás.

Seta continuó callado.

-No seas tímido -le animó el rey-. Expresa tu deseo. No escatimaré nada para satisfacerlo.

-Grande es tu magnanimidad, soberano. Pero concédeme un corto plazo para meditar la respuesta. Mañana, tras maduras reflexiones, te comunicaré mi petición.

Cuando al día siguiente Seta se presentó de nuevo ante el trono, dejó maravillado al rey con su petición, sin precedente por su modestia.

-Soberano -dijo Seta-, manda que me entreguen un grano de trigo por la primera casilla del tablero de ajedrez.

-¿Un simple grano de trigo? -contestó admirado el rey.

-Sí, soberano. Por la segunda casilla, ordena que me den dos granos; por la tercera, 4; por la cuarta, 8; por la quinta, 16; por la sexta, 32... 

Figura 2

-Basta -le interrumpió irritado el rey-. Recibirás el trigo correspondiente a las 64 casillas del tablero de acuerdo con tu deseo: por cada casilla doble cantidad que por la precedente. Pero has de saber que tu petición es indigna de mi generosidad. Al pedirme tan mísera recompensa, menosprecias, irreverente, mi benevolencia. En verdad que, como sabio que eres, deberías haber dado mayor prueba de respeto ante la bondad de tu soberano. Retírate. Mis servidores te sacarán un saco con el trigo que solicitas.

Seta sonrió, abandonó la sala y quedó esperando a la puerta del palacio.

Durante la comida, el rey se acordó del inventor del ajedrez y envió a que se enteraran de si habían ya entregado al irreflexivo Seta su mezquina recompensa.

-Soberano, están cumpliendo tu orden -fue la respuesta-. Los matemáticos de la corte calculan el número de granos que le corresponden.

El rey frunció el ceño. No estaba acostumbrado a que tardaran tanto en cumplir sus órdenes.

Por la noche, al retirarse a descansar, el rey preguntó de nuevo cuánto tiempo hacía que Seta había abandonado el palacio con su saco de trigo.

-Soberano -le contestaron-, tus matemáticos trabajan sin descanso y esperan terminar los cálculos al amanecer.

-¿Por qué va tan despacio este asunto? -gritó iracundo el rey-. Que mañana, antes de que me despierte, hayan entregado a Seta hasta el último grano de trigo. No acostumbro a dar dos veces la misma orden.

Por la mañana comunicaron al rey que el matemático mayor de la corte solicitaba audiencia para presentarle un informe muy importante.

El rey mandó que le hicieran entrar.

-Antes de comenzar tu informe -le dijo Sheram-, quiero saber si se ha entregado por fin a Seta la mísera recompensa que ha solicitado.

-Precisamente por eso me he atrevido a presentarme tan temprano -contestó el anciano-. Hemos calculado escrupulosamente la cantidad total de granos que desea recibir Seta. Resulta una cifra tan enorme...

-Sea cual fuere su magnitud -le interrumpió con altivez el rey- mis graneros no empobrecerán. He prometido darle esa recompensa, y por lo tanto, hay que entregársela.

-Soberano, no depende de tu voluntad el cumplir semejante deseo. En todos tus graneros no existe la cantidad de trigo que exige Seta. Tampoco existe en los graneros de todo el reino. Hasta los graneros del mundo entero son insuficientes. Si deseas entregar sin falta la recompensa prometida, ordena que todos los reinos de la Tierra se conviertan en labrantíos, manda desecar los mares y océanos, ordena fundir el hielo y la nieve que cubren los lejanos desiertos del Norte. Que todo el espacio sea totalmente sembrado de trigo, y ordena que toda la cosecha obtenida en estos campos sea entregada a Seta. Sólo entonces recibirá su recompensa.

El rey escuchaba lleno de asombro las palabras del anciano sabio.

-Dime cuál es esa cifra tan monstruosa -dijo reflexionando.

-¡Oh, soberano! Dieciocho trillones cuatrocientos cuarenta y seis mil setecientos cuarenta y cuatro billones setenta y tres mil setecientos nueve millones quinientos cincuenta y un mil seiscientos quince.

Hasta aquí la leyenda. A continuación, algunos comentarios matemáticos.

La leyenda de la invención del ajedrez nos ilustra sobre el rápido crecimiento de una progresión geométrica (de razón mayor que la unidad). En este caso tenemos una progresión geométrica en la que la razón es 2, pues cada término de la progresión es el doble del anterior.

La sucesión de términos es: 1, 2, 4, 8, 16, 32,... Obsérvese que esta sucesión coincide con las potencias de dos: 2⁰, 2¹, 2², 2³, 2⁴, 2⁵,...

El término general de la progresión, la fórmula que nos da cada número, es: aₙ = 2ⁿ⁻¹.

En la última casilla hay exactamente: 2⁶³ = 9.223.372.036.854.775.808 (un poco más de 9 trillones) granos de trigo.

El número de granos de trigo totales se calcula sumando todos los términos: 1 + 2 + 4 + 8 + ... Esto se hace más sencillamente gracias a la fórmula de la suma de los términos de una progresión geométrica:

Como curiosidad, si añadimos un grano más de trigo a la suma, obtenemos la siguiente potencia de 2: 2⁶⁴ = 18.446.744.073.709.551.616. Esto es debido a que conforme vamos sumando los granos de cada casilla, siempre nos quedamos a un solo grano de la casilla siguiente:

1 + 2 = 3 = 4 − 1
1 + 2 + 4 = 7 = 8 − 1
1 + 2 + 4 + 8 = 15 = 16 − 1, etc.

Todos estos números, 1, 3, 7, 15, etc., son llamados números de Mersenne. Se llama número de Mersenne a cualquier número anterior a una potencia positiva de 2, más concretamente a los números de la forma Mₙ = 2ⁿ − 1, con n ≥ 1.

Un aspecto interesante que merece la pena reflexionar es el comentario del matemático mayor del rey Sheram, cuando le explica que el número de granos de trigo es una cifra monstruosa. Pienso, y puedo estar equivocado, que cuando uno de nosotros lee la cifra, le parece simplemente una cifra grande, pero no tiene realmente idea de lo grande que es. De hecho, los granos de trigo son cosas de un tamaño muy pequeño, y en un saco de trigo puede haber muchísimos granos, aunque no sabemos cuántos.

Debemos tener en cuenta que cualquiera de nosotros, en nuestra época actual, hemos oído hablar de muchos ejemplos de cifras monstruosas: la población mundial, el producto interior bruto de un país desarrollado, la edad del universo, el número de estrellas que hay en la Vía Láctea, el número de kilómetros que equivale a un año-luz, el número de moléculas que hay en un mol de una sustancia (número de Avogadro), el gúgol, etc. Si con la imaginación nos trasladamos a la mitológica época del rey Sheram, a la India de los Vedas, a los inicios del sistema numérico decimal que ahora tenemos, podemos comprender que ya el mismo hecho de calcular, a mano, números tan grandes, debía suponer un enorme esfuerzo para los matemáticos de la época, que debían estar acostumbrados a contabilidades prácticas con números mucho más manejables.

Para hacerse una idea de lo grande que es la cantidad de 18 trillones de granos de trigo, hay que convertirla a una unidad más manejable, gramos, kilogramos o toneladas de trigo, y compararla con la producción de trigo mundial. Se pueden encontrar muchas páginas que hacen esta conversión, pero curiosamente hay discrepancia entre ellas.

En la wikipedia (en español), por ejemplo, hay una estimación de unos 1200 granos de trigo por kilogramo, con lo que cada grano de trigo pesaría casi un gramo, (lo cual me parece exagerado). Según dicha estimación, tomando toda la producción mundial actual de trigo, se necesitarían más de 22000 años para acumular los 18 trillones de granos pedidos por el inventor Seta.

La página de wikipedia en inglés, estima que cada grano de trigo pesa 0,065 gramos, lo cual equivale a que en un kilo hay unos 15000 granos de trigo, y calcula que el total de trigo del tablero de ajedrez es más de 1600 veces la producción mundial.

En Matemáticas cercanas, la estimación es de unos 25000 granos de trigo por kilo, es decir, cada grano de trigo pesaría 0,04 gramos. Según este cálculo, se necesitarían más de 1000 años para acumular los granos del tablero de ajedrez.

En la página de SMPM y en la de Me llevo las Mates de calle, se estima que un grano de trigo pesa 0,03 gramos, lo cual hace que en un kilo quepan unos 33000 granos de trigo, y que se necesiten unos 800 años para completar el pedido.

En cualquier caso, si aceptamos que para completar el pedido del inventor Seta se necesita aproximadamente la producción mundial de trigo durante 1000 años, ya sí nos podemos hacer una idea de lo monstruosa que es la cifra calculada por los matemáticos del rey Sheram.

Créditos de las imágenes:

Figura 1: extraída de Collectors Weekly.

Figura 2: By McGeddon [CC BY-SA 4.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0)], via Wikimedia Commons.

La Espiral de Fibonacci (2) : Las Curvaturas y el Circuito de Montecarlo

Cuaderno de bitácora: en una entrada anterior hicimos la construcción en papel de la llamada Espiral de Fibonacci. Para ello utilizamos una hoja cuadriculada estándar, tamaño folio, donde hacer el dibujo de forma sencilla. También comentamos las propiedades de los rectángulos que habíamos ido dibujando con la espiral, y cómo se aproximaban en sus proporciones al rectángulo áureo.

Figura 1.
Aquí tenemos la Espiral de Fibonacci dibujada, con el conjunto de cuadrados y rectángulos que se basan en los términos de la sucesión de Fibonacci.

Al igual que cada uno de los rectángulos que hemos dibujado es una aproximación cada vez más exacta del rectángulo áureo, la espiral que hemos dibujado es una aproximación de una espiral llamada Espiral Áurea. Vamos a tratar de entender cómo se construye la Espiral Áurea y qué diferencia tiene con la Espiral de Fibonacci.

Hablemos ahora de un aspecto importante dentro de la Geometría de las Curvas, una parte de las matemáticas que se engloba dentro de la Geometría Diferencial. Centrémonos en curvas planas y veamos qué es eso de la curvatura de una curva plana.

Ilustremos este tema con un sencillo ejemplo: el famoso circuito de Fórmula 1 en Montecarlo.

Figura 2.
En esta imagen vemos el trazado del circuito de Montecarlo, con cada una de las curvas numeradas.
El autor de la imagen es Will Pittenger. Ver créditos abajo.

El trazado del circuito de Montecarlo se puede asimilar a una línea curva cerrada. Si observamos la imagen, esa línea se curva más o menos según el punto donde nos encontremos. Hay puntos donde la curvatura es muy pronunciada: en el punto ⑥, por ejemplo, donde está el Grand Hotel Hairpin (hairpin = horquilla), en ese punto la fuerza centrífuga que experimentan los coches de Fórmula 1 es máxima, y tienen que frenar mucho si no se quieren salir del circuito. Otros puntos tienen una curvatura muy pequeña, como la curva ⑨, el Túnel; en él hay poca fuerza centrífuga, y los coches pueden acelerar hasta el máximo sin peligro de salirse del trazado. También hay tramos rectos, como el tramo entre el ⑪ y el ⑫; en ese tramo la curvatura es cero, y también es cero la fuerza centrífuga.

Es sencillo comprender que la curvatura mide lo doblada que está una curva en un punto; a mayor curvatura, la curva está más doblada y es más cerrada, y a menor curvatura la curva es más abierta. Si la curvatura es cero, entonces la curva es en realidad una línea recta.

También es sencillo entender que la curva plana más sencilla de todas es la circunferencia, y que en todos los puntos de la circunferencia la curvatura siempre es la misma. Además, la curvatura de una circunferencia se puede calcular numéricamente, como el inverso de su radio. Una circunferencia de radio igual a 2 tiene una curvatura igual a 1/2 = 0,5. Una circunferencia de radio 4 tiene una curvatura igual a 1/4 = 0,25. Una circunferencia muy pequeña de radio 0,1 tiene una curvatura igual a 1/0,1 = 10.

Figura 3.
Aquí vemos varios ejemplos de circunferencias de diferentes tamaños, con sus radios y sus curvaturas respectivas.

En una curva plana que no sea una circunferencia, podemos también medir la curvatura en cada punto. Basta encontrar en dicho punto el círculo osculador, (ósculo = beso) que para entendernos sería el círculo "que más se parece" a la curva en dicho punto. En ese caso, la curvatura de la curva sería la del círculo osculador en dicho punto. Aquí debemos advertir que no todo punto de una curva admite un círculo osculador, pues hay puntos donde la curva cambia bruscamente de curvatura, por ejemplo puntos que forman el vértice de un ángulo, y otros tipos de puntos que veremos más abajo.

En la figura siguiente, con la ayuda del programa Geogebra, hemos trazado aproximadamente los círculos osculadores de tres curvas del circuito de Montecarlo.

Figura 4.

Se puede ver en amarillo el círculo osculador de la curva ⑥ Grand Hotel Hairpin, en azul celeste el círculo de la curva ④ en el Casino, y en verde claro el círculo de la curva ⑨ en el Túnel.

Gracias al trazado de estos círculos, podemos calcular (con el programa Geogebra) los radios y las curvaturas de los círculos osculadores. Tenemos en cuenta también la escala en que está trazado el gráfico, y para ello hemos hecho coincidir la escala del trazado con el eje de coordenadas cartesianas.

Curva ⑥ Grand Hotel Hairpin: radio ≅ 11 metros; curvatura ≅ 0,09.
Curva ④ Casino: radio ≅ 58 metros; curvatura ≅ 0,0173.
Curva ⑨ Túnel: radio ≅ 274 metros; curvatura ≅ 0,00365.

(El símbolo ≅ significa que los cálculos son aproximados.)

Con estos cálculos podemos comparar la curvatura de la curva ⑥ Grand Hotel Hairpin con la de la curva ⑨ Túnel, dividiendo ambas cantidades:

0,09 : 0,00365 ≅ 25

Es decir, la curva del Grand Hotel Hairpin tiene una curvatura aproximada 25 veces superior a la del tramo del Túnel, según las mediciones que hemos hecho sobre el gráfico del circuito de Montecarlo, y este dato ya no depende de la escala que tomemos, tan sólo de lo exactos que sean el gráfico y los trazados de nuestros círculos.

Apliquemos lo que hemos aprendido sobre curvaturas a la Espiral de Fibonacci. En el caso de la Espiral, calcular su curvatura en cada punto es extremadamente sencillo, pues la Espiral está formada por arcos de circunferencia, cada uno abarcando un ángulo de 90º, inscritos en cuadrados. Precisamente, el radio de cada arco de circunferencia coincide con el lado del cuadrado donde está inscrito. Así, las curvaturas serán:

-En los dos cuadrados de lado 1, la curvatura de la Espiral es de 1/1 = 1.
-En el cuadrado de lado 2, la curvatura de la Espiral es de 1/2.
-En el cuadrado de lado 3, la curvatura de la Espiral es de 1/3.
etc.

La curvatura de la Espiral en cada arco de 90º va tomando los siguientes valores: 1, 1/2, 1/3, 1/5, 1/8, 1/13, 1/21, 1/34..., los inversos de la sucesión de Fibonacci.

Veamos un detalle muy importante: la curvatura varía conforme avanzamos por la espiral. En una circunferencia, la curvatura es constante. En una espiral, la curvatura va disminuyendo si nos desplazamos hacia afuera, y aumenta si nos desplazamos hacia dentro, hacia el origen de la espiral. Para entender esto mejor, podemos imaginarnos dentro de un coche en un circuito de fórmula 1: si el circuito es una circunferencia perfecta, podemos desplazarnos por él colocando el volante en una posición fija, y siempre sentiremos la misma fuerza centrífuga. Si el circuito es una espiral y nos desplazamos hacia afuera, alejándonos del origen, tendremos que ir modificando la posición del volante, poniéndola cada vez más recta, y notaremos cómo va disminuyendo la fuerza centrífuga, y sucederá lo contrario si nos desplazamos hacia dentro, hacia el origen de la espiral.

Aunque el comportamiento de la curvatura es similar en todos los tipos de espirales, en la Espiral de Fibonacci, la curvatura disminuye o aumenta de forma discontinua, a saltos: cuando pasamos de un arco al siguiente, hay un salto brusco de la curvatura, y si nos desplazáramos en un coche por un circuito en forma de Espiral de Fibonacci, notaríamos cambios bruscos en la fuerza centrífuga y en la dirección del volante en cada cambio de tramo.

Continuaremos con este tema en una próxima entrada, donde estudiaremos la Espiral Áurea.

Créditos de la imagen del circuito de Montecarlo:

By Will Pittenger (Own work) [CC BY-SA 3.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0)], via Wikimedia Commons

La Espiral de Fibonacci (1) : Dibujo en papel

Cuaderno de bitácora: una de las primeras actividades que hemos propuesto a los grumetes durante el inicio del curso en el Barco Escuela, es la realización de la Espiral de Fibonacci.

Hagamos una pequeña introducción, para que todos los interesados puedan situarse antes de acometer el dibujo de la famosa espiral.

Según los datos históricos, [constratados con la wikipedia], Fibonacci es el apodo de un importante matemático italiano que vivió entre los años 1170 y 1240: Leonardo de Pisa. El padre de Leonardo, Guglielmo, se apodaba Bonaccio, y Fibonacci significa "hijo de Bonaccio". Leonardo era originario de Pisa, como su nombre indica. [La ciudad de Pisa, Italia, es actualmente famosa por la Torre Inclinada; coincidentemente, la Torre empezó a construirse 1173, cuando Leonardo era un niño pequeño, pero su construcción se interrumpió en 1178 cuando sólo se habían terminado tres pisos, y no se retomaría hasta cien años después.]

Guglielmo Bonaccio, el padre de Leonardo, era un importante comerciante, y tenía un puesto de comercio en Bugía, en la actual Argelia. Leonardo acompañó desde muy joven a su padre, viajó por el Mediterráneo y tuvo la oportunidad de aprender matemáticas directamente de maestros árabes, que le enseñaron el sistema decimal posicional de números indoarábigos (el que empleamos en la actualidad). En aquella época, en Europa se utilizaba el sistema de números romanos para hacer todo tipo de cuentas, y Leonardo vio enseguida que el sistema indoarábigo podía ser mucho más sencillo y eficiente que el romano para llevar la contabilidad comercial y para la aritmética en general. En 1202, cuando hubo aprendido lo suficiente, publicó el Liber Abaci (Libro del Ábaco), uno de los libros que han pasado a la historia de las matemáticas.

En el Liber Abaci, Fibonacci introdujo el sistema numérico posicional indoarábigo que usamos hoy en día, describiendo el cero, la notación posicional, la descomposición en factores primos y los criterios de divisibilidad. El libro contiene numerosos problemas aritméticos.

Uno de los problemas del Liber Abaci se ha hecho muy famoso; trata sobre la reproducción de una pareja de conejos. El problema plantea el siguiente enunciado: "Cierto hombre tenía una pareja de conejos en un lugar cerrado y deseaba saber cuántos se podrían reproducir en un año a partir de la pareja inicial, teniendo en cuenta que de forma natural tienen una pareja en un mes, y que a partir del segundo se empiezan a reproducir".

Razonando esquemáticamente se puede resolver fácilmente el problema. No daremos todo el razonamiento aquí, simplemente diremos que los números de parejas de conejos que hay cada mes forman la siguiente sucesión, que merecidamente se ha llamado sucesión de Fibonacci:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...

Como se puede comprobar, la sucesión empieza con 1 y 1 como dos primeros términos, y luego se van sumando cada pareja de términos para dar el siguiente:

1 + 1 = 2

1 + 2 = 3

2 + 3 = 5

3 + 5 = 8, etc.

Utilizaremos los términos de la sucesión para hacer una construcción geométrica muy sencilla con ayuda de regla y compás sobre una hoja cuadriculada. La construcción consiste en empezar con dos cuadrados pequeños de lado 1, añadirles un cuadrado de lado 2, luego añadir uno de lado 3, luego otro de lado 5, otro de lado 8, etc. A la vez que añadimos cuadrados, vamos dibujando arcos de circunferencia que atraviesan los cuadrados diagonalmente, y que unidos unos con otros forman una espiral.

A continuación ilustramos el proceso con fotos.

Tomamos una hoja cuadriculada de tamaño folio, colocada en posición apaisada. Si los cuadritos son de 4 milímetros, entonces podemos "centrar" el inicio de la espiral abajo a la izquierda, a 27 cuadritos del margen izquierdo y 18 cuadritos del margen inferior, como se ve en la ilustración.

Debajo del cuadrito original, que representa el primer 1 de la sucesión de Fibonacci, dibujamos otro cuadrito que representa el segundo 1 de la sucesión. En ellos inscribimos el primer arco de la espiral. Para este tamaño tan pequeño es difícil hacerlo con compás, bastará que hagamos el arco a mano, de forma aproximada.
Observemos que los dos cuadritos forman un rectángulo de dimensiones 1×2.

Dibujamos un cuadrado de lado 2 que representa el tercer término de la sucesión de Fibonacci. Dentro de él trazamos un arco de circunferencia, pinchando el compás en la esquina superior derecha del cuadrado 2. La espiral la estamos trazando en el sentido de las agujas del reloj.
El conjunto de los tres cuadrados forman un rectángulo de dimensiones 2×3.

De forma natural, siguiendo el giro de la espiral, trazamos el cuadro de lado 3.
Ahora tenemos un rectángulo 3×5.

Continuamos el giro con el cuadrado de lado 5.
Hemos ampliado el dibujo a un rectángulo 5×8.

Luego el cuadrado de lado 8, y con él un rectángulo total de 8×13.

El cuadrado de lado 13 y un rectángulo total 13×21.

El cuadrado de lado 21 y un rectángulo 21×34.

El cuadrado de lado 34 y un rectángulo total de 34×55. Este es el último que nos cabe en una hoja con cuadrícula de 4 milímetros; si intentamos dibujar otro cuadrado más nos salimos de la hoja.
Podemos observar que si hemos centrado bien el inicio de la espiral, ésta y el rectángulo que la contiene quedan perfectamente centrados en la hoja de papel.

Aquí vemos la espiral de Fibonacci resaltada.

Los investigadores han descubierto una enorme cantidad de propiedades en la sucesión de Fibonacci. Una de ellas es la íntima relación que tienen los términos de la sucesión con la proporción áurea. En efecto, si nosotros procedemos a comparar cada término de la sucesión con el término que le precede, tomando la razón o división entre los dos términos, entonces descubriremos que conforme avanzamos en la sucesión, la razón entre los términos de la sucesión se aproxima al número áureo:

1/1 =1
2/1 = 2
3/2 = 1.5
5/3 = 1.666...
8/5 = 1.6
13/8 = 1.625
21/13 = 1.615384615...
34/21 = 1,619047619...
55/34 = 1,617647058...
89/55 = 1,6181818...
etc.

Recordemos que el número áureo es:

y vale aproximadamente: 1,6180339887...

Cuando hemos ido dibujando los cuadrados, aumentando su tamaño con la suma de los lados de los cuadrados anteriores, también estábamos construyendo rectángulos, como hemos señalado en cada una de las ilustraciones. Estos rectángulos no eran rectángulos áureos, no tenían exactamente las proporciones de los rectángulos áureos, pero conforme aumentamos el tamaño, su proporción se va aproximando a la proporción áurea, del mismo modo que el cociente o proporción entre los términos de la sucesión de Fibonacci se va aproximando al número fi 𝜑.

Ya tenemos nuestro dibujo de la Espiral de Fibonacci. Pero esto no es lo único que podemos contar de la famosa espiral. En una próxima entrada completaremos algunos aspectos interesantes.