Papiroflexia Matemática: El Disco de Siete Colores

Cuaderno de bitácora: siguiendo con las figuras de papiroflexia queremos presentar en esta entrada una curiosa construcción que se hace con siete piezas muy sencillas, y da pie a una reflexión trigonométrica interesante sobre el heptágono regular.

La figura de hoy la hemos encontrado en un libro sobre aviones de papel, concretamente de un pequeño pero maravilloso libro: el Manual de Aviones de Papel de Nick Robinson.

Portada del libro. En el recuadrito de la izquierda se aprecia el disco que vamos a construir.

Veamos la construcción del Disco de Siete Colores con la siguiente serie de ilustraciones.

Figura 1.
Necesitamos siete papelitos cuadrados de siete colores distintos. Realmente los colores es para que salga más bonito, no influyen para nada a la hora de hacer la construcción.

Figura 2.
Tomamos cada papelito y lo doblamos por la mitad. Se nos forma un rectángulo de doble longitud que anchura.

Figura 3.
Este paso es clave: doblar a lo largo de la diagonal del rectángulo. El doblez es un poco delicado porque tenemos que conseguir que la diagonal nos quede lo más ajustada posible a los vértices de las esquinas.

Figura 4.
Le damos la vuelta al papel y por el otro lado hacemos el mismo doblez.

Figura 5.
Hacemos lo mismo con los demás papeles. Los colocamos todos en la misma orientación.

Figura 6.
Vamos a montar el disco. Tomamos dos papeles, en la misma orientación, introducimos uno de los papeles (en la foto el de color rojo) dentro del valle interior del otro papel.

Figura 7.
Deslizamos un papel dentro del otro hasta que el papel exterior (en la foto el azul) toque el vértice del ángulo inferior del otro. Es importante que los dos papeles queden en la posición correcta. Nos queda una figura simétrica con "orejitas" en la parte superior

Figura 8.
Doblamos las dos "orejitas" del papel exterior (en la foto el azul) escondiéndolas dentro del doblez del papel interior (rojo). La "oreja" del papel rojo la podemos dejar así de momento, ya la esconderemos más adelante.

Figura 9.
Ahora vamos repitiendo el proceso con los demás papeles, combinando los colores a nuestro gusto. En la foto añadimos el tercer papel, siempre en la misma dirección. 

Figura 10.
Añadimos el cuarto papel con el mismo proceso. Se nos va formando el disco.

Figura 11.
Con el quinto papel ya se va viendo el heptágono.

Figura 12.
El sexto papel y el heptágono está casi completo.

Figura 13.
El séptimo papel completa el disco. Ahora escondemos todas las "orejas" que nos han quedado fuera, doblándolas y metiéndolas dentro de los bolsillos de los papeles correspondientes.

Figura 14.
Éste es el Disco de Siete Colores terminado.

El Disco de Siete Colores se puede usar como figura decorativa, pero también se puede lanzar como un frisbi,  por eso está incluido en un libro sobre aviones de papel, ya que puede volar como ellos.

Dejando aparte la diversión que nos puede dar el Disco si nos ponemos a jugar con él y lo lanzamos entre varios compañeros, ahora estudiaremos su curiosa estructura geométrica.

Desde el primer momento nos ha llamado la atención que unos papeles doblados de manera tan sencilla, al ser acoplados como en la Figura 7 y siguientes, vayan adoptando la configuración de lo que parece un heptágono regular.

Si miramos la Figura 14, podemos observar en la estructura del Disco que el borde exterior es un heptágono con una base en la parte inferior y un vértice apuntando arriba, mientras que el borde interior es otro heptágono más pequeño en posición invertida, y ambos heptágonos parecen regulares.

¿Pero realmente estamos construyendo heptágonos regulares con el montaje de estas siete piezas?

Vamos a hacer un pequeño estudio trigonométrico de la situación, calculando la medida de los ángulos interiores de Disco que hemos construido y comparándola con la medida de los ángulos interiores de un auténtico heptágono regular.

Dibujemos la forma obtenida en un papel tras doblar una de las diagonales, como en la Figura 3.

Figura 15.

En esta figura buscamos la medida del ángulo CFE. Vayamos por partes:

-El rectángulo ABCD es el doble de largo que de alto, es decir, d=2a.

-El punto E es simétrico del A respecto a la diagonal BD.

-Los triángulos ABD y BED son iguales, y por tanto también lo son los triángulos BED y BCD.

-Por la igualdad de triángulos mencionada, el ángulo ADB mide lo mismo que el BDE, y el ángulo CFD es igual a la suma de los dos anteriores.

Ahora vienen los cálculos, con ayuda de las fórmulas trigonométricas.

Ángulo ADB = arcotangente de a/d = arctg (1/2) = 26,5651º aproximadamente.

Ángulo CFD = 2 · Ángulo ADB = 2 · 26,5651º = 53,1301º aproximadamente.

Por último calculamos el ángulo CFE, que es el que nos interesa:

Ángulo CFE = 180º − Ángulo CFD = 180º − 53,1301º = 126,8699º

Calculemos ahora cuánto vale el ángulo interior de un heptágono para poder compararlo con la medida anterior. Un heptágono se puede dividir en cinco triángulos:

Figura 16.

La suma de los ángulos interiores de un heptágono es igual a 180º · 5 = 900º. Por lo tanto, en el heptágono regular, cada uno de los ángulos interiores vale: 900º : 7 = 128,5714º.

Luego la respuesta a la pregunta que nos hicimos es: No, en la construcción del Disco de Siete Colores no hemos obtenido exactamente un heptágono regular. Cada ángulo que forman los papeles se diferencia en 1,7015º del ángulo interior de un auténtico heptágono regular, una diferencia un poco superior al 1%.

Sin embargo, gracias a la flexibilidad y adaptación del papel, apenas se nota la diferencia. Si nos gusta ir al detalle, en la Figura 12, se ve cómo la esquina del papel rojo se monta un poco sobre la del papel verde, lo cual era de esperar si los ángulos son un poco más pequeños que los del heptágono.

Nota: las Figuras 15 y 16 han sido realizadas con el programa Geogebra.

La fórmula sin apotemas

Cuaderno de bitácora: hace ya bastante tiempo publicamos un artículo titulado Apotemas Falsas, en el que se explicaba que la conocida fórmula para calcular el área de un polígono regular, perímetro por apotema partido por dos, era una fórmula tramposa.

Debemos tener en cuenta que si sabemos el perímetro de un polígono regular, y por tanto conocemos la longitud del lado, entonces la apotema está determinada unívocamente por ese lado, es decir, no podemos "inventarnos" la longitud de la apotema una vez que tenemos el perímetro, pues si lo hacemos así lo más probable es que no pueda existir ningún polígono regular que cumpla con las dos medidas. Por tanto, debemos tener una fórmula en la que sólo intervenga el lado del polígono.

A continuación vamos a calcular esa fórmula explícita que sólo depende del lado para hacer el cálculo del área. Para ello necesitamos echar mano de la trigonometría.

Supongamos que tenemos un pentágono regular como en el dibujo:

Para calcular el área de este pentágono, lo mismo que cualquier otro polígono regular, el procedimiento es dividirlo en triángulos iguales. Se toma el centro del polígono, O, se trazan los radios que van del centro a cada uno de los vértices. El polígono queda dividido en n triángulos iguales, siendo n el número de lados, y las apotemas son las alturas de esos triángulos. El área de cada triángulo es base por altura partido por dos, pero la base es el lado x del polígono, y la altura es la apotema. Sumando las áreas de todos los triángulos llegamos a la conocida fórmula de perímetro por apotema partido por dos.

Fijémonos en el ángulo beta. Es la mitad del ángulo superior del triángulo que une O con los dos vértices. Como hay cinco triángulos en el pentágono, y cada ángulo superior mide dos betas, la medida de beta es:

Si este razonamiento lo repetimos para un polígono regular de n lados entonces el beta correspondiente vale:

Teniendo en cuenta el triángulo rectángulo que se forma con el radio del polígono, la apotema y la mitad del lado x, el ángulo alfa del pentágono vale:

Y en el caso del polígono de n lados, alfa vale:

Usando la tangente del ángulo alfa, tenemos la relación entre el lado x del polígono y la apotema a:

Despejamos la apotema:

Sustituimos el valor de a en la fórmula del área:

Simplificamos y ordenamos, y nos queda la fórmula que estamos buscando:

 [1]

Con esta fórmula sólo necesitamos saber la longitud del lado x y el número n de lados que tiene el polígono regular. Así, por ejemplo, podemos calcular la fórmula del área del pentágono regular:

Donde hemos aproximado la tangente de 54º y la hemos multiplicado por 5/4 obteniendo el coeficiente 1.7205.

También podemos tener, como ejemplos, el área del hexágono regular y el del heptágono regular (seis y siete lados respectivamente):

Aplicando sucesivamente la fórmula [1], podemos obtener expresiones sencillas para el área de los polígonos regulares, desde n = 3 en adelante. Lo único que varía es el coeficiente que aparece multiplicando a la x cuadrado.

Es interesante comprobar que cuando n = 4 ese coeficiente vale exactamente 1, y obtenemos la sencilla fórmula del área de un cuadrado.

[El dibujo del pentágono ha sido realizado con el programa Geogebra]