¡Cuidado con esta regla!

Cuaderno de bitácora: el otro día, como suele ocurrir de vez en cuando, abordaron nuestro Barco Escuela los representantes de un sindicato de oficiales. Además de informar de diversos temas, traían varios recuerdos de propaganda, entre los cuales venían unas reglas hechas de un material plástico.

Como quiera que para nosotros los matenavegantes las reglas son muy útiles, tomé varias, dispuesto a usarlas en mis clases con los grumetes. Sin embargo, una inquietud me vino de repente, y me pregunté si estas reglas estaban bien hechas, si coincidían plenamente con los patrones oficiales.

Mi primera sorpresa fue al comparar los 20 cm que mostraban con los de otra regla, y resultaron más cortos, más de medio centímetro. Fue después de esto cuando me llevé la segunda y más terrible sorpresa: al contar los centímetros, ¡faltaba el centímetro 11, había un salto del 10 al 12!

¡Cuidado con esta regla! Como puede verse en la imagen, falta el centímetro 11, y la escala pasa directamente del 10 al 12.

Además, si comparamos la regla con otra hecha correctamente con los patrones de medida, vemos que los centímetros son ligeramente más largos, pero al faltar el centímetro 11, los 20 centímetros acaban más de medio centímetro antes de lo que debía ser.

Esta es una regla inservible para su función, sin embargo es un motivo de inspiración para muchas reflexiones ácidas, sobre todo al compararla con el eslogan.

¿Los que están "orgullosos de ser docentes de la educación pública" presentan esta regla defectuosa e inútil para que la use quién?

¿La falta de centímetros se debe a los recortes?

¿Nadie se fijó en la regla antes de repartirla como propaganda? ¿O es que hoy se presta atención a otros detalles, olvidando los fundamentales?

Y un largo etcétera. 

[El Problema de la Semana] El tamaño de la pantalla

Este problema va de hacer cálculos sobre el tamaño de la pantalla de un televisor. Resolviéndolo podemos aprender la relación entre las pulgadas que mide, la proporción de sus lados o "relación de aspecto", y el tamaño real de los lados.

Nuestro televisor es de "40 pulgadas", esto quiere decir que la diagonal de la pantalla mide 40 pulgadas. Además es panorámico: la proporción entre sus lados o "relación de aspecto" es 16:9.

Intenta averiguar con estos datos la longitud de los lados en centímetros y el área de la pantalla en metros cuadrados.

No aparten sus ojos de la pantalla: la solución está más abajo.

SOLUCIÓN:

Lo primero que vamos a hacer es pasar las pulgadas a centímetros. Teniendo en cuenta que 1 pulgada = 2,54 cm, entonces:

40 pulgadas = 40 · 2,54 = 101,6 cm.

Si llamamos x e y al ancho y alto de la pantalla respectivamente, entonces podemos establecer dos relaciones.

Por un lado tenemos el teorema de Pitágoras: x e y son los catetos de un triángulo rectángulo en el que la hipotenusa es igual a 40 pulgadas o 101,6 centímetros:

x² + y² = 101,6²

Por otro lado la relación entre los lados es 16 : 9, esto quiere decir que se cumple la proporción:

x/y = 16/9, es decir, x = 16y/9

Sustituyendo en la ecuación del teorema de Pitágoras tenemos:

(16y/9)² + y² = 101,6²

hacemos operaciones, quitamos denominadores y tenemos:

256y² + 81y² = 101,6² · 81  

de donde:

337y² = 836127,36

despejamos la y:

y = 49,8 centímetros

calculamos la x:

x = 16y/9 = 88,6 centímetros.

Teniendo en cuenta que el ancho de la pantalla es de 88,6 cm = 0,886 m, y el alto es de 49,8 cm = 0,498 m, entonces el área de la pantalla es:

Área = 0,886 · 0,498 = 0,4412 m².

Cuando pi fue tres

A principios de abril del año 1998 apareció en el grupo de noticias talk.origins un artículo que decía así:

HUNTSVILLE, Alabama. - Ingenieros y matemáticos de la NASA en esta ciudad de la alta tecnología están impactados y enfurecidos después de que el estado de Alabama aprobara ayer por un estrecho margen una ley que redefine pi, una constante matemática usada en la industria aeroespacial. El proyecto de ley que quiere cambiar el valor de pi a exactamente tres fue introducido sin algarabía por Leonard Lee Lawson, y rápidamente fue ganando apoyos tras una campaña por correo hecha por los miembros de la Sociedad Salomón, un grupo que lucha por los valores tradicionales. El gobernador Guy Hunt dice que firmará el proyecto para que se convierta en ley el próximo miércoles.

La ley ha tomado a la comunidad tecnológica del estado por sorpresa. "Habría sido correcto si hubieran consultado con alguien que realmente usa pi", dijo Marshall Bergman, un director de la Organización de Defensa de Misiles Balísticos. Según Bergman, pi es una letra griega que significa la proporción o razón de la circunferencia de un círculo a su diámetro. Los ingenieros la usan a menudo para calcular trayectorias de misiles.

La profesora Kim Johanson, una matemática de la Universidad de Alabama, dijo que pi es una constante universal y no puede ser cambiada arbitrariamente por los legisladores. Johanson explicó que pi es un número irracional, lo que significa que tiene un número infinito de dígitos después del punto decimal y nunca puede ser conocido con exactitud. Sin embargo, dijo ella, pi está precisamente definida por los matemáticos para ser "3.14159, más todos los dígitos que se tenga tiempo de calcular."

"Yo creo que son los matemáticos los que están siendo irracionales, y ya es hora de que lo admitan", dijo Lawson. "La Biblia dice muy claramente en Reyes 1, 7:23 que la pila de purificación del Templo de Salomón tenía diez codos de ancho y treinta codos de diámetro, y que era perfectamente redonda."

Lawson puso en duda la utilidad de cualquier número que no puede ser calculado exactamente, y sugirió que no llegar a conocer nunca la respuesta exacta puede dañar la autoestima de los estudiantes. "Debemos recuperar algunos valores absolutos en nuestra sociedad", dijo, "la Biblia no dice que la pila fuera treinta y algo codos. Dice claramente treinta codos. Punto."

La ciencia apoya a Lawson, explica Russell Humbleys, un técnico de propulsión en el Centro Espacial Marshall, que ha testificado en apoyo de la ley ante la legislatura de Montgomery el lunes. "Pi es simplemente un artificio de la geometría euclidiana." Humbleys está trabajando en una teoría que dice que demostrará que pi está determinado por la geometría del espacio tridimensional, la cual asumen los físicos que es "isotrópica", es decir, la misma en todas las direcciones. "Existen otras geometrías, y pi es diferente en cada una de ellas," dice Humbleys. Los científicos han asumido arbitrariamente que el espacio es euclidiano, afirma Humbleys. También señala que un círculo dibujado en una superficie esférica tiene un valor diferente para la proporción de la circunferencia a su diámetro. "Cualquiera con un compás, una regla flexible y una esfera lo puede comprobar por si mismo," sugiere Humbleys, "no hay que ser precisamente una lumbrera."

Roger Learned, un miembro de la Sociedad Salomón que estaba en Montgomery para apoyar la ley, se muestra de acuerdo. Ha dicho que pi no es nada más que una suposición de los matemáticos y los ingenieros que estaban allí para argumentar en contra de la ley. "Estos peces gordos han llegado tan campantes a la capital con una impresionante arrogancia," dijo Learned. "Su déficit introductorio ha resultado en una postura polémica en absoluta contraposición con el poder de la legislatura."

Algunos expertos en educación creen que la legislación afectará a la forma en que se enseña matemáticas a los niños de Alabama. Una miembro del comité escolar del estado, Lily Ponja, está ansiosa por incluir el nuevo valor de pi en los libros de texto estatales, pero cree que el antiguo valor debería conservarse como alternativa. Ella ha dicho, "Por lo que a mi respecta, el valor de pi es solo una teoría, y deberíamos abrirnos a todas las interpretaciones." Ponja está muy deseosa de que los estudiantes tengan la libertad de decidir por si mismos qué valor de pi debería haber.

Robert S. Dietz, un profesor de la Universidad del Estado de Arizona que ha estado siguiendo la controversia, escribió que esta no es la primera vez que una legislatura estatal ha intentado redefinir el valor de pi. Un legislador del estado de Indiana trató sin éxito de que dicho estado fijara el valor de pi como tres. Según Dietz, el legislador estaba exasperado por los cálculos de un matemático que había calculado pi hasta cuatrocientas cifras decimales y todavía no había podido conseguir un número racional. Muchos expertos avisan de que esto es solo el comienzo de una batalla nacional sobre pi entre los partidarios de los valores tradicionales y la élite técnica. Lawson, miembro de la Sociedad Salomón está de acuerdo. "Solo queremos devolver a pi su valor tradicional," ha dicho, "que, según la Biblia, es tres."

El artículo, en su versión original en inglés, puede leerse aquí. Se trata tan solo de un artículo en broma, escrito por Mark Boslough y publicado en el 1 de abril de 1998, el April Fools' Day (literalmente, el día de los tontos de abril), el equivalente a nuestro 28 de Diciembre, Día de los Inocentes. Todos los personajes citados en el artículo, salvo Guy Hunt, son imaginarios. Guy Hunt fue un gobernador de Alabama, condenado por corrupción en 1993.

Sin embargo, el artículo empezó a circular por Internet y aunque al día siguiente de su publicación el autor confesara la broma, muchas personas empezaron a creer que era auténtico.

A pesar del engaño, el artículo está inspirado en un hecho real: en 1897 la Cámara de Representantes de Indiana aprobó unánimemente una enmienda redefiniendo el área de un círculo y el valor de pi. Esta enmienda estuvo impulsada no con el ánimo de hacer que pi coincidiera con el valor que la Biblia le otorga, sino con el propósito de probar la cuadratura del círculo, que el matemático aficionado Edward J. Goodwin había creído descubrir. Este convenció al Representante Taylor I. Record, el cual introdujo la enmienda a la Cámara de Indiana. La enmienda fue rechazada en el Senado estatal gracias a la oportuna intervención de C. A. Waldo, profesor de la Universidad de Purdue. Un artículo explicando todo este asunto puede leerse aquí.

También hay otro hecho curioso: el escritor de ciencia ficción Robert A. Heinlein, en su novela Forastero en Tierra Extraña, publicada en 1961, menciona que en Tennessee se aprobó una ley haciendo que pi fuera igual a tres, pero esto no es real, solo es una ficción más de la novela.

Tal y como dice el artículo de broma escrito por Mark Boslough que hemos transcrito arriba, existen algunos pasajes de la Biblia en los que se puede deducir que el valor asignado a pi en  tiempos bíblicos era tres. Concretamente, los pasajes son de Reyes 1, 7:23 y de Crónicas 2, 4:2, y los dos versículos dicen prácticamente lo mismo: Hizo asimismo un mar de fundición, de diez codos del un lado al otro, perfectamente redondo: su altura era de cinco codos, y ceñíalo alrededor un cordón de treinta codos.

Cuando en el texto se habla de un mar de fundición, se refiere a un recipiente de bronce, como un gran caldero o bañera circular. El texto indica que tenía un diámetro de diez codos y una circunferencia de treinta codos y era perfectamente redondo. Como el valor de pi coincide con el cociente de la longitud de la circunferencia entre su diámetro, de aquí se infiere que el valor de pi asignado por en el Antiguo Testamento era exactamente 3.

En realidad si queremos hacer una circunferencia que tenga 10 codos de diámetro, la longitud de la circunferencia tiene que tener 31'4 codos de largo, aproximadamente. Y viceversa, si la circunferencia es exactamente de 30 codos, el diámetro no llega a 10 sino que debe ser de poco más de 9'5 codos. Entonces no se puede fabricar un recipiente según las instrucciones bíblicas. Es posible que las medidas sean aproximadas: un diámetro de casi 10 codos con una circunferencia de poco más de 30 codos de largo.

También es muy posible que entre en juego el grosor del recipiente, pues se dice que el mar de fundición debía tener un espesor de un palmo. El palmo es la longitud que abarca una mano extendida, desde la punta del dedo gordo hasta la punta del dedo meñique, y el codo es la longitud desde el extremo de la mano abierta hasta el codo. Estas longitudes varían en cada persona, y así hay diferentes medidas de codo y palmo según el país y la cultura en donde nos encontramos. Pero podemos hacernos una idea que un palmo está en torno a 20 ó 25 centímetros, y el codo alrededor de 50 centímetros. Si medimos la anchura del recipiente contando con el grosor en 10 codos, la anchura sin el grosor serían unos 9'5 codos, y la circunferencia por dentro del recipiente haría 30 codos con bastante exactitud.

Al parecer, a lo largo de la historia se ha tomado al pie de la letra que la Biblia sugiere que el valor de pi era exactamente 3, lo que ha causado graves problemas teológicos. La forma de medir el diámetro por fuera y la circunferencia por dentro que hemos mencionado en el párrafo de arriba ya fue propuesta por el Rabino Nehemiah, que vivió sobre el año 150 d. C. También se han propuesto otras explicaciones: que los Hebreos redondeaban sus cantidades a los números enteros más cercanos, que el recipiente no era perfectamente circular, o bien que no tenía forma cilíndrica.

El Fujiyama en camiones

Cuaderno de bitácora: con motivo de ayudar a los grumetes, cuando en el Barco Escuela les pongo un examen de matemáticas doy la opción de que realicen un trabajo o actividad complementaria en lugar de uno de los problemas del examen. Esta actividad complementaria siempre consiste en leer un texto de algún libro o de la web relacionado con las matemáticas y contestar a varias cuestiones sobre el texto.

Hace varios meses les propuse un texto del libro El hombre anumérico, de John Allen Paulos. El texto y las actividades propuestas se pueden encontrar en este enlace. Una de las cuestiones planteadas en las actividades consiste en resolver el problema que aparece al final del texto de Allen Paulos:

Y para terminar daremos otro ejemplo de cálculo terrenal que suele usar un asesor científico el MIT para eliminar aspirantes en las entrevistas de selección de personal: pregunta cuánto se tardaría en hacer desaparecer una montaña aislada, como el Fujiyama japonés, por ejemplo, transportándola con camiones. Supóngase que, durante todo el día, llega un camión cada 15 minutos, es cargado instantáneamente de tierra y piedras, y se va sin interrumpir al siguiente camión. El resultado es un tanto sorprendente.

¿Cuánto tardaríamos en trasladar el Fujiyama con camiones? El problema no contiene los datos necesarios para hacer las cuentas, si uno quiere resolver el problema, necesita informarse antes de la altura del Fujiyama, calcular aproximadamente su volumen, suponer que está constituido por roca homogénea, buscar la densidad de la roca y pasar el volumen a peso, y luego decidir qué tipo de camiones puede utilizar y cuál es la capacidad de cada uno.

Vamos a ir recopilando datos:

Altura del Fujiyama - 3776 metros

Volumen del Fujiyama - esto es más difícil; haciendo una busca rápida en la red, no hemos encontrado ningún sitio donde aparezca el volumen, así que vamos a calcularlo suponiendo que tiene aproximadamente la forma de un cono. Haciendo mediciones directamente sobre la fotografía, vemos que el ángulo de inclinación es de unos 20º, y por trigonometría básica, el radio de la base del cono se puede calcular con la fórmula: r = h/tan20º, donde h es la altura del cono y "tan" es la tangente del ángulo, y de aquí sale que r = 10374 metros.

De aquí, con la fórmula del volumen de un cono, V = π·r²·h/3 = 4.26 · 10¹¹ m³ = 426 kilómetros cúbicos, aproximadamente.

Peso del Fujiyama - consultando en esta página, vemos que el Fujiyama está compuesto, principalmente por basalto y andesita. La densidad del basalto es de unos 2700 kilogramos por metro cúbico, es decir, 2.7 toneladas por metro cúbico, luego el peso total sería de 1.15 · 10¹²  toneladas (más de un billón de toneladas).

Ya tenemos la cantidad de material que tenemos que transportar, ahora necesitamos los camiones, y no vamos a ser tacaños, usaremos los mayores camiones que existen. Según las investigaciones en la red, el camión más grande del mundo es el caterpillar 797, que es capaz de desplazar 345 toneladas de carga útil.

Ahora sí que podemos terminar los cálculos. Si cada 15 minutos un camión es cargado instantáneamente de piedras del Fujiyama y se va sin entorpecer al siguiente camión, son 4 cargas a la hora, y 96 cargas al día (trabajando las veinticuatro horas sin parar). Multiplicamos y tenemos que cada día logramos desplazar 96 · 345 = 33120 toneladas. Si queremos desplazar el billón largo de toneladas del volcán japonés, necesitamos 1.15 · 10¹² : 33120 = 34695000 días aproximadamente, más de 95000 años.

Los cálculos pueden variar según la aproximación que tengamos de los datos, pero es interesante hacerse a la idea de que con los mayores camiones disponibles se necesitarían casi cien mil años para hacer desaparecer el Fujiyama. Si dispusiéramos de camiones más estándar, que acarrearan la décima parte de peso en cada viaje, entonces el tiempo se multiplicaría por diez, dándonos la friolera de un millón de años para hacer todo el trabajo.

¿Nos ha sorprendido? ¿Nos parece una cantidad muy grande? ¿Por qué aparecen números tan grandes en los cálculos?

La razón debemos buscarla en el volumen de las cosas. Estamos bastante acostumbrados a comparar longitudes, y así medimos las alturas de las montañas, de los edificios, de los monumentos, etc. y nos hacemos una idea de su tamaño. Pero no estamos tan acostumbrados a comparar volúmenes; tengamos en cuenta que un volumen es una longitud al cubo, y al elevar al cubo se multiplican las cantidades por sí mismas tres veces. Si una montaña es el doble de alta que otra que tenga la misma forma, su volumen es 2·2·2 = 8 veces más grande. Un kilómetro contiene mil metros, pero un kilómetro cúbico contiene mil millones de metros cúbicos.

¿Sería capaz de calcular el lector el tiempo que se tardaría en trasladar una montaña de forma similar al monte Fuji, pero que tuviera la altura del Everest, de 8848 metros? ¿y qué me dice del monte Olimpo, en Marte, con 27 kilómetros de altura?

Numeros astronómicos (3): Viajes Espaciales

Un tema recurrente en los relatos y películas de ciencia ficción son los viajes espaciales. Cruzar las distancias siderales para ir de un planeta a otro planeta, de una estrella a otra estrella, de una galaxia a otra galaxia, con multitud de tipos de naves espaciales, es algo que forma parte del argumento de tantos relatos conocidos. En la saga de Star Wars, por ejemplo, las naves que aparecen no tienen problema en trasladarse de un lugar a otro de la galaxia, aunque algunas veces tienen dificultades con el salto hiperespacial, como le ocurre al Millenium Falcon en el Episodio V, o como le ocurre a la nave de la Reina Amidala en el Episodio I. En la serie Star Trek, la nave Enterprise cambia de velocidad, desde el salto hiperespacial, empleado para trasladarse de un sistema estelar a otro, a la velocidad de impulso, usada dentro de un sistema planetario, para acercarse a los planetas o para aproximarse a otra nave.

Por salto hiperespacial se entiende un estado en el que la nave en cuestión viaja a una velocidad superior a la de la luz. Según las necesidades del argumento, dicha nave viajando a esa velocidad mayor que la de la luz empleará más o menos tiempo (minutos, horas, días) en llegar a su destino. Nunca suele ser más de unos pocos días, porque el interés de la acción no está en el viaje en sí, sino en lo que pasa antes y después del viaje. Este tipo de argumentos da por hecho que las naves tienen una tecnología suficientemente avanzada como para viajar de forma rápida y efectiva, sin mayores complicaciones, entre los planetas o estrellas pertinentes.

Hay otro tipo de relatos en la ciencia ficción en los que los autores plantean viajes espaciales más realistas, o más al alcance de la ciencia actual. Así, por ejemplo, tenemos 2001 Una Odisea del Espacio. En este argumento, la nave que aparece viaja lentamente desde la Tierra hasta Júpiter, empleando meses, incluso años, en su trayecto. También tenemos por ejemplo la película Planeta Rojo, que narra un viaje a Marte en el que se emplean varios meses. Las naves de estos dos ejemplos no tienen una tecnología como para alcanzar la velocidad de la luz, ni siquiera llegar cerca de ella. Sus trayectos son lentos, pesados, laboriosos, peligrosos y llenos de inconvenientes. El viaje en sí se convierte en el centro del argumento de la película.

¿Cuánto puede tardar un viaje espacial? Depende del destino que elijamos y de la velocidad a la que nos desplacemos.

Empecemos por el trayecto espacial más sencillo, el más largo que los seres humanos han logrado hasta la fecha: viajar a la Luna. La distancia entre la Tierra y la Luna es de 384.000 kilómetros, aunque los cohetes que han llegado hasta ella han tenido que hacer una distancia ligeramente mayor, porque antes de dirigirse hacia la Luna han de tomar impulso trazando varias órbitas en torno a la Tierra, como los atletas lanzadores de disco, que giran sobre sí mismos varias veces hasta que sueltan el disco. Si pudiéramos ir en coche a la Luna (ver La Carretera hacia la Luna, en este mismo blog), viajando a una velocidad de 120 kilómetros por hora, tardaríamos 3.200 horas cruzar los 384.000 kilómetros. Eso significa un total de 133 días de conducción sin parar, más de cuatro meses.

Las naves espaciales tardan, teniendo en cuenta todas las maniobras de separarse de despegue, separación de la órbita terrestre, adaptación a la órbita lunar y regreso a la Tierra, menos de una semana en ir y volver a la Luna. La velocidad de escape del planeta Tierra es de 40.320 kilómetros por hora, es decir, ésta es la velocidad que tiene que alcanzar un cohete para poder salir al espacio y separarse de la Tierra. A esa velocidad se tarda menos de diez horas en llegar a las proximidades de la Luna.

Si fuéramos a la velocidad de la luz, unos 300.000 kilómetros por segundo, tardaríamos poco más de un segundo en llegar. Pero cuidado, en la práctica estas velocidades son engañosas: hay que tomarse un tiempo para acelerar y otro para frenar, pues de lo contrario, si no frenamos a tiempo, nos pasaríamos muy de largo en un abrir y cerrar de ojos.

Esto es algo que sucede en el espacio: las velocidades suelen ser tremendamente elevadas. Pongámonos en la orilla de una autopista aquí en la Tierra y observemos los coches que pasan. A pesar de desplazarse a una velocidad relativamente moderada, 120 kilómetros por hora, podemos comprobar cómo se acercan rápidamente hacia nosotros y cómo pasan a nuestro lado como una exhalación. Apenas nos da tiempo a fijarnos en su matrícula o en el modelo del coche.

Imaginemos que estamos ahora en el espacio. La velocidad mínima de una cápsula que haya escapado de la Tierra es de 40.320 kilómetros por hora, un poco más de 11 kilómetros por segundo. Si estuviéramos parados observando el paso de un cohete o de una nave espacial, o de una sonda, no tendríamos tiempo ni de darnos cuenta de que se acerca cuando ya habría pasado. ¡11 kilómetros por segundo! En un momento se puede encontrar acercándose desde una dirección a 5 kilómetros y medio de distancia de nosotros, y al segundo siguiente ya ha pasado y se aleja en dirección contraria a 5 kilómetros y medio de distancia.

La velocidad tan elevada a la que se mueven los objetos en el espacio es lo que hace peligrosa a la chatarra espacial. Cuando un cohete o satélite artificial estalla en la órbita de la Tierra, esparce gran cantidad de pequeños trozos que con el paso del tiempo irán cayendo a la superficie de la Tierra, pero que mientras permanecen en órbita se mueven a la velocidad que tenía el satélite: cerca de treinta mil kilómetros por hora. Una bala disparada por una pistola o por un rifle se puede mover a una velocidad diez o veinte veces menor. Eso significa que cualquier tornillo, tuerca o trozo de metal procedente de un satélite artificial se desplaza diez o veinte veces más rápido que una bala. Si se cruza con otro satélite o cohete, lo atraviesa limpiamente, rompiendo todo lo que se encuentre a su paso, por muy resistente que sea. La única salvaguarda que tienen los aparatos mandados al espacio es la ley de probabilidades: el espacio es enormemente grande y la probabilidad de encontrarse con un tornillo suelto es muy pequeña.

Peor es el caso de una nave que se acercara a la velocidad de la luz: ¡ni siquiera la puedes ver mientras se acerca! La luz que emite la nave viene a la misma velocidad que la misma nave, con lo que cuando llega, llega junto a la nave, y antes de eso somos incapaces de ver nada. Captaríamos un fogonazo cuando pasara junto a nosotros, y en un segundo se encontraría tan lejos casi como la Luna.

Se puede calcular también el tiempo que tardaría un avión comercial (velocidad de vuelo: unos 900 ó 1.000 kilómetros por hora) en llegar a la Luna: unas 380 a 400 horas, es decir, 16 días, más o menos.

Más allá de la Luna, las distancias se multiplican, y la duración de los viajes empieza a subir enormemente. Para ir al Sol, hay que recorrer 150 millones de kilómetros, 390 veces más que la distancia a la Luna. Una nave espacial a cuarenta mil ó cincuenta mil kilómetros por hora tarda no menos de 3000 horas, 133 días, en llegar al Sol, siempre que el trayecto lo haga en línea recta, lo cual no es así normalmente, sino que como hemos explicado antes, aprovecha la gravitación terrestre y puede aprovechar la de otros cuerpos del sistema solar, como la Luna, Venus o Mercurio, para impulsarse en su viaje.

La misma nave espacial o sonda, para llegar a Júpiter desde la Tierra necesita cruzar no menos de 630 millones de kilómetros (ésta es la mínima distancia entre Júpiter y la Tierra cuando están en su mayor acercamiento). La duración del viaje llega a ser de dos o tres años, por lo menos.

La duración se multiplica si queremos viajar a Saturno, Urano, Neptuno o Plutón. Carl Sagan, en su obra Cosmos, compara estos viajes con los que tenían que realizar los navegantes en los siglos XVI a XIX en sus periplos alrededor del mundo. Juan Sebastián Elcano, por ejemplo, tardó más de tres años en completar la primera vuelta al mundo. En la actualidad, unos astronautas que intenten llegar a algún otro planeta del sistema solar, especialmente a los exteriores, con las naves de las que disponemos, tienen que prepararse para un viaje de muchos meses, años incluso, con todas las dificultades que ello conlleva: alimento, agua y oxígeno para todo ese tiempo, y mantener ocupados y en buena forma física y mental a los astronautas durante el trayecto, en el que van a estar confinados en un espacio tan reducido como el de la nave.

Viajar a otros planetas del sistema solar es complicado, pero si queremos llegar a otras estrellas, a otros sistemas estelares fuera del nuestro, la cosa se vuelve imposible con los medios actuales. Las estrellas más cercanas, el trío de Alfa Centauri, la estrella de Barnard, la Wolf 359, la Lalande 21185, Sirio, etc., están a varios años luz de distancia. La más cercana, Próxima Centauri, está a más de 4 años luz. Cada año luz es casi 10 billones de kilómetros (billones españoles: diez elevado a doce). Si mandamos un cohete o una sonda de las actuales hacia una de las estrellas más cercanas, a la velocidad a la que se mueven con la tecnología de la que disponemos su viaje tardaría miles de años en completarse. No tiene mucho sentido mandar ninguna nave con nuestra tecnología actual.

Para intentar un viaje hacia otra estrella, se necesitan naves que alcancen velocidades cercanas a la de la luz. Aproximándose mucho a la velocidad de la luz, para llegar al grupo de Alfa Centauri necesitamos más de cuatro años, pues como se ha indicado, este grupo está a más de 4 años luz. Surge el mismo problema de antes: aún teniendo naves tan rápidas, necesitamos preparar astronautas con alimento, agua, oxígeno y buenas condiciones físicas y psíquicas para aguantar un viaje de más de cuatro años (sólo la ida, la vuelta serían otros tantos). Aunque si se consiguiera una velocidad muy próxima a la de la luz, la dilatación temporal que predice la teoría de la relatividad haría que para los astronautas el tiempo corriera mucho más lento, y un viaje de cuatro años visto desde la Tierra, duraría meses o días para los astronautas.

En velocidades comparables a la de la luz, viajar a las estrellas cercanas supone varios años, pero para otras estrellas no tan cercanas puede suponer cientos o miles de años. Las Pléyades, por ejemplo, están a 440 años luz, según las mediciones del Hubble. Si quisiéramos atravesar la Vía Láctea de punta a punta, nos enfrentaríamos a un viaje de cien mil años luz. Salir de nuestra galaxia para visitar otras ya es cuestión de millones de años luz; la galaxia más cercana, Andrómeda o M31, se encuentra a dos millones de años luz.

Ese tipo de viajes, según las teorías relativistas de Einstein, se pueden hacer en velocidades muy cercanas a la de la luz, del orden de 99'99999999995% de la velocidad de la luz, y a este porcentaje, un viaje de dos millones de años luz tardaría para los tripulantes unos 20 años. Evidentemente este tipo de trayectos sólo son de ida, no tiene sentido plantearse el volver, pues entre la ida y la vuelta pasan cientos, miles o millones de años en la Tierra, según el viaje haya sido a estrellas de la Vía Láctea o a otras galaxias fuera de la Vía Láctea. El único sentido de volver a la Tierra es para ver el futuro de nuestro planeta.

Para viajar a otros sistemas estelares existen tres opciones:

1. Diseñar naves que puedan conseguir velocidades muy muy cercanas a la de la luz. Es el caso que hemos estado explicando hasta ahora.

2. Si no se pueden conseguir velocidades tan elevadas, diseñar naves que sean como mundos en miniatura, donde se introducirían una pequeña población de astronautas que vivirían en la nave y tendrían descendencia. Al cabo de varias generaciones los descendientes llegarían al destino. También se puede buscar un sistema de criogenización para mantener a los astronautas en animación suspendida durante cientos o miles de años, y descongelarlos al llegar al final del viaje.

3. Encontrar otro tipo de desplazamiento, más allá de las limitaciones de la Relatividad de Einstein, una especie de salto hiperespacial o alguna forma de desplazarse a través de los llamados agujeros de gusano. Todo esto pertenece en gran parte al terreno de la ciencia ficción, y es lo que se especula en las películas del tipo mencionado al comienzo de esta entrada del blog.

Propongo a los matenavegantes que busquen la fórmula relativista que relaciona el tiempo transcurrido en la Tierra y el tiempo transcurrido para los viajeros de una supuesta nave a las estrellas, y calculen, por ejemplo, cuánto tiempo transcurre para unos astronautas que viajan a las Pléyades a una velocidad de 299.791 km/s (velocidad de la luz: c=299.792'458 km/s).

[Respuesta: casi un año y medio]

La Carretera hacia la Luna

Al profesor Cristóforus, eminente explorador de los Mateocéanos imaginarios, se le ha ocurrido la peregrina idea de proyectar la construcción de una carretera hacia la Luna. Aunque diversos amigos ingenieros y físicos se han apresurado a desanimarlo, por los numerosos inconvenientes que presenta el proyecto, el profesor no ha dudado en continuar con su propósito, alegando que "todo es posible en el mundo abstracto del pensamiento".

Uno de los ingenieros amigos de Cristóforus, la profesora Sebastianis, ha declarado que si se lograse trazar una carretera recta hacia nuestro satélite, al enganchar dicha carretera con la superficie lunar el movimiento orbital del satélite empezaría a retorcerla y a enrollarla sobre la Tierra. En ese caso, a menos que la carretera se hiciera con un material flexible e infinitamente elástico, sólo podrían suceder dos cosas: que la carretera se rompiera inmediatamente, o bien, si es suficientemente sólida, que arrastrara a la propia Luna hacia la superficie terrestre hasta colisionar con ella. La profesora Sebastianis sólo encuentra ante este problema la solución de no enganchar la carretera a nuestro satélite, sino dejarla sin terminar, suelta en el espacio, pero esto obligaría a cualquier viajero que usara la carretera a esperar que la Luna, después de dar su vuelta orbital, se colocara en la posición exacta para "saltar" desde la carretera hasta la superficie lunar. La maniobra, debido a la velocidad de nuestro satélite en su movimiento de traslación, sería tremendamente arriesgada.

Uno de los físicos, el profesor Cortés, ha puesto reparos al uso de la carretera. Afirma que ante la falta de gravedad en el espacio exterior, el agarre de los vehículos sobre la misma sería nulo, con lo que se tendría que emplear algún tipo de atracción magnética entre la superficie de la carretera y los coches que circularan por ella. También, debido a la falta de aire una vez que se sale al espacio y en la propia superficie lunar, los vehículos han de ir presurizados, y a nadie se le debe ocurrir durante el trayecto bajar las ventanillas en ningún momento.

Frente a los obstáculos y constantes discusiones que sostiene con sus colegas, el profesor Cristóforus insiste, como niño caprichoso, en que tiene la ilusión de poder ir algún día a la Luna conduciendo su propio coche, como el que se va a la playa cuando llegan las vacaciones. Sus compañeros intentan desanimarlo por todos los medios, pero se ha encabezonado en sus propósitos y permanece impermeable a todas las críticas.

El Sr. Pizárrez, que trabaja en una empresa de automóviles, le ha manifestado también al profesor las dificultades técnicas añadidas por la inmensa distancia de la Tierra a la que se encuentra la Luna. Parecería que nuestro satélite está al alcance de la mano, especialmente cuando lo vemos cerca del horizonte, pero la distancia real es de 384.000 kilómetros. Si un coche circulase por la carretera a una velocidad media de 120 kilómetros a la hora, se necesitan más de 3.000 horas para cubrir esa distancia. Haciendo una media de diez horas diarias de conducción, los viajeros pueden tardar trescientos días en llegar a la Luna. Son necesarias gasolineras para repostar y hoteles para pernoctar, y si se reducen las paradas a una sola al día, tendrían que instalarse no menos de trescientas gasolineras con sus correspondientes hoteles a intervalos iguales a lo largo de toda la carretera.

Además, continúa el señor Pizárrez, tenemos el tema de las revisiones del coche. Si hacemos una revisión al coche, con su cambio de aceite, filtros, bujías, etc., cada 30.000 kilómetros por ejemplo, han de instalarse doce o trece talleres. Y el automóvil, si al salir de la Tierra está nuevo, cuando llegue a la Luna tendrá casi cuatrocientos mil kilómetros, con lo que estará al final de su vida útil. Para un viaje a la Luna hay que comprar un coche nuevo en la Tierra y desecharlo para desguace cuando se llega a la Luna. Ni que decir tiene que si se quiere regresar desde la Luna también en coche, hay que comprar otro en la superficie de nuestro satélite, y por tanto se ha de abrir allí un concesionario.

De cualquier manera, Cristóforus sigue contumaz, y ya tiene trazado unos planos de una autopista que partiendo desde la Antártida tangencialmente a la Tierra se va separando suavemente de la superficie de nuestro planeta, que se curva sobre sí misma siguiendo las geodésicas, mientras que la carretera se mantiene recta apuntando directamente hacia el espacio exterior. La idea del profesor recuerda vagamente a la historia narrada por Tolkien, la de los barcos élficos que partían de los Puertos Grises en la Tierra Media para alcanzar la sagrada Valinor. Al igual que esta leyenda, el proyecto del profesor Cristóforus no parece que pueda salir del terreno de la fantasía para convertirse algún día en una construcción real. Seguiremos informando a ver en qué queda todo esto.

Números Astronómicos (2): El sistema solar a escala

Hace varios años, en una cierta playa perdida, a orilla de los Matemares, estuvimos un grupo de navegantes estudiando y comentando las distancias a las que se encuentran los cuerpos del sistema solar. De pie sobre la arena nos dispusimos en línea recta, cada uno de nosotros representando uno de los planetas, y tratamos de que las distancias entre unos y otros fuera a escala con la realidad.

El primero de nosotros era el Sol, y en sus manos tenía un balón de fútbol. Luego cada uno tomó una piedrecita de la playa, de mayor o menor tamaño; esa piedrecita iba a representar el planeta correspondiente. Después nos fuimos alejando para irnos colocando de forma que la escala fuera la correcta para la distancia entre los planetas del sistema solar y el Sol.

Vamos repetir el experimento de forma ideal, tranquilamente sentados frente al ordenador, y para ello necesitamos hacer cuentas.

No hay nada como la red para obtener casi al instante los datos necesarios. Por ejemplo, en el reglamento de fútbol de la FIFA, página 15, encontramos que el balón de fútbol debe tener una circunferencia comprendida entre 68 y 70 centímetros. Lo dejamos en 69 centímetros, y dividimos por pi, obteniendo que el diámetro de un balón de fútbol son unos 22 centímetros aproximadamente.

Pasamos ahora a buscar los datos sobre el Sol, y encontramos que el radio del Sol es de 695.000 kilómetros, y por tanto su diámetro vale 1.390.000 kilómetros. Así ya podemos conocer el cambio de escala entre un balón de fútbol y el Sol. Pasamos todo a metros, dividimos el diámetro del Sol entre el del balón, y obtenemos que la escala es aproximadamente 1 : 6.320.000.000.

¿Qué tamaño tendría la Tierra en esta escala y a qué distancia se encontraría de nuestro balón-Sol?

La Tierra tiene un diámetro ecuatorial de 12.756 kilómetros. Pasándola a nuestra escala, obtenemos que su diámetro sería de 0.002 metros, es decir, 2 milímetros. Si el Sol fuera un balón de fútbol, la Tierra sólo tendría un diámetro de dos milímetros, como un grano de arroz partido por la mitad. La distancia de la Tierra al Sol es de 149.600.000 kilómetros, pasados a nuestra escala tenemos unos 23 metros y medio. Si el Sol fuera un balón de fútbol, la Tierra sería medio grano de arroz a 23 metros y medio de distancia.

¿Cómo sería la Luna en esta escala? Tamaño de la Luna: 3.476 kilómetros de diámetro. Distancia Tierra-Luna: 384.000 km. Pasando todo a nuestra escala obtenemos el diámetro: 0.0005 metros, o medio milímetro, y la distancia, 0.06 metros, o 6 centímetros. La Luna sería un grano de arena de medio milímetro de diámetro moviéndose en una órbita en torno a la Tierra de 6 centímetros de distancia. La Tierra y la Luna, por tanto, cabrían en la palma de la mano.

Comparando los tamaños y las distancias al Sol de los demás planetas podríamos hacer una lista sencilla:

Mercurio: diámetro 4.880 km → 0.7 mm. Distancia al Sol: 57.910.000 km → 9 m.

Venus: diámetro 12.104 km → 2 mm. Distancia al Sol: 108.200.000 km → 17 m.

Marte: diámetro 6.794 km → 1 mm. Distancia al Sol: 227.940.000 km → 36 m.

Júpiter: diámetro 142.984 km → 2.3 cm. Distancia al Sol: 778.330.000 km → 123 m.

Saturno: diámetro 120.572 km → 1.9 cm. Distancia al Sol: 1.429.400.000 km → 226 m.

Urano: diámetro 51.118 km → 8 mm. Distancia al Sol: 2.870.990.000 km → 454 m.

Neptuno: diámetro 49.492 km → 8 mm. Distancia al Sol: 4.504.300.000 km → 713 m.

Una vez que tenemos los tamaños y las distancias a escala, podemos hacer esta representación del sistema solar. Aprovechando que es verano, se hará en una playa larga y recta, tal y como lo hicimos la primera vez.

Una persona se colocará en un lugar de partida, con un balón de fútbol, representando el Sol.

La segunda persona tomará un grano de arena, que representa a Mercurio, y se situará a 9 metros de distancia de la primera persona. Nueve metros son nueve pasos largos o nueve zancadas.

La tercera persona tomará una piedrecita del tamaño de medio grano de arroz, representando a Venus, y se colocará a 17 metros de la que representa al Sol, es decir, 8 metros más lejos que la segunda.

Continuaremos con la Tierra, medio grano de arroz 6 metros más lejos.

Luego Marte, un grano de arena 13 metros más lejos todavía.

Cuando nos toque representar a Júpiter tomaremos una piedra del tamaño de una canica y nos iremos 87 metros más lejos de Marte; ya estamos a 123 metros del Sol.

Saturno, Urano y Neptuno representan unos buenos paseos. Saturno es una piedra del tamaño de una canica ligeramente más pequeña que la de Júpiter, y a 103 metros de éste, en total 226 metros del Sol (el largo de dos campos de fútbol uno a continuación del otro).

Urano es una piedrecita del tamaño de un guisante, a 228 metros de donde se quedó Saturno, 454 metros en total del Sol.

Neptuno es otra piedrecita como un guisante, igual que Urano, y a 259 metros de éste, 713 metros de distancia del Sol.

Me consta por experiencia propia que cuando un grupo de personas se pone a realizar esta representación a escala del sistema solar queda muy sorprendido, porque no se imaginan que el sistema solar sea tan grande en comparación a los planetas, que estos estén tan alejados unos de otros, y que sus tamaños sean tan pequeños respecto al Sol. Es un pasatiempo entretenido y muy instructivo, y lo recomiendo para este verano. Así podremos ir desarrollando nuestra imaginación para empezar a comprender el tamaño, gigantesco, del Universo.

La plaza de toros más grande del mundo

Cuaderno de bitácora: estuve hojeando un libro que hemos obtenido en una de nuestras llegadas a puerto, El Mentor de Matemáticas, de la editorial Océano, y me encontré con un problema cuyo enunciado reza así:

Una plaza de toros circular tiene un contorno de 628 metros. El toro se encuentra en el centro del ruedo y se dirige en línea recta hacia un torero, que se encuentra en una de las barreras del coso. ¿Cuántos metros recorrerá el toro antes de alcanzar al torero?

Como puede apreciarse, el problema te da la longitud de una circunferencia, que en este caso es el contorno de una plaza de toros, y te pregunta el radio de esa circunferencia, que es el recorrido que hace el toro hasta alcanzar al torero.

La fórmula de la longitud de una circunferencia es L=2·π·r, pero hace tiempo que me independicé de esta fórmula, y regresé a la definición del número pi. Prefiero recordar que la longitud de una circunferencia es igual a pi por el diámetro. El número pi es aproximadamente 3,14, luego la longitud de una circunferencia es unas tres veces y pico mayor que el diámetro. El díámetro está contenido en la circunferencia tres veces y un poco más.

Los grumetes saben la fórmula de la longitud de una circunferencia, pero cuando les pregunto que me calculen mentalmente una longitud sencilla, no saben hacerlo, necesitan escribir la fórmula en el cuaderno y usar la calculadora.

En Sevilla, mi ciudad natal, y en gran parte de Andalucía, es tradicional que en la salita de las casas haya una mesa circular, llamada mesa camilla, al centro de la cual se coloca en invierno un brasero para que caliente a las personas que se sientan a ella. Antiguamente, hasta hace unos veinticinco o treinta años, el brasero era una bandeja de bronce que se llenaba de cisco o picón, una especie de carbón vegetal. Luego fue sustituido por el brasero eléctrico o por una pequeña bombona de gas con un quemador. Para mantener el calor debajo de la mesa, se cubre con una ropa o enagüilla, hecha de tela gruesa, terciopelo o similar que llega hasta el suelo.

A los grumetes les suelo poner el ejemplo siguiente: tenemos una mesa camilla de 1 metro de diámetro, y queremos hacerle una enagüilla para cubrirla. ¿Cuántos metros de enagüilla necesitamos para rodear la mesa?

Los grumetes tardan mucho en llegar a la respuesta, a pesar de lo evidente que es: si el diámetro es de 1 metro, la circunferencia mide aproximadamente 3,14 metros, con lo que comprando 3 metros y medio de tela sobra para rodear la mesa.

Regresando al problema de la plaza de toros, cuando vi que el contorno era de 628 metros gracias a un razonamiento similar al de la mesa camilla, me vino inmediatamente la longitud del diámetro: 200 metros, y por tanto el radio era de 100 metros.

Y entonces pensé ¿200 metros de diámetro? La plaza de toros es gigantesca. Un campo de fútbol mide entre 100 y 110 metros de largo, por tanto en dicha plaza de toros cabe un campo de fútbol con holgura, de hecho es tan larga como casi dos campos de fútbol, y la distancia del toro al torero es tal como si el toro estuviera en una de las porterías y el torero estuviera en la otra. Dudo mucho que a esa distancia el toro pueda darse cuenta de la presencia del torero o de importarle siquiera.

Picado por la curiosidad consulté las medidas reales de las plazas de toros. Al parecer, la que tiene el ruedo más grande del mundo es la Plaza de las Ventas, en Madrid [recientemente hemos descubierto que esto no es cierto, ver notas y comentarios], con 61,5 metros de diámetro, lo cual se queda bastante lejos de los 200 del problema. La Plaza de toros de México es la que tiene un mayor aforo del mundo, con más de 46.000 localidades, pero su ruedo tiene 43 metros de diámetro.

Plaza de toros de Las Ventas en Madrid.

Este problema es uno de los muchos cuyo enunciado no tiene nada que ver con la realidad. Los autores de los libros de matemáticas y los profesores, nos dejamos llevar por una intención práctica y tenemos a menudo la mala costumbre de plantear problemas que no tienen sentido real. Personalmente creo que es un grave error, porque el problema conduce solamente a una operación aritmética hueca. Si planteamos un enunciado, ¿no sería mejor ilustrarlo con algo que existe realmente?

Se podría plantear el problema con el ejemplo auténtico de la Plaza de las Ventas: el contorno mide unos 188,4 metros, o 188 metros aproximadamente. Se podría hablar de dicha plaza y comentar que es la que tiene el mayor ruedo del mundo. Se podría especificar los componentes de una plaza de toros. Se podría también comparar sus dimensiones con el tamaño de un estadio de fútbol, o con el de un polideportivo. Los grumetes adquirirían un poco más de cultura y tendrían más nociones para poder comparar dimensiones, longitudes, áreas, etc.; se harían una idea de qué es más grande, qué es más pequeño, y en cuánta cantidad. Hoy, con ayuda de toda la información de Internet es posible conseguir los datos necesarios casi inmediatamente.

Un último comentario, esta vez positivo: lo que sí está correcto es que el problema especifica que la plaza de toros sea circular, y hace bien especificándolo, porque no todas las plazas lo son. Por ejemplo, la famosa Plaza de la Maestranza de Sevilla tiene un ruedo un poco irregular, pareciendo un círculo u óvalo achatado en uno de los lados, como se puede apreciar si se observa desde el aire.

Notas: [26 de febrero de 2010] la información se va actualizando y perfeccionando con el paso de los años, y gracias a un comentario de Miguel, hemos comprobado que el dato no es correcto. La plaza de toros con el ruedo más grande es la de Ronda, en Málaga, cuyo ruedo tiene 66 metros de diámetro. Según esto, la circunferencia del ruedo se quedaría en un poco más de 207 metros.

No recuerdo ahora donde busqué la información para escribir este artículo, pero esto me sirve una vez más para corroborar que muchos datos que circulan por la red pueden estar equivocados; siempre que tomemos un dato es interesante confirmarlo a través de varias fuentes y no dar por cierto lo primero que leemos.

Pantallas y formatos

En una entrada anterior estuvimos escribiendo sobre las ternas pitagóricas, y más concretamente sobre la terna 3-4-5. Recordemos que estos tres números cumplen el teorema de Pitágoras, es decir, la suma de los cuadrados de los dos primeros es igual al cuadrado del tercero, y por tanto, si dibujamos un triángulo cuyos lados midan respectivamente 3, 4 y 5, entonces el triángulo es rectángulo.

Figura 1.

De la misma forma, si tomamos un rectángulo en el que la altura mida 3 unidades y la base mida 4 unidades, entonces la diagonal del rectángulo mide exactamente 5 unidades.

El rectángulo de proporciones 3-4-5 no está nada lejos de nuestra vida diaria. Se encuentra, por ejemplo, en los televisores tradicionales. El rectángulo de la pantalla de una tele de las antiguas es un rectángulo cuya altura y anchura están en proporción a 3 y 4.

Esta proporción se suele escribir normalmente 4:3. También los monitores de los ordenadores suelen cumplir esta proporción: las resoluciones de píxeles en la pantalla, 640 por 480, 800 por 600, 1024 por 768, son proporcionales a 4:3. Esto puede comprobarse simplificando las fracciones 640/480, 800/600 y 1024/768. No pasa lo mismo con la resolución de 1280 por 1024, que es proporcional a 5:4.

En la parte de atrás de las carátulas de los DVD's de películas y series de televisión vienen especificadas sus características, y una de ellas es la proporción rectangular de la imagen. Muchos de los DVD's tienen la proporción 4:3, y eso significa que la imagen encaja perfectamente en un televisor o pantalla que tenga la misma proporción, sin dejar bandas oscuras horizontales ni verticales.

Diferentes son las televisiones panorámicas que se están vendiendo actualmente, esas ya no siguen la proporción 4:3, son rectángulos más alargados, con proporciones como 16:9. Así un monitor 1280 por 720 sigue exactamente esta última proporción, en la que están filmadas muchas películas.

Cuando una película filmada en 16:9 se proyecta en un televisor o pantalla tradicional 4:3 entonces quedan dos bandas horizontales negras, una encima y otra debajo de la imagen de la película.

Figura 2.

Se puede comprobar en la figura 2 las diferentes proporciones entre un rectángulo 4:3 y uno 16:9. Este último es más alargado, más panorámico. También sucede que cuando la emisión de 4:3 trata de adaptarse a 16:9 sin dejar bandas negras a los lados, la imagen queda deformada, las caras y los objetos se ven anchos y aplastados, aunque con el tiempo uno se puede acostumbrar a verlos así.

Esto de las proporciones también ha de tenerse muy en cuenta a la hora de revelar fotografías. Las tiendas de fotos ofrecen diversos tamaños para las fotografías a diversos precios. Por ejemplo, uno de los más corrientes es el tamaño de 10 por 15 centímetros, otro es 13.5 por 18 centímetros, otro es 15 por 20 centímetros. Estos dos últimos tamaños, 13.5 por 18 y 15 por 20 son proporcionales ambos a nuestro rectángulo 3 por 4. Sin embargo el tamaño pequeño, 10 por 15, no es proporcional a 3 por 4 sino que es más panorámico. Si hacemos una foto cuyas proporciones estén ajustadas a 4:3, entonces al revelarlas en un tamaño 10 por 15 no saldrán con el encuadre que nosotros hemos elegido, se les recortará un poco por dos de los lados.

Puede ocurrir entonces que si nosotros, al hacer la foto, hemos apurado los bordes para encuadrar el motivo, entonces el recorte nos puede estropear la foto. Por ejemplo, si hay personas en la foto, al revelarla con una proporción equivocada pueden salir con los pies o parte de las cabezas cortados, y si hemos fotografiado una torre o un monumento, la cima de la torre también puede quedar cortada. Esto último, en concreto, le pasó a una compañera de trabajo, cuando fue a revelar las fotos de una torre que había tomado durante unas vacaciones.

Hace dos años hice fotos a los grupos de grumetes de nuestro Barco Escuela, y se me ocurrió revelarlas en dos formatos, tamaño grande de 15 por 20, y tamaño súper grande de 20 por 30 centímetros. Ambos formatos, como puede observarse, no son proporcionales, el primero es 4:3 y el segundo es 3:2, más panorámico. A las fotos les añadí con ayuda del Photoshop un letrero indicando el nombre de nuestro Barco, el curso y el año. Tuve que hacer dos versiones digitales de las fotos, y llevarlas recortadas previamente al laboratorio fotográfico, pues si no lo hacía, las copias en tamaño 15 por 20 saldrían perfectas, pero las copias en tamaño 20 por 30 saldrían con el letrero recortado.

Al final las copias salieron correctamente y a muy buen precio, pero vi que era mucho trabajo encargar copias a dos tamaños, recoger el dinero de cientos de copias, repartirlas, etc. El año pasado y éste me he limitado a sacarlas en 15 por 20 centímetros, porque además las de tamaño súper grande ya no están de oferta y salen bastante caras.

Números astronómicos (1): Una Idea Básica del Cosmos

Cuaderno de bitácora: la otra mañana en el Barco Escuela estuve hablando a los grumetes sobre las distancias en el Universo, la unidad astronómica (UA), el año-luz, etc. Les puse algunos ejemplos sobre la Tierra, el Sol, la Luna, los planetas, la estrella más cercana al Sol, y ellos, aunque en forma un poco desordenada, se interesaron por muchas cosas y me hicieron bastantes preguntas.

Quisiera en esta entrada del blog recordar algunas cosas sueltas interesantes, unas que les dije y otras que no se me ocurrió mencionarles o no me dio tiempo a decir.

A partir de ahora emplearé cifras aproximadas, pues mi pretensión es que el lector se pueda hacer una idea general de lo explicado, no que se pierda en la exactitud de algunos datos. Las cifras exactas se pueden buscar fácilmente en cualquier enciclopedia.

Primero una idea general de dónde nos encontramos. Todos conocemos nuestro pueblo o ciudad, nuestro entorno cercano. Si por ejemplo vivimos en Priego de Córdoba, conocemos sus calles, también el terreno que le rodea, sabemos los pueblos y aldeas cercanos, a qué distancia se encuentra Córdoba o Granada, etc.

También tenemos una idea de la región en la que vivimos, del país, y sabemos que estamos en el planeta Tierra. Pero este conocimiento ya es más teórico, es un conocimiento aprendido por el avance actual de la Geografía y las exploraciones. En la actualidad se conoce con mucho detalle nuestro mundo e incluso se puede fotografiar desde el espacio exterior.

Sin embargo, hace tan sólo quinientos o seiscientos años, la humanidad no sabía decir si vivíamos en una esfera, y la mayoría de la gente pensaba que la Tierra era plana, y el firmamento una bóveda sobre la Tierra, hecha exclusivamente para sostener el cielo de nuestro mundo.

Podíamos conocer nuestra región, pero los países lejanos resultaban desconocidos o formaban parte de las leyendas de los viajeros. La Tierra, que hoy nos parece pequeña, representaba en aquellos tiempos un universo gigantesco, desconocido en gran parte, y sobre el Cosmos y las estrellas sólo había mitos y conjeturas, muy lejos de lo que hoy se puede contemplar y conocer.

La Tierra, acompañada de la Luna, gira en el espacio en torno al Sol. También giran en torno a nuestro Sol gran cantidad de otros cuerpos celestes, como los planetas, planetoides, asteroides, cometas, etc. El Sol, junto a todo su acompañamiento, en el que se incluye nuestro planeta Tierra, forma el llamado Sistema Solar.

El Sol, no obstante, es tan solo una más de las estrellas que pueblan el firmamento. Cuando los poetas hablan del cielo nocturno, dicen que está poblado de infinitas estrellas, pero a simple vista, sin ayuda de prismáticos ni telescopios, en una noche oscura lejos de las ciudades, se pueden llegar a ver sólo unas tres mil estrellas. También se puede contemplar una banda o franja que atraviesa el cielo, de una claridad muy tenue: es la galaxia en la que nos encontramos, la Vía Láctea.

Con ayuda de los telescopios se despliega toda la potencia de la observación cósmica. Así descubrimos que nuestra galaxia no es sino un conjunto enorme de estrellas que están muy lejos para ser distinguidas a simple vista unas separadas de otras. Una galaxia como la Vía Láctea a la que pertenecemos, es simplemente eso: un gran conjunto de estrellas y otros cuerpos, girando en espiral en medio del Universo. A simple vista sólo llegamos a ver unas 3.000 de esas estrellas, pero se calcula que nuestra galaxia está formada por 100.000.000.000 (cien mil millones) de estrellas.

Es de notar que esta cifra varía significativamente dependiendo del lugar donde consultemos, hay fuentes de información donde cuentan doscientos mil millones, trescientos mil millones y hasta cuatrocientos mil millones de estrellas. El Sol sólo es una de esas estrellas, acompañado de sus planetas, cometas y asteroides.

Se ignora si todas y cada una de esas cien mil millones de estrellas está acompañada por planetas y demás cuerpos, pero todo parece indicar que en la mayoría de ellas es así. Con técnicas muy avanzadas en observación astronómica se ha llegado a detectar la presencia de planetas en torno a estrellas cercanas. Actualmente (obsérvese la fecha de esta entrada del blog) hay 264 exoplanetas detectados o descubiertos. Hay una web dedicada a estos planetas fuera del Sistema Solar, La Enciclopedia de los Planetas Extrasolares, muy interesante, aunque parte de la web está en inglés.

Hay muchas más estrellas en nuestra galaxia que personas en el mundo. Si repartiéramos las estrellas de la Vía Láctea entre todos los seres humanos del planeta Tierra, cabríamos a más de quince estrellas por persona. Las parejas, en sus cortejos románticos podrían, literalmente y no sólo poéticamente, entregarse el uno al otro estrellas del cielo y otros cuerpos celestes como muestra de amor, sin peligro de que se acaben.

No paramos aquí. Nuestra Vía Láctea, con todos sus cientos de miles de millones de estrellas es tan solo una entre todas las galaxias que existen en el Universo. Con la ayuda del telescopio Hubble se han llegado a calcular que hay por lo menos diez mil millones, 10.000.000.000 de galaxias en el Cosmos.

Multiplicando ambas cifras, tenemos que en el Universo habría por lo menos mil trillones, 1.000.000.000.000.000.000.000 o diez elevado a veintiuno, de estrellas, sin contar planetas, lunas, cometas, asteroides...

El Universo, como decía Carl Sagan a través de la película Contact, es un espacio enorme. Incluso se dice tradicionalmente que el Universo es infinito. En realidad es una cuestión que no está resuelta, y que dudo si algún día lo estará, por mucho que avance la ciencia. Los astrónomos no pueden hacer otra cosa que seguir investigando...

Nosotros conocemos nuestro entorno, nuestro pueblo, nuestra ciudad, tenemos una idea de lo que nos rodea, pero esa idea empieza a difuminarse conforme ampliamos nuestra visión: la Tierra, el Sistema Solar, las estrellas, la galaxia, el Universo...

Es muy hermoso e instructivo detenerse de vez en cuando en reflexionar sobre todas estas cuestiones, y las matemáticas nos pueden ayudar para ampliar nuestra comprensión sobre el Cosmos.

Para terminar la entrada de hoy, quisiera recordar a ese gran científico y divulgador, fallecido en 1996, que nos ha enseñado tanto sobre los misterios del Cosmos, me refiero a Carl Sagan...

También quiero recomendar la descarga del programa Celestia, una magnífica aplicación que representa el Universo en tres dimensiones, en tiempo y espacio real, y que tiene gran cantidad de complementos.

La Nanociencia y el Reloj de la Puerta del Sol

Cuaderno de bitácora: esta mañana la navegación por los Matemares me ha llevado hasta un artículo publicado en El País, titulado La veloz carrera de los electrones en un metal, que me ha parecido sumamente interesante. Ya desde el primer momento empieza citando cifras grandes de ésas a las que es difícil seguirles la pista, como:

El radio del universo conocido se fija en unos cuatro millones de trillones de metros y su edad se estima en 400.000 billones de segundos, o un cuatro seguido de 17 ceros...

Más adelante, el artículo habla de la nanociencia, la ciencia de lo muy pequeño, y define el nanómetro, como una mil millonésima de metro (para los matenavegantes, diez elevado a menos nueve metros). Lo que me ha gustado especialmente es el siguiente comentario:

Si en Google redujéramos el mapa de España al tamaño de una cabeza de alfiler, el diámetro del Reloj de la Puerta del Sol mediría un nanómetro...

Supongo que cuando dice Google, se refiere en realidad a la magnífica aplicación Google Earth, cuya descarga recomiendo a todos los que todavía no la tengan. En ella aparece una representación fotográfica del planeta Tierra, con un nivel de detalle finísimo, en el que se pueden llegar a contemplar todos los lugares del planeta, montañas, ríos, ciudades, monumentos, y hasta las casas, coches y personas.

Eso de reducir el mapa de España al tamaño de una cabeza de un alfiler me ha parecido una idea muy sugerente. Además, en seguida me he puesto a calcular: la cabeza de un alfiler tiene una anchura aproximada de un milímetro. Si aceptamos que la anchura del mapa de España es de unos mil kilómetros = un millón de metros = mil millones de milímetros, entonces la escala de la reducción ha sido de 1 : 1.000.000.000, de uno a mil millones, luego un nanómetro en la cabeza de alfiler equivale a mil millones de nanómetros en la realidad, es decir, a un metro exacto...

Conclusión: mentalmente, a bote pronto, el diámetro del Reloj de la Puerta del Sol de Madrid ha de tener, según la comparación, un metro de longitud, más o menos...

Reloj de la Puerta del Sol en Madrid.

Curiosamente, después de navegar un rato, no he logrado encontrar ningún sitio donde venga especificado el diámetro real de dicho Reloj, así que no puedo comprobar mi deducción.

Después en el artículo se sigue hablando de las distancias y los tiempos pequeñísimos que se miden en la interacción de los electrones en el metal, en la emisión de pulsaciones láser en los CDs, etc.

Aparecen, por ejemplo, prefijos usados en física, además de nano, como pico, femto y atto, cada uno con un significado matemático concreto: pico es una billonésima (o diez elevado a menos doce), femto una mil billonésima (diez elevado a menos quince) y atto una millonésima de billonésima, o si se puede decir así, una trillonésima (diez elevado a menos dieciocho).

Regresando a lo del mapa de España en la cabeza de un alfiler, y según lo ya comentado, un metro del mundo real equivale a un nanómetro en esa mini España. Teniendo en cuenta que el tamaño de un virus 

oscila entre los 24 nanómetros del virus de la fiebre aftosa a los 300 nanómetros de los poxvirus (extracto de la Wikipedia),

el virus más pequeño, el de 24 nanómetros, si lo introducimos en la mini España de nuestro alfiler, equivaldría a un animal de 24 metros de largo, como una ballena, en nuestra España real, mientras que un virus de 300 nanómetros de longitud no cabría en dos campos de fútbol de la mini España.

¿Y si no hacemos una reducción de tamaño tan drástica? Vamos a tomar el mapa de España y ponerlo en la escala de un atlas, de uno a un millón. Los mil kilómetros de anchura se transforman en un metro. Tenemos nuestra España reducida a un mapa de un metro de ancho, y supongamos que lo colocamos en una mesa, y allí podemos ver las cordilleras, los ríos, la costa, las pequeñas ciudades, etc. Al ser la escala 1 : 1.000.000, un metro se reduce a una millonésima de metro, es decir, a un micrómetro. Una persona en el mundo real puede medir 1'72 metros, en este atlas de sobremesa mediría 1'72 micrómetros.

Volvemos a consultar la Wikipedia en su artículo sobre Bacterias:

Las bacterias son microorganismos unicelulares. Tienen típicamente algunos micrómetros de largo (entre 0,5 y 5 μm) y se presentan en diversas formas incluyendo esferas, barras, y espirales.

Con lo que las personas, en esa España de atlas, tendrían el tamaño de bacterias medianas. También podemos pensar que si las bacterias adquirieran inteligencia, se organizaran y desarrollaran como un pueblo, y finalmente construyeran un país como el nuestro, su país cabría sobre una mesa circular de no más de un metro de diámetro.