La Espiral de Fibonacci (1) : Dibujo en papel

Cuaderno de bitácora: una de las primeras actividades que hemos propuesto a los grumetes durante el inicio del curso en el Barco Escuela, es la realización de la Espiral de Fibonacci.

Hagamos una pequeña introducción, para que todos los interesados puedan situarse antes de acometer el dibujo de la famosa espiral.

Según los datos históricos, [constratados con la wikipedia], Fibonacci es el apodo de un importante matemático italiano que vivió entre los años 1170 y 1240: Leonardo de Pisa. El padre de Leonardo, Guglielmo, se apodaba Bonaccio, y Fibonacci significa "hijo de Bonaccio". Leonardo era originario de Pisa, como su nombre indica. [La ciudad de Pisa, Italia, es actualmente famosa por la Torre Inclinada; coincidentemente, la Torre empezó a construirse 1173, cuando Leonardo era un niño pequeño, pero su construcción se interrumpió en 1178 cuando sólo se habían terminado tres pisos, y no se retomaría hasta cien años después.]

Guglielmo Bonaccio, el padre de Leonardo, era un importante comerciante, y tenía un puesto de comercio en Bugía, en la actual Argelia. Leonardo acompañó desde muy joven a su padre, viajó por el Mediterráneo y tuvo la oportunidad de aprender matemáticas directamente de maestros árabes, que le enseñaron el sistema decimal posicional de números indoarábigos (el que empleamos en la actualidad). En aquella época, en Europa se utilizaba el sistema de números romanos para hacer todo tipo de cuentas, y Leonardo vio enseguida que el sistema indoarábigo podía ser mucho más sencillo y eficiente que el romano para llevar la contabilidad comercial y para la aritmética en general. En 1202, cuando hubo aprendido lo suficiente, publicó el Liber Abaci (Libro del Ábaco), uno de los libros que han pasado a la historia de las matemáticas.

En el Liber Abaci, Fibonacci introdujo el sistema numérico posicional indoarábigo que usamos hoy en día, describiendo el cero, la notación posicional, la descomposición en factores primos y los criterios de divisibilidad. El libro contiene numerosos problemas aritméticos.

Uno de los problemas del Liber Abaci se ha hecho muy famoso; trata sobre la reproducción de una pareja de conejos. El problema plantea el siguiente enunciado: "Cierto hombre tenía una pareja de conejos en un lugar cerrado y deseaba saber cuántos se podrían reproducir en un año a partir de la pareja inicial, teniendo en cuenta que de forma natural tienen una pareja en un mes, y que a partir del segundo se empiezan a reproducir".

Razonando esquemáticamente se puede resolver fácilmente el problema. No daremos todo el razonamiento aquí, simplemente diremos que los números de parejas de conejos que hay cada mes forman la siguiente sucesión, que merecidamente se ha llamado sucesión de Fibonacci:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...

Como se puede comprobar, la sucesión empieza con 1 y 1 como dos primeros términos, y luego se van sumando cada pareja de términos para dar el siguiente:

1 + 1 = 2

1 + 2 = 3

2 + 3 = 5

3 + 5 = 8, etc.

Utilizaremos los términos de la sucesión para hacer una construcción geométrica muy sencilla con ayuda de regla y compás sobre una hoja cuadriculada. La construcción consiste en empezar con dos cuadrados pequeños de lado 1, añadirles un cuadrado de lado 2, luego añadir uno de lado 3, luego otro de lado 5, otro de lado 8, etc. A la vez que añadimos cuadrados, vamos dibujando arcos de circunferencia que atraviesan los cuadrados diagonalmente, y que unidos unos con otros forman una espiral.

A continuación ilustramos el proceso con fotos.

Tomamos una hoja cuadriculada de tamaño folio, colocada en posición apaisada. Si los cuadritos son de 4 milímetros, entonces podemos "centrar" el inicio de la espiral abajo a la izquierda, a 27 cuadritos del margen izquierdo y 18 cuadritos del margen inferior, como se ve en la ilustración.

Debajo del cuadrito original, que representa el primer 1 de la sucesión de Fibonacci, dibujamos otro cuadrito que representa el segundo 1 de la sucesión. En ellos inscribimos el primer arco de la espiral. Para este tamaño tan pequeño es difícil hacerlo con compás, bastará que hagamos el arco a mano, de forma aproximada.
Observemos que los dos cuadritos forman un rectángulo de dimensiones 1×2.

Dibujamos un cuadrado de lado 2 que representa el tercer término de la sucesión de Fibonacci. Dentro de él trazamos un arco de circunferencia, pinchando el compás en la esquina superior derecha del cuadrado 2. La espiral la estamos trazando en el sentido de las agujas del reloj.
El conjunto de los tres cuadrados forman un rectángulo de dimensiones 2×3.

De forma natural, siguiendo el giro de la espiral, trazamos el cuadro de lado 3.
Ahora tenemos un rectángulo 3×5.

Continuamos el giro con el cuadrado de lado 5.
Hemos ampliado el dibujo a un rectángulo 5×8.

Luego el cuadrado de lado 8, y con él un rectángulo total de 8×13.

El cuadrado de lado 13 y un rectángulo total 13×21.

El cuadrado de lado 21 y un rectángulo 21×34.

El cuadrado de lado 34 y un rectángulo total de 34×55. Este es el último que nos cabe en una hoja con cuadrícula de 4 milímetros; si intentamos dibujar otro cuadrado más nos salimos de la hoja.
Podemos observar que si hemos centrado bien el inicio de la espiral, ésta y el rectángulo que la contiene quedan perfectamente centrados en la hoja de papel.

Aquí vemos la espiral de Fibonacci resaltada.

Los investigadores han descubierto una enorme cantidad de propiedades en la sucesión de Fibonacci. Una de ellas es la íntima relación que tienen los términos de la sucesión con la proporción áurea. En efecto, si nosotros procedemos a comparar cada término de la sucesión con el término que le precede, tomando la razón o división entre los dos términos, entonces descubriremos que conforme avanzamos en la sucesión, la razón entre los términos de la sucesión se aproxima al número áureo:

1/1 =1
2/1 = 2
3/2 = 1.5
5/3 = 1.666...
8/5 = 1.6
13/8 = 1.625
21/13 = 1.615384615...
34/21 = 1,619047619...
55/34 = 1,617647058...
89/55 = 1,6181818...
etc.

Recordemos que el número áureo es:

y vale aproximadamente: 1,6180339887...

Cuando hemos ido dibujando los cuadrados, aumentando su tamaño con la suma de los lados de los cuadrados anteriores, también estábamos construyendo rectángulos, como hemos señalado en cada una de las ilustraciones. Estos rectángulos no eran rectángulos áureos, no tenían exactamente las proporciones de los rectángulos áureos, pero conforme aumentamos el tamaño, su proporción se va aproximando a la proporción áurea, del mismo modo que el cociente o proporción entre los términos de la sucesión de Fibonacci se va aproximando al número fi 𝜑.

Ya tenemos nuestro dibujo de la Espiral de Fibonacci. Pero esto no es lo único que podemos contar de la famosa espiral. En una próxima entrada completaremos algunos aspectos interesantes.

El tronco de la pirámide

Cuaderno de bitácora: recientemente ha caído en nuestras manos un excelente libro, La Secta de los Números (El Teorema de Pitágoras) de Claudi Alsina, publicado en formato de revista monográfica por RBA en edición especial de National Geographic.

[Esta imagen está sacada de El Kiosko de Jesús]

Hablando sobre los papiros egipcios matemáticos que se conservan, este libro-revista menciona el papiro de Moscú, y en él sobre un problema que presenta la fórmula para calcular el volumen de un tronco de pirámide:

Junto al papiro Rhind, el más importante documento matemático del antiguo Egipto es el famoso papiro de Moscú, datado en el año 1890 a.C., actualmente conservado en el Museo de Bellas Artes de Moscú, del que toma el nombre. Su forma es peculiar: tiene 5 metros de longitud, pero tan sólo 8 centímetros de anchura. En ese angosto espacio, aparecen 25 problemas matemáticos (...) En el papiro de Moscú aparecen cálculos sobre el volumen de una pirámide truncada, pero sobre todo destaca el problema 14, que presenta por primera vez la fórmula exacta del volumen de un tronco de pirámide de bases cuadradas.

En mis viajes por los mateocéanos, nunca he prestado atención a los troncos de pirámides, y me he limitado a estudiar con los grumetes las fórmulas de volúmenes de los sólidos más sencillos, como el del prisma o el de la pirámide. Picado por la curiosidad ante lo que he leído en el libro de Claudi Alsina, he reflexionado sobre la antigüedad que tiene la fórmula del volumen de un tronco de pirámide, y he dedicado un rato a deducirla.

Tenemos un tronco de pirámide de bases cuadradas, como el de la ilustración, y los datos de que disponemos son: el lado de la base inferior, a, el lado de la base superior, b y la altura h.

Para calcular su volumen vamos a apoyarnos en que ya sabemos la fórmula del volumen de una pirámide, así que ampliamos nuestro tronco hasta completar la pirámide con el vértice superior. Concretamos también dos triángulos en el interior de la pirámide que nos van a servir para hacer los cálculos.

Estos triángulos, ELN y EMJ, son semejantes por estar en posición de Tales (un ángulo común y los lados opuestos paralelos). Si llamamos H a la altura de la pirámide entonces NJ = h, EN = H − h, además JM = a/2, NL = b/2.

También tenemos en cuenta que si trazamos una recta paralela a EJ por L, obtenemos el punto Q y un pequeño triángulo, LQM, también semejante a los anteriores, en el que QM = (a − b)/2.

Aprovechando la semejanza de los tres triángulos, podemos escribir las siguientes proporciones:

De las dos últimas proporciones podemos despejar H y H − h:

Ahora debemos tener en cuenta que el volumen del tronco de pirámide es igual a la diferencia entre el volumen de la pirámide total y el volumen de la pirámide superior más pequeña. Debemos tener en cuenta que el volumen de una pirámide es igual a un tercio del área de su base por la altura de la pirámide.

Simplificamos:

Dividimos numerador entre denominador en la fracción, y obtenemos finalmente la fórmula buscada:

Notas: Si consultamos, por ejemplo, en la página Universo Fórmulas, nos encontramos la siguiente fórmula para el volumen del tronco de una pirámide:

Obsérvese que en nuestro caso el área de la base mayor es a al cuadrado y el de la base menor es b al cuadrado, luego sustituyendo convenientemente en esta fórmula, cuando la pirámide es de base cuadrada obtenemos la misma expresión.

Los gráficos están realizados con el programa GeoGebra.

Ramas matemáticas

Aunque las Matemáticas parecen ser, para el lego en la materia, una sola cosa que trata de números y sus operaciones, en realidad es una ciencia con diversas ramas. De hecho la misma palabra "Matemáticas" está en plural, indicando que es algo múltiple y no unívoco.

Durante los estudios básicos, la Secundaria y el Bachillerato, la asignatura de Matemáticas se da en un bloque único; el profesor puede mencionar algunas de sus partes, como la aritmética, el álgebra o la geometría, pero no es hasta que uno ingresa en la Universidad cuando esas ramas se separan en disciplinas distintas, con nombres propios.

Cuando en mis años de preparación para matenavegante ingresé en la Facultad de Matemáticas, me sorprendió bastante tener solo cuatro asignaturas en el primer curso: Geometría, Álgebra, Análisis Matemático y Topología. La organización de las clases era bastante sencilla, cuatro horas cada mañana, con cada una de estas cuatro materias, y un recreo de media hora en medio. Entrábamos a las 9 de la mañana y salíamos a las 13:30.

Recordando aquellos años mozos ya pasados, vamos a citar las principales ramas de las Matemáticas:

En primer lugar, tenemos la Aritmética (del griego arithmos = número), la ciencia que trata sobre los números y las operaciones entre ellos. Todo lo que sean números naturales, y aprender a sumar, restar, multiplicar y dividir, entra dentro de la Aritmética. También entran en ella los números enteros, las fracciones, y se cuelan también los números irracionales, como pi, así como las potencias y las raíces. Cuando vamos teniendo claro qué es un múltiplo, un divisor y un número primo, nos vamos a acercando a las cimas de la Aritmética, que se alcanzan con el Teorema Fundamental de la Aritmética: "Todo número natural mayor de uno se puede factorizar de forma única como producto de números primos".

[esta imagen tan simpática, realizada con las fichas "quesitos" del Trivial Pursuit, la hemos encontrado en esta web de fotografía matemática]

Luego tenemos la Geometría (que significa medida de la tierra). La Aritmética y la Geometría son las disciplinas más antiguas de las Matemáticas, y son las que se estudian en primer lugar durante la educación básica. Puntos, segmentos, rectas, ángulos, polígonos, círculos y figuras tridimensionales, son su campo de acción principal. El Teorema de Tales: "Si dos rectas que se cortan en un vértice son a su vez cortadas por otras dos rectas paralelas, los segmentos determinados entre el vértice y las dos rectas paralelas son proporcionales dos a dos" y el de Pitágoras: "En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos", son de los teoremas más conocidos por todos. La Geometría va de los conceptos más simples a las situaciones más complejas. La Geometría que manejamos en la vida diaria es la Euclídea, sin embargo existen otras concepciones muy útiles, como la Geometría Proyectiva, o las geometrías no euclídeas que se desarrollaron en el siglo XIX: la Hiperbólica y la Elíptica.

[En la imagen vemos una representación gráfica del paraboloide hiperbólico, figura clave en la Geometría Hiperbólica, una de las geometrías no euclídeas. La imagen la hemos tomado de Galileo's Pendulum]

A continuación podemos mencionar el Álgebra. Es una disciplina con raíces muy antiguas, casi tanto como la Aritmética y la Geometría, aunque no empezó a definirse por sí misma hasta hace cinco o seis siglos. Su nombre viene del título de un libro escrito por el matemático árabe Al-Juarismi. En principio trata sobre las expresiones algebraicas: polinomios y ecuaciones principalmente, aunque luego se extiende con el estudio de estructuras como los grupos, los anillos y los cuerpos. Una de las ramas es el Álgebra Lineal, que estudia los sistemas de ecuaciones lineales, los cuales dan lugar a las matrices y los determinantes. Hay muchos teoremas importantes en el Álgebra, pero ahora se me vienen dos a la cabeza, el primero de ellos muy antiguo, el Teorema Chino del Resto, que da una fórmula explícita para resolver un sistema de ecuaciones en congruencias, y el otro el Teorema Fundamental del Álgebra, demostrado por Gauss: "Todo polinomio de grado n con coeficientes complejos tiene exactamente n raíces complejas, contando sus multiplicidades".

[Esta imagen está sacada de esta web, y ha sido confeccionada con las raíces de todos los polinomios de grado menor o igual que 5 y de coeficientes enteros entre -4 y 4. Teniendo en cuenta que cada uno de los coeficientes puede tener 9 valores diferentes, y que cada polinomio de grado menor o igual que cinco tiene seis coeficientes, el número total de polinomios diferentes es 9 elevado a 6, es decir, 531.441]

Con el Análisis Matemático, también llamado Cálculus o Cálculo Infinitesimal, podemos decir que las Matemáticas alcanzan históricamente su edad adulta. El inicio del Análisis se localiza en los trabajos de Newton y Leibniz, los cuales, cada uno por su cuenta, desarrollaron al mismo tiempo el Cálculo Diferencial. El Análisis Matemático se apoya principalmente en los números reales y en el estudio de las funciones, y en ellas estudia los conceptos de límites, continuidad, derivadas e integrales. Un paso más allá lo da el Análisis Complejo, ubicado en el conjunto de los números complejos o imaginarios. Uno de los teoremas más importantes en esta rama es el Teorema Fundamental del Cálculo, que conecta a las integrales con las derivadas, demostrando que un proceso es el inverso del otro.

[Mostramos unas páginas del libro Cálculo Diferencial e Integral, de N. Piskunov, editado por Mir en 1966. Algo tienen las integrales que son de mis partes preferidas de las matemáticas, y supongo que también serán las preferidas de muchos matenavegantes.]

De las ramas más nuevas de las Matemáticas, podemos mencionar la Topología, que nació de ciertos lugares de la Geometría en los que no importaban tanto las distancias y los ángulos, sino la forma global de los objetos, y si se podían deformar para convertirse en otros, si tenían agujeros, o nudos, o caminos diferentes para llegar de un punto a otro, etc. En sus orígenes está el famoso problema de los puentes de Konitzberg, el problema de los cuatro colores y el problema de las casas y los pozos.

[Presentamos uno de los ejemplos introductorios de la Topología: una taza de café y un donut son topológicamente la misma cosa, porque se pueden deformar continuamente uno en el otro, sin cortar ni pegar. Este gif animado está tomado de la página Galileo's Pendulum.]

Otra rama bastante nueva históricamente hablando es la Estadística y Probabilidad, quizás una de las ramas que tienen mayor aplicación en el mundo actual. Hoy en día, según mi opinión, dicha aplicación está sobredimensionada y sobrevalorada. La Estadística, cuyo nombre viene de la palabra estado, se limita a organizar informaciones procedentes de poblaciones y a calcular parámetros y gráficas que nos ayuden en la mejor comprensión de dichas informaciones. La Probabilidad es la que le da la fuerza a la Estadística. Se centra en el estudio de los sucesos y de ellos construye las variables aleatorias y la función probabilidad. Algunos de sus principales resultados son la Ley de los Grandes Números y el Teorema Central del Límite, que describen el comportamiento de las muestras de una población cuando el número de muestras aumenta. En la descripción de dicho comportamiento la campana de Gauss tiene un papel fundamental.

[Cosas de matemáticos: diseñar campanitas de Navidad con la forma de la campana de Gauss para colgar en el árbol. Además los extremos de la campana, que corresponden al 5% de la distribución normal, están confeccionados en una tela diferente. La imagen está tomada de esta web.]

Existen otras ramas de las matemáticas, como el Análisis Numérico, la Teoría de la Medida, las Ecuaciones Diferenciales o la Teoría de Números, que no describiremos para no extendernos más.

A pesar de que son ramas diferentes, todas están conectadas entre sí. Los matemáticos se han sorprendido muy a menudo cuando al investigar una de las ramas se han encontrado conceptos relacionados con otras ramas que no se esperaban. Por eso todas las ramas forman parte de un sólo árbol, como todas las olas forman parte de un mismo océano: las Matemáticas. 

Ludolph van Ceulen y la extraña redacción (o en qué se parece una furgoneta a los 35 primeros decimales del número pi)

Cuaderno de bitácora: entre los muchos papeles viejos que aparecieron el pasado verano cuando nos pusimos a hacer una limpieza a fondo de los camarotes, quiero subir a este blog uno de ellos que me trae la imagen de una simpática grumete de hace tres o cuatro años, la cual, un día de aquellos, y a propuesta mía, presentó una redacción sobre Ludolph van Ceulen.

 

 

La curiosa vida de van Ceulen la encontré por primera vez dentro de un libro de texto, en un pequeño artículo de una sección de curiosidades incluidas al final de cierto tema. Ludolph van Ceulen fue un matemático alemán del siglo XVI y principios del XVII, que emigró a Holanda por motivos religiosos y fue nombrado profesor de la Universidad de Leiden en 1600, cuando contaba con 60 años. Lo más curioso, y el motivo de que se le recuerde, es que se pasó los último veinte años de su vida calculando cifras decimales al número pi, π, y cuando murió había logrado determinar π con la friolera de... 35 cifras decimales:

 

3,14159265358979323846264338327950288.

 

Como recordatorio de su gesta, el número π con sus treinta y cinco primeros decimales fue grabado en la lápida de su tumba, y en parte de Europa al número π se le ha llamado durante mucho tiempo número ludolphino (pronúnciese la ph como una efe: "ludolfino").

 

El número π es quizás el más famoso de las matemáticas, y conocer su historia es descubrir un largo camino lleno de hitos importantes, mediante los cuales nos podemos hacer una idea de lo que han sido muchos aspectos de la aritmética, de la geometría, del álgebra, del cálculo y del análisis, y de cómo han ido evolucionando a través de los tiempos. No es una historia para conocer ni comprender por completo en un rato, sino que requiere paciencia y progresiva profundización.

 

La historia de π está llena de anécdotas y hechos curiosos. Podemos hacer un mínimo resumen de ella, y empezar diciendo que π era conocido desde la más remota antigüedad en su definición, "la razón o proporción entre la longitud de una circunferencia y su diámetro"; pero una cosa es definirlo y otra muy distinta es calcularlo.

 

Diferentes civilizaciones han dado distintas aproximaciones del número π, algunas más alejadas de su valor real, otras más ajustadas, más exactas. En la Biblia, en el Libro de los Reyes, se dan una serie de instrucciones para construir un caldero, y en esas instrucciones se asume implícitamente que π es igual a 3. Los egipcios dieron un valor a π de 3'1666... y los griegos un valor de 3'125. Los chinos se aproximaron mucho, dando un valor a π de 355/113. Si hacemos la división veremos que coincide con π en las seis primeras cifras decimales (consultar la página de la wikipedia para más detalles).

 

Se dice que Arquímedes fue el primero que propuso un método o algoritmo geométrico que se usó durante siglos para aproximarse al valor de π. El método es muy sencillo: se trata de tomar una circunferencia, de un diámetro determinado, y calcular su longitud aproximándola mediante el perímetro de polígonos regulares. Tomamos polígonos regulares inscritos (polígonos interiores cuyos vértices están en la circunferencia) y polígonos regulares circunscritos (polígonos exteriores cuyos lados son tangentes a la circunferencia). Conforme vamos aumentando el número de lados de esos polígonos, se van pareciendo cada vez más a la circunferencia, y los perímetros se van aproximando cada vez más a la longitud real de la circunferencia, que al dividirla entre la longitud del diámetro, nos va acercando al número pi con la precisión que queramos.

Éste método, como hemos dicho antes, estuvo en uso durante muchos siglos. Pero el problema son los cálculos aritméticos. Sin ayuda de calculadoras, sin ni siquiera el apoyo de los logaritmos, que no se inventarían hasta principios del siglo XVII, los matemáticos de aquellos tiempos se tenían que enfrentar a tediosos cálculos a mano que, para obtener unas cuantas cifras decimales de π, requerían horas y horas de trabajo. El método de Arquímedes, a pesar de la simplicidad de su planteamiento, es un método lento, se necesitan ir tomando polígonos de muchos lados (miles, millones, billones de lados) para avanzar significativamente en el cálculo de las cifras decimales de π. Se dice, por ejemplo, que para obtener las 35 cifras de π, Ludolph van Ceulen necesitó manejar polígonos regulares de 2 elevado a 62 lados (unos cuatro trillones y medio de lados; un trillón = un uno seguido de dieciocho ceros, 1.000.000.000.000.000.000 = 10¹⁸).

 

A partir del siglo XVII, XVIII, con el avance del cálculo infinitesimal y del análisis matemático, empezaron a desarrollarse métodos mucho más eficientes para el cálculo de las cifras decimales del número π. Newton, Leibniz, Wallis, Euler fueron algunos de los matemáticos que, a través del estudio de las series numéricas, encontraron dichos métodos de cálculo.

Sería en pleno siglo XX cuando la llegada de los ordenadores permitiría dar un salto de gigante en el cálculo de esas cifras. Ferguson, en 1947, con la ayuda de una calculadora mecánica, llegó a calcular 808 decimales de π, pero apenas dos años más tarde, ENIAC, el primer ordenador, logró calcular 2037 decimales de π en tan solo setenta horas. Después de este acontecimiento y hasta nuestros días, se han utilizado ordenadores cada vez más rápidos y potentes, y el número de cifras decimales calculadas ha ido aumentando de forma exponencial. La última marca la estableció Fabrice Bellard el 31 de diciembre de 2009, día en que anunció que había conseguido un total de 2.7 billones de cifras decimales. En este artículo de El País se cuentan los detalles.

Regresando a la redacción que me presentó la grumete hace varios años, conservo la fotocopia de la misma y he podido releerla. Esta redacción ya ha quedado como un paradigma de la desconexión total que a veces se produce entre los grumetes y las tareas que tienen que hacer. Cuando en el Barco Escuela los oficiales matenavegantes les mandamos una tarea, lo importante para ellos es presentar algo, lo que sea, aunque no tenga el mínimo sentido. Y eso es lo que me presentó la grumete, un papel escrito a mano, con buena letra, y decorado con el típico método de ir chamuscando y quemando ligeramente los bordes del papel para que parezca un viejo pergamino, pero su contenido no tenía ni pies ni cabeza. A continuación lo reproduzco; el lector debe tener en cuenta que la intención es escribir sobre van Ceulen y las cifras decimales del número pi:

Al 1500s España fue encontrada a un "limpiamiento espiritual" conocido también como la "inquisición". A los no Católicos, esto significó el encarcelamiento, la tortura generalmente, y/o ejecución. Mientras que el español comenzó a conquistar Europa occidental, forzaron muchos a huir a la seguridad de los estados holandeses.

Tal es el caso de Colonia, que cayó a España en 1559. Como muestra de identificación, las clases ricas de Colonia unieron a menudo, furgoneta Keulen de van Ceulen ("akal del subfijo") a sus nombres, que significa literalmente "de Colonia".

Eventual, los nombres de la "furgoneta" se reconocieron mientras que los apellidos, y así, la familia de la furgoneta Keulen/van Ceulen fueron creados.

¿Inquisición española? ¿Colonia? ¿furgoneta Keulen? ¿reconocimiento de apellidos?

Supongo que la autoría de la redacción está compartida entre alguna página web en inglés sobre Colonia y un traductor automático particularmente extraño y desafortunado. A la grumete no pareció importarle el contenido. Simplemente lo copió, a mano (lo cual no deja de tener su mérito) y lo presentó. Posteriormente he estado buscando en la red la fuente de la redacción, pero no he sido capaz de encontrar tal combinación de despropósitos.

Lo que más me ha gustado, con diferencia, es la traducción de van Ceulen por furgoneta Keulen. Me recuerda lo bien que lo pasé leyendo un folleto de instrucciones para la instalación de la placa base de un ordenador; en dicho folleto, entre muchas otras barbaridades, el traductor de turno hablaba del abanico de la placa base, refiriéndose en realidad al ventilador, y lo único que me faltó es imaginarme a la placa base ataviada con peineta, mantón de manila, y una flor entre las conexiones de los chips.

Sobre Gauss

Recuperamos otro de los restos del naufragio de doDK, una biografía sobre uno de los matemáticos más importantes de todos los tiempos.

Gauss, un genio sobrehumano

Hay quien afirma que Carl Friedrich Gauss ha sido el más grande de los matemáticos y quizás el genio más dotado de cuantos se tiene noticia. En él se dieron cita tantas cualidades que resulta una figura enigmática para el mundo científico, una figura que se sale del ámbito de lo humano y entra en lo sobrehumano. Tenía intuición, originalidad, potencia y capacidad por encima del resto de científicos, y una persistente tenacidad, y sus descubrimientos fueron extraordinariamente diversos y profundos.

Nació en 1777 en Brunswick, al norte de Alemania. Desde pequeño mostró una extraordinaria capacidad para los números. Se dice, por ejemplo, que Gauss fue un niño prodigio al estilo de Goethe o Mozart, cada uno en su campo. Goethe, cuando tenía seis años, escribía y dirigía pequeñas obras para un teatro de marionetas; Mozart, con cinco años, ya componía y daba conciertos para la aristocracia y la realeza europea; Gauss corrigió un error en las cuentas salariales de su padre a la edad de tres años.

Suya es la siguiente anécdota, bastante conocida. Ocurrió en la escuela de Brunswick, cierto día de 1786, cuando Gauss contaba nueve años. El maestro encargó a sus alumnos que hiciesen como ejercicio de adición la suma de todos los números enteros desde el 1 hasta el 100, ambos inclusive. Se trataba de sumar la sucesión 1, 2, 3, 4, ... , 99, 100. Los alumnos, con una sola excepción, empezaron sumando 1 + 2; al resultado de esta suma, 3, le añadieron el 3, lo cual les dio 6, luego 4, obteniendo 10 y así sucesivamente.

La suma de los cien sumandos por este procedimiento había de tener ocupados a los estudiantes por un buen rato. Sin embargo, cuentan las crónicas que, al poco tiempo de propuesta la tarea, cierto alumno, Gauss, se presentó a su maestro con el resultado correcto: 5050. El maestro, perplejo, le preguntó al pequeño cómo se las había arreglado para hacer la tarea tan pronto. Gauss le explicó que los números que se iban a sumar se podían agrupar en parejas: 1 + 100, 2 + 99, 3 + 98, etc. cada una de las parejas sumando 101. Como se formaban 50 parejas, bastaba hacer 101 · 50 = 5050. Gauss acababa de descubrir el método para sumar las progresiones aritméticas, método ya conocido desde la antigüedad, pero resultaba extraordinario que un niño de nueve años, por sí solo, sin ayuda de nadie, pudiera deducirlo instantáneamente de forma tan clara y sencilla. [En la biografía que aparece en la Wikipedia, se comenta esta anécdota con más detalle]

El Duque de Brunswick conoció a Gauss cuando era un muchacho y decidió pagar su educación al quedarse impresionado por sus capacidades. Gauss estudió en el Colegio Carolina de Brunswick y más tarde en la Universidad de Göttingen. Cuando tenía catorce o quince años, descubrió el teorema de los números primos, que no sería demostrado hasta 1896 después de ímprobos esfuerzos de numerosos matemáticos; inventó el método de los mínimos cuadrados y concibió la ley gaussiana o normal de la distribución de probabilidades.

En la universidad se sintió atraído por la filología y desilusionado con las matemáticas, por lo que durante un tiempo la dirección de su futuro fue incierta, pero tras el descubrimiento a los dieciocho años de un bello teorema geométrico, se decidió en favor de las ciencias exactas. El teorema que Gauss descubrió se refería a la construcción con regla y compás de los polígonos regulares de n lados: desde épocas antiguas se conocía la construcción con regla y compás de los polígonos regulares de 3, 4, 5 y 15 lados, además de todos los que se obtienen al biseccionar los anteriores, como los de 6, 8, 10 lados, etc. Gauss demostró que un polígono regular se podía construir con regla y compás si y sólo si su número de lados n era igual a una potencia de dos multiplicada por uno o varios números primos de la forma 2^k + 1, con k = 2ⁿ [estos primos son los llamados Números Primos de Fermat]. Algunos números primos son de esta forma, como el 3, el 5, el 17 o el 257. En la época de Gauss fue muy sorprendente encontrar, por ejemplo, la forma de construir un polígono regular de 17 lados con regla y compás, pero el joven Gauss, con tan solo diecinueve años, la encontró [ver nota al final del artículo].

Durante esos años de su juventud Gauss se vio abrumado por el torrente de ideas que afluían a su mente. Inició un diario científico donde anotaba brevemente sus ideas y descubrimientos, que eran demasiado numerosos para profundizarlos en aquella época.

En el año 1799 Gauss presentó su tesis doctoral, uno de los hitos de la historia de las matemáticas. En ella se ofrecía por primera vez una demostración del teorema fundamental del álgebra: todo polinomio no constante con coeficientes reales o complejos tiene al menos una raíz real o compleja. Con dicha demostración Gauss inauguraba la era de las demostraciones de existencia en matemática pura.

En el año 1801 publicó su famoso tratado Disquisitiones Arithmeticae, una obra completamente original que marca el comienzo de lo que se conoce en matemáticas avanzadas como teoría de números. En ella Gauss creó asimismo el enfoque riguroso de la matemática moderna, en contraposición al enfoque relajado y las demostraciones vagas de sus predecesores.

Sin embargo, su estilo era tan pulido, tan terso, tan desprovisto de motivación, tan acabado, que en algunas ocasiones resultaba prácticamente ininteligible, lo que restaba difusión a sus ideas. En una carta a un amigo afirmaba el propio Gauss: "Sabe que escribo lentamente. Esto se debe sobre todo a que no quedo satisfecho hasta que no consigo decir todo cuanto me sea posible en unas pocas palabras, y escribir de modo conciso lleva mucho más tiempo que hacerlo con extensión".

Gauss se dedicó en los años posteriores a la matemática aplicada. En los inicios del siglo XIX tuvo la oportunidad de hacerse famoso gracias a la astronomía. En las últimas décadas del siglo anterior, muchos astrónomos buscaron un nuevo planeta entre las órbitas de Marte y Júpiter, donde la ley de Bode predecía que debía localizarse. En realidad, entre dichas órbitas no hay ningún planeta, sino los restos de lo que pudo haber sido uno: un gigantesco cinturón de asteroides, entre los que destaca el más grande de todos ellos, bautizado como Ceres. Los astrónomos acertaron a descubrirlo en 1801, pero el pequeño cuerpo era difícil de observar y pronto se le perdió la pista conforme el sol se fue colocando delante. De las observaciones de Ceres se tenían pocos datos, y se planteó el problema de calcular su órbita con suficiente precisión para poder recuperar su posición una vez que el sol se hubiera alejado. Los astrónomos europeos intentaron localizarlo durante meses sin conseguirlo, hasta que Gauss, con la ayuda de su método de los mínimos cuadrados y su increíble capacidad para el cálculo determinó la órbita, indicó a los astrónomos dónde debían apuntar sus telescopios, y estos pudieron comprobar que, efectivamente, allí estaba Ceres.

El Duque de Brunswick, ante el éxito de Gauss, le aumentó la pensión y le nombró, en 1807, profesor y primer director del nuevo observatorio de Göttingen. Aunque le desagradaban las tareas administrativas y no sentía entusiasmo por la docencia, cumplió seriamente con sus responsabilidades e impartió excelentes clases.

Gauss se casó dos veces y tuvo seis hijos, y a pesar de las ofertas para trabajar en otros lugares decidió permanecer en Göttingen toda su vida, viviendo de forma sencilla y tranquila. Además de la ciencia, se interesaba por la historia, la literatura, la política internacional y las finanzas públicas. Este último interés por las finanzas le enriqueció, permitiéndole, al morir, legar un capital equivalente a cien veces sus ingresos anuales medios.

Durante las dos primeras décadas del siglo XIX se dedicó a trabajar sobre temas astronómicos, considerando la matemática solo como una diversión. En el año 1820 el gobierno de Hannover le pidió un estudio geodésico del reino, una labor que le ocuparía durante algunos años, una tarea tediosa y carente de interés, que sin embargo le inspiró una de las aportaciones más profundas y de mayor alcance de la matemática pura: la geometría diferencial intrínseca de superficies. Gracias a este trabajo pudo ser posible, por ejemplo, el desarrollo de la teoría de la relatividad de Einstein casi un siglo después.

Gauss publicó numerosas obras, pero dejó un número no menor de obras sin publicar que salieron a la luz después de su fallecimiento, cuando se pudo analizar con detalle sus cuadernos de anotaciones y su correspondencia científica. Muchos descubrimientos aportados por matemáticos posteriores pueden ser atribuidos a Gauss, que ya los esbozó y los conocía en sus notas, pero que no se molestó en publicarlos, tarea para la que hubiera necesitado varias vidas.

Una de las ideas de las que fue pionero fue la de la existencia de geometrías no euclídeas, pero no reveló sus conclusiones. Su silencio en este tema fue debido al clima intelectual de la época, dominado en Alemania por la filosofía de Kant. Uno de los supuestos básicos de dicha filosofía se apoyaba en que la geometría euclídea era la única posible, y Gauss se dio cuenta de que aquella idea era falsa, y que el sistema de Kant no tenía cimientos sólidos. Pero como no quería abandonar su vida tranquila para ponerse a discutir con filósofos decidió callar y guardarse lo que pensaba.

En la teoría de funciones elípticas se adelantó treinta años a los descubridores oficiales de esta rama de las matemáticas, Jacobi y Abel. Jacobi, atraído por un pasaje críptico de las Disquisitiones, visitó a Gauss en 1829, lleno de sospechas. Le contó sus más recientes descubrimientos, y en cada ocasión Gauss sacaba un manuscrito de treinta años antes en los que ya se hallaba lo que Jacobi acababa de mostrarle. Jacobi se sintió profundamente triste, pero Gauss, a su edad, ya era completamente indiferente a la fama y agradeció librarse de la preparación de un tratado sobre tales materias, dejando al joven Jacobi, de 26 años, la exclusiva de su publicación.

En 1830 Gauss trabajó sobre los residuos bicuadráticos, dando un enfoque nuevo a la teoría de números, y a partir de la década de 1830-40 se fue dedicando cada vez más a la física, enriqueciendo todas las ramas en las que tomó parte: la teoría de la tensión superficial, la óptica, el geomagnetismo y la teoría general de las fuerzas y del potencial.

Finalmente, Gauss falleció en 1855 a la edad de 77 años, superando de tal forma a los demás hombres de talento que a veces se tiene la impresión de que pertenecía a una especie superior.

Notas: El presente texto ha sido corregido y ampliado desde la última vez que apareció en doDK. Está extraído principalmente del libro de George F. Simmons, Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones y notas históricas, editorial McGraw-Hill, y la anécdota escolar sobre la suma de los cien primeros números, así como la ilustración que la acompaña se ha tomado de un artículo de Francisco M. Biosca, Aritmética y Álgebra, incluido en el tomo 6 de la Enciclopedia Labor, edición de 1976.

Para contemplar la sorprendente y compleja construcción del polígono de 17 lados con regla y compás, se puede ver el programa de la serie Universo Matemático, Gauss: de lo Real a lo Imaginario, de Antonio Pérez Sánz, o visitar esta página de José Manuel Arranz, que forma parte de una web dedicada a construcciones geométricas con el programa Cabri II.

El Lema de Zorn (relato)

Cuando salió del estrecho desfiladero por el que había cruzado la cordillera, se encontró con un amplio valle iluminado por el sol de la tarde. El paisaje era seco y escaso en vegetación, pero no carecía de belleza. En el fondo del valle se extendía una pequeña población, y en su centro parecía distinguirse un edificio importante. El Estudiante observó una torre cuadrada coronada con un tejado puntiagudo, de aspecto evocador. Detrás de ella, lejos, en las brumas del horizonte, apenas se adivinaban las cumbres blancas de un sistema montañoso. A un lado y al otro del sendero, el espacio estaba colonizado, a parches, por grandes agrupaciones de brezos combinados con diversas especies de árboles que el joven no supo reconocer.

Con un movimiento reflejo, volvió a colocarse correctamente el saco sobre la espalda. En él llevaba, además de algo de comida y ropa de abrigo, un par de libros, varios cuadernos, instrumentos de escritura, una palmatoria con su vela, una daga, un anteojo y un reloj de arena. De momento, era todo lo que poseía. Si las cosas funcionaban como le había explicado el Viejo Ridras, su maestro, en la Escuela le darían alojamiento y manutención a cambio de dedicar unas horas a trabajar en los huertos y a limpiar las estancias.

Jamás antes el Estudiante había abandonado su tierra natal en el lejano sur. Pero Ridras le había enseñado todo lo que sabía respecto a esa extraña ciencia de números y letras que casi nadie era capaz de entender. Cuando el joven le insistió para seguir avanzando en el conocimiento, el Viejo sólo le pudo decir que si quería de verdad profundizar en sus secretos debía viajar al norte, hasta la Escuela de Brezales. Era el sitio más cercano donde los estudiosos podían acceder a completas bibliotecas con los títulos más avanzados sobre cada materia. Muchos de los libros contenidos en ellas eran copias únicas escritas a mano por sus propios autores. Algunos eran tan antiguos que muy pocos sabían descifrar la lengua y la caligrafía en que estaban redactados.

El Estudiante llegó a Brezales justo antes de que cayera la noche, y fue recibido en la Escuela por un portero de mediana edad, aunque bastante estropeado por los años, que lo condujo a una habitación baja en el extremo de un gran edificio de paredes amarillentas. Antes de atravesar la puerta e internarse en los pasillos que conducían hacia su cuarto, pudo ver que anexa al edificio se destacaba la torre cuadrada de tejado puntiagudo que dominaba sobre todo el poblado. La habitación a la que le condujo el portero, tenía dos literas adosadas a paredes opuestas, y cada litera disponía de tres camas; las camas de abajo ya habían sido ocupadas por sendos jóvenes que parecían dormir plácidamente. El Estudiante vio también a un tercer joven que escribía sentado a una mesa junto a la ventana, y se iluminaba con los restos de una vela a la que quedaban pocos minutos para apagarse. Esta visión y un cierto olor a cerrado fueron las impresiones que más se le quedaron marcadas de su llegada a la Escuela, y que no olvidaría el resto de su vida.

La adaptación durante los días siguientes fue progresiva, mientras aprendía las tareas cotidianas que tenía que realizar desde el amanecer hasta el mediodía. Al cabo de una semana se le permitió, por primera vez, acceder a la planta baja de la inmensa biblioteca de la torre. Los Escolares le dieron ese acceso, que apenas duró una hora, para que tuviera una primera vista de la estancia, de la gran cantidad de libros que almacenaba, del ambiente que reinaba en ella, y sobre todo, de la distribución de las estanterías, mesas y sillas. A partir de ese momento, todas las tardes tendría la tarea de limpiar y ordenar la biblioteca durante varias horas, sin permiso de momento, para sentarse a consultar ningún volumen.

Tuvo que pasar un mes hasta que le dieron licencia para leer durante la última hora de la tarde. Ése, sin duda, también sería un momento grandioso en sus recuerdos, pero le surgió la pequeña duda de qué libro tomar durante esa hora. No obstante, el momento de duda duró poco, porque desde los primeros días se había sentido atraído por un tomo grueso de tapas de color castaño oscuro grabadas con letras doradas, cuyo título era simplemente Elementos de Matemática. Su autor, un tal Pedro Abellanas, era desconocido para el Estudiante, pero eso no le impidió admirar desde un principio su trabajo, aunque en realidad conociera tan poco de él.

Aquella noche podría haber abierto el libro por la primera página y haber empezado su lectura ordenadamente. Sin embargo la página que apareció fue la 42. A mitad de la hoja amarillenta, unos renglones atraparon su mirada: "Otra consecuencia muy importante del axioma de Zermelo es el siguiente: TEOREMA DE ZORN.- Todo conjunto inductivo posee un elemento maximal, por lo menos".

Fueron esos dos nombres que empezaban por zeta, Zermelo, Zorn, los que cautivaron al momento la imaginación del muchacho. Jamás los había oído antes, pero su sonoridad le sugería algo importante y misterioso. Cierto es que llevaba cinco semanas sin hacer otra cosa que limpiar y remover la tierra del huerto, que todavía no había hecho amigos (aunque sí había notado un par de veces la mirada interesada de una joven estudiante que ya tenía pleno derecho a trabajar en la biblioteca todas las tardes), y que no había leído otra cosa en su vida que los escasos y manoseados libros del Viejo Ridras, que apenas llegaban a la docena. Decidió que tenía que empezar por averiguar quiénes eran esos dos personajes de nombre tan sonoro, y tratar de desentrañar lo que decía aquél teorema, del que no había entendido nada aunque solo abarcara un renglón.

En la página 41 del mismo libro, encontró el Axioma de Zermelo al que se referían aquellos renglones anteriores: "AXIOMA DE LA LIBRE ELECCIÓN DE ZERMELO.- Si c es una correspondencia arbitraria entre X e Y, tal que or(c) = X, existe una aplicación f entre X e Y tal que para todo x perteneciente a X se verifica que el par (x, f(x)) es un par de la correspondencia c".

Debajo de este axioma se encontraba otro resultado que parecía importante: "TEOREMA DE LA BUENA ORDENACIÓN.- En todo conjunto C se puede definir una buena ordenación".

Investigando en los viejos volúmenes, averiguó que Ernst Zermelo y Max Zorn habían sido dos sabios, el primero alemán, y el segundo estadounidense, que habían trabajado en teoría de conjuntos, álgebra abstracta, teoría de grupos y otras disciplinas que el Estudiante aún no conocía. Además, descubrió que el Axioma de la libre elección de Zermelo, o simplemente Axioma de elección (cuyo enunciado, de forma más sencilla dice que "dado X, un conjunto de conjuntos no vacíos, entonces se puede tomar o elegir un elemento de cada conjunto de X"), era un principio muy importante, sobre el que los sabios seguían discutiendo si debía ser aceptado o no, y asimismo, el Lema de Zorn se utilizaba muchas veces en las ramas abstractas de diversas disciplinas numéricas.

Al Estudiante le costó muchos días desentrañar el significado completo de aquellas simples frases que le habían llamado tanto la atención. Sin embargo, finalmente empezó a comprender algunos términos, y en la mesa de su habitación, armado de pluma y papel, fue anotando los términos y un ejemplo para cada uno de ellos:

Correspondencia: una relación cualquiera entre dos conjuntos; ejemplo: sea el conjunto de los estudiantes de la Escuela, y el conjunto de los libros de la Biblioteca, se puede definir una correspondencia relacionando cada estudiante con aquellos libros que ha leído en alguna ocasión. Habrá estudiantes que no han leído ningún libro, otros uno, y otros muchos.

Aplicación: una correspondencia en la que a cada elemento del primer conjunto le corresponde un solo elemento del segundo conjunto; ejemplo: el conjunto de estudiantes y el conjunto de habitaciones de la Escuela. Cada estudiante tiene una habitación asignada, y solo una. Aunque hay estudiantes que comparten la misma habitación, y puede que haya habitaciones vacías.

Orden: una relación entre los elementos de un conjunto, en la que se puede determinar si un elemento es menor o igual que otro. Cumple unas propiedades (que más adelante explicaré). Un ejemplo puede ser, la relación de orden entre las personas a través de la edad: una persona es menor que otra cuando tiene menos años. Otra relación puede ser a través de su estatus dentro de la Escuela: una persona es menor que otra siempre que su puesto sea de menor importancia; los Estudiantes son menores que los Escolares, los Escolares menores que el Decano.

Orden total: aquel orden en que dados dos elementos, uno de ellos siempre es menor o igual que el otro. Esto no ocurre en todos los órdenes; cuando viene uno de los nobles de visita, yo no sé decir si tiene menor o mayor categoría que uno de nuestros Escolares, porque no pertenece a nuestra Escuela.

Buena ordenación: aquel orden total establecido en un conjunto en el que si tomo cualquier subconjunto, éste tiene un mínimo. Los números naturales 1, 2, 3, 4, 5, ... están bien ordenados.

Cota superior: si tengo un conjunto ordenado y tomo un subconjunto, una cota superior es aquel elemento del conjunto que es mayor que todos los del subconjunto.

Conjunto inductivo: conjunto en el que hay un orden, y en el que si tomamos un subconjunto con un orden total dentro de él (a este subconjunto se le llama también cadena), entonces ése subconjunto tiene una cota superior.

Elemento maximal: un elemento de un conjunto ordenado, tal que no existe ningún otro elemento mayor que él.

Más adelante, una templada tarde en la que apetecía estar fuera, paseando entre los huertos, el Estudiante tuvo oportunidad de charlar con la joven que había visto en la Biblioteca los días anteriores. Le explicó todo lo que había aprendido hasta ese momento, y lo difícil que le había resultado al principio entender aquella terminología y adaptar su mente a conceptos tan abstractos, pero que ahora veía, por ejemplo, que el Axioma de Libre Elección o el Teorema de Buena Ordenación de Zermelo parecían algo de lo más natural del mundo.

-Si yo tengo por ejemplo un conjunto de cajas -decía el Estudiante-, y en cada caja tengo un conjunto de objetos, ¿no es lógico que pueda ir tomando un objeto de la primera caja, otro de la segunda, otro de la tercera, y así sucesivamente hasta terminar las cajas? Y si tengo un conjunto de objetos, ¿no parece trivial ir colocando todos los objetos en un buen orden, uno el primero, otro el segundo y así sucesivamente hasta terminar?

-Eso es muy sencillo -contestaba la joven- cuando el número de objetos con el que trabajas es finito, porque esa tarea que describes acaba finalmente. Pero empieza a no ser tan sencillo cuando los conjuntos son infinitos.

Y entonces la joven empezó a hablarle al Estudiante del infinito, y de todas las clases de infinitos que existían, los infinitos numerables y los no numerables, y todas las paradojas que se producían al tratar con conjuntos infinitos. Estuvieron charlando durante un buen rato, hasta que la luz del atardecer empezó a menguar y un viento frío azotó los árboles frutales, y entonces, escuchando la cálida voz de su acompañante, el Estudiante se dijo que a través de las infinitas posibilidades que ofrece el destino, no quería vivir otra diferente de la que tenía en esos momentos, y aquella ocasión la atesoró en su memoria hasta el fin de sus días.

Trivial Matemático (2) y Conjunto de Mandelbrot

Seguimos con el trivial matemático, y proponemos hoy otras diez preguntas:

1. ¿Cuántos son dos tercios de 60?
2. ¿Qué es un gúgol?
3. ¿Qué es un gúgolplex?
4. ¿Qué es el conjunto o continente de Mandelbrot?
5. ¿Cuántas cifras decimales tiene el número pi?
6. ¿Cómo se llama el conjunto de números {1, 2, 3, 4,…}, es decir, los números que sirven para contar?
7. Diga rápidamente el 1% de 100.
8. ¿Cuál es el máximo común divisor de 4 y 9?
9. Calcule cuánto es un quinto de 45.
10. ¿Cuál es el perímetro de un cuadrado cuyo lado mide 2 metros y medio?




1. 40 2. diez elevado a cien 3. diez elevado a un gúgol 4. un fractal 5. infinitas 6. números naturales 7. 1 8. 1 9. 9 10. 10

El conjunto de Mandelbrot es uno de los más bellos ejemplos de fractales, y uno de los más famosos. Para entender de donde sale, es necesario conocer algo de los números complejos.

Cualquier matenavegante, por muy novato que sea, debe saber que cuando hacemos la raíz cuadrada a un número negativo, tenemos problemas. Una cosa es hacer una raíz cuadrada, por ejemplo, la raíz cuadrada de 16 es 4 ya que 4 al cuadrado es 16; otra cosa es que la raíz cuadrada no sea exacta: por ejemplo la raíz cuadrada de 2 no es exacta, pero se puede aproximar lo que se quiera: 1,4142135623730950488016887242097...

Diferente es la raíz cuadrada de un número negativo. Así, la raíz cuadrada de -4, por ejemplo. No es -2, ya que -2 al cuadrado da 4. Si la intentamos con la calculadora nos da error. Si lo hacemos con la calculadora científica de Windows sale "Entrada no válida para func."

Los matemáticos de siglos pasados no se conformaron con no poder hacer raíces cuadradas de números negativos, y decidieron usar la imaginación. A la raíz cuadrada de -1 la designaron por i, y la llamaron unidad imaginaria. Con ayuda de esta unidad construyeron un nuevo conjunto, el conjunto de los números complejos, C, cuyos elementos son de la forma a+bi, donde a y b son números reales. Con estos números no sólo es posible sumar, restar, multiplicar, dividir, sino también hacer todas las raíces que antes no se podían hacer en los números reales, además de ampliar otras muchas funciones, como la función logarítmica y la exponencial, las funciones trigonométricas, etc.

Si los números reales se representan gráficamente como una recta, la recta real, los números complejos, al estar compuestos por dos números reales, uno solo, a (la parte real) y el otro b (la parte imaginaria) acompañado de i, se pueden representar gráficamente como un plano, el plano complejo. Los números reales se pueden entender incluidos dentro de los complejos, con la parte imaginaria b=0.

Conjuntos como el conjunto de Mandelbrot aparecen cuando realizamos repetidamente operaciones con los números complejos. Tomemos un número complejo, c, y construyamos una sucesión a partir de él: el primer término será 0, el segundo término será c, y luego vamos elevando cada término al cuadrado y sumando c. Si por ejemplo c=1, la sucesión será 0, 1, 2, 5, 26, 677,... Si c=0, la sucesión será 0, 0, 0, 0, 0,... Si c=-1 la sucesión será, 0, -1, 0, -1, 0, -1,... Según el número complejo que elijamos, la sucesión tiene un comportamiento determinado: puede irse al infinito, como la primera, o estar acotada, como la segunda y la tercera.

Supongamos que esta sucesión la construimos para todos los números complejos. Cuando la sucesión está acotada, diremos que el número pertenece al conjunto de Mandelbrot, y si no está acotada, no pertenece. Los números complejos que pertenecen al conjunto de Mandelbrot son puntos del plano complejo y los dibujaremos con color negro. El conjunto de Mandelbrot es, por tanto, todo lo que aparece negro en la ilustración.

Sin embargo, cuando con ayuda de los ordenadores se empezó a dibujar el conjunto, se descubrió que la frontera del conjunto no era, ni mucho menos, una zona perfectamente definida, no era una línea suave, recta o curva, sino que se parecía más bien a la costa de un continente, llena de acantilados, entrantes, salientes, promontorios, islotes, etc., y por eso el conjunto también recibió el nombre de continente de Mandelbrot.

Profundizando en el comportamiento de las sucesiones que se construían a partir de cada número complejo, resulta que hay números, como el 1 en el que las sucesiones se disparan hacia el infinito rápidamente; otros números, como el 0 y el -1, en los que la sucesión está claramente acotada, pero en los números de la frontera del conjunto, la sucesión oscila y es necesario repetir la operación muchas veces (miles de veces) para ir teniendo una idea de su comportamiento.

Surgió la ocurrencia de dar colores distintos a los puntos del plano complejo según la velocidad con que la sucesión crecía hacia el infinito, y al hacerlo y programar a ordenadores cada vez más potentes con los algoritmos necesarios, empezaron a aparecer extraordinarios dibujos de sobrecogedora belleza, gradaciones suaves en donde se multiplican ramas, espirales, autocopias de estructuras cada vez más pequeñas, rosetones, líneas quebradas infinitamente como los rayos de una tormenta, burbujas, etc.

Lo más interesante es que se pueden ampliar las zonas de la frontera del conjunto de Mandelbrot todo lo que se quiera (todo lo que da la capacidad de los ordenadores) y explorar dicha frontera sin límite, obteniendo nuevas formas de complejidad creciente que no tienen fin.

Hoy en día existen multitud de programas que permiten "explorar el continente de Mandelbrot" así como otros fractales famosos, como el de Julia o el de Newton. Uno de los programas más recomendables es el Ultra Fractal, con el que se obtienen magníficos gráficos, especialmente cuando ampliamos el número de iteraciones a 50.000. En esta página, encontramos algunas ilustraciones y ampliaciones muy buenas conseguidas con el programa.

Breve historia del sudoku

La popularidad del Sudoku comenzó en abril de 2005, pero su historia se remonta a más de 220 años atrás. Ya desde la antigüedad era conocida la existencia de los cuadrados mágicos, aquellos en los que hay que rellenar las casillas con cifras de forma que la suma por filas, columnas y diagonales dé siempre lo mismo. Véase, por ejemplo los siguientes cuadrados de 3×3 y de 4×4:

Se puede comprobar que si sumamos los números de una fila cualquiera, lo mismo que si sumamos los números de una columna cualquiera, o los de una de las dos diagonales principales, el resultado siempre es el mismo, en el cuadrado de tres por tres da 15, y en el cuadrado de cuatro por cuatro da 34. Sobre los cuadrados mágicos, entre otras muchas páginas, se puede ver el pequeño artículo que escribí sobre el cuadro Melancolía, de Alberto Durero.

El matemático suizo Leonhard Euler, en 1783, el mismo año de su muerte, estudió un nuevo tipo de cuadrados mágicos, los cuadrados latinos, una cuadrícula en la que un conjunto finito de elementos rellena las filas y columnas en diferentes permutaciones, pero no pueden aparecer elementos repetidos por filas ni por columnas. Un ejemplo de 4×4 puede ser el siguiente:

En este cuadrado, en cada fila y en cada columna están los números del 1 al 4; los números no se repiten por fila ni por columna, como en el Sudoku.

El estudio de los cuadrados mágicos y latinos se engloba dentro de la teoría de grupos, una rama muy importante de las matemáticas.

No sería hasta finales del siglo XIX cuando en los periódicos franceses empezaron a aparecer pasatiempos relacionados con los cuadrados mágicos. En ellos se daba un cuadrado incompleto y se invitaba a los lectores a rellenar las casillas vacías, con la condición de que por filas y columnas debían sumar una cantidad específica, la constante mágica. En 1892 apareció un cuadrado mágico de 9×9 dividido en partes de 3×3, y en 1895 se imprimió un cuadrado mágico diabólico de 9×9 en el que se tenían que usar sólo las cifras del 1 al 9, dando la suma mágica de 45 en todas las filas, columnas y las dos diagonales, y sin repetir los números por filas o columnas. Este último cuadrado ya era similar al sudoku actual, aunque aún no tenía la división en regiones de 3×3.

Este tipo de pasatiempos desapareció con la llegada de la Segunda Guerra Mundial, y no sería hasta 1979, en los Estados Unidos, cuando Dell Magazines empezó a publicar un nuevo pasatiempo llamado Colocar Números, cuyo autor era Howard Garns, que tenía las mismas reglas que el Sudoku actual, aunque era más fácil de resolver que los que aparecen hoy en día.

En 1984, la misma idea fue adoptada y refinada por Nikoli, una revista japonesa de puzzles, y le dio el nombre de suuji wa dokushin ni kagiru, “los números deben estar solos”, posteriormente abreviado a su-doku, “único número”. Este pasatiempo se hizo muy popular, paralelamente a otro que recibió el nombre de kakuro, una especie de crucigrama con sumas de números.

En 1997 Wayne Gould, un abogado neozelandés retirado, descubrió el sudoku durante unas vacaciones en Tokio, y empezó a desarrollar un programa informático para diseñar sudokus y clasificarlos según el nivel de dificultad, programa que no tuvo listo hasta seis años después. Los sudokus creados por su programa los fue vendiendo a diversos periódicos en los Estados Unidos, y luego al periódico londinense The Times, en 2004, que publicó el primero el 12 de Noviembre de 2004. Los demás periódicos ingleses, viendo el éxito inmediato que tuvo el pasatiempo, no tardaron en imitar la iniciativa, publicando rápidamente sus propias versiones del sudoku. Fue, por fin, durante el año 2005 cuando se extendió a todo el mundo con gran éxito.

Los investigadores matemáticos Bertram Felgenhauer y Frazer Jarvis han determinado que el número total de posibles sudokus 9×9 que se pueden resolver, y que son genuinamente únicos, es decir, excluyendo las rotaciones, simetrías, permutaciones de filas o columnas, etc., es de 5.472.730.538. Se dice también que el mínimo de casillas con números dados que un sudoku debe de tener para que pueda ser resuelto de manera única es de diecisiete, aunque todavía no se ha probado matemáticamente. En cualquier caso, no se ha encontrado ningún sudoku resoluble donde se den de entrada dieciséis números o menos.

A partir del sudoku original han surgido una gran cantidad de variantes: mini sudokus de menos casillas, por ejemplo de 6×6; sudokus de letras, que una vez resueltos esconden en una fila o columna una palabra oculta; sudokus monstruos, de orden mayor de 9, por ejemplo 12×12 o bien 16×16; sudokus diagonales en los que las dos diagonales han de contener también los dígitos del 1 al 9; sudokus en los que se indican las casillas que en horizontal o en vertical contienen números consecutivos; sudokus irregulares, en los que las regiones no son 3×3, sino que son piezas de nueve cuadritos pero de diversas formas; sudokus par-impar, donde vienen indicadas las casillas que contienen números pares o impares; sudokus 1-4-7, en los que vienen distinguidas las casillas que contienen el 1, 2 ó 3, el 4, 5 ó 6, y el 7, 8 ó 9; sudokus 0 a 9, sudokus killer, sudokus con casillas en negro, sudokus solapados en donde se combinan dos o más sudokus con una región en común, etc...

Para conocer a fondo el mundo de los pasatiempos, recomiendo encarecidamente el libro de David J. Bodycombe, The Riddles of the Sphinx, editado por Penguin Books. Está en inglés pero es una compilación muy exhaustiva y entretenida de todo tipo de puzles y acertijos, reunidos cronológicamente, y con explicaciones y comentarios sobre la historia de cada uno. Tiene un capítulo extenso dedicado al sudoku y a todas sus variaciones, y el presente texto está basado en dicho capítulo.