Kolam (4) : Más Variaciones

Continuamos en esta cuarta parte profundizando en el trazado del kolam y en sus variaciones.

El kolam se enriquece enormemente en variaciones cuando empezamos a poner tramas de puntos pivote de formas diferentes a las ya vistas, y también cuando abrimos huecos interiores quitando ciertos puntos pivote y por tanto eliminando también los puntos x asociados.

Otra forma de construir variaciones consiste en colocar muros o barreras interiores, que no es otra cosa que impedir que el kolam pase por ciertos puntos x que nosotros seleccionamos libremente.

Veamos ejemplos de cada caso:

Figura 1.
Ejemplo de trama simétrica que parte de un cuadrado y a la que se han quitado algunos pivotes.

Figura 2.
Se obtiene este kolam, de recorrido muy sencillo, formado por nueve líneas: 4 salchichas verdes, 2 marrones, un cuadrado rosa y dos rectángulos azules.

Figura 3.
Experimentamos con esta trama, un hexágono de lado 4 al que hemos quitado cuatro pivotes interiores.

Figura 4.
Con sorpresa comprobamos que el kolam se resuelve con una sola línea (a pesar de algún error enmendado con corrector líquido).
En general, con tramas aleatorias, no podemos saber de antemano cuántas líneas vamos a necesitar para resolver un kolam.

Figura 5.
Aquí tenemos una trama en forma de rombo más alargado.

Figura 6.
Este kolam también se resuelve con una sola línea.

Figura 7.
Aquí tenemos un rombo de lado 4 al que hemos quitado cuatro pivotes.
Obsérvese que ha quedado una estructura lineal, formada por una cruz principal que en cada una de sus puntas tiene cruces más pequeñas.

Figura 8.
Cuando resolvemos el kolam, la estructura lineal se hace evidente.
En este kolam no hay largas diagonales de puntos x. La línea progresa rectamente en diagonal como máximo durante dos puntos x, luego tiene que girar alrededor del pivote correspondiente.

Figura 9.
Este kolam parte de un hexágono de lado 3 al que hemos quitado dos pivotes interiores.
Recuerda a la estructura de las figuras 3 y 4.

Figura 10.
Sin embargo se resuelve, no con una línea, sino con tres, haciendo un conjunto simple, pero bastante bello.

Figura 11.
Otro ejemplo de trama...

Figura 12.
... que también se resuelve con una sola línea.

Figura 13.
Aquí tenemos una especie de octógono simple.

Figura 14.
Este octógono se resuelve con 4 líneas-salchicha rojas.

Figura 15.
Un octógono mayor.

Figura 16.
Esta trama se ha resuelto con 5 líneas: 4 salchichas azules y un cuadrado rojo.

Figura 17.
Aquí experimentamos con una trama en forma de rectángulo oblicuo. La solución no tiene misterio, es similar a la de los cuadrados-rombos de la entrada anterior sobre los kolam.

Figura 18.
Esta trama es un hexágono como el de la figura 10, pero sin huecos interiores. Su solución es también bastante simple.

Figura 19.
Kolam lineal muy simple.

Figura 20.
Otro kolam lineal.

Figura 21.
Kolam que sigue el contorno de un cuadrado. En los tres últimos ejemplos vemos como las tramas lineales obligan a las curvas del kolam a formar cadenas.

Figura 22.
Esta trama parte de un cuadrado de lado 5 al que se le han quitado los cinco pivotes que forman parte de la cruz interior central.

A continuación veamos ejemplos de kolam con muros o paredes interiores. Esta opción es muy fértil para nuevas formas del kolam.

Figura 23.
Comenzamos con una trama cuadrada y le colocamos muros o paredes, prohibiendo así que el kolam pase por los puntos x involucrados en dichas paredes.

Figura 24.
Hacemos el trazado siguiendo de forma natural las diagonales de puntos x, y "rebotando" en las paredes (sin tocarlas), siguiendo una trayectoria que busca el siguiente punto x para continuar su diagonal.

Figura 25.
Si hemos dibujado los muros a lápiz, sólo tenemos que borrarlos y conseguimos el kolam terminado.

Figura 26.
Otro ejemplo.

Figura 27.

Figura 28.

Figura 29.

Figura 30.

Figura 31.

Figura 32.

Figura 33.

Figura 34.

Figura 35.

Figura 36.

Figura 37.

Figura 38.

Figura 39.

Figura 40.

Con estos ejemplos terminamos esta cuarta entrada dedicada al kolam.

Kolam (3) : Primeras Variaciones

En las dos primeras entradas sobre kolam hemos visto los kolam básicos trazados sobre tramas cuadradas o rectangulares de puntos pivote, y hemos reflexionado en su relación con el máximo común divisor de dos números. Sin embargo el mundo del kolam es amplio y profundo, y en esta entrada vamos a mostrar algunas variantes que enriquecen las posibilidades de los diseños.

En lugar de dibujar las tramas de pivotes como cuadrados o rectángulos vamos a delimitar otros diseños. El primero de ellos es el diseño en rombo. (En realidad se trata de dibujar tramas cuadradas, pero giradas 45º).

Empezamos con el rombo de lado 2. Veamos la secuencia de ilustraciones:

Figura1.
Esta es la trama en rombo de lado 2

Figura 2.
Siempre, antes de empezar un kolam, tenemos que tener claro cuáles son los puntos x.
Recordemos que los puntos x son aquellos que se encuentran entre dos pivotes adyacentes, en sentido horizontal o vertical.
Las diagonales de puntos x son las que determinan los caminos del kolam.
(Se puede observar que hay exactamente 4 puntos x.)

Figura 3.
Como siempre, empezamos por un punto x cualquiera y nos desplazamos siguiendo una diagonal. Cuando llegamos al borde, donde la diagonal de puntos x se acaba, usamos el pivote para girar hacia otra diagonal.

Figura 4.

Figura 5.

Figura 6.
Después de 4 volutas, nuestra línea regresa al punto de partida y el kolam se completa. Hemos necesitado 1 curva.

Este diseño del kolam rómbico de lado 2 es una curva cerrada bastante simple, que no dudo que muchos de nosotros hemos garabateado más de una vez en algún momento de aburrimiento.

Veamos ahora el rombo de lado 3:

Figura 7.

Figura 8.
En esta ilustración señalamos los puntos x por donde debe pasar el kolam. No es necesario señalarlos, pero sí es imprescindible tener claro cuáles son, para no perder en ningún momento la orientación del dibujo. (En esta trama hay exactamente 16 puntos x.)

Figura 9.
La primera línea del kolam va de esquina en esquina, similar a la del rombo de lado 2 que hemos hecho más arriba.

Figura 10.
El kolam se completa con dos líneas más en forma de "salchicha" que atraviesan el rombo de parte a parte.
En total son 3 curvas.

Si seguimos ampliando el tamaño del rombo, sólo obtenemos dibujos similares, aunque más grandes. Así por ejemplo tenemos el rombo de lado 4:

Figura 11.
Esta es la trama del rombo de lado 4.  (Obsérvese que está formada por 9+16=25 puntos, lo que nos recuerda a la famosa terna pitagórica 3-4-5. Además si contamos los puntos x, son exactamente 36, por tanto las tramas de puntos x son cuadrados pares.)

Figura 12.
Aquí vemos el kolam terminado. Está compuesto por una línea roja cuadrada exterior, y cuatro líneas cerradas "salchichas" en diagonal.
En total se han necesitado 5 curvas.

Siguiendo la progresión que estamos viendo, podemos deducir que cualquier formación de pivotes en rombo de lado n dará lugar a un kolam de 2n−3 curvas, (una curva exterior que pasa por las cuatro esquinas del rombo, y 2n−4 curvas "salchicha" que atraviesan en diagonal la trama).

Pasemos ahora a un tipo de trama ligeramente diferente pero muy interesante. Se trata de una especie de rombo en el que la columna central queda duplicada (así el rombo queda alargado y se puede considerar un comienzo de hexágono).

Veamos el primer rombo alargado de lado 2:

Figura 13.
Esta es la primera trama del rombo alargado de lado 2. Obsérvese que está formado por dos rombos solapados, y está formado por 4+4=8 pivotes.

Figura 14.
Señalamos en esta imagen los puntos x para aclarar el kolam. Hay exactamente 9 puntos x.

Figura 15.
El kolam terminado solo se compone de una curva cerrada que pasa por todos los puntos x.

En este tipo de kolam se puede comprobar que una sola curva pasa por todos los puntos x, sin importar el tamaño del rombo alargado. Veamos el rombo alargado de lado 3.

Figura 16.
Este es el rombo alargado de lado 3. Su trama la forman 9+9=18 pivotes.

Figura 17.
Los puntos x por donde pasa el kolam. Nótese que son exactamente 25.

Figura 18.
El kolam terminado sólo se compone de una línea que pasa por todas las diagonales y rodea a todos los pivotes.

Como último ejemplo, veamos el rombo alargado de lado 4:

Figura 19.
La trama tiene 16+16=32 puntos pivote. Si contásemos los puntos x, veríamos que hay 49 exactamente, es decir, los puntos x van formando cuadrados impares.

Figura 20.
El rombo alargado de lado 4 terminado en una sola línea. Si nos fijamos en él, no es difícil reconocer una distribución semejante a los escaques del ajedrez, cada pivote estaría en una casilla negra, y entre ellos están las casillas vacías blancas.

Estos últimos tipos de kolam recuerdan a ciertos nudos tradicionales. Al comparar kolam con nudos, hay que tener en cuenta que los kolam son curvas planas, mientras que los nudos tienen propiedades tridimensionales. Salvando esta diferencia, podemos encontrar algunos nudos que coinciden en su estructura con este tipo de kolam sobre la trama de rombo alargado.

Uno de ellos es el llamado Nudo Infinito o Nudo Eterno, cuyo trazo coincide con el kolam de la Figura 15:

Figura 21.
El Nudo Infinito o Nudo Eterno.

El Nudo Infinito (shrivatsa en sánscrito) es un nudo simbólico usado en el Budismo Tibetano y pertenece a uno de los Ocho Símbolos Auspiciosos. Es posible encontrarlo en el Tíbet, Mongolia, China y otros lugares del oriente. Al no tener principio ni fin, simboliza la infinita sabiduría de Buda, y también representa la interrelación del camino espiritual, el flujo del tiempo y el movimiento dentro de lo eterno. [Adaptado de la wikipedia]

Otro ejemplo es el siguiente:

Figura 22.
Aquí vemos un plato chino lacado en rojo, de la dinastía Ming. En su centro apreciamos un nudo infinito con estructura similar al kolam de la Figura 20.

Recopilando lo que hemos visto en este artículo, tenemos:

-Kolam sobre tramas de pivotes en forma de rombo, que están formados por varias líneas, y hemos calculado exactamente el número de líneas según el tamaño del kolam.

-Kolam sobre tramas de pivotes en forma de rombo alargado, en ellos el kolam está formado por una sola línea que pasa por todas las diagonales. Hemos encontrado ejemplos de estos kolam en algunos símbolos de culturas antiguas.

-También hemos visto que las tramas de puntos x, tanto en uno como en otro kolam, forman cuadrados intercalados, en los rombos, cuadrados pares, y en los rombos alargados, cuadrados impares.

Continuaremos con más variaciones sobre el kolam en próximas entradas.

Créditos:

Del Nudo Infinito (Figura 21): By Dontpanic (= Dogcow on de.wikipedia) (Own drawing./Eigene Zeichnung.) [Public domain], via Wikimedia Commons.

Del Plato Rojo Lacado (Figura 22): By User:PericlesofAthens [GFDL (http://www.gnu.org/copyleft/fdl.html) or CC BY-SA 4.0-3.0-2.5-2.0-1.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0-3.0-2.5-2.0-1.0)], via Wikimedia Commons