¡Cuidado con esta regla!

Cuaderno de bitácora: el otro día, como suele ocurrir de vez en cuando, abordaron nuestro Barco Escuela los representantes de un sindicato de oficiales. Además de informar de diversos temas, traían varios recuerdos de propaganda, entre los cuales venían unas reglas hechas de un material plástico.

Como quiera que para nosotros los matenavegantes las reglas son muy útiles, tomé varias, dispuesto a usarlas en mis clases con los grumetes. Sin embargo, una inquietud me vino de repente, y me pregunté si estas reglas estaban bien hechas, si coincidían plenamente con los patrones oficiales.

Mi primera sorpresa fue al comparar los 20 cm que mostraban con los de otra regla, y resultaron más cortos, más de medio centímetro. Fue después de esto cuando me llevé la segunda y más terrible sorpresa: al contar los centímetros, ¡faltaba el centímetro 11, había un salto del 10 al 12!

¡Cuidado con esta regla! Como puede verse en la imagen, falta el centímetro 11, y la escala pasa directamente del 10 al 12.

Además, si comparamos la regla con otra hecha correctamente con los patrones de medida, vemos que los centímetros son ligeramente más largos, pero al faltar el centímetro 11, los 20 centímetros acaban más de medio centímetro antes de lo que debía ser.

Esta es una regla inservible para su función, sin embargo es un motivo de inspiración para muchas reflexiones ácidas, sobre todo al compararla con el eslogan.

¿Los que están "orgullosos de ser docentes de la educación pública" presentan esta regla defectuosa e inútil para que la use quién?

¿La falta de centímetros se debe a los recortes?

¿Nadie se fijó en la regla antes de repartirla como propaganda? ¿O es que hoy se presta atención a otros detalles, olvidando los fundamentales?

Y un largo etcétera. 

Si usted encarga menos, nosotros le cobramos más

Cuaderno de bitácora: el otro día fuimos a encargar unas fotos y nos volvió a suceder una experiencia sencilla pero económicamente desconcertante, al comprobar que en ciertos casos, por menos fotos hay que pagar más dinero.

La tienda de fotos tenía una serie de tarifas para las copias. No recuerdo exactamente los precios, pero para hacernos una idea, aunque no coincidan con la realidad, vamos a suponer que los precios son los siguientes:

- de 1 a 9 fotos, 35 céntimos cada foto

- de 10 a 99 fotos, 28 céntimos cada foto

- más de 100, 26 céntimos cada foto.

Este tipo de ofertas es bastante corriente, y cuando uno de nosotros las aprovecha, hay que tener en cuenta los "saltos" que se dan entre un tramo de precios y el siguiente.

Así, por ejemplo, si revelamos 9 fotos, tendremos que pagar 9 · 0,35 = 3,15 euros, y si son 8 fotos, entonces tenemos que pagar 8 · 0,35 = 2,80 euros. Pero si revelamos 10 fotos, entonces serán 10 · 0,28 = 2,80 euros, porque ya estamos en otro tramo de precios, luego encargar 8 ó 9 fotos no merece la pena: o encargamos 7 o directamente pasamos ya a 10, porque nos va a costar lo mismo o incluso más barato.

Lo mismo ocurre con el siguiente tramo: si encargamos 99 fotos, entonces 99 · 0,28 = 27,72 euros, mientras que 100 fotos nos cuestan 100 · 0,26 = 26 euros. Realmente basta comparar 26/0,28 = 92,8571429 y nos damos cuenta que a partir de 93 fotos, al multiplicar por 0,28 nos sale ya superior a 26 euros, luego podemos encargar 92 fotos, pero si queremos más ya nos interesa pedir 100 directamente y nos saldrá más barato que encargar 93, 94, etc.

En relación a esto, recientemente salió publicado un artículo en el periódico Ideal con una recopilación de ofertas y rebajas extrañas, de cantidades mínimas, algunas con rebajas del 0% o incluso otras en las que la oferta es directamente más cara que el producto normal. Abajo incluimos algunas de las fotos.

Cuando pi fue tres

A principios de abril del año 1998 apareció en el grupo de noticias talk.origins un artículo que decía así:

HUNTSVILLE, Alabama. - Ingenieros y matemáticos de la NASA en esta ciudad de la alta tecnología están impactados y enfurecidos después de que el estado de Alabama aprobara ayer por un estrecho margen una ley que redefine pi, una constante matemática usada en la industria aeroespacial. El proyecto de ley que quiere cambiar el valor de pi a exactamente tres fue introducido sin algarabía por Leonard Lee Lawson, y rápidamente fue ganando apoyos tras una campaña por correo hecha por los miembros de la Sociedad Salomón, un grupo que lucha por los valores tradicionales. El gobernador Guy Hunt dice que firmará el proyecto para que se convierta en ley el próximo miércoles.

La ley ha tomado a la comunidad tecnológica del estado por sorpresa. "Habría sido correcto si hubieran consultado con alguien que realmente usa pi", dijo Marshall Bergman, un director de la Organización de Defensa de Misiles Balísticos. Según Bergman, pi es una letra griega que significa la proporción o razón de la circunferencia de un círculo a su diámetro. Los ingenieros la usan a menudo para calcular trayectorias de misiles.

La profesora Kim Johanson, una matemática de la Universidad de Alabama, dijo que pi es una constante universal y no puede ser cambiada arbitrariamente por los legisladores. Johanson explicó que pi es un número irracional, lo que significa que tiene un número infinito de dígitos después del punto decimal y nunca puede ser conocido con exactitud. Sin embargo, dijo ella, pi está precisamente definida por los matemáticos para ser "3.14159, más todos los dígitos que se tenga tiempo de calcular."

"Yo creo que son los matemáticos los que están siendo irracionales, y ya es hora de que lo admitan", dijo Lawson. "La Biblia dice muy claramente en Reyes 1, 7:23 que la pila de purificación del Templo de Salomón tenía diez codos de ancho y treinta codos de diámetro, y que era perfectamente redonda."

Lawson puso en duda la utilidad de cualquier número que no puede ser calculado exactamente, y sugirió que no llegar a conocer nunca la respuesta exacta puede dañar la autoestima de los estudiantes. "Debemos recuperar algunos valores absolutos en nuestra sociedad", dijo, "la Biblia no dice que la pila fuera treinta y algo codos. Dice claramente treinta codos. Punto."

La ciencia apoya a Lawson, explica Russell Humbleys, un técnico de propulsión en el Centro Espacial Marshall, que ha testificado en apoyo de la ley ante la legislatura de Montgomery el lunes. "Pi es simplemente un artificio de la geometría euclidiana." Humbleys está trabajando en una teoría que dice que demostrará que pi está determinado por la geometría del espacio tridimensional, la cual asumen los físicos que es "isotrópica", es decir, la misma en todas las direcciones. "Existen otras geometrías, y pi es diferente en cada una de ellas," dice Humbleys. Los científicos han asumido arbitrariamente que el espacio es euclidiano, afirma Humbleys. También señala que un círculo dibujado en una superficie esférica tiene un valor diferente para la proporción de la circunferencia a su diámetro. "Cualquiera con un compás, una regla flexible y una esfera lo puede comprobar por si mismo," sugiere Humbleys, "no hay que ser precisamente una lumbrera."

Roger Learned, un miembro de la Sociedad Salomón que estaba en Montgomery para apoyar la ley, se muestra de acuerdo. Ha dicho que pi no es nada más que una suposición de los matemáticos y los ingenieros que estaban allí para argumentar en contra de la ley. "Estos peces gordos han llegado tan campantes a la capital con una impresionante arrogancia," dijo Learned. "Su déficit introductorio ha resultado en una postura polémica en absoluta contraposición con el poder de la legislatura."

Algunos expertos en educación creen que la legislación afectará a la forma en que se enseña matemáticas a los niños de Alabama. Una miembro del comité escolar del estado, Lily Ponja, está ansiosa por incluir el nuevo valor de pi en los libros de texto estatales, pero cree que el antiguo valor debería conservarse como alternativa. Ella ha dicho, "Por lo que a mi respecta, el valor de pi es solo una teoría, y deberíamos abrirnos a todas las interpretaciones." Ponja está muy deseosa de que los estudiantes tengan la libertad de decidir por si mismos qué valor de pi debería haber.

Robert S. Dietz, un profesor de la Universidad del Estado de Arizona que ha estado siguiendo la controversia, escribió que esta no es la primera vez que una legislatura estatal ha intentado redefinir el valor de pi. Un legislador del estado de Indiana trató sin éxito de que dicho estado fijara el valor de pi como tres. Según Dietz, el legislador estaba exasperado por los cálculos de un matemático que había calculado pi hasta cuatrocientas cifras decimales y todavía no había podido conseguir un número racional. Muchos expertos avisan de que esto es solo el comienzo de una batalla nacional sobre pi entre los partidarios de los valores tradicionales y la élite técnica. Lawson, miembro de la Sociedad Salomón está de acuerdo. "Solo queremos devolver a pi su valor tradicional," ha dicho, "que, según la Biblia, es tres."

El artículo, en su versión original en inglés, puede leerse aquí. Se trata tan solo de un artículo en broma, escrito por Mark Boslough y publicado en el 1 de abril de 1998, el April Fools' Day (literalmente, el día de los tontos de abril), el equivalente a nuestro 28 de Diciembre, Día de los Inocentes. Todos los personajes citados en el artículo, salvo Guy Hunt, son imaginarios. Guy Hunt fue un gobernador de Alabama, condenado por corrupción en 1993.

Sin embargo, el artículo empezó a circular por Internet y aunque al día siguiente de su publicación el autor confesara la broma, muchas personas empezaron a creer que era auténtico.

A pesar del engaño, el artículo está inspirado en un hecho real: en 1897 la Cámara de Representantes de Indiana aprobó unánimemente una enmienda redefiniendo el área de un círculo y el valor de pi. Esta enmienda estuvo impulsada no con el ánimo de hacer que pi coincidiera con el valor que la Biblia le otorga, sino con el propósito de probar la cuadratura del círculo, que el matemático aficionado Edward J. Goodwin había creído descubrir. Este convenció al Representante Taylor I. Record, el cual introdujo la enmienda a la Cámara de Indiana. La enmienda fue rechazada en el Senado estatal gracias a la oportuna intervención de C. A. Waldo, profesor de la Universidad de Purdue. Un artículo explicando todo este asunto puede leerse aquí.

También hay otro hecho curioso: el escritor de ciencia ficción Robert A. Heinlein, en su novela Forastero en Tierra Extraña, publicada en 1961, menciona que en Tennessee se aprobó una ley haciendo que pi fuera igual a tres, pero esto no es real, solo es una ficción más de la novela.

Tal y como dice el artículo de broma escrito por Mark Boslough que hemos transcrito arriba, existen algunos pasajes de la Biblia en los que se puede deducir que el valor asignado a pi en  tiempos bíblicos era tres. Concretamente, los pasajes son de Reyes 1, 7:23 y de Crónicas 2, 4:2, y los dos versículos dicen prácticamente lo mismo: Hizo asimismo un mar de fundición, de diez codos del un lado al otro, perfectamente redondo: su altura era de cinco codos, y ceñíalo alrededor un cordón de treinta codos.

Cuando en el texto se habla de un mar de fundición, se refiere a un recipiente de bronce, como un gran caldero o bañera circular. El texto indica que tenía un diámetro de diez codos y una circunferencia de treinta codos y era perfectamente redondo. Como el valor de pi coincide con el cociente de la longitud de la circunferencia entre su diámetro, de aquí se infiere que el valor de pi asignado por en el Antiguo Testamento era exactamente 3.

En realidad si queremos hacer una circunferencia que tenga 10 codos de diámetro, la longitud de la circunferencia tiene que tener 31'4 codos de largo, aproximadamente. Y viceversa, si la circunferencia es exactamente de 30 codos, el diámetro no llega a 10 sino que debe ser de poco más de 9'5 codos. Entonces no se puede fabricar un recipiente según las instrucciones bíblicas. Es posible que las medidas sean aproximadas: un diámetro de casi 10 codos con una circunferencia de poco más de 30 codos de largo.

También es muy posible que entre en juego el grosor del recipiente, pues se dice que el mar de fundición debía tener un espesor de un palmo. El palmo es la longitud que abarca una mano extendida, desde la punta del dedo gordo hasta la punta del dedo meñique, y el codo es la longitud desde el extremo de la mano abierta hasta el codo. Estas longitudes varían en cada persona, y así hay diferentes medidas de codo y palmo según el país y la cultura en donde nos encontramos. Pero podemos hacernos una idea que un palmo está en torno a 20 ó 25 centímetros, y el codo alrededor de 50 centímetros. Si medimos la anchura del recipiente contando con el grosor en 10 codos, la anchura sin el grosor serían unos 9'5 codos, y la circunferencia por dentro del recipiente haría 30 codos con bastante exactitud.

Al parecer, a lo largo de la historia se ha tomado al pie de la letra que la Biblia sugiere que el valor de pi era exactamente 3, lo que ha causado graves problemas teológicos. La forma de medir el diámetro por fuera y la circunferencia por dentro que hemos mencionado en el párrafo de arriba ya fue propuesta por el Rabino Nehemiah, que vivió sobre el año 150 d. C. También se han propuesto otras explicaciones: que los Hebreos redondeaban sus cantidades a los números enteros más cercanos, que el recipiente no era perfectamente circular, o bien que no tenía forma cilíndrica.

La época del Spectrum y el mensaje de Arecibo

Cuaderno de bitácora: cuando escribí la entrada en este blog sobre La Habitación de Fermat, uno de los enigmas o problemas propuestos en aquella película me trajo a la memoria los tiempos pasados del Spectrum, y esa época se ha hecho más vívida cuando hace varias semanas recibí un comentario en una de las últimas entradas invitándome a ponerme en contacto con mis antiguos compañeros de colegio.

Para muchos de nosotros, adultos que rondamos los treinta y muchos o los cuarenta y pocos, la época de los primeros ordenadores nos evoca bastantes recuerdos. Algunos tendrán en su mente otros nombres, como Atari, o Amstrad, pero para muchos de nosotros fue, sin alternativa posible, la época del Spectrum.

¿Qué es un Spectrum? Podemos decir brevemente que fue un ordenador, uno de los primeros ordenadores accesibles para tener en casa.

En mi caso particular, el que tuve fue el popular modelo Spectrum 48K, que costaba en aquellos momentos unas 42.000 pesetas más o menos (252 euros). Tuve suerte, porque sabía de otros que lo habían comprado por 48.000 pesetas (288 euros). Hoy puede parecer poco, pero en aquella época constituía una fortuna para nuestras posibilidades.

Hay que tener en cuenta lo que en realidad era aquel cacharro: una pequeña caja negra del tamaño aproximado de un iPad que, con sus botones de goma, más que a un ordenador se parecía a lo que hoy es el teclado del ordenador. No traía pantalla, sino que había que enchufarlo al televisor, que es el que hacía de pantalla. Su memoria, como está indicada en el nombre, era de tan solo 48K, inimaginablemente pequeña para nuestra época actual, donde cualquier aparatejo por simple que sea puede tener un millón de veces más.

El Spectrum no traía unidad de disco y los programas había que cargarlos con la ayuda de cassettes; el reproductor de cassettes había que ponerlo aparte, como la pantalla del televisor. Los programas, principalmente juegos, se transmitían de los cassettes al ordenador a través del sonido, un sonido característico, como el canto de un incansable pájaro eléctrico, y el tiempo de carga oscilaba entre los cuatro y los cinco minutos. Es decir, para transmitir tan solo 48K desde el cassette hasta la memoria del ordenador se necesitaba esperar más de cuatro minutos, y muchas veces, la transmisión terminaba con error debido a defectos en la grabación de la cinta de cassette. En ese caso la espera había sido en vano y había que comenzar otra vez e intentarlo de nuevo desde el principio. Cada vez que el ordenador se apagaba, la memoria se perdía, con lo que cada juego o programa que uno quería utilizar era necesario cargarlo después de encender el aparato.

Hay todo un mundo de distancia entre lo que se podía hacer en aquella época con el Spectrum y lo que hoy se puede hacer con nuestros ordenadores. Por hablar de limitaciones, podemos mencionar, por ejemplo, que el Spectrum presentaba en pantalla solamente ocho colores, cada uno en dos modalidades, normal y luminosa, y que no se podía colorear cada pixel independientemente, sino en cuadrados de ocho por ocho. La resolución gráfica era de 256 por 192 píxeles.

En aquella época no se pensaba en limitaciones, sino en avances. Poder usar aquel aparato significaba entrar en contacto por primera vez con todo un mundo soñado de tecnología de vanguardia, de computadoras, de programación,  aunque en la práctica lo que realmente tenías en casa era tu primera consola de videojuegos.

Hasta ese momento, conocíamos los videojuegos de verlos en los bares y salones recreativos, a los que acudía a menudo para contemplarlos; personalmente, el primero que me cautivó fue Galaxian, cuya máquina estaba en un bar de nuestra calle.

 
Nuestra economía era muy escasa, con lo que fueron muy pocas veces las que pude jugar de verdad en algún salón recreativo; en la mayoría de las ocasiones me limitaba a observar el juego de otros, como si de una película se tratase, y luego soñaba que algún día podría tener acceso a ese mundo, y mientras tanto alimentaba mi imaginación con todos los ambientes, principalmente de ciencia ficción, que aparecían retratados en aquellos videojuegos.

Cursaba 3º de BUP cuando tuve noticia de la existencia del Spectrum a través de los compañeros del colegio, y no pasó mucho tiempo hasta que pude comprarme uno. ¿Fue un viernes por la tarde cuando llegué a casa con él? ¿O un sábado? Aquella noche pasé bastante rato jugando a los primeros juegos, pues en la caja del Spectrum venían varios de regalo: uno de ajedrez, un simulador de vuelo, el Jetpac, el Reversi, y alguno más que no recuerdo el nombre. Al día siguiente comencé a leer el manual de instrucciones que traía, en el que se explicaba la programación en lenguaje BASIC, y pude practicar hasta aprenderlo bastante bien.

A lo largo de aquellos breves años compuse algunos sencillos programas que me ayudaron a aprender muchas cosas. Recuerdo ahora que estuve a punto de terminar un programa que jugaba a los dados, y para ayudarme en el colegio hice varios programas interesantes. Uno de ellos, por ejemplo, calculaba determinantes de tercer grado, también hice un programa que podía resolver sistemas de ecuaciones con la famosa regla de Cramer. Otro programa me ayudó a memorizar una ingente lista de nombres latinos de plantas para la asignatura de Biología: con paciencia fui escribiendo todos los nombres científicos de las plantas y sus correspondencias con el nombre usual, y luego el programa iba sacando nombres al azar y yo respondía en voz alta, luego le daba al botón y cuando en la pantalla aparecía su correspondiente pareja podía comprobar si me había equivocado o no.

También para Química diseñé un programa, al que llamé Arrhenius, en honor al famoso científico Svante Arrhenius, que representaba gráficamente las curvas del pH de diversas disoluciones.

Aunque todos estos programas fueron para uso propio, en el colegio mis compañeros y yo hablábamos mucho de programación, y cuando estábamos en COU se nos ocurrió la idea de intentar hacer un buen programa, un videojuego para el Spectrum. Ni siquiera lo habíamos empezado y ya nos imaginábamos que se lo venderíamos a Dinamic, la empresa de software puntera en España en aquellos momentos. Se nos ocurrió un juego al que llamamos provisionalmente Torneón, y que iba a tratar sobre torneos entre caballeros medievales; en la pantalla se vería un caballero cabalgando con la lanza en ristre, dispuesto a chocarse con otro que vendría en sentido opuesto. La dificultad consistiría en ir manteniendo el trote del caballo golpeando las teclas y luego en el último momento elegir el ángulo de golpe de la lanza y el ángulo de protección del escudo.

Una de las primeras cosas que quisimos empezar fueron los gráficos del juego, y aquí es donde viene la parte matemática relacionada con el problema mencionado en La Habitación de Fermat.

Para hacer un gráfico, imagen o dibujo sencillo en un ordenador como el Spectrum, tuvimos que aprender el sistema binario.

Sabemos que cualquier imagen que aparece en la pantalla de un ordenador está compuesta por puntos o píxeles, y si es en blanco y negro, los píxeles solo pueden ser blancos o negros. Podemos asociar a cada píxel blanco un 0 y a cada píxel negro un 1, y entonces toda imagen en blanco y negro se puede descomponer en filas de ceros y unos.

Cada unidad que puede valer cero o uno es lo que se llama un bit, (abreviatura de binary unit).

Veamos un ejemplo. Supongamos que queremos dibujar un gráfico imitando la cabeza de un guerrero con un casco. Pixelamos un cuadrado de 8 por 8 píxeles sobre fondo blanco, obteniendo la siguiente imagen, ampliada a la izquierda y en tamaño real a la derecha.

Con 8x8 tenemos un dibujo muy pequeño para nuestras pantallas actuales, pero en el Spectrum era la resolución de uno de sus cuadrados básicos. La pantalla se dividía en 32x24 de estos cuadrados de 8x8 píxeles, teniendo una resolución total, como ya hemos indicado más arriba, de 256x192 píxeles.

Si separamos el cuadrado por filas, y en cada fila sustituimos los píxeles en blanco por 0 y los píxeles en negro (o en azul en el caso de nuestra imagen) por 1, entonces tenemos una secuencia de números:

1  0  1  1  1  0  0  1

1  1  1  1  1  1  0  1

1  1  1  1  1  1  1  1

1  0  0  0  1  0  0  1

1  1  0  0  1  0  1  1

0  1  0  0  0  0  1  0

0  1  1  0  0  1  1  0

0  0  1  1  1  1  0  0

En este caso, en cada fila tenemos un número binario de ocho dígitos, 8 bits, que se puede convertir en número decimal, y el resultado, al tener sólo 8 dígitos, nos da un número comprendido entre 0 y 255, que es lo que se llama un byte. Así, de la primera fila tendríamos:

10111001 = 1 · 2⁷ + 0 · 2⁶ + 1 · 2⁵ + 1 · 2⁴ + 1 · 2³ + 0 · 2² + 0 · 2¹ + 1 · 2⁰ =
                  = 128 + 0 + 32 + 16 + 8 + 0 + 0 + 1 = 185

Y si vamos convirtiendo cada una de las filas, pasándolas de binario a decimal, tenemos:

185

253

255

137

203

66

102

60

Es decir, la lista de ocho números 185, 253, 255, 137, 203, 66, 102, 60, ocho bytes en total, pasados a binario y colocados en un cuadrado de 8x8 equivalen al gráfico que hemos puesto de ejemplo. Esta secuencia de bytes era la que teníamos que introducir en el Spectrum.

En el Spectrum las imágenes se descomponían en cuadrados 8x8, y cada fila de la imagen era un número binario de ocho dígitos, u ocho bits, que es lo que llamamos un byte. Tradicionalmente se ha mantenido esta agrupación de ocho en ocho, permaneciendo el byte como unidad de información, y de él se derivan los Kilobytes, los Megabytes, los Gigabytes, etc.

Pero en general, cualquier imagen en blanco y negro se puede secuenciar de forma muy simple en un largo número binario, lo único que hay que tener claro son las dimensiones de la imagen, para poder distribuir el número en filas y que los bits se correspondan de forma correcta con la imagen.

Así, por ejemplo, la imagen anterior se puede secuenciar poniendo todos los números en una sola línea: 1  0  1  1  1  0  0  1  1  1  1  1  1  1  0  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  0  0  0  1  0  0  1  1  1  0  0  1  0  1  1  0  1  0  0  0  0  1  0  0  1  1  0  0  1  1  0  0  0  1  1  1  1  0  0. Basta saber que estos 64 dígitos se deben colocar en filas de 8x8 para recuperar la imagen.

En relación a esto podemos poner otro ejemplo, pero este ya con un contexto mucho más interesante e importante que los disparatados y utópicos proyectos de un adolescente de los 80. Se trata del mensaje de Arecibo, que como dice la Wikipedia, es

un mensaje de radio enviado al espacio desde el radiotelescopio de Arecibo el 16 de noviembre de 1974 para conmemorar la remodelación del radiotelescopio. El mensaje tenía una longitud de 1679 bits y fue enviado en la dirección del cúmulo de estrellas llamado M13, situado en la dirección de la constelación de Hércules, a una distancia de unos 25 000 años luz, y que está formado por unas 400 000 estrellas. El mensaje contiene información sobre la situación del Sistema Solar, de nuestro planeta y del ser humano, y fue diseñado por Frank Drake, Carl Sagan y otros.

El motivo de que la transmisión tenga exactamente 1679 bits es porque este número se descompone en producto de dos números primos: 23 por 73. Eso indicaría al que recibiese la transmisión que puede organizar los bits en un cuadrilátero de 23 columnas por 73 filas, obteniendo el siguiente gráfico:

En este mensaje se pretende condensar una pequeña información gráfica y numérica sobre la humanidad: el código binario, los átomos del ADN, los nucleótidos del ADN, la forma del ADN y el número de nucleótidos que tiene, el ser humano, su estatura y el tamaño de la población de la Tierra (en 1974), un esquema del Sistema Solar, y un gráfico del radiotelescopio de Arecibo con su tamaño.

Para finalizar, la historia de Torneón no fue muy larga. Sabíamos que para poder programar aquel juego y que trabajara de forma eficiente en el Spectrum, el lenguaje BASIC no nos iba a servir, y tendríamos que aprender código máquina, el lenguaje interno que usaba el propio Spectrum, y en el que estaban escritos todos los juegos y programas comerciales. El código máquina no es intuitivo como el BASIC, consiste en una serie de instrucciones que se deben reducir a bytes, y que hay que expresar a través de números. Era complicado conseguir manuales que te enseñaran el código de forma sencilla, los gráficos había que hacerlos también a mano, dibujarlos en papel cuadriculado y luego pasarlos a binario con ayuda de la calculadora, etc.

La tarea se antojaba tremendamente difícil, y después de varios días de ideas, el proyecto Torneón se estancó, se fue enfriando rápidamente y quedó pronto en el olvido.

Regreso desde los mares perdidos

Cuaderno de bitácora: realmente poco puedo explicar de lo que nos ha pasado. Era de noche, la mar estaba en calma, soplaba poco viento, y los instrumentos de navegación funcionaban perfectamente. La mayoría de la tripulación se había retirado a descansar a los camarotes. Había pocos marineros de guardia, y yo, no sé por qué, me levanté de la hamaca con una cierta inquietud y subí a cubierta.

La primera impresión que me llevé al salir al aire libre fue la del frío extremo. No podía ser, estábamos todavía en verano, casi para entrar al otoño, y sin embargo mi aliento se hacía visible como un vaho espeso, y mi cuerpo empezó a tiritar. Me asomé a la borda y bajo una suave luz que al principio no identifiqué, pude contemplar, asombrado, que estábamos rodeados de varios icebergs. Después hice conciencia de esa luz y miré el cielo, y entre las nubes vi con estupor las luces del norte, que caían en verdes cortinas suaves por delante del firmamento estrellado.

Le pregunté al timonel y no me supo aclarar qué estaba ocurriendo. Consulté de nuevo los instrumentos y ya no parecían estar funcionando adecuadamente. Dirigí mi astrolabio a las estrellas y calculé nuestra nueva posición. De estar navegando por aguas cálidas en pleno septiembre nos habíamos desplazado por arte de magia a latitudes septentrionales, como si hubiéramos atravesado un portal dimensional sin darnos cuenta.

Me pasé el resto de la noche estudiando el cielo, hasta que logré clarificar la fecha gracias a la posición de los planetas visibles. He revisado mis cálculos varias veces, pero no puede ser. Ya no es septiembre, sino febrero, y han pasado diecisiete meses, pero para nosotros sólo han pasado unas pocas horas. Ya ha amanecido, y se ha servido el desayuno a la tripulación. Después me he entrevistado con varios oficiales y para todos la percepción es la misma, nadie tiene ni idea de lo que está aconteciendo.

Las sorpresas no paran de sucedernos. Hemos bajado a la bodega a instancias de uno de los marineros y allí nos hemos encontrado con un cargamento desconocido, una colección de objetos de diversos lugares de los que no tenemos constancia que hayamos visitado. Apenas hemos empezado a estudiarlos y examinarlos, y todavía hemos extraído pocos datos, pero todo parece indicar que durante esos diecisiete meses olvidados nuestro barco ha ido navegando por mares perdidos y tierras incógnitas. Pero nadie conserva memoria de ese viaje.

No tengo más remedio que enfrentarme a esta nueva realidad. Mi tarea más urgente es ir poniendo en pie el poco conocimiento que podemos ir extrayendo de estos objetos, para intentar encontrar respuestas a tantas incógnitas. Todo es tan extraño...

[Nota: la ilustración es un óleo de Ivan Aivazovzky, titulado Icebergs en el Atlántico, y terminado en 1870. La hemos extraído de esta página de wikipaintings]

El barco fantasma

Cuaderno de bitácora: esta mañana, a través de la densa niebla, he avistado la forma de un navío de aspecto conocido, y con intrépido ánimo le he pedido al timonel que pusiera rumbo hacia el extraño barco. No ha sido difícil surcar el piélago que nos separaba, y cuando nos hemos aproximado hacia el barco nos hemos encontrado para nuestro asombro con la presencia inquietante y fantasmal de doDK, que suponíamos naufragado desde hace varios meses.

A pesar de nuestras voces y señales no hemos recibido contestación, ni hemos podido ver ningún tripulante a bordo; el barco parece abandonado a su suerte. Tanto mi persona como el resto de los matemarineros, dominados por sentimientos supersticiosos, hemos evitado abordar el extraño navío y después de acompañarlo durante un buen rato en su rumbo a la deriva nos hemos separado lentamente de él. Finalmente la niebla se lo ha vuelto a tragar, y dudo que lo vayamos a encontrar de nuevo en nuestro periplo.

Ignoro si sus bodegas conservarán intacto aquello que una vez contuvieron, yo por mi parte no pienso averiguarlo. ¡Adiós doDK! ¡Sigue surcando el ancho espacio de los matemares en tu recorrido aleatorio! ¡Conviértete en una de esas leyendas y misterios que pueblan las inmensidades mateoceánicas! ¡Que las tormentas te respeten, el agua no pudra tus fuertes cuadernas y los peces se asombren al verte pasar brillando al sol de cielos limpios!

Ludolph van Ceulen y la extraña redacción (o en qué se parece una furgoneta a los 35 primeros decimales del número pi)

Cuaderno de bitácora: entre los muchos papeles viejos que aparecieron el pasado verano cuando nos pusimos a hacer una limpieza a fondo de los camarotes, quiero subir a este blog uno de ellos que me trae la imagen de una simpática grumete de hace tres o cuatro años, la cual, un día de aquellos, y a propuesta mía, presentó una redacción sobre Ludolph van Ceulen.

 

 

La curiosa vida de van Ceulen la encontré por primera vez dentro de un libro de texto, en un pequeño artículo de una sección de curiosidades incluidas al final de cierto tema. Ludolph van Ceulen fue un matemático alemán del siglo XVI y principios del XVII, que emigró a Holanda por motivos religiosos y fue nombrado profesor de la Universidad de Leiden en 1600, cuando contaba con 60 años. Lo más curioso, y el motivo de que se le recuerde, es que se pasó los último veinte años de su vida calculando cifras decimales al número pi, π, y cuando murió había logrado determinar π con la friolera de... 35 cifras decimales:

 

3,14159265358979323846264338327950288.

 

Como recordatorio de su gesta, el número π con sus treinta y cinco primeros decimales fue grabado en la lápida de su tumba, y en parte de Europa al número π se le ha llamado durante mucho tiempo número ludolphino (pronúnciese la ph como una efe: "ludolfino").

 

El número π es quizás el más famoso de las matemáticas, y conocer su historia es descubrir un largo camino lleno de hitos importantes, mediante los cuales nos podemos hacer una idea de lo que han sido muchos aspectos de la aritmética, de la geometría, del álgebra, del cálculo y del análisis, y de cómo han ido evolucionando a través de los tiempos. No es una historia para conocer ni comprender por completo en un rato, sino que requiere paciencia y progresiva profundización.

 

La historia de π está llena de anécdotas y hechos curiosos. Podemos hacer un mínimo resumen de ella, y empezar diciendo que π era conocido desde la más remota antigüedad en su definición, "la razón o proporción entre la longitud de una circunferencia y su diámetro"; pero una cosa es definirlo y otra muy distinta es calcularlo.

 

Diferentes civilizaciones han dado distintas aproximaciones del número π, algunas más alejadas de su valor real, otras más ajustadas, más exactas. En la Biblia, en el Libro de los Reyes, se dan una serie de instrucciones para construir un caldero, y en esas instrucciones se asume implícitamente que π es igual a 3. Los egipcios dieron un valor a π de 3'1666... y los griegos un valor de 3'125. Los chinos se aproximaron mucho, dando un valor a π de 355/113. Si hacemos la división veremos que coincide con π en las seis primeras cifras decimales (consultar la página de la wikipedia para más detalles).

 

Se dice que Arquímedes fue el primero que propuso un método o algoritmo geométrico que se usó durante siglos para aproximarse al valor de π. El método es muy sencillo: se trata de tomar una circunferencia, de un diámetro determinado, y calcular su longitud aproximándola mediante el perímetro de polígonos regulares. Tomamos polígonos regulares inscritos (polígonos interiores cuyos vértices están en la circunferencia) y polígonos regulares circunscritos (polígonos exteriores cuyos lados son tangentes a la circunferencia). Conforme vamos aumentando el número de lados de esos polígonos, se van pareciendo cada vez más a la circunferencia, y los perímetros se van aproximando cada vez más a la longitud real de la circunferencia, que al dividirla entre la longitud del diámetro, nos va acercando al número pi con la precisión que queramos.

Éste método, como hemos dicho antes, estuvo en uso durante muchos siglos. Pero el problema son los cálculos aritméticos. Sin ayuda de calculadoras, sin ni siquiera el apoyo de los logaritmos, que no se inventarían hasta principios del siglo XVII, los matemáticos de aquellos tiempos se tenían que enfrentar a tediosos cálculos a mano que, para obtener unas cuantas cifras decimales de π, requerían horas y horas de trabajo. El método de Arquímedes, a pesar de la simplicidad de su planteamiento, es un método lento, se necesitan ir tomando polígonos de muchos lados (miles, millones, billones de lados) para avanzar significativamente en el cálculo de las cifras decimales de π. Se dice, por ejemplo, que para obtener las 35 cifras de π, Ludolph van Ceulen necesitó manejar polígonos regulares de 2 elevado a 62 lados (unos cuatro trillones y medio de lados; un trillón = un uno seguido de dieciocho ceros, 1.000.000.000.000.000.000 = 10¹⁸).

 

A partir del siglo XVII, XVIII, con el avance del cálculo infinitesimal y del análisis matemático, empezaron a desarrollarse métodos mucho más eficientes para el cálculo de las cifras decimales del número π. Newton, Leibniz, Wallis, Euler fueron algunos de los matemáticos que, a través del estudio de las series numéricas, encontraron dichos métodos de cálculo.

Sería en pleno siglo XX cuando la llegada de los ordenadores permitiría dar un salto de gigante en el cálculo de esas cifras. Ferguson, en 1947, con la ayuda de una calculadora mecánica, llegó a calcular 808 decimales de π, pero apenas dos años más tarde, ENIAC, el primer ordenador, logró calcular 2037 decimales de π en tan solo setenta horas. Después de este acontecimiento y hasta nuestros días, se han utilizado ordenadores cada vez más rápidos y potentes, y el número de cifras decimales calculadas ha ido aumentando de forma exponencial. La última marca la estableció Fabrice Bellard el 31 de diciembre de 2009, día en que anunció que había conseguido un total de 2.7 billones de cifras decimales. En este artículo de El País se cuentan los detalles.

Regresando a la redacción que me presentó la grumete hace varios años, conservo la fotocopia de la misma y he podido releerla. Esta redacción ya ha quedado como un paradigma de la desconexión total que a veces se produce entre los grumetes y las tareas que tienen que hacer. Cuando en el Barco Escuela los oficiales matenavegantes les mandamos una tarea, lo importante para ellos es presentar algo, lo que sea, aunque no tenga el mínimo sentido. Y eso es lo que me presentó la grumete, un papel escrito a mano, con buena letra, y decorado con el típico método de ir chamuscando y quemando ligeramente los bordes del papel para que parezca un viejo pergamino, pero su contenido no tenía ni pies ni cabeza. A continuación lo reproduzco; el lector debe tener en cuenta que la intención es escribir sobre van Ceulen y las cifras decimales del número pi:

Al 1500s España fue encontrada a un "limpiamiento espiritual" conocido también como la "inquisición". A los no Católicos, esto significó el encarcelamiento, la tortura generalmente, y/o ejecución. Mientras que el español comenzó a conquistar Europa occidental, forzaron muchos a huir a la seguridad de los estados holandeses.

Tal es el caso de Colonia, que cayó a España en 1559. Como muestra de identificación, las clases ricas de Colonia unieron a menudo, furgoneta Keulen de van Ceulen ("akal del subfijo") a sus nombres, que significa literalmente "de Colonia".

Eventual, los nombres de la "furgoneta" se reconocieron mientras que los apellidos, y así, la familia de la furgoneta Keulen/van Ceulen fueron creados.

¿Inquisición española? ¿Colonia? ¿furgoneta Keulen? ¿reconocimiento de apellidos?

Supongo que la autoría de la redacción está compartida entre alguna página web en inglés sobre Colonia y un traductor automático particularmente extraño y desafortunado. A la grumete no pareció importarle el contenido. Simplemente lo copió, a mano (lo cual no deja de tener su mérito) y lo presentó. Posteriormente he estado buscando en la red la fuente de la redacción, pero no he sido capaz de encontrar tal combinación de despropósitos.

Lo que más me ha gustado, con diferencia, es la traducción de van Ceulen por furgoneta Keulen. Me recuerda lo bien que lo pasé leyendo un folleto de instrucciones para la instalación de la placa base de un ordenador; en dicho folleto, entre muchas otras barbaridades, el traductor de turno hablaba del abanico de la placa base, refiriéndose en realidad al ventilador, y lo único que me faltó es imaginarme a la placa base ataviada con peineta, mantón de manila, y una flor entre las conexiones de los chips.

[El Problema de la Semana] Una calculadora estropeada

Ahí va el nuevo problema:

Imagina que tu calculadora tiene estropeada la tecla del "cero". El juego consiste en conseguir que aparezcan en la pantalla estos números: 250, 205, 2050, 0'025.

¿Y cómo se podrían efectuar los siguientes cálculos? 0'025 · 205; 2050 : 250.

Recuerda que la tecla del "cero" sigue estropeada.

¡Santo cielo! ¿Dónde estará la solución? Que no cunda el pánico... Está más abajo, después de la imagen ilustrativa.

[Hablando de calculadoras, esta cosa extraña con el nombre de CURTA es en realidad una calculadora mecánica inventada durante la Segunda Guerra Mundial por un prisionero de un campo de concentración nazi, Curt Herzstark. Evidentemente, el nombre de Curta proviene del nombre su inventor, que sobrevivió al campo de concentración y perfeccionó el diseño de su calculadora, sacándola al mercado en 1948. Fueron consideradas las mejores calculadoras de mano hasta 1970, año en que empezaron a ser reemplazadas por las calculadoras electrónicas. Las Curtas pueden sumar, restar, multiplicar y dividir, y por su diseño fueron llamadas molinillos de pimienta. Se puede consultar la página de la wikipedia para más detalles, y también un simulador de cómo funciona]

Solución:

Es evidente que este problema admite múltiples soluciones. Por ejemplo, si queremos que aparezca en pantalla el 250 sin pulsar la tecla del "cero" podemos hacer cualquier cálculo que nos dé 250 como solución, y hay infinidad de cálculos en los que no necesitamos pulsar el "cero": 249 + 1, 251 − 1, 125 · 2, etc...

A continuación voy a escribir una de esas infinitas posibilidades, buscando pocas operaciones y una cierta "elegancia" en la elección de los números, usando principalmente productos y divisiones en lugar de sumas y restas:

250 = 125 · 2

205 = 41 · 5

2050 = 82 · 25

0'025 = 1 : (8 · 5)

Una vez que tenemos estas posibilidades, basta combinarlas para obtener las dos operaciones que nos pregunta el problema:

0'025 · 205 = [1 : (8 · 5)] · 41 · 5

2050 : 250 = (82 · 25) : (125 · 2)

Ampliación:

Aprovechando que en nuestra solución hemos usado productos y cocientes, las dos últimas operaciones se pueden simplificar y obtener el mismo resultado con menos pasos.

0'025 · 205 = [1 : (8 · 5)] · 41 · 5, aquí podemos simplificar un 5 que multiplica con otro que divide, obteniendo el mismo resultado así: 0'025 · 205 = 41 : 8

2050 : 250 = (82 · 25) : (125 · 2), podemos simplificar el 25 con el 125 y el 82 con el 2, y se obtendría el mismo resultado así: 2050 : 250 = 41 : 5

Cuando los matenavegantes nos encontramos con un problema que tiene muchas formas de solucionarse, no nos conformamos con haber encontrado esas soluciones, sino que nos preguntamos cuál de las soluciones será la más corta, la más eficiente, etc. Sí, a los matenavegantes nos gusta complicarnos la vida. En nuestro caso podría ser interesante averiguar, para cada una de las operaciones, cuál es el mínimo número de teclas que tenemos que pulsar en nuestra calculadora para obtener el resultado.

Así, para 250, parece que necesitamos al menos pulsar cinco teclas más la del "igual", aunque eso también dependerá del modelo de calculadora que tenemos.

Si hacemos 250 = 125 · 2, son cinco teclas (más la del igual, pero de ahora en adelante no vamos a contarla), pero si hacemos 250 = 5³ · 2, y nuestra calculadora tiene una tecla que eleva al cubo directamente, entonces sólo tenemos que pulsar cuatro teclas.

Análogamente, 205 = 199 + 6, aquí hay que pulsar cinco teclas, pero con la solución que hemos dado más arriba, 205 = 41 · 5, sólo hay que pulsar cuatro.

Invito a todos los lectores a que experimenten con sus propias calculadoras y traten de encontrar esos números mínimos de teclas que se necesitan para cada cálculo.

Notas: este problema ha sido extraído del libro de texto de la editorial SM.

Un padre de 220 años

Cuaderno de bitácora: esta mañana, corrigiendo problemas de ecuaciones en el Barco Escuela, me encontré con uno bastante llamativo y he decidido reflejarlo en el diario de matenavegación.

Es uno de los problemas que propone nuestro libro de texto, va sobre edades y se resuelve con una ecuación de segundo grado. El enunciado del problema es el siguiente:

La edad de Luis es 22 veces la de su hija y dentro de cinco años será su cuadrado. ¿Qué edades tienen actualmente ambos?

El planteamiento del problema es estándar, como debe hacerse con todos los problemas de edades:

ahora  -  la hija tiene x años; Luis tiene 22x años

dentro de cinco años  -  la hija tendrá x + 5 años; Luis tendrá 22x + 5 años

"Dentro de cinco años, la edad de Luis será el cuadrado de la edad de su hija" nos lleva a la siguiente ecuación:

22x + 5 = (x + 5)²; resolvemos

22x + 5 = x² + 10x + 25; pasamos todo al primer miembro y hacemos operaciones

−x² + 12x − 20 = 0

Hemos obtenido una ecuación de segundo grado, y si la resolvemos, con la típica fórmula,

nos salen dos soluciones: x₁ = 2, x₂ = 10.

Si tomamos el primer resultado, x₁ = 2, la hija de Luis tiene 2 años y Luis tiene 44 años. Parece una solución razonable.

Pero si tomamos el segundo resultado, x₂ = 10, nos sale que la hija de Luis tiene 10 años, y ¡Luis tiene 220 años!

Los comentarios de los grumetes son unánimes cuando se lo explico en la pizarra: ¡esta solución no es válida!, ¡la única buena es la primera, la de los 44 años de Luis y los 2 años de su hija!, ¡nadie tiene 220 años! Sin embargo, yo no puedo evitar que mi imaginación busque alguna posibilidad para que esto sea factible...

Lo primero que me viene al pensamiento, gracias a mi afición a la literatura, son los elfos de El Señor de los Anillos, personajes como Elrond, Galadriel o Arwen, inmunes a la vejez y a las enfermedades, con vidas que se extienden durante cientos y miles de años. Luis puede ser un elfo, que a la edad de 210 años decidió tener una hija...

Luego trato de imaginarme alguna situación en nuestro mundo real en la que se pueda dar el caso que estamos tratando. Evidentemente, no se conoce con certeza ninguna persona que haya pasado de doscientos años; consultando un libro de los récords Guinness, encontramos personas que han llegado hasta los 120 años.

Sin embargo, en el libro del Génesis tenemos citas de antiguos patriarcas que alcanzaron edades fabulosas; el caso más paradigmático es el de Matusalén, que llegó a vivir 969 años. En general, se afirma que antes del Diluvio la edad de los seres humanos se acercaba a los mil años, y después del Diluvio, Dios acortó la vida de los hombres hasta los ciento veinte años (Génesis, 6:3). Es curioso que precisamente éste número coincida con el récord de vida de las personas más longevas conocidas, ¿Estará programado el ser humano en realidad para vivir ciento veinte años si no fuera por las enfermedades y el envejecimiento prematuro? Si nos ubicamos en el libro del Génesis, Luis y su hija son personajes bíblicos, pertenecientes a la época anterior al Diluvio Universal.

Otra posibilidad es la siguiente: existe la leyenda de un lugar de los Himalayas, llamado Shangri-La, en el que reina la paz y la felicidad, el tiempo se detiene y las personas pueden alcanzar vidas muy largas, de más de doscientos y trescientos años. Entonces, Luis y su hija viven en Shangri-La.

Por último, y entrando en el mundo de lo científicamente posible, Luis puede alcanzar los 220 años de varias maneras:

-Usando la criónica o la animación suspendida, para mantenerse vivo, y ser reanimado en el futuro, a finales del siglo XXII, para entonces tener a su hija.

-Partiendo de la Tierra en una nave que se acerque mucho a la velocidad de la luz; en este caso, por la teoría de la relatividad, el tiempo pasaría mucho más lento para los astronautas de la nave que para los que nos quedamos en el planeta Tierra. Cuando esa nave regresase a finales del siglo XXII, para nosotros habrán pasado ciento ochenta años, pero para los astronautas puede que sólo hayan pasado cinco o diez años. Luis es un astronauta de la nave, que al regresar, tendrá a su hija.

-Luis puede alargar la vida de su cuerpo con algún método biológico hoy todavía desconocido, reemplazando glándulas envejecidas, empleando hormonas o medicina genética, o algo similar.

Con tantas opciones diferentes, ¿seguiremos pensando que la solución x₂ = 10 no es válida?

El hundimiento de doDK

Cuaderno de bitácora: lo que temíamos desde hace semanas ha sucedido por fin: doDK ya no existe.

Fue precisamente en octubre de 2003 cuando iniciamos la andadura por la Matenavegación, y creamos doDK, una página web alojada en Geocities, de Yahoo. En ella, con ilusión, fuimos incluyendo algunos artículos, pasatiempos, problemas, curiosidades, anécdotas, chistes... lo que nos parecía interesante en aquellos momentos.

Pasó el tiempo y descubrimos Blogger y el fenómeno de los blogs, y decidimos abrir éste en el que estamos embarcados, con el nombre de El Matenavegante, y nos dimos cuenta que nos gustaba el formato de los blogs, y que trabajar con ellos era sencillo y ágil.

Como no manejo mucho el mundo de las páginas web, y tan sólo sé hacer unas cuantas cosas muy sencillas, me pareció que, de momento, trabajar a través del blog era lo más adecuado para lo que buscaba, y doDK se quedó como una página estática que poco a poco dejé de actualizar.

Así ha permanecido durante meses y años amarrada a puerto, hasta que Yahoo ha decidido la clausura del muelle de Geocities, y no ha habido más remedio que dejar que doDK, humilde pero valiente nave, se hunda en el mateocéano con todos los honores.

Sin embargo, muchas de las mercancías que guardaba en la bodega se han podido salvar del naufragio, y así, poco a poco, en este mismo blog, iremos publicando los artículos, curiosidades, problemas y pasatiempos que contenía, aprovechando la ocasión para corregirlos, actualizarlos y ampliarlos.

El Caso del Sorteo Injusto

Cuaderno de bitácora: aquí en España, los padres se encuentran con algunos problemas para que sus hijos ingresen en el colegio preferido por ellos. En algunos colegios la demanda de plazas es superior a la oferta: hay muchos más niños que solicitan ingresar al colegio que plazas disponibles. Para poder acceder a ellos las familias son puntuadas con un baremo por la situación familiar, el domicilio, el nivel de ingresos económicos, etc. De ese modo los niños con más puntos tienen preferencia para entrar en los colegios que solicitan, pero aún así, se dan muchos casos en los que los colegios siguen teniendo una demanda excesiva y tienen que recurrir a un sorteo para asignar las plazas disponibles.

Así le ha ocurrido a un compañero oficial del Barco Escuela. Su hija está en edad de ingresar en el colegio para la etapa Infantil, y en el centro que sus padres han elegido aquí en Granada había 50 plazas disponibles, mientras que el número de solicitantes ascendía a 111.

El sorteo para asignar las plazas se celebró hará cinco meses, y a la hija de mi compañero no le tocó. Días después de que se hiciera el sorteo, habló conmigo y me expresó ciertas dudas que tenía sobre cómo se había realizado. Me explicó que para seleccionar a los niños se les había ordenado por orden alfabético y se les había asignado un número, del 1 al 111. A la hija de mi compañero le dieron el 78. Después se sorteó uno de los números y una dirección para contar, ascendente o descendente.

Por ejemplo, si sale el número 40 y luego se sortea una dirección y sale ascendente, entonces los alumnos que ingresarían en el colegio serían los que tienen los números 40, 41, 42, …, 88 y 89, es decir, se cuentan cincuenta niños a partir del que ha salido, en sentido ascendente. Si hubiera salido el 40 en sentido descendente, los niños serían los números 40, 39, 38, …, 2, 1, 111, 110, 109, ... , 103 y 102. Cuando se termina la lista en sentido ascendente o descendente, se supone que se continúa cíclicamente por el otro extremo.

Hasta aquí, todo es correcto. El problema surgió al sortear el número que sería el punto de partida para el conteo. En lugar de tomar, por ejemplo, 111 bolas numeradas, introducirlas en una bolsa o en un bombo y sacar una al azar, a los responsables no se les ocurrió otra cosa que sortear la centena, luego la decena y luego la unidad.

Así dijeron: "primero sorteamos 0 ó 1, y saldrá menos de cien o más de cien". (Al sortear, salió el 1.) "Ya tenemos un número de cien en adelante. Luego, como los mayores de cien son del 100 al 111, sorteamos la decena: también 0 ó 1 solamente". (Salió el 1 también.) "Ya sólo queda sortear entre el 110 y el 111, otra vez elegimos entre 0 y 1". (Volvió a salir el 1.) Salió como número elegido, por tanto, el 111. Se sorteó luego el sentido, salió ascendente, y los niños seleccionados para las plazas disponibles fueron los que tenían los números 111, 1, 2, 3, 4, …, 49.

Muy mal hecho. Este sorteo es totalmente injusto. No asigna las mismas probabilidades de salir a cada niño. Es muy fácil entender, por ejemplo, que al sortear la centena se están dando las mismas probabilidades a dos conjuntos diferentes: los 99 primeros niños (del 1 al 99), cuya centena es 0, y los 12 niños siguientes (del 100 al 111) cuya centena es 1. Es mucho más ventajoso estar en el segundo grupo, pues hay menos competidores. Lo mismo ocurre luego con la decena, pues tenemos dos grupos diferentes también, uno de 10 niños (del 100 al 109) y otro de sólo 2 (110 y 111). Así tenemos que, de entrada, números como el 78 tienen una probabilidad entre 200 de salir (un 0’5%), mientras que el 110 ó el 111 tienen una probabilidad de salir de una entre ocho (12’5%), una probabilidad 25 veces superior. De esa forma, el sorteo está viciado desde el origen, pues luego al contar cincuenta ya no se tienen las mismas probabilidades.

A mi compañero también le recordé que hubo un sorteo parecido hace unos años con los reclutas de la mili (el servicio militar obligatorio que existió en España hasta hace poco). Al igual que en el colegio del que estamos hablando, las plazas en el ejército para hacer la mili eran ese año menos del número de reclutas que se presentaban. Había unos 160.000 reclutas para unas 70.000 plazas (más o menos, según lo que recuerdo). Se numeró a los reclutas, puede que por orden alfabético, y se sorteó un número, y a partir de él se contaban los 70.000.

El problema estuvo en que el número se sorteó con los bombos de la lotería, pero éstos sólo contienen 100.000 números, con lo que en primer lugar se sorteó la centena de millar 0 ó 1: si salía 0, el número que saliera en el bombo (del 00000 al 99999) sería el válido, pero si salía 1, sólo se tendrían en cuenta del 00000 al 60000 y al número que saliera en el bombo había que ponerle un 1 delante. Así se hizo, pero luego salió el caso en la prensa y se explicaba que había sido un sorteo injusto, y se incluía un estudio probabilístico de las posibilidades de salir de todos los números. No recuerdo si el sorteo fue recurrido por los que sí fueron seleccionados, porque a la mili no quería ir nadie que fuera lo suficientemente sensato, al contrario de nuestro colegio, en el que lo que interesa es conseguir la plaza.

Me ofrecí a hacer un estudio probabilístico completo del sorteo tal y como se había realizado, para demostrar que con él, los niños tenían distintas probabilidades de entrar. En efecto, me salió, por ejemplo, que la hija de mi compañero tenía una probabilidad del 47% aproximadamente, la misma que tenían bastantes otros niños, pero en otros la probabilidad oscilaba desde una máxima, un 53% para el 110 y el 111, hasta una mínima, de un 26% para el 50. Estuve entretenido un par de horas haciendo cálculos laboriosos, trabajando en este problema que me parecía tan interesante, y luego le mandé el resultado a mi compañero para que pudiera presentar la reclamación correspondiente. Así lo hizo, y después de varias semanas sin noticias, pareció que la Delegación de Educación de Granada estaba teniendo en cuenta los argumentos y era posible que se repitiera el sorteo.

Todo este caso me parece un ejemplo muy interesante de cómo las matemáticas de un nivel medio pueden ser útiles en situaciones importantes de la vida cotidiana, distintas de la economía, la construcción, el bricolaje y otras más habituales. Sin embargo, si se repitiera el sorteo no quiere decir que la hija de mi compañero fuera a obtener la plaza con seguridad, pero al menos disfrutaría de una nueva oportunidad, y en este caso con un sorteo justo, no como el primero. Habría, sin embargo, padres que sus hijos sí salieron entre los seleccionados y si el sorteo se volviera a hacer, esos niños se quedarían probablemente fuera del colegio. Para ellos sería difícil aceptar nuestra reclamación, pero hay que comprender que la responsabilidad de todo el asunto recae en las personas que organizaron este sorteo, las cuales lo prepararon sin cuidado y con ignorancia de las leyes de probabilidad, haciendo un tratamiento injusto y arbitrario, aunque no fuera esa su intención, de algo tan delicado como el futuro de 111 niños y niñas y sus respectivas familias.

Al cabo de los meses, después de las vacaciones de verano, tras regresar de nuestros respectivos periplos por los templados mares tropicales, mi compañero oficial me ha informado que, desgraciada e inexplicablemente, la Delegación de Educación ha desestimado la reclamación. Para seguir reclamando queda abierta la vía judicial, pero para tomar esta vía se necesita un abogado, un juicio, que, según le han dicho, puede tardar en resolverse ¡de cinco a ocho años!, y que tras el juicio, si se ganara la causa, lo único que se conseguiría es que ¡se repitiera el sorteo! Repetir un sorteo para ver si una niña entra en un colegio cuando la niña puede estar ya en el instituto, cursando la Secundaria...

Todo este asunto no hace más que dejar un sabor amargo de decepción al enfrentarse con la realidad de las matemáticas en la vida cotidiana, y descubrir la ignorancia de las leyes básicas de la probabilidad entre personas con puestos sociales importantes, como los Directores de colegios, la poca importancia que se le da a garantizar que los sorteos sean justos desde la misma Delegación de Educación, y la terrible, espantosa lentitud con la que funcionan a veces los tribunales de justicia y que los convierte finalmente en injustos, sea cual sea el veredicto final.

PD: para todos los interesados en profundizar en el problema, pretendo subir pronto a la red el documento PDF en el que está resuelto y calculadas todas las probabilidades.

Si yo tuviera un gúgol de euros...

Cuaderno de bitácora: en uno de nuestros viajes por los puertos ingleses, descubrimos un libro con muy buen precio, The Story of Mathematics, escrito por Anne Rooney. Su contenido es ameno y fácil de leer (para los que saben inglés), y durante el nuevo periplo del Barco Escuela estamos seleccionando algunos textos para trabajar con los grumetes.

Uno de esos textos habla sobre el gúgol y el gúgolplex (googol y googolplex en inglés). Los matenavegantes suelen conocer estos dos números, ya que han ido adquiriendo cierta fama a lo largo del tiempo.

Un gúgol es un número: un 1 seguido de cien ceros. En potencias de diez, diríamos que es diez elevado a cien, 10¹⁰⁰. Es, por tanto, un número muy grande, enorme.

Un millón es un 1 seguido de seis ceros, un billón (en España) es un 1 seguido de 12 ceros. Un trillón, un 1 seguido de dieciocho ceros. Éstos ya son números muy grandes. El gúgol es mucho, mucho, pero mucho más grande que cualquiera de los mencionados. En la definición de gúgol de la Wikipedia, que recomendamos leer porque trae unas cuantas curiosidades sobre el gúgol, se comenta, por ejemplo, que siguiendo la misma tónica de potencias de diez: trillón, cuatrillón, quintillón, sextillón, septillón, octillón, etc., el gúgol equivaldría a diez mil hexadecillones.

Un gúgol, como hemos dicho, es enorme, pero mucho peor es el gúgolplex. El gúgolplex es otro número: un 1 seguido de un gúgol de ceros, o en potencias de diez, diríamos diez elevado a un gúgol.

La ocurrencia de ponerle nombres propios a estos dos números la tuvo Milton Sirotta, el sobrino de nueve años del matemático americano Edward Kasner. En el libro Matemáticas e Imaginación, de Edward Kasner y James Newman, se dice, por ejemplo, que

Palabras de sabiduría pronuncian los niños, por lo menos tan a menudo como los hombres de ciencia. El nombre "gúgol" fue inventado por un niño (sobrino del doctor Kasner, de nueve años de edad), a quien se le pidió que propusiera un nombre para un número muy grande, a saber: un 1 seguido de cien ceros. Estaba muy seguro de que este número no era infinito y, por lo tanto, igualmente en lo cierto de que tenía que tener un nombre. Al mismo tiempo que indicó la palabra "gúgol", sugirió el nombre para otro número aún mayor: "gúgolplex". Un gúgolplex es mucho mayor que un gúgol, pero continúa siendo finito, como se apresuró a señalar el inventor de su nombre. Primero se sugirió que un gúgolplex sería un 1 seguido de tantos ceros que uno se cansase de escribirlos. Esto es una descripción de lo que sucedería si uno tratara realmente de escribir un gúgolplex, pero distintas personas se cansan en tiempos diferentes y no consideraríamos a Carnera [un boxeador de la época] mejor matemático que al doctor Einstein, sencillamente porque tuviera más resistencia. El gúgolplex es, pues, un número finito determinado, formado por tantos ceros después de la unidad, que el número de ceros sea igual a un gúgol.

En otro pasaje del mismo libro, se dice también que

Desgraciadamente, tan pronto como la gente habla de números grandes, pierde la chaveta. Parecen hallarse bajo la impresión de que, ya que cero es igual a nada, pueden agregar a un número tantos ceros como les plazca sin que ello traiga consecuencias serias. Tendremos que ser un poco más cuidadosos, pues, al hablar de números grandes.

En efecto, corroborando lo que dice el libro, una vez que explicamos a los grumetes lo que significa un gúgol, ellos no parecen captar la idea. No les culpamos, porque es muy raro que alguien pueda captar la idea al principio. Les decimos, por ejemplo, que se ha calculado el número de partículas subatómicas del universo (protones, neutrones, electrones, fundamentalmente) y que ese número es menor que un gúgol, está en torno a diez elevado a ochenta, o un 1 seguido de ochenta ceros. Les decimos también que si quisiéramos escribir un gúgolplex, no habría en el universo espacio suficiente para escribir todos los ceros. Parece que con estas comparaciones es suficiente para que capten el concepto, pero no es así.

Porque de repente, siempre surge la misma ocurrencia: ¿y tener tanto dinero como un gúgol?

Hasta ahora no me había dado cuenta que una de las mejores maneras para hacerse una idea de los números grandes es hablar en términos de dinero. Ahí los grumetes, y cualquier persona, en general, tiene muchas referencias, y además interesantes, porque es fácil suponer que tenemos grandes cantidades de dinero y dejar volar la imaginación con todo lo que podríamos hacer con ellas.

Si hablamos de mil euros, por ejemplo, estamos hablando del sueldo mensual, un poco bajo, de una persona (últimamente se ha acuñado el término mileurista para designar en España a los trabajadores que tienen un sueldo en torno a mil euros al mes, cantidad que es escasa a la hora de hacer frente a la hipoteca de un piso, el mantenimiento de una familia, etc.) Si hablamos de diez mil euros, entonces ya entramos en lo que vale, por ejemplo, un automóvil sencillo. Si fueran cien mil euros, es el valor de un piso pequeño en una ciudad donde los precios de los pisos sean bajos.

Cuando llegamos a un millón de euros, entonces ya nos podemos imaginar una casa grande con jardín, piscina, bien amueblada, y si son diez millones de euros, empezamos a movernos en las cifras que ganan algunos deportistas al año. Cien millones de euros es un poco más de lo que costó el traspaso de Cristiano Ronaldo al Real Madrid, y puede ser el presupuesto de una superproducción de Hollywood protagonizada por actores famosos. Miles de millones de euros se pueden usar para contabilizar la fortuna de algunos multimillonarios. Aquí ya se empieza a perder la perspectiva.

Un billón de euros, (un millón de millones), es una cifra que se usa en la economía global de los países. El Producto Interior Bruto (PIB) en España, la suma de todos los bienes y servicios finales producidos en un año, fue en 2008 alrededor de un billón de euros, mientras que el PIB mundial, es decir, la suma de todos los países, no llegó a cincuenta billones de euros.

Un mil billones de euros, por tanto, es más de lo que se ha producido en todo el mundo durante los veinte últimos años.

Si ahora subimos a un trillón de euros (un 1 seguido de dieciocho ceros), resulta que es más de mil veces el dinero que se ha movido en todo el mundo en veinte años, ¿qué se le puede decir a un grumete cuando con ingenua e inconciente ocurrencia pregunta por un gúgol de euros?

En ese momento clave intento contestarle de forma contundente, y mi propia imaginación me traiciona. Lo primero que digo es que ese dinero no existe, que no hay tanto dinero en el mundo, y el grumete me pregunta: ¿por qué?

Luego se me ocurre decirle que con ese dinero se podría comprar el mundo entero, qué digo el mundo, el sistema solar entero, y esto último ya me parece bastante fuerte.

Pero poco a poco lo realmente enorme de tal cantidad se va abriendo paso en mi mente: un gúgol de euros...

No hay un gúgol de partículas subatómicas en el universo, luego si se me ocurriera pagar un euro por cada átomo del universo, podría comprar el universo entero, y me sobraría mucho dinero...

Pagar un euro por cada átomo es un precio CARÍSIMO. ¡Para comprar un SIMPLE vaso de agua no habría suficiente dinero en el mundo!.

Si yo tuviera un gúgol de euros, podría pagar un euro por cada átomo y comprar este universo entero.

Si yo tuviera un gúgol de euros, podría pagar un euro por cada partícula subatómica y comprar un trillón de universos como éste...

Si yo tuviera un gúgol de euros...

Buscando la Combinación del Candado

Cuaderno de bitácora: el otro día me vino a la memoria aquella vez de tantas que regresé al mando de mi nave al renombrado puerto de Hispalis y pasé un buen rato en la cantina charlando con viejos exploradores conocidos mientras degustábamos viandas de tierra adentro. En aquella ocasión de la que hablo, uno de estos exploradores, amigo mío de hace muchos años, del que sé que ya se afincó en el otro hemisferio tras haber dejado varios océanos atrás, me enseñó un objeto que había encontrado en uno de sus viajes y me pidió ayuda para poder darle uso.

El objeto en principio no tenía nada de especial. Era un sencillo candado metálico de combinación, con tres rueditas de números, que se puede abrir girando las rueditas hasta colocar la combinación correcta de dígitos. Nuestro explorador, que había aprendido hacía años a ahorrar hasta el último doblón, quería aprovechar el hallado objeto para asegurar el cierre de una de sus muchas maletas, pero ignoraba la combinación y no imaginaba cómo proceder.

Resultaba indudable que para él, intentar averiguar la combinación quedaba fuera de sus capacidades; aquella tarea se le antojaba casi imposible, digna de un experto ladrón de cajas fuertes, de esos que con un estetoscopio de médico y manos enguantadas se cuelan en las mansiones de los ricos durante las horas de la madrugada y logran abrir las puertas blindadas de las cajas prestando atención al clic-clic de las ruedas de la cerradura. Quizás con ese pensamiento fue que me comentó lo del candado, enseñándomelo, pero cuando lo vi, le dije con seguridad que yo podía encontrar la combinación.

En efecto, así fue. ¿Cómo lo hice? Sentado tranquilamente a la mesa y dejando con indiferencia que mi jarra de zumo de uva se calentara, procedí a colocar las rueditas en el 000, y pulsé para abrir el candado, pero no se abrió, luego las puse en el 001 y volví a pulsar, luego en el 002, y así sucesivamente fui probando, 003, 004, 005 ...

Cuando mi amigo el viejo explorador me vio intentando abrir el candado número a número, me preguntó si aquello no me iba a llevar demasiado tiempo, y su pregunta sonó como una afirmación, porque él estaba convencido de que lo que yo estaba haciendo era del todo inútil, y que me cansaría antes de llegar ni siquiera a acercarme a la solución.

Sin embargo le dije que no se preocupase, y seguí con mi tarea. Para su sorpresa, al cabo de no más de un cuarto de hora, la combinación estaba averiguada (recuerdo que el número era ciento y pico, cerca de doscientos), y el candado, abierto.

Como matenavegante, yo jugaba con ventaja. Sabía que una combinación de tres números no se tarda mucho en averiguar probando cada posibilidad una a una. Si contamos el tiempo, aunque no lo he vuelto a intentar, supongo que se pueden ir probando hasta veinte números por minuto, con lo que en una hora da tiempo de sobra para sacar la combinación, sea la que sea, y probablemente en mucho menos de una hora, como me pasó a mí.

Pero claro, estamos hablando de un candado de tres rueditas. Diferente es si empezamos a probar con candados de cuatro, cinco o más rueditas. Para el de cuatro, la tarea puede alargarse durante horas enteras, y para el de cinco es posible que se tarden días, y así sucesivamente. El candado de sólo tres ruedas es ciertamente asequible.

Como consecuencia, este tipo de candados de tres ruedas deben servir, por tanto, para asegurar objetos que podamos controlar en casi todo momento y de los que no nos separaremos salvo por periodos muy cortos de tiempo (minutos apenas). No resulta inteligente utilizar uno de estos candados para objetos que van a estar solos durante un rato prolongado, al alcance de otras personas que puedan, sin vigilancia, trastear con ellos hasta encontrar la combinación. No son seguros para estos casos, y se debería optar por candados con más ruedas.

Cuando le devolví solucionado el problema, mi viejo amigo explorador me lo agradeció bastante. Ignoro si todavía conserva el candado. La última vez que lo vi fue no hace mucho, en una de las principales ciudades costeras del Extremo Oriente, y en esta ocasión charlamos sobre muchas cosas, pero no nos acordamos de esta anécdota. No sé si leerá esta entrada del blog allá al otro lado del charco, pero cuando nos volvamos a encontrar se la mencionaré por si quiere añadir algún comentario.