[El Problema de la Semana] Un reloj digital completo

El problema de esta semana va de fechas, calendarios y relojes, un tema muy interesante que da mucho juego.

Observa el reloj digital formado por los 10 dígitos que dan las horas, los minutos, el día, el mes y el año. El día 26 de abril de 1995, a las 17 horas y 38 minutos, el reloj marcaba la fecha y la hora usando exactamente los diez primeros números naturales (0-9), ninguno de ellos repetido, como muestra el siguiente esquema:

17 : 38     26 – 04 – 95

¿Cuándo se produjo o se producirá por primera vez esta situación en el siglo XXI?

La solución, como siempre, después de la imagen insertada.

[En la ilustración vemos dos clepsidras griegas. La clepsidra es un reloj de agua utilizado en la antigüedad. Los dos relojes de la foto se encuentran en el Museo del Ágora de Atenas, el de abajo parece ser una réplica moderna del de arriba. Las clepsidras se usaban principalmente de noche, o en general cuando no se podía emplear un reloj de sol. Consistían en un recipiente que se iba llenando con un flujo regulado de agua, y que en ocasiones tenía marcas a intervalos concretos; cuando el agua llegaba a esas marcas se iba controlando el tiempo que pasaba. En la antigua Grecia, las clepsidras se usaban para limitar el tiempo de intervención asignado a los oradores, y en Roma servían para señalar los relevos de las guardias nocturnas en las campañas militares]

SOLUCIÓN:

El problema tiene un enunciado sencillo, pero encontrar la respuesta correcta requiere mucho razonamiento. Recomendamos que el lector trate de pensar el problema haciéndose un esquema en un papel y descartando posibilidades.

En primer lugar hay que tener en cuenta las limitaciones de las horas, los minutos, los días y los meses.

Las horas van de 00 a 23, luego la cifra de la decena sólo puede ser 0, 1 ó 2, y en el caso de que la decena sea 2, las unidades sólo pueden ser 0, 1, 2 ó 3.

Los minutos van de 00 a 59, luego la cifra de la decena sólo puede ser de 0 a 5.

Los días van de 01 a 31 (algunos meses de 01 a 30, y en febrero de 01 a 28 ó a 29 si el año es bisiesto). La cifra de la decena es de 0 a 3, salvo en febrero que es de 0 a 2. En el caso de que la decena sea 3, las unidades sólo pueden ser 0 ó 1.

Los meses van de 01 a 12, luego la cifra de la decena sólo puede ser 0 ó 1. En el caso de que la decena sea 1, las unidades sólo pueden ser 0, 1 ó 2.

Como se pregunta cuándo se producirá por primera vez dicha situación, tenemos que empezar probando con los primeros años. De cada año sólo tomamos las últimas dos cifras. Todos los años con las últimas dos cifras iguales los podemos descartar, como el año 2000, el 2011, el 2022, etc. En la decena del mes siempre hay un 0 ó un 1, luego el año 2001 y el 2010 también los podemos descartar. El 2012 también lo podemos descartar, porque al usar el 1 y el 2, queda el 0 para la decena del mes, y recordemos que las horas sólo tienen en la decena un 0, un 1 o un 2. También podemos descartar el 2002, porque el mes sólo podría ser 11 y se repetiría el dígito 1.

Si el año corresponde al intervalo 2003 - 2009, entonces el mes sólo puede ser 12, y ya no nos quedan horas posibles.

Veamos el 2013, e intentamos que el mes sea el menor posible. El mes no puede ser 02, por la misma razón de la limitación de las horas. Tampoco puede ser 03. Si el mes es 04, entonces el día puede ser veintitantos (no puede ser 30 ó 31 porque el 0 y el 1 están ya cogidos) y volvemos a encontrarnos con el problema de las horas, que si recordamos tienen de primera cifra 0, 1 ó 2. Cualquier mes que tenga la decena 0 obliga a que el día sea veintitantos y entra en conflicto con las horas. Los meses de decena 1 no pueden ser porque el 1 ya lo hemos usado.

Igual razonamiento tenemos para todos los años 2014 - 2019, ya está cogido el 1, en el mes usamos el 0, y en los días usamos el 2, y ya no hay horas posibles.

Si el año está en la década 2020 - 2029, entonces ya hemos usado el 2, en el mes usaremos el cero o el uno en la cifra de la decena, y en los días usaremos el uno o el cero (respectivamente) en la cifra de la decena, o bien el 3, pero en este caso aparecerá el uno o el cero en las unidades, y volvemos a entrar en conflicto con las horas.

Entremos en la década 2030 - 2039. Por razones similares a las situaciones anteriores, podemos descartar 2030, 2031, 2032, 2033. Veamos 2034: procuramos ir escogiendo la fecha más baja y evitar la incompatibilidad con las horas. tomamos el mes 05, el día 16. Hemos dejado el 2 para la decena de las horas, pero entonces la hora puede ser 20, 21, 22, 23, y las cifras de las unidades las hemos usado todas. Además hay que tener cuidado ya con los minutos: su decena solo va del 0 al 5.

Tendremos que escoger los días como veintitantos, pero en las horas la decena tiene que ser 1, y entonces ya hemos agotado todos los números del 0 al 5 para los minutos.

Tomamos el mes 06, el día 27, y ya parece que todo empieza a marchar. La hora puede ser 18, y los minutos 59.

Si no nos hemos equivocado, ya hemos encontrado la fecha y hora más cercana al principio del año 2000 en la que se usan todos los dígitos sin repetirse:

18 : 59   27 - 06 - 34

Es decir, el 27 de junio de 2034, a las 18:59.

[Este problema ha sido extraído del libro El país de las mates, 100 problemas de ingenio 1, de Miquel Capó Dolz, editorial El rompecabezas]

[El Problema de la Semana] Fechas españolas y americanas

El problema que presentamos en esta ocasión trata del calendario, algo tan necesario desde los inicios de la historia de la humanidad, y que siempre ha presentado un sinfín de curiosidades.

En España, fechas como 6 de diciembre de 2010 suelen abreviarse 6/12/10, pero en otros países como Estados Unidos, se da primero el mes y luego el día, escribiéndose 12/6/10.

Si desconociésemos cuál de ambos sistemas se ha utilizado, ¿cuántas fechas quedarían indeterminadas en la notación abreviada?

La solución ... ?

más...

abajoooo...

[Dedicamos la foto de hoy a Martin Gardner, genial divulgador de matemáticas y escritor de muchos libros de matemáticas recreativas. Este problema de las fechas está extraído de uno de sus libros.]

Solución:

Como sólo tenemos doce meses, el número correspondiente al mes podrá ir del 1 al 12, mientras que los días, dependiendo del mes, pueden llegar a 31. Una fecha en la que la cifra correspondiente al día sea mayor de 12 ya no da lugar a confusiones, sea española o americana. Si ponemos 22/5/10, o si ponemos 5/22/10, en ambos casos está claro que la fecha es 22 de Mayo de 2010, primero escrita en el orden español, y luego escrita en el orden americano.

Las fechas quedarán indeterminadas cuando el día sea 12 o menor. Combinando 12 meses y para cada mes 12 días, nos salen 144 posibilidades.

Sin embargo, entre estas combinaciones, aquellas en las que el número del mes y del día coincidan tampoco son indeterminadas; así 4/4/10 es el 4 de Abril del 2010, ya sea en forma española o americana.

Por tanto, de las 144 posibilidades tenemos que restar 12 fechas con el día y el mes iguales (el 1 de enero, el 2 de febrero, etc.) Como conclusión quedarán 132 fechas indeterminadas.

Este problema ha sido extraído del libro Ruedas, vida y otras diversiones matemáticas, de Martin Gardner.

[El Problema de la Semana] El cumpleaños

Creo que este problema o acertijo puede ser muy interesante:

Antonio me comentaba el otro día: anteayer tenía 22 años, pero el año próximo tendré 25. ¿Cuándo es mi cumpleaños?

Recuérdese que la solución está incluida más abajo. Si quiere resolverlo por sí mismo, STOP! ¡no siga leyendo!

Solución: El cumpleaños de Antonio es el 31 de diciembre.

Hoy es 1 de enero. Anteayer era 30 de diciembre, y tenía 22 años. Ayer era 31 de diciembre, cumplió años, y tiene 23 años desde ayer hasta el 31 de diciembre del presente año, en que cumplirá 24. El 31 de diciembre del año que viene cumplirá 25.

Comprendo que la solución puede ser difícil de comprender. Si le cuesta entenderla, pregúntese primero ¿qué día es hoy (entendiendo por "hoy" el día en el que está hablando Antonio)? Hágase un esquema con un calendario. Estos problemas de calendarios y tiempos son complicados. No desespere.

Más sobre Calendarios: Dividiendo el Año

Los años de 365 días tienen un día central: el 2 de Agosto. ¿Qué significa esto? Simplemente que hay exactamente 182 días anteriores al 2 de Agosto y 182 días posteriores.

¿Por qué existe un día central? porque el número de días es impar. Si el número de días fuera par, entonces no habría ningún día en el centro del año.

Ése es el caso de los años bisiestos. Con 366 días, el centro matemático temporal del año bisiesto se encuentra entre el 1 de Agosto y el 2 de Agosto, es decir, en el cambio de uno a otro día, exactamente a las doce de la noche. En un año bisiesto, desde el 1 de Enero hasta el 1 de Agosto inclusive hay 183 días, y desde el 2 de Agosto hasta el 31 de Diciembre hay otros 183.

El número 365 no parece un número demasiado interesante a la hora de factorizarlo:

365 = 5 · 73

Resulta ser cinco veces el número 73 (número primo), con lo que un año se puede dividir en cinco partes iguales, cada una de ellas de 73 días completos: del 1 de Enero al 14 de Marzo, del 15 de Marzo al 26 de Mayo, del 27 de Mayo al 7 de Agosto, del 8 de Agosto al 19 de Octubre, del 20 de Octubre al 31 de Diciembre.

Si quitamos un día y lo dejamos aparte, entonces 364 es divisible por 4:

364 = 4 · 91 = 2 · 2 · 7 · 13

El número 364 tiene mucho más juego para ser factorizado. La división por 4 fue aprovechada y representada en la pirámide de Chichén Itzá por el pueblo maya: cada lado de la pirámide tiene 91 escalones, y si le sumamos el templete de arriba del todo resulta 365. (Ver la entrada del blog Los Triángulos Isósceles del Sol para más información sobre Chichén Itzá)

Además, al dividir el año en 4 partes cada una de ellas puede representar una de las estaciones: primavera, verano, otoño, invierno. Cada una de las estaciones debe durar 91 días y un cuarto de día: 91 días y 6 horas. Esto no es exacto, porque las estaciones dependen de la posición de la Tierra respecto al Sol y la vuelta completa alrededor del Sol dura un poco más de 365 días.

También es interesante darse cuenta que 364 es divisible por 7, resultando 52. Todo el mundo sabe que el año tiene 52 semanas, más un día suelto, y éste día es la causa de que para los años normales las fechas avancen un día de la semana: si por ejemplo el 29 de Agosto es sábado, al año siguiente el 29 de Agosto será domingo. Cuando el año es bisiesto hay que avanzar dos días.

Si quitamos 4 días a 365, obtenemos 361, que es un cuadrado perfecto:

361 = 19 · 19

361 son los puntos o intersecciones del tablero normal de go, que resultan del cruce de 19 líneas horizontales con otras 19 verticales.

El go se juega con fichas llamadas piedras, blancas y negras, y el número de piedras con las que cuenta cada jugador al principio de la partida es indeterminado: cada uno puede disponer de cuantas quiera. Habitualmente, para un tablero de 19 por 19 se suelen vender cajas de 181 piedras negras y 180 piedras blancas, pero en las partidas entre jugadores que tengan un poco de conocimiento no se suelen gastar todas; si se rompen o se pierden unas cuantas piedras no importa, porque no se van a echar en falta en el transcurso del juego. Cuando se enfrentan dos jugadores principiantes, sin embargo, tienden a capturarse muchas piedras el uno al otro, y se les van acabando las piedras propias; esto se soluciona fácilmente, basta con intercambiar las piedras capturadas.

Me puedo imaginar con facilidad un calendario de 361 días: sería un cuadrado similar a un tablero de go, con 19 meses de 19 días cada uno. El juego que se popularizó en Occidente como go, se llamó originalmente wei chi, proviene de China y se inventó hace más de 4000 años. Se dice que el tablero de go fue en un principio una especie de calendario-ábaco en el que se medía el tiempo, se hacían predicciones astrológicas y se realizaban cálculos aritméticos.

Si quitamos 5 días al año nos encontramos con 360. Este número tiene la particularidad de que se factoriza muy bien:

360 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5

Al tener tantos factores, tiene muchos divisores posibles. Se puede dividir, por ejemplo, por 2, por 3, por 4, por 5, por 6, por 8, por 9, por 10, por 12...

Los antiguos pueblos de Mesopotamia, sumerios, asirios, babilónicos, persas, basaron su sistema numérico en el 60, y al desarrollar la ciencia de la astronomía dividieron el cielo en 360 grados, y cada grado en 60 minutos, y cada minuto en 60 segundos. De ellos hemos heredado nuestro sistema de medir ángulos y nuestro modo de contar el tiempo en horas minutos y segundos.

Los mayas también usaban el 360 en sus cuentas: tenían un sistema vigesimal (contaban de 20 en 20), y por tanto tenían meses de 20 días. En su calendario llamado Haab cada año era dividido en 19 meses: 18 meses normales de 20 días cada uno, lo que hacen un total de 360 días, y luego un mes extra, de 5 días, para completar el año (en la imagen aparecen representados los 19 meses mayas). Sin embargo, los mayas manejaban varios tipos de calendarios y cuentas. En otra de esas cuentas, se olvidaban de los 5 días y contaban simplemente de 360 en 360, obteniendo así días-kines, meses-uinales, años-tunes, y luego agrupando los años en katunes y baktunes. (Ver la entrada de mi blog Primer Día en el Barco Escuela para más detalles).

En nuestro calendario occidental, hemos aprovechado que 360 es divisible por 12 para obtener meses de 30 días cada uno. Los cinco días restantes hasta completar 365 se pueden repartir para dar lugar a los meses de 31 días. Pero por razones históricas que se remontan a la época del Imperio Romano, había no cinco, sino siete meses con 31 días, con lo que Febrero, el último en llegar al reparto, se quedó con solo 28.

Se me ocurre una última división: si quitamos dos días al año, tenemos 363 días, que es divisible por 3, obteniendo 121, un cuadrado perfecto:

363 = 3 · 121 = 3 · 11 · 11

Aprovechando esta peculiaridad el año se podría dividir de forma ligeramente extravagante: 121 días, un día suelto, otros 121 días, otro día suelto, y los últimos 121 días.

Así tenemos, del 1 de Enero al 1 de Mayo, ambos inclusive, luego el 2 de Mayo suelto, del 3 de Mayo al 31 de Agosto, el 1 de Septiembre suelto, y del 2 de Septiembre al 31 de Diciembre.

Cada periodo de 121 días se puede distribuir en once paquetes de once días, podríamos llamarlo once oncenas. Cada once oncenas sería más o menos lo que llamamos un cuatrimestre.

No sé de ningún calendario que haya dividido el año en tres partes de once oncenas cada una. Pero me puedo imaginar los almanaques que se imprimirían para ese tipo de calendario: si descartamos los dos días intermedios, los almanaques sólo tendrían tres hojas, cada una de ellas cuadrada, con una cuadrícula perfecta de once filas por once columnas. Sobre la cuadrícula podríamos colorear los días festivos, y nos sentiríamos felices cuando llegaran a formar un bello mosaico simétrico.

Cuatro Dados para un Calendario

Cuaderno de bitácora: en uno de nuestros viajes por Extremo Oriente me encontré en un bazar una serie de figuras de porcelana que representaban los signos del Zodiaco Chino. Recordemos que este zodiaco tiene doce signos, como el occidental, cada uno de ellos representado por un animal, y a diferencia de lo que estamos acostumbrados, cada signo rige un año chino completo, no un mes.

Los animales del zodiaco chino son: rata, búfalo, tigre, conejo, dragón, serpiente, caballo, cabra, mono, gallo, perro y cerdo. Desde el 26 de Enero de 2009 hasta el 13 de Febrero de 2010 estamos en el signo de búfalo. A partir del 14 de Febrero de 2010 entraremos en el de tigre. A cada uno de nosotros le corresponde un animal de la astrología china según su fecha de nacimiento. Hay numerosas páginas para conocer nuestro animal correspondiente; se puede consultar, por ejemplo, la tabla que aparece en el artículo sobre Astrología China en la Wikipedia.

Las figuras de porcelana del bazar que visité, no sólo representaban los animales, sino que además servían de calendario. Sobre cada animal había cuatro dados o pequeños cubos para ir poniendo la fecha de cada día.

El primer dado está dedicado al mes del año. Los dos siguientes al número del día, y el último al día de la semana. Los dados, pequeños hexaedros o cubos, tienen obviamente seis caras, y cada una de ellas se emplea para mostrar la información correspondiente.

Los que han diseñado los dados, lo han hecho de forma que sirvan para cualquier fecha del año. En el dado de los meses se han escrito dos meses por cada cara; es lógico, ya que hay seis caras y los meses son doce. Como se aprecia en la fotografía de la cabrita, en la cara donde aparece AUG (august-agosto), aparece también JUL (july-julio) al revés, luego esa misma cara del dado sirve tanto para julio como para agosto.

El dado de los días de la semana es sencillo; como hay siete días, cada día podrá estar en una cara distinta, salvo una pareja que tendrá que compartir una de las caras, en este caso son el SAT (saturday-sábado) con SUN (sunday-domingo).

Pero el punto interesante, el que me intrigó desde un principio, es cómo organizar los dados de los números. No es la primera vez que veo un calendario de este tipo, y siempre me pregunté cómo es posible, con dos dados, conseguir todos los números del 1 al 31.

No podemos poner los diez dígitos, del 0 al 9, en cada dado, porque sólo tienen seis caras. Tenemos, por tanto, que distribuir los dígitos entre los dos hexaedros. Dado un dígito, lo pondremos en uno de los dados, sólo en uno de ellos, pero hay cifras que necesitan invariablemente estar en los dos.

Veamos, por ejemplo, el 5. Como en un mes no hay día 55, el 5 sólo necesita estar en uno de los dos dados, no en los dos. Pero diferente es el caso del 1 y el 2. El 1 sí tiene que estar en los dos, porque el 11 es uno de los días del mes, y lo mismo pasa con el 22.

Hay otro número que tiene que estar en los dos dados, el 0, ya que se tiene que combinar con todas las demás cifras para representar a los primeros días del mes: 01, 02, 03, 04, etc. Hay una posibilidad no muy elegante que es la de no poner el cero y quedarnos con un solo dado durante los primeros días de cada mes, pero se vería que falta un dado y quedaría un hueco en la cabrita. Así que por razones estéticas y de comodidad, para no estar quitando y poniendo el dado correspondiente, tenemos que poner el cero en ambos dados.

Tenemos entonces que en el primer dado están 0, 1, 2, y nos quedan tres caras sin asignar todavía. En el segundo dado estamos igual, también 0, 1, 2 y con otras tres caras sin asignar. en total hay seis caras sin asignar. Pero ahí llega el problema: en total tenemos seis caras, tres y tres, sin escribir, pero nos quedan siete cifras: 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. ¡Alguien se va a quedar fuera de los dados!

Tomo los dados y los examino. ¿Qué ha hecho el fabricante? En el primer dado ha colocado 0, 1, 2, 3, 4 y 5. En el segundo ha puesto 0, 1, 2, 6, 7 y 8. El 9 se ha quedado fuera. ¿Es que no podemos poner, por ejemplo, la fecha 19? Le empiezo a dar vueltas a los cubitos y entonces me doy cuenta del truco: el 9 se puede conseguir poniendo el 6 al revés.

La clave está entonces en esa sencilla propiedad de nuestras cifras arábigas: el 6 y el 9 son dos símbolos relacionados por un simple giro de 180º. Poniendo en una de las caras un 6 ya tenemos un 9 implícitamente. Si no fuera por esta propiedad, no sería posible representar con dos dados los treinta y un días de un mes. El que diseñó este tipo de calendarios tuvo un golpe de ingenio para conseguirlo.

Luego, pensando en esto de los dos dados y los números que se pueden obtener, me ha surgido la pregunta: ¿cuántos números más, aparte de los del mes del 01 al 31, se pueden conseguir con estos dos dados? Invito al lector a que responda a esta pregunta, y si no la sabe responder o quiere comprobar sus cálculos, puede consultar los comentarios a este artículo, donde próximamente pondré el resultado.

De esta pregunta resulta un problema de combinatoria que no es trivial, pues podríamos hacernos el mismo planteamiento tomando tres dados, cuatro, etc. Me pregunto, por ejemplo, si con tres dados es suficiente para representar del 001 al 365, para así numerar todos los días del año. Mi respuesta intuitiva es decir que no: no veo bastantes combinaciones para cubrir tantos días. Pero no me resulta un problema nada sencillo. Más bien parece un rompecabezas bastante duro.

PD: Con la propiedad del 6 y el 9 tenemos que los números, por ejemplo, 69 y 96 quedan invariables si los giramos 180º. No son los únicos, basta combinar los 6 y los 9 de forma apropiada y tenemos muchos más números con esa propiedad: 6699, 6969, 996966, etc.

Para los que les gusta la astrología, si tomamos 69 y lo giramos unos 90º obtenemos entonces el símbolo del signo Cáncer, ♋. Véase, por ejemplo, esta página para conocer todos los símbolos de los signos de nuestro zodiaco.

El Calendario Loco

Cuaderno de bitácora: hace unos días estuve programando un examen, y al indicar la fecha y el día, uno de los grumetes me corrigió en el día de la semana. Si yo le dije que el examen iba a ser un martes, él me dijo que la fecha mencionada no era martes, sino sábado. Me acerqué a comprobar el calendario que estaba consultando, el que venía en su agenda, y al mirar el mes, el día y el año, comprobé que tenía razón, en su agenda la fecha indicada era sábado.

Observé con atención el calendario de su agenda y mi sorpresa fue en aumento. Octubre, por ejemplo, aparecía con 29 días, Noviembre con 31 días, y lo más genial de todo: Febrero aparecía con 30 días. Los meses estaban dislocados, las fechas no coincidían, eran absurdas. Aquel calendario estaba loco.

Después me he fijado con atención en la página de la agenda, y he comprobado que todo se debe a un error de imprenta. Propongo a los lectores a que descubran qué ha pasado en la página para que las fechas aparezcan tan mal.

Personalmente me sorprendió mucho que en un calendario pudiera haber este tipo de errores, y pensé en todos los acontecimientos de nuestra vida que dependen del calendario y en todas las consecuencias que se darían si nuestro calendario estuviera equivocado. Citas, días de trabajo y descanso, cumpleaños, aniversarios, plazos administrativos...

El Calendario (y 4): La Medida del Tiempo

Cuaderno de bitácora: mientras estoy en cubierta observando las estrellas, midiéndolas con el astrolabio y otros instrumentos científicos, haciendo cálculos de posiciones, velocidades y fechas, no hago más que pensar que esto de la medida del tiempo es una cosa más profunda de lo que habitualmente pensamos o creemos.

Como suele suceder con tanta frecuencia en la actualidad, la medida del tiempo se nos da ya hecha, calculada, masticada y digerida, con una apariencia perfecta, exacta, acompañada del trabajo de aparatos muy precisos, cronómetros y relojes de todas clases, mediciones hechas con los métodos más sofisticados, ópticos, rayos láser, relojes atómicos, observaciones astronómicas de satélites y potentes telescopios, etc.

La medida del tiempo ha sido desde la más remota antigüedad una preocupación de primer orden, como se ha descubierto en diversos monumentos de civilizaciones perdidas: las pirámides de Egipto, Stonehenge, Newgrange, los calendarios babilónicos, aztecas y mayas... El cálculo de la duración de los ciclos de la luna, del sol, de las estrellas, de los planetas, ha impulsado las matemáticas de una forma poderosa, y viceversa: también el desarrollo de las matemáticas ha permitido hacer cálculos y seguimientos cada vez más precisos.

El calendario, dividido en días, meses, años, siglos y milenios, es algo totalmente relativo al mundo en que nos encontramos, a la cultura a la que pertenecemos y a la historia de nuestras civilizaciones. En realidad, si viajáramos fuera de la Tierra y nos estableciéramos en otros planetas, los días, meses, años, tal y como los conocemos dejarían de tener sentido real.

Un día coincide con el tiempo que tarda el sol en dar una vuelta completa a la Tierra. Un mes es aproximadamente el tiempo que la Luna emplea en completar su ciclo de luna llena, cuarto menguante, luna nueva, cuarto creciente y luna llena otra vez, y cada semana coincide con una parte de este ciclo. Un año es el tiempo que tarda la Tierra en dar una vuelta alrededor del Sol.

Nosotros estamos muy tranquilos, con nuestros relojes, almanaques y calendarios, y todo el sistema y el consenso social difundido a través de los medios de comunicación. Parecemos tener una medida perfecta del tiempo, el tiempo está controlado bajo nuestras manos, es como una maquinaria ideal de relojería con la que soñamos y con la que deberían estar fabricados los relojes más perfectos.

Pero el tiempo es relativo. Lo es a nivel psicológico, en el que las personas perciben el ritmo temporal de forma diferente, de acuerdo a sus circunstancias, su edad, su estado psíquico, etc. No corre el tiempo de la misma manera para un niño que para un anciano; todo el mundo sabe que en la infancia el tiempo se nos antoja muy lento, y que conforme vamos creciendo el tiempo parece correr cada vez más rápido. Una persona que está pasando por momentos difíciles, por sufrimientos, ve pasar el tiempo de forma lenta y exasperante, mientras que otra que está tranquila, feliz, entretenida, no se da ni cuenta de lo rápido que transcurre, hasta que se ha ido. Pero eso sí, lenta o rápidamente, el tiempo pasa y, con él, todo pasa.

Einstein nos demostró que el tiempo también es relativo físicamente hablando: si dos astronautas se desplazan a velocidades distintas, y uno de ellos se acerca a la velocidad de la luz, el tiempo para él transcurre más lentamente que para el otro.

J. Richard Gott, en su libro Los Viajes en el Tiempo nos explica que para la física actual no es posible viajar al pasado, pero sí al futuro. Basta montarse en una nave espacial, alejarse de la Tierra a una velocidad muy cercana a la de la luz, trasladarse en ella durante varios años, y luego dar la vuelta y regresar a la Tierra. El tiempo habrá pasado más deprisa para los habitantes de nuestro planeta que para los viajeros espaciales.

Si, por ejemplo, la nave alcanza el 99’995% de la velocidad de la luz, (teniendo en cuenta que la velocidad de la luz es de unos 299.792 kilómetros por segundo, esto equivale a ir a 299.777 kilómetros por segundo) y recorre un trayecto de ida y vuelta a una estrella que se encuentre a 500 años luz de la Tierra, en nuestro planeta habrán pasado mil años, mientras que para los tripulantes de la nave tan sólo habrán pasado diez años. Para ellos, por tanto, será como si hicieran un viaje de mil años hacia el futuro.

Por último, ¿quién nos garantiza que el tiempo transcurra siempre de la misma forma? ¿Acaso sabemos algo sobre el tiempo? Si el espacio, como afirma Einstein, no es tan homogéneo como suponemos, se curva y se retuerce en presencia de objetos de mucha masa, y admite matemáticamente dimensiones superiores a las tres dimensiones a las que estamos acostumbrados, ¿no puede suceder lo mismo con el tiempo?

Navegando por los matemares me imagino a veces entrando en regiones desconocidas, lugares donde es posible alterar las condiciones habituales en las que vivimos, Triángulos de las Bermudas en los que la realidad se desajusta y desfasa, y pienso qué matemáticas, qué leyes, qué conocimiento puede haber detrás de ello que todavía se nos escapa…

PD: Es curioso que en las series televisivas de la saga Star Trek se emplea la llamada fecha estelar. Cada episodio comienza habitualmente con una entrada en el cuaderno de bitácora o diario personal del capitán, marcada con la fecha estelar, por ejemplo 50893.5. Esta fecha estelar parece ser usada en conjunto por todas las razas de la Federación Galáctica cuando están en viaje por el espacio, y se creó para no depender del calendario de la Tierra, que en el espacio exterior, lejos de nuestro planeta, deja de tener sentido, y además no coincide con los calendarios propios de cada raza de la Federación: vulcanianos, klingons, etc.

Para conocer la historia de la fecha estelar de Star Trek, se puede visitar esta página explicatoria (está en inglés).

El Calendario (3): Algo de Historia

Aunque en la entrada anterior del blog me hice un lío, a propósito, sobre si existió o no el año cero, por lo que he consultado con ciertos navegantes expertos en historia, el año cero no aparece en las cuentas de nuestro almanaque occidental. Hay acontecimientos fechados en el año 1 antes de Cristo y otros acontecimientos en el año 1 después de Cristo, pero no hay ninguna referencia a ningún suceso histórico en el año cero.

¿De dónde proviene nuestro almanaque actual?

Por un lado, nuestros meses se originaron en el mundo romano. En la antigua Roma, al principio, el año empezaba en el mes de marzo, dedicado al dios Marte como su nombre indica, y tenía solo diez meses. Los meses iban de marzo a diciembre. Julio era quintilis, agosto era sextilis, y luego venían septiembre, octubre, noviembre y diciembre. Los nombres de los meses están relacionados, como se puede apreciar todavía en español, con los números de orden que ocupan: quintilis-quinto, sextilis-sexto, septiembre-séptimo, octubre-octavo, noviembre-noveno y diciembre-décimo.

Si sólo había diez meses, eso quiere decir que el año no duraba 365 días, como ahora, sino 304 días. No es que la Tierra tardara menos tiempo en dar la vuelta al sol, sino que los antiguos romanos contaban los años de 304 días en 304 días, y como consecuencia las estaciones del año, primavera, verano, otoño e invierno no se daban siempre en el mismo mes. Si en un año la primavera entraba en marzo, al año siguiente (304 días más tarde), en marzo todavía era invierno, y hacía falta esperar dos meses, hasta mayo, para que llegara la primavera, y al siguiente año hacía falta esperar hasta julio-quintilis, y así sucesivamente.

En el antiguo mundo romano, el calendario corría más deprisa que el giro del planeta Tierra. Los meses coincidían aproximadamente con el ciclo de la Luna, pero los años no estaban sincronizados con las vueltas de la Tierra alrededor del Sol. Al no tener un basamento astronómico firme, el año era tan solo un convenio social, y por tanto estaba a expensas de ser trastocado y manejado por intereses sociales o políticos, trayendo, a menudo, desequilibrio y confusión a la vida diaria de los ciudadanos.

Julio César

Posteriormente se añadieron dos meses más, enero y febrero, pero no fue hasta el 46 a.C. que el calendario fue reformado por Julio César para que el año se acomodara con exactitud a la duración de las vueltas de la Tierra en torno al Sol, y los meses se fijaron tal como los conocemos hoy. Julio César se apoyó en los cálculos del astrónomo griego Sosígenes de Alejandría, y se puede suponer que éste heredó su conocimiento del pueblo egipcio.

En el antiguo Egipto siempre se utilizó un calendario solar, un calendario que llevaba la medida del tránsito del sol y las estaciones. Gracias a ello, se podía calcular con precisión las fechas en las que el Nilo se desbordaba y anegaba las tierras de cultivo, fertilizándolas y garantizando el éxito de las próximas cosechas.

Julio César introdujo también el año bisiesto, para coincidir mejor con la duración del ciclo terrestre, aunque este sistema no es perfecto, necesita una adaptación cada siglo y cada milenio. Por eso el Papa Gregorio XII en 1582 hizo una pequeña reforma, quitando varios días del almanaque para obtener un correcto ajuste, que se había ido perdiendo desde la época romana.

El mes de quintilis fue renombrado como julio, en honor de Julio César, que había nacido ese mes, y se le dio una duración de 31 días, y posteriormente se hizo lo mismo con el de sextilis, que recibió el nombre de agosto en memoria de Octavio Augusto, y también fue dotado con 31 días.

PD: una de las fuentes consultadas durante la elaboración de este artículo del blog, es la revista de enero de Historia-National Geographic.

El Calendario (2): El Año Cero

El año cero no existió. Ésta era mi opinión. Alguien me quiso explicar una vez que el año cero no había existido por no sé qué razón histórica de ajuste de calendarios. Yo no compartía ninguna razón histórica. El año cero no existió porque matemáticamente no debía existir, si queremos que el calendario y la medida del tiempo tengan un poco de sentido común.

Sin embargo, empiezo a reflexionar, y pienso que tampoco debo ser tan radical. En realidad, depende de cómo nos guste contar y medir el tiempo.

Tomemos, por ejemplo, un reloj digital. En la mayoría de los relojes se puede elegir la hora en formato de 24 horas o con la distinción a.m.-p.m. A mí, personalmente, me gusta más el formato 24 horas para los relojes. Cuando llega la medianoche, el reloj marca las 0:00, es decir, la hora cero. Luego va contando el tiempo durante todo el día hasta marcar las 23:59, y luego regresa a las 0:00.

Pero si ponemos el reloj en el formato a.m.-p.m. podemos observar que la cuenta es diferente. Al llegar la medianoche, no tenemos hora cero, sino que marca las 12:00 a.m. Luego sigue contando las 12:01 a.m., las 12:02 a.m., así hasta las 12:59 a.m., y luego pasa a las 1:00 a.m., etc. Cuando llega al mediodía marca las 11:59 a.m., y luego pasa a las 12:00 p.m., luego las 12:01 p.m., etc., hasta llegar a las 11:59 p.m. en la medianoche y luego otra vez 12:00 a.m. y vuelta a empezar. Las horas están agrupadas en dos conjuntos, doce horas a.m., es decir, ante meridiem o antes del mediodía, y otras doce p.m., post meridiem, después del mediodía.

Los relojes, por tanto, nos dan a elegir dos maneras de contar el tiempo. En la primera, las 24 horas se cuentan de corrido, empezando en las 0 horas y terminando en las 23 horas. En la segunda manera, las 24 horas se cuentan en dos grupos, pero en ninguno de ellos hay hora cero. Se cuentan del 1 al 12.

Si en los relojes las horas se pueden contar de dos maneras distintas, una con hora cero y la otra sin hora cero, ¿por qué no se pueden contar los años de dos maneras distintas?

Bien, aunque la respuesta parece obvia, no lo es tanto, porque los relojes cuentan las horas cíclicamente, lo que quiere decir que si hay hora cero, cuando lleguemos a la 23 cerramos la cuenta y comenzamos de nuevo con el cero, pero si no hubiera hora cero, empezamos en el 1, llegamos al 24, cerramos la cuenta y empezamos de nuevo con el 1. No hay problema, el 24 y el 0 harían el mismo papel. Pero la cuenta de los años no es cíclica, parece más bien lineal, con años después de Cristo y años antes de Cristo, o dicho para matenavegantes: años positivos y años negativos.

Los matenavegantes estamos acostumbrados a viajar por la recta real, o recta de los números reales, una escala en la que aparecen todos los números, tanto negativos, positivos y decimales. En esa recta, los números son puntos, no tienen dimensión, no son como los intervalos. Si pensamos en el tiempo como una línea, los puntos serían momentos en el tiempo, sucesos, diferentes de los intervalos de tiempo.

Cuando me imagino un año, ¿debe ser un punto o un intervalo? Yo siempre lo consideré como un intervalo, lleno de momentos y sucesos puntuales. El año tiene una extensión, y por tanto no debe ser un punto. El cero de la recta real no es un intervalo, sino un punto, y debe corresponder con un momento en el tiempo, el momento en que comenzó el calendario.

Si empezamos a contar el calendario y estamos en el primer año, ¿no debería ser llamado año 1? Cuando un niño nace, durante sus primeros doce meses, ¿no está en el primer año de vida, o año 1? Cuando pasan los doce meses, y cumple 1 año, ¿no entra en su segundo año de vida?

Pero luego pienso en un reloj que comenzara a contar el tiempo desde un momento inicial. El 1 de Enero a las 12:22 marcaría: "años:0, días:0, horas:12, minutos:22". Durante todo ese año, y hasta que no entrara el siguiente, el marcador de años sería cero, por tanto podríamos llamarlo año cero.

Y si es así, ¿por qué no hay un 0 de Enero, un 0 de Febrero, etc.? Todos los meses empiezan con el 1...

No nos metamos en un nuevo laberinto y volvamos al tema de los milenios. Si llamamos al primer año, año cero, entonces el primer milenio comprendería los años 0 al 999, el segundo los años 1000 al 1999, el tercer milenio los años 2000 al 2999, etc.

Según la humanidad, el cambio de milenio se produjo al pasar del 1999 al 2000. Conclusión: el año cero sí existió.

PD: para ver la ingente cantidad de calendarios que existen o han existido, se puede consultar la página de la Wikipedia.

El Calendario (1): La Entrada de los Milenios

Con la llegada del año nuevo me gustaría comentar algunas inquietudes que tengo sobre el calendario.

Durante estas fiestas recordé, por ejemplo, cómo hace siete años entramos en el 2000. Era la llegada del nuevo milenio, y todo el mundo lo celebró de esa manera. Comenzábamos el siglo XXI, el tercer milenio, una fecha muy importante. Curiosamente, se temió que los chips de los ordenadores antiguos, no preparados para los cambios de siglos, dieran un problema general en todo el mundo y, como consecuencia, el planeta cayera en un caos informático que paralizara la mayoría de las máquinas y aparatos existentes, pero no fue así.

Con catástrofe o sin ella, los números son los números, y recuerdo que en aquella época insistí en explicar a algunas personas que quisieron escucharme, que el nuevo siglo y el nuevo milenio no entraban en el 2000, sino en el 2001. Todo fue inútil. Casi nadie entendía algo que para mí era muy sencillo y hasta natural. Sin embargo, al final empecé a dudar, y llegué a pensar que todo, en realidad, dependía, como decimos los matenavegantes, de la definición, y en este caso, de la definición de año, de siglo y de milenio.

Sin embargo, voy a aprovechar para intentar aclarar mi punto de vista, que supongo que comparten muchas personas en el mundo. Empecemos poniendo un ejemplo con una docena de huevos.

Supongamos que tenemos un cesto lleno de huevos y los vamos tomando y agrupando por docenas. Cogemos los huevos de uno en uno y los colocamos en un envase para doce. Este envase contendrá el primer huevo, o huevo 1, el segundo, huevo 2, así hasta el décimo segundo huevo, o huevo 12.

Ya tenemos lleno el primer envase. Empezamos a llenar el segundo envase. ¿Qué huevo viene el primero? El huevo 13, luego el 14 y así hasta el 24 inclusive. El tercer envase empezará con el huevo 25, luego el 26, hasta el huevo 36, etc.

Ahora con los años. Tenemos los años en una cesta, y los agrupamos por siglos. Primero tomamos un año, el año 1, luego el año 2, y así hasta el año 100. Con esto completamos los 100 primeros años, el primer siglo. Para el segundo siglo, empezamos con el año 101, luego el 102, y así hasta el 200. El tercer siglo comenzaría con el año 201 y terminaría en el 300, etc.

Con los milenios debe pasar igual. Primer milenio: desde el año 1, hasta el año 1000. Segundo milenio: desde el año 1001, hasta el 2000. Tercer milenio: desde el año 2001 hasta el 3000, etc. Luego, según esta cuenta, el año 2000 pertenece al segundo milenio, y el tercer milenio empieza con el año 2001. Conclusión: según esta forma de contar, EL CAMBIO DE MILENIO NO SE DIO EN EL PASO DEL 1999 AL 2000, SINO DEL 2000 AL 2001.

Sin embargo, en la mente de todo el mundo había el siguiente concepto: los años que empiezan por 1 son del segundo milenio: del 1000 hasta el 1999. Los años que empiezan por 2 son del tercer milenio: del 2000 al 2999. ¿Qué está ocurriendo aquí? Simplemente que la definición de milenio es distinta de la anterior. ¿No es lo mismo entonces contar milenios de años que contar docenas de huevos? Que yo sepa, la humanidad no se ha puesto de acuerdo en qué definición tomar, simplemente se admitió, de facto, que el nuevo milenio entraba en el 2000, que el año 1999 y el año 2000 pertenecían a milenios diferentes.

Y el año cero, ¿existió o no existió? Depende de la definición que se escoja. Pero esto será un tema para una próxima entrada del blog. También seguiré investigando sobre los milenios y nuestro calendario occidental.

Anexo: Buscando imágenes de calendarios, he encontrado una dirección muy interesante. Desde ella se puede descargar un calendario en forma de dodecaedro, con un mes en cada cara; Viene en formato pdf, ha de imprimirse en una hoja A4 y luego recortarlo y pegarlo. Se puede descargar en cualquier idioma, incluido el español.

Primer Día en el Barco Escuela

Empieza el nuevo curso y ya estamos de nuevo en nuestro Barco Escuela, dando lecciones a los grumetes.

El primer problema que les planteé para que lo resolvieran estaba inspirado en uno de mis países favoritos: el País de los Mayas, en la península del Yucatán:

Los Mayas tenían un calendario diferente al nuestro. Cada 20 días era un mes, 18 meses era un año, 20 años era un siglo, 20 siglos era un milenio, 13 milenios era lo que se llamaba un Ciclo Largo Maya. 

¿Cuántos días en total dura un Ciclo Largo? 

Busca la duración exacta del año terrestre y calcula a cuantos años equivale un Ciclo Largo. 

Si el Ciclo Largo comenzó el 13 de Agosto de 3113 a. de C., ¿Cuándo terminará? 

Hasta aquí el problema. En realidad a cada periodo le di nombres similares a los que usamos nosotros, pero tienen sus nombres mayas:

La unidad del Calendario era el día o kin; 20 kines hacían un uinal o mes, 18 uinales hacen un tun (año), 20 tunes un katun (20 años mayas o 7200 días), y 20 katunes un baktun (400 años mayas o 144.000 días).

Con esto tenemos que el Ciclo Largo Maya estaba formado por 13 baktunes, es decir, 5200 años mayas de 360 días cada uno.

Las respuestas al problema son:

Multiplicando 20 · 18 · 20 · 20 · 13 = 1.872.000 días es un Ciclo Largo. 

Buscamos por ejemplo en la Enciclopedia Encarta la duración exacta del año y encontramos: 365,2422454 días. 

Dividimos 1.872.000 entre 365,2422454 y nos da 5125,3654898 años, es decir 5125 años y una fracción. 

Si esa fracción, 0,3654898 la multiplicamos por 365,2422454 para convertirlo a días, nos da 133,49. Luego redondeando, un Ciclo Largo Maya son 5125 años y 133 días. 

Ahora nos falta sumar esta cantidad al 13 de Agosto de 3113 a. de C. 

Teniendo en cuenta que es un año anterior a Cristo, hay que hacer la operación -3113 + 5125 = 2012. Luego hay que sumar al 13 de Agosto 133 días, teniendo en cuenta que el mismo 13 de Agosto ya cuenta como el primer día, y obtenemos el 23 de Diciembre. 

El Ciclo Largo Maya finaliza, por lo tanto el 23 de Diciembre de 2012.

Los mayas desarrollaron un sistema numérico muy avanzado. Conocían el número cero, y colocaban los números en una notación posicional parecida a la que tenemos hoy en día, lo cual les permitía hacer cálculos con muchas cifras. Gracias a ello supieron medir la duración del año terrestre con una exactitud que no se ha igualado hasta el siglo XX, y realizaron todo tipo de mediciones astronómicas.

Arriba podemos ver una ilustración con los símbolos que usaban los mayas para los números desde el cero hasta el 19. El símbolo del cero representa la concha o caparazón de un pequeño caracol marino, y hay diversas variantes en su dibujo. El sistema de numeración tenía base 20, luego para el número 20, en lugar de poner cuatro rayas horizontales, se dibujaba un punto en una posición más elevada y el cero debajo. Incluimos otra ilustración con más ejemplos: