[El Problema de la Semana] Más Triángulos de un Solo Trazo

Continuando con el trazado de grafos sin levantar el lápiz del papel, proponemos al lector el siguiente:

¿Sería capaz el lector de dibujar de un solo trazo el siguiente grafo lleno de triángulos?

Más abajo encontrará la solución.

Esta fotografía está tomada en el Centro de Conferencias KAFD en Riyadh, Arabia Saudita. El autor del diseño es Daniel Buren, un artista conceptual francés. La imagen está sacada de este sitio.

SOLUCIÓN:

El recorrido se puede hacer de muchas formas. A continuación exponemos una de las posibles soluciones, la cual me fue sugerida por un grumete del Barco Escuela:

A-E-F-J-K-N-O-Q-R-O-K-F-A-B-F-G-K-L-O-P-L-G-B-C-G-H-L-M-H-C-D-H-I-D

También exponemos otra solución, con un recorrido un poco más complejo:

A-E-F-G-H-I-D-H-L-O-Q-R-O-K-F-A-B-C-G-K-N-O-P-L-G-B-F-J-K-L-M-H-C-D

 

AMPLIACIÓN:

Como se ha explicado en el problema de la semana anterior, Triángulos de un Solo Trazo, Euler demostró que un grafo era resoluble mediante un solo trazo siempre que el número de vértices impares fuera cero o dos, pero no es resoluble si el número de vértices impares es cuatro o más.

En nuestro ejemplo de hoy tenemos que todos los vértices son pares, salvo el A y el D. Luego este grafo es resoluble, siempre que tomemos A y D como puntos de inicio y final.

Nota: este problema está inspirado en uno de los capítulos del libro Mathematics and the Imagination, de Edward Kasner y James Newman.

[El Problema de la Semana] Triángulos de un Solo Trazo

Presentamos hoy uno de los típicos problemas o pasatiempos en los que hay que conseguir trazar una figura de un solo trazo, es decir, en una sola línea, sin levantar el lápiz del papel y sin pasar dos veces por un mismo camino ya dibujado:

¿Es usted capaz de dibujar, de un solo trazo, la siguiente figura triangulada?

La solución, unos cuantos triángulos más abajo.

 

Buscando triángulos hemos encontrado esta caja de porciones de queso. Anuncia que lleva dentro "16 cheese triangles", (16 triángulos de queso), aunque estrictamente hablando, las porciones no son triangulares, porque uno de sus lados es curvo. Pero claro, anunciar que dentro de la caja hay "16 cheese circular sectors", (16 sectores circulares de queso), sería no solo confuso, sino matemáticamente pedante.

SOLUCIÓN:

En este grafo en particular podemos empezar a trazar por cualquiera de los puntos, y si hacemos el recorrido de forma inteligente lograremos nuestro objetivo.

Así, por ejemplo, podemos empezar por el vértice A, y luego hacer el siguiente recorrido:

A - C - D - B - G - I - J - H - E - C - F - I - H - F - D - G - F - E - A

Pasando en este orden por los diferentes vértices habremos resuelto el problema. Hay muchas otras soluciones que el lector puede ir probando.

AMPLIACIÓN:

Históricamente, el problema de dibujar grafos pasando por todas las aristas sin levantar el lápiz del papel tiene su origen en el Problema de los Puentes de Königsberg. Este problema fue resuelto por Leonhard Euler, y dio origen a una nueva rama de las matemáticas, la Topología, también llamada originalmente Analisis Situs.

La solución de Euler es muy sencilla de entender y se basa en clasificar los vértices del grafo en vértices pares o impares, según el número de aristas que convergen en cada vértice:

-Si un grafo solo tiene vértices pares, entonces se puede dibujar de un solo trazo, empezando por cualquier vértice.

-Si un grafo tiene dos vértices impares y el resto son pares, también se puede dibujar, pero esta vez hay que empezar el trazo en uno de los vértices impares, mientras que el otro vértice impar será el punto en el que finaliza el trazo.

-Si un grafo tiene cuatro o más vértices impares, entonces no se puede dibujar de un solo trazo.

En el grafo que hemos puesto en el problema de hoy, podemos ver que todos los vértices son pares: en A, B y J convergen 2 aristas, en C, D, E, G, H e I convergen 4 aristas, y en F convergen 6. Por tanto, se puede dibujar de un solo trazo, empezando por cualquier punto.

Nota: este problema está inspirado en un capítulo del libro Mathematics and the Imagination, de Edward Kasner y James Newman.

La Topología y los Hermanos Marx

Cuaderno de bitácora: hace varias semanas tuve la oportunidad de ver la película de los Hermanos Marx, Una Noche en Casablanca. No era la primera vez que la veía, pero en esta ocasión me fijé en una escena concreta que me llamó poderosamente la atención.

Heinrich Stubel (interpretado por Sig Ruman) es un nazi oculto en un hotel de Casablanca, que tiene un criado llamado Rusty (interpretado por Harpo Marx). En la escena que aparece en el minuto 7 de la película, Stubel se encuentra en su habitación con otros dos compinches, haciendo planes, mientras Rusty le ayuda a vestirse. Como Stubel está distraído, Rusty aprovecha para vestirle de forma ridícula, y le coloca el chaleco del revés. Cuando Stubel se da cuenta, se enfada con Rusty y le ordena que se lo ponga del derecho. Rusty entonces le levanta los brazos, le junta las manos, y sin que Stubel separe las manos, le da la vuelta al chaleco y se lo pone bien.

Fotograma de la película con la escena topológica.

Me resultó curioso que se le pueda dar la vuelta a un chaleco cuando uno tiene las manos unidas. Lo propuse en el Barco Escuela y lo experimenté con los grumetes, y efectivamente, se puede. En la película, el chaleco de Stubel está abierto, y pensé que si el chaleco estaba cerrado, entonces sería diferente. También probé esta opción, y descubrí que también se le puede dar la vuelta cuando el chaleco está abrochado.

Todo este asunto del chaleco y los brazos con las manos unidas me recuerda una rama de las Matemáticas llamada Topología. Es una rama bastante reciente, en la que se estudian por ejemplo los grafos y los nudos.

Dentro de la Topología se puede considerar al cuerpo de la persona como un conjunto en el espacio, con una forma topológicamente toroidal (es decir, que el cuerpo con los brazos unidos por las manos parece un ciclo con un hueco en medio, lo mismo que un donut), y el chaleco como una superficie con dos caras, agujereada dos veces para que pasen los brazos. Respecto a un punto de referencia del cuerpo (la cabeza, por ejemplo), la superficie del chaleco puede cambiarse de orientación mediante una transformación continua (como la que hace Harpo en la película).

Resumiendo, hemos encontrado el siguiente teorema, al que podemos llamar Teorema del Chaleco de Harpo: dada una persona vestida con un chaleco y con las manos unidas, entonces es posible darle la vuelta al chaleco sin que la persona separe las manos, e independientemente de si el chaleco está abrochado o desabrochado. Demostración: experiméntese en la vida real.

Era difícil imaginar que en una película de los Hermanos Marx se pudiera encontrar inspiración para una rama de las matemáticas tan abstracta y especializada como la Topología. Pero se puede.