Otra leyenda sobre el tablero de ajedrez

Cuaderno de bitácora: he estado leyendo recientemente el libro Tradiciones y Leyendas Sevillanas, de José María de Mena, publicado por Plaza y Janés en los años 80 del siglo pasado, y me he encontrado con una versión alternativa de la leyenda sobre el tablero de ajedrez. Esta versión se centra en el siglo XI, y los protagonistas son el moro Abenamar, poeta, visir y amigo del rey Almotamid, y el rey castellano Alfonso VI.

Figura 1

Transcribimos a continuación la leyenda, tal y como la narra José María de Mena:

De cómo Abenamar salvó a Sevilla

El poderoso rey Alfonso VI de Castilla, en su juventud, siendo príncipe, perseguido por su hermano usurpador del reino, hubo de refugiarse en la corte árabe de Toledo, en la que dedicado a forzosa ociosidad, se entretuvo en aprender el noble juego del ajedrez.

Muerto el usurpador, y exaltado al trono don Alfonso tras la jura de Santa Gadea, en Burgos, se propuso ensanchar el reino castellano, a cuyo efecto conquistó Toledo, y cruzando después la línea del Tajo hizo incursiones en dirección a Andalucía, sembrando el temor entre los reyes de taifas andaluces.

Almotamid, rey de Sevilla, al saber que Alfonso VI se acercaba, tuvo la idea de enviarle, no un ejército, sino solamente una embajada que habría de pactar con el castellano.

Designó Almotamid para realizar tan difícil misión, a su amigo el poeta Abenamar, que ocupaba el cargo de visir, quien con acompañamiento de un lucido séquito llevando valiosos presentes, salió de Sevilla y encontró junto a Sierra Morena al rey Don Alfonso.

Plantó Abenamar una lujosa tienda de campaña, de rica seda, y convidó al rey de Castilla a que viniera, para ofrecerle un agasajo.

Durante la comida, condimentada con especias y perfumes, según la usanza mora, Abenamar se esforzó en sonsacar a Don Alfonso sus gustos e inclinaciones para saber cómo podría mejor captarse su voluntad. Y habiéndose enterado de que al rey le agradaba mucho el ajedrez, le dijo:

—Si os place, de sobremesa podríamos jugar una partida. Precisamente traigo un lindo tablero de nácar y ébano, y figurillas labradas en marfil, que no las hay mejores en España.

Mucho agradó a Don Alfonso la proposición, pues se tenía por gran jugador, y para demostrarlo, propuso:

—Habremos de jugar apostando algún dinero, pues no es razón que juguemos como las mujeres o los chiquillos.

—Muy puesta en razón es vuestra sugerencia; sin embargo me temo que yo, simple embajador, no tendré dineros para apostarlos en cantidad suficiente para jugar nada menos que contra un rey. Sin embargo os propongo una apuesta más sencilla. Si os gano me daréis dos granos de trigo por el primer cuadro del tablero, cuatro granos por el segundo, dieciséis por el tercero, y así multiplicando el número por sí mismo a cada escaque. Si yo pierdo os daré igual.

Hízole gracia a Don Alfonso la forma de jugar, y más cuando Abenamar le indicó que tenía un pequeño terreno, y que con el trigo que pensaba ganarle podría sembrar su parcela cuando llegase el otoño.

Sin embargo Abenamar estaba preparándole un ingenioso ardid a Don Alfonso VI con el propósito de salvar a Sevilla.

Jugaron, pues, la partida, y perdió Don Alfonso. Sonriendo, dijo:

—Bien, Abenamar, me habéis ganado. Os pagaré lo que apostamos. En cuanto llegue a Castilla daré orden de que os envíen unos cuantos sacos de trigo, y podréis sembrar vuestro campito con buen trigo castellano.

—¿Cómo unos cuantos sacos? Bromeáis, señor. Hagamos la cuenta, pues no quiero recibir ni un solo grano de más, pero tampoco de menos.

Alfonso, de buena gana, y todavía riendo, tomó papel y pluma y empezó a hacer la cuenta. Dos granos por el primer escaque del tablero, cuatro por el segundo, dieciséis por el tercero.

Pero a medida que iban siendo más escaques, la cifra, siempre multiplicada por sí misma, iba alcanzando unas cantidades que escapaban a todo lo imaginable. La progresión era tal, que cuando llegaban a menos de la mitad del tablero, ya no había posibilidad de operar, y para completar el tablero no habría trigo en todos los graneros de Castilla, al que cada año pagaba un impuesto o parias, a cambio había empeñado su palabra de rey, y le era imposible el cumplirla.

En tal situación, abatido y confuso el rey castellano, Abenamar le propuso:

—Señor, pues que la pérdida es tan grande y no podéis pagarla, yo me daría por satisfecho de condonaros la deuda a cambio de que retiraseis vuestro ejército fuera de las fronteras de mi señor el rey Almotamid de Sevilla. Y si queréis hacer guerras, dirigir más bien vuestros afanes hacia Badajoz, o hacia Murcia o Granada, cuyos reyes no son vasallos del de Sevilla.

No satisfizo mucho al castellano la solución, pero como no podía tomar otra, hubo de aceptarla, y así, despidiéndose de Abenamar, ordenó la retirada de su ejército hasta la línea fronteriza, tal como el poeta le había pedido.

Así fue cómo gracias a su ingenio, a su habilidad en el juego del ajedrez, y a su conocimiento de las matemáticas, pudo Abenamar salvar a Sevilla.

En un artículo del Diario ABC, se recoge la misma historia, y se sitúa la leyenda en el año 1078.

Figura 2

 
Además del exquisito ambiente romántico y caballeresco que tiene esta leyenda, nos ha llamado mucho la atención su contenido matemático, que vamos a estudiar a continuación.

En el relato hemos resaltado en negrita la propuesta de Abenamar, que volvemos a reproducir aquí: "Si os gano me daréis dos granos de trigo por el primer cuadro del tablero, cuatro granos por el segundo, dieciséis por el tercero, y así multiplicando el número por sí mismo a cada escaque". Se trata de una sucesión de números en la que cada término se obtiene multiplicando por sí mismo el anterior:

En el primer escaque: 2
En el segundo escaque: 2 · 2 = 4
En el tercer escaque: 4 · 4 = 16

Si continuamos la sucesión iremos obteniendo:

En el cuarto escaque: 16 · 16 = 256
En el quinto escaque: 256 · 256 = 65536
En el sexto escaque: 65536 · 65536 = 4294967296
En el séptimo escaque: 4294967296 · 4294967296 = 18446744073709551616, etc.

Si conocemos la leyenda del inventor del ajedrez, que se puede leer en una entrada de este blog, nos daremos cuenta rápidamente que aunque las leyendas son parecidas, las sucesiones de granos sobre los escaques del tablero son muy diferentes.

En la leyenda del inventor del ajedrez, la sucesión de granos era:
1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, ...

En nuestra leyenda de hoy entre Abenamar y Alfonso VI, la sucesión de granos sobre los escaques es:
2, 4, 16, 256, 65536, 4294967296, 18446744073709551616, ...

Una cosa que salta a la vista comparando ambas sucesiones es que en la sucesión de Abenamar aparecen de forma inmediata números ENORMES. En efecto, la primera sucesión crece de forma mucho más suave y lenta que la segunda, y esta última tiene un crecimiento brutalmente acelerado.

De hecho, podemos comprobar que esta segunda sucesión está formada por las potencias de 2 con exponente igual a los términos de la primera sucesión:

2¹ = 2
2² = 4
2⁴ =16
2⁸ = 256
2¹⁶ = 65536
2³² = 4294967296
2⁶⁴ = 18446744073709551616, etc.

Si seguimos avanzando en los escaques, podemos comprobar que en el último escaque el número de granos de trigo sería:

2^{9223372036854775808} = ?

¿Cuánto puede ser esta cantidad? No es un trabajo fácil hacerse una idea de este número. Si por ejemplo tratamos de calcularlo con la calculadora científica que aparece en la página Web2.0calc, la respuesta que nos sale es directamente "infinity".

Con la ayuda de los logaritmos, podemos hacer una aproximación en potencias de 10 o notación científica:

2^{9223372036854775808} ≈ 1.38 · 10^{2776511644261678566}   (*)

Como se puede ver, se trata de una cifra del orden de un 1 seguido de más de dos trillones de ceros. Este número es grande, pero ¿cuánto de grande? Recordemos que un gúgol es 10 elevado a 100, es decir, un 1 seguido de 100 ceros. Un gúgol es un número enorme; los astrofísicos han calculado que el número de partículas subatómicas que existen en nuestro universo visible no va mucho más allá de 10 elevado a 80. Pero el número que hay en la última casilla del tablero de Abenamar es MUCHO, pero MUCHÍSIMO más grande, es 10 elevado a 2.7 trillones.

Si queremos verlo desde otro punto de vista, regresemos a los primeros escaques del tablero. En el séptimo escaque, el número de granos se dispara a los 18 trillones (que es casi exactamente el número de granos TOTALES que cabían en el tablero completo de ajedrez de la primera leyenda). Si calculamos el octavo, el noveno y el décimo escaque:

2¹²⁸ ≈ 3.4 · 10³⁸
2²⁵⁶ ≈ 1.15 · 10⁷⁷
2⁵¹² ≈ 1.34 · 10¹⁵⁴

Es decir, en el décimo escaque habría que poner una cantidad en granos de trigo superior a un 1 seguido de 154 ceros. Si cada partícula del universo visible se transformara en grano de trigo, no habría suficiente trigo en todo el universo para llenar el décimo escaque. Y todavía faltarían por rellenar el undécimo escaque, el duodécimo, etc., hasta el número 64.

Y eso no es todo. Además habría que sumar todos los granos de los 64 escaques. Sin embargo, en este caso no tiene demasiada importancia. Cuando el número de granos crece, hay tanta diferencia entre un escaque y el siguiente que la suma total de granos es muy poco mayor que la cantidad de granos que hay en el último escaque, el número que hay en (*).

Para terminar quisiéramos hacer un último comentario: por lo que se cuenta en la leyenda, creemos que el narrador no tiene una idea ni siquiera aproximada de las cifras que aparecen en la sucesión de Abenamar. En la leyenda se dice literalmente que "... A medida que iban siendo más escaques, la cifra, siempre multiplicada por sí misma, iba alcanzando unas cantidades que escapaban a todo lo imaginable. La progresión era tal, que cuando llegaban a menos de la mitad del tablero, ya no había posibilidad de operar..."

Si tenemos en cuenta que en aquella época había que hacer las cuentas a mano, y que en Europa todavía se seguían utilizando los números romanos, es muy improbable que el rey Alfonso VI pasara de la séptima casilla, que ya alcanza los cuatro mil millones, y que ya implica una multiplicación de dos números de cinco cifras. Intentar calcular la octava casilla es ya una tarea muy larga y complicada a mano, incluso con nuestro sistema decimal, y las demás casillas se tornan prácticamente imposibles. No sólo no podemos llegar a la mitad del tablero (32 casillas), sino que nos quedamos muy lejos de dicha mitad, como mucho sólo es calculable a mano la primera de las filas.

[Créditos de las imágenes: la Figura 1 es un retoque de una imagen tomada de la página web Mercado Libre Argentina, y la Figura 2 ha sido tomada del artículo periodístico publicado en ABC.]

Leyenda sobre el tablero de ajedrez

Entre todas las versiones que he leído sobre la invención del ajedrez, la que voy a transcribir a continuación es la que más me ha gustado, pues su ambientación logra trasladarme al encantado mundo de las mil y una noches.

Esta versión aparece en el libro Matemáticas recreativas de Yakob Perelman [traducción de F. Blanco y C. Pérez, Ediciones Martínez Roca].

El juego del ajedrez fue inventado en la India. Cuando el rey hindú Sheram lo conoció, quedó maravillado de lo ingenioso que era y de la variedad de posiciones que en él son posibles. Al enterarse de que el inventor era uno de sus súbditos, el rey lo mandó llamar con objeto de recompensarle personalmente por su acertado invento.

Figura 1

El inventor, llamado Seta, se presentó ante el soberano. Era un sabio vestido con modestia, que vivía gracias a los medios que le proporcionaban sus discípulos.

-Seta, quiero recompensarte dignamente por el ingenioso juego que has inventado -dijo el rey.

El sabio contestó con una inclinación.

-Soy bastante rico como para poder cumplir tu deseo más elevado -continuó diciendo el rey-. Di la recompensa que te satisfaga y la recibirás.

Seta continuó callado.

-No seas tímido -le animó el rey-. Expresa tu deseo. No escatimaré nada para satisfacerlo.

-Grande es tu magnanimidad, soberano. Pero concédeme un corto plazo para meditar la respuesta. Mañana, tras maduras reflexiones, te comunicaré mi petición.

Cuando al día siguiente Seta se presentó de nuevo ante el trono, dejó maravillado al rey con su petición, sin precedente por su modestia.

-Soberano -dijo Seta-, manda que me entreguen un grano de trigo por la primera casilla del tablero de ajedrez.

-¿Un simple grano de trigo? -contestó admirado el rey.

-Sí, soberano. Por la segunda casilla, ordena que me den dos granos; por la tercera, 4; por la cuarta, 8; por la quinta, 16; por la sexta, 32... 

Figura 2

-Basta -le interrumpió irritado el rey-. Recibirás el trigo correspondiente a las 64 casillas del tablero de acuerdo con tu deseo: por cada casilla doble cantidad que por la precedente. Pero has de saber que tu petición es indigna de mi generosidad. Al pedirme tan mísera recompensa, menosprecias, irreverente, mi benevolencia. En verdad que, como sabio que eres, deberías haber dado mayor prueba de respeto ante la bondad de tu soberano. Retírate. Mis servidores te sacarán un saco con el trigo que solicitas.

Seta sonrió, abandonó la sala y quedó esperando a la puerta del palacio.

Durante la comida, el rey se acordó del inventor del ajedrez y envió a que se enteraran de si habían ya entregado al irreflexivo Seta su mezquina recompensa.

-Soberano, están cumpliendo tu orden -fue la respuesta-. Los matemáticos de la corte calculan el número de granos que le corresponden.

El rey frunció el ceño. No estaba acostumbrado a que tardaran tanto en cumplir sus órdenes.

Por la noche, al retirarse a descansar, el rey preguntó de nuevo cuánto tiempo hacía que Seta había abandonado el palacio con su saco de trigo.

-Soberano -le contestaron-, tus matemáticos trabajan sin descanso y esperan terminar los cálculos al amanecer.

-¿Por qué va tan despacio este asunto? -gritó iracundo el rey-. Que mañana, antes de que me despierte, hayan entregado a Seta hasta el último grano de trigo. No acostumbro a dar dos veces la misma orden.

Por la mañana comunicaron al rey que el matemático mayor de la corte solicitaba audiencia para presentarle un informe muy importante.

El rey mandó que le hicieran entrar.

-Antes de comenzar tu informe -le dijo Sheram-, quiero saber si se ha entregado por fin a Seta la mísera recompensa que ha solicitado.

-Precisamente por eso me he atrevido a presentarme tan temprano -contestó el anciano-. Hemos calculado escrupulosamente la cantidad total de granos que desea recibir Seta. Resulta una cifra tan enorme...

-Sea cual fuere su magnitud -le interrumpió con altivez el rey- mis graneros no empobrecerán. He prometido darle esa recompensa, y por lo tanto, hay que entregársela.

-Soberano, no depende de tu voluntad el cumplir semejante deseo. En todos tus graneros no existe la cantidad de trigo que exige Seta. Tampoco existe en los graneros de todo el reino. Hasta los graneros del mundo entero son insuficientes. Si deseas entregar sin falta la recompensa prometida, ordena que todos los reinos de la Tierra se conviertan en labrantíos, manda desecar los mares y océanos, ordena fundir el hielo y la nieve que cubren los lejanos desiertos del Norte. Que todo el espacio sea totalmente sembrado de trigo, y ordena que toda la cosecha obtenida en estos campos sea entregada a Seta. Sólo entonces recibirá su recompensa.

El rey escuchaba lleno de asombro las palabras del anciano sabio.

-Dime cuál es esa cifra tan monstruosa -dijo reflexionando.

-¡Oh, soberano! Dieciocho trillones cuatrocientos cuarenta y seis mil setecientos cuarenta y cuatro billones setenta y tres mil setecientos nueve millones quinientos cincuenta y un mil seiscientos quince.

Hasta aquí la leyenda. A continuación, algunos comentarios matemáticos.

La leyenda de la invención del ajedrez nos ilustra sobre el rápido crecimiento de una progresión geométrica (de razón mayor que la unidad). En este caso tenemos una progresión geométrica en la que la razón es 2, pues cada término de la progresión es el doble del anterior.

La sucesión de términos es: 1, 2, 4, 8, 16, 32,... Obsérvese que esta sucesión coincide con las potencias de dos: 2⁰, 2¹, 2², 2³, 2⁴, 2⁵,...

El término general de la progresión, la fórmula que nos da cada número, es: aₙ = 2ⁿ⁻¹.

En la última casilla hay exactamente: 2⁶³ = 9.223.372.036.854.775.808 (un poco más de 9 trillones) granos de trigo.

El número de granos de trigo totales se calcula sumando todos los términos: 1 + 2 + 4 + 8 + ... Esto se hace más sencillamente gracias a la fórmula de la suma de los términos de una progresión geométrica:

Como curiosidad, si añadimos un grano más de trigo a la suma, obtenemos la siguiente potencia de 2: 2⁶⁴ = 18.446.744.073.709.551.616. Esto es debido a que conforme vamos sumando los granos de cada casilla, siempre nos quedamos a un solo grano de la casilla siguiente:

1 + 2 = 3 = 4 − 1
1 + 2 + 4 = 7 = 8 − 1
1 + 2 + 4 + 8 = 15 = 16 − 1, etc.

Todos estos números, 1, 3, 7, 15, etc., son llamados números de Mersenne. Se llama número de Mersenne a cualquier número anterior a una potencia positiva de 2, más concretamente a los números de la forma Mₙ = 2ⁿ − 1, con n ≥ 1.

Un aspecto interesante que merece la pena reflexionar es el comentario del matemático mayor del rey Sheram, cuando le explica que el número de granos de trigo es una cifra monstruosa. Pienso, y puedo estar equivocado, que cuando uno de nosotros lee la cifra, le parece simplemente una cifra grande, pero no tiene realmente idea de lo grande que es. De hecho, los granos de trigo son cosas de un tamaño muy pequeño, y en un saco de trigo puede haber muchísimos granos, aunque no sabemos cuántos.

Debemos tener en cuenta que cualquiera de nosotros, en nuestra época actual, hemos oído hablar de muchos ejemplos de cifras monstruosas: la población mundial, el producto interior bruto de un país desarrollado, la edad del universo, el número de estrellas que hay en la Vía Láctea, el número de kilómetros que equivale a un año-luz, el número de moléculas que hay en un mol de una sustancia (número de Avogadro), el gúgol, etc. Si con la imaginación nos trasladamos a la mitológica época del rey Sheram, a la India de los Vedas, a los inicios del sistema numérico decimal que ahora tenemos, podemos comprender que ya el mismo hecho de calcular, a mano, números tan grandes, debía suponer un enorme esfuerzo para los matemáticos de la época, que debían estar acostumbrados a contabilidades prácticas con números mucho más manejables.

Para hacerse una idea de lo grande que es la cantidad de 18 trillones de granos de trigo, hay que convertirla a una unidad más manejable, gramos, kilogramos o toneladas de trigo, y compararla con la producción de trigo mundial. Se pueden encontrar muchas páginas que hacen esta conversión, pero curiosamente hay discrepancia entre ellas.

En la wikipedia (en español), por ejemplo, hay una estimación de unos 1200 granos de trigo por kilogramo, con lo que cada grano de trigo pesaría casi un gramo, (lo cual me parece exagerado). Según dicha estimación, tomando toda la producción mundial actual de trigo, se necesitarían más de 22000 años para acumular los 18 trillones de granos pedidos por el inventor Seta.

La página de wikipedia en inglés, estima que cada grano de trigo pesa 0,065 gramos, lo cual equivale a que en un kilo hay unos 15000 granos de trigo, y calcula que el total de trigo del tablero de ajedrez es más de 1600 veces la producción mundial.

En Matemáticas cercanas, la estimación es de unos 25000 granos de trigo por kilo, es decir, cada grano de trigo pesaría 0,04 gramos. Según este cálculo, se necesitarían más de 1000 años para acumular los granos del tablero de ajedrez.

En la página de SMPM y en la de Me llevo las Mates de calle, se estima que un grano de trigo pesa 0,03 gramos, lo cual hace que en un kilo quepan unos 33000 granos de trigo, y que se necesiten unos 800 años para completar el pedido.

En cualquier caso, si aceptamos que para completar el pedido del inventor Seta se necesita aproximadamente la producción mundial de trigo durante 1000 años, ya sí nos podemos hacer una idea de lo monstruosa que es la cifra calculada por los matemáticos del rey Sheram.

Créditos de las imágenes:

Figura 1: extraída de Collectors Weekly.

Figura 2: By McGeddon [CC BY-SA 4.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0)], via Wikimedia Commons.

Regreso desde los mares perdidos

Cuaderno de bitácora: realmente poco puedo explicar de lo que nos ha pasado. Era de noche, la mar estaba en calma, soplaba poco viento, y los instrumentos de navegación funcionaban perfectamente. La mayoría de la tripulación se había retirado a descansar a los camarotes. Había pocos marineros de guardia, y yo, no sé por qué, me levanté de la hamaca con una cierta inquietud y subí a cubierta.

La primera impresión que me llevé al salir al aire libre fue la del frío extremo. No podía ser, estábamos todavía en verano, casi para entrar al otoño, y sin embargo mi aliento se hacía visible como un vaho espeso, y mi cuerpo empezó a tiritar. Me asomé a la borda y bajo una suave luz que al principio no identifiqué, pude contemplar, asombrado, que estábamos rodeados de varios icebergs. Después hice conciencia de esa luz y miré el cielo, y entre las nubes vi con estupor las luces del norte, que caían en verdes cortinas suaves por delante del firmamento estrellado.

Le pregunté al timonel y no me supo aclarar qué estaba ocurriendo. Consulté de nuevo los instrumentos y ya no parecían estar funcionando adecuadamente. Dirigí mi astrolabio a las estrellas y calculé nuestra nueva posición. De estar navegando por aguas cálidas en pleno septiembre nos habíamos desplazado por arte de magia a latitudes septentrionales, como si hubiéramos atravesado un portal dimensional sin darnos cuenta.

Me pasé el resto de la noche estudiando el cielo, hasta que logré clarificar la fecha gracias a la posición de los planetas visibles. He revisado mis cálculos varias veces, pero no puede ser. Ya no es septiembre, sino febrero, y han pasado diecisiete meses, pero para nosotros sólo han pasado unas pocas horas. Ya ha amanecido, y se ha servido el desayuno a la tripulación. Después me he entrevistado con varios oficiales y para todos la percepción es la misma, nadie tiene ni idea de lo que está aconteciendo.

Las sorpresas no paran de sucedernos. Hemos bajado a la bodega a instancias de uno de los marineros y allí nos hemos encontrado con un cargamento desconocido, una colección de objetos de diversos lugares de los que no tenemos constancia que hayamos visitado. Apenas hemos empezado a estudiarlos y examinarlos, y todavía hemos extraído pocos datos, pero todo parece indicar que durante esos diecisiete meses olvidados nuestro barco ha ido navegando por mares perdidos y tierras incógnitas. Pero nadie conserva memoria de ese viaje.

No tengo más remedio que enfrentarme a esta nueva realidad. Mi tarea más urgente es ir poniendo en pie el poco conocimiento que podemos ir extrayendo de estos objetos, para intentar encontrar respuestas a tantas incógnitas. Todo es tan extraño...

[Nota: la ilustración es un óleo de Ivan Aivazovzky, titulado Icebergs en el Atlántico, y terminado en 1870. La hemos extraído de esta página de wikipaintings]

El Lema de Zorn (relato)

Cuando salió del estrecho desfiladero por el que había cruzado la cordillera, se encontró con un amplio valle iluminado por el sol de la tarde. El paisaje era seco y escaso en vegetación, pero no carecía de belleza. En el fondo del valle se extendía una pequeña población, y en su centro parecía distinguirse un edificio importante. El Estudiante observó una torre cuadrada coronada con un tejado puntiagudo, de aspecto evocador. Detrás de ella, lejos, en las brumas del horizonte, apenas se adivinaban las cumbres blancas de un sistema montañoso. A un lado y al otro del sendero, el espacio estaba colonizado, a parches, por grandes agrupaciones de brezos combinados con diversas especies de árboles que el joven no supo reconocer.

Con un movimiento reflejo, volvió a colocarse correctamente el saco sobre la espalda. En él llevaba, además de algo de comida y ropa de abrigo, un par de libros, varios cuadernos, instrumentos de escritura, una palmatoria con su vela, una daga, un anteojo y un reloj de arena. De momento, era todo lo que poseía. Si las cosas funcionaban como le había explicado el Viejo Ridras, su maestro, en la Escuela le darían alojamiento y manutención a cambio de dedicar unas horas a trabajar en los huertos y a limpiar las estancias.

Jamás antes el Estudiante había abandonado su tierra natal en el lejano sur. Pero Ridras le había enseñado todo lo que sabía respecto a esa extraña ciencia de números y letras que casi nadie era capaz de entender. Cuando el joven le insistió para seguir avanzando en el conocimiento, el Viejo sólo le pudo decir que si quería de verdad profundizar en sus secretos debía viajar al norte, hasta la Escuela de Brezales. Era el sitio más cercano donde los estudiosos podían acceder a completas bibliotecas con los títulos más avanzados sobre cada materia. Muchos de los libros contenidos en ellas eran copias únicas escritas a mano por sus propios autores. Algunos eran tan antiguos que muy pocos sabían descifrar la lengua y la caligrafía en que estaban redactados.

El Estudiante llegó a Brezales justo antes de que cayera la noche, y fue recibido en la Escuela por un portero de mediana edad, aunque bastante estropeado por los años, que lo condujo a una habitación baja en el extremo de un gran edificio de paredes amarillentas. Antes de atravesar la puerta e internarse en los pasillos que conducían hacia su cuarto, pudo ver que anexa al edificio se destacaba la torre cuadrada de tejado puntiagudo que dominaba sobre todo el poblado. La habitación a la que le condujo el portero, tenía dos literas adosadas a paredes opuestas, y cada litera disponía de tres camas; las camas de abajo ya habían sido ocupadas por sendos jóvenes que parecían dormir plácidamente. El Estudiante vio también a un tercer joven que escribía sentado a una mesa junto a la ventana, y se iluminaba con los restos de una vela a la que quedaban pocos minutos para apagarse. Esta visión y un cierto olor a cerrado fueron las impresiones que más se le quedaron marcadas de su llegada a la Escuela, y que no olvidaría el resto de su vida.

La adaptación durante los días siguientes fue progresiva, mientras aprendía las tareas cotidianas que tenía que realizar desde el amanecer hasta el mediodía. Al cabo de una semana se le permitió, por primera vez, acceder a la planta baja de la inmensa biblioteca de la torre. Los Escolares le dieron ese acceso, que apenas duró una hora, para que tuviera una primera vista de la estancia, de la gran cantidad de libros que almacenaba, del ambiente que reinaba en ella, y sobre todo, de la distribución de las estanterías, mesas y sillas. A partir de ese momento, todas las tardes tendría la tarea de limpiar y ordenar la biblioteca durante varias horas, sin permiso de momento, para sentarse a consultar ningún volumen.

Tuvo que pasar un mes hasta que le dieron licencia para leer durante la última hora de la tarde. Ése, sin duda, también sería un momento grandioso en sus recuerdos, pero le surgió la pequeña duda de qué libro tomar durante esa hora. No obstante, el momento de duda duró poco, porque desde los primeros días se había sentido atraído por un tomo grueso de tapas de color castaño oscuro grabadas con letras doradas, cuyo título era simplemente Elementos de Matemática. Su autor, un tal Pedro Abellanas, era desconocido para el Estudiante, pero eso no le impidió admirar desde un principio su trabajo, aunque en realidad conociera tan poco de él.

Aquella noche podría haber abierto el libro por la primera página y haber empezado su lectura ordenadamente. Sin embargo la página que apareció fue la 42. A mitad de la hoja amarillenta, unos renglones atraparon su mirada: "Otra consecuencia muy importante del axioma de Zermelo es el siguiente: TEOREMA DE ZORN.- Todo conjunto inductivo posee un elemento maximal, por lo menos".

Fueron esos dos nombres que empezaban por zeta, Zermelo, Zorn, los que cautivaron al momento la imaginación del muchacho. Jamás los había oído antes, pero su sonoridad le sugería algo importante y misterioso. Cierto es que llevaba cinco semanas sin hacer otra cosa que limpiar y remover la tierra del huerto, que todavía no había hecho amigos (aunque sí había notado un par de veces la mirada interesada de una joven estudiante que ya tenía pleno derecho a trabajar en la biblioteca todas las tardes), y que no había leído otra cosa en su vida que los escasos y manoseados libros del Viejo Ridras, que apenas llegaban a la docena. Decidió que tenía que empezar por averiguar quiénes eran esos dos personajes de nombre tan sonoro, y tratar de desentrañar lo que decía aquél teorema, del que no había entendido nada aunque solo abarcara un renglón.

En la página 41 del mismo libro, encontró el Axioma de Zermelo al que se referían aquellos renglones anteriores: "AXIOMA DE LA LIBRE ELECCIÓN DE ZERMELO.- Si c es una correspondencia arbitraria entre X e Y, tal que or(c) = X, existe una aplicación f entre X e Y tal que para todo x perteneciente a X se verifica que el par (x, f(x)) es un par de la correspondencia c".

Debajo de este axioma se encontraba otro resultado que parecía importante: "TEOREMA DE LA BUENA ORDENACIÓN.- En todo conjunto C se puede definir una buena ordenación".

Investigando en los viejos volúmenes, averiguó que Ernst Zermelo y Max Zorn habían sido dos sabios, el primero alemán, y el segundo estadounidense, que habían trabajado en teoría de conjuntos, álgebra abstracta, teoría de grupos y otras disciplinas que el Estudiante aún no conocía. Además, descubrió que el Axioma de la libre elección de Zermelo, o simplemente Axioma de elección (cuyo enunciado, de forma más sencilla dice que "dado X, un conjunto de conjuntos no vacíos, entonces se puede tomar o elegir un elemento de cada conjunto de X"), era un principio muy importante, sobre el que los sabios seguían discutiendo si debía ser aceptado o no, y asimismo, el Lema de Zorn se utilizaba muchas veces en las ramas abstractas de diversas disciplinas numéricas.

Al Estudiante le costó muchos días desentrañar el significado completo de aquellas simples frases que le habían llamado tanto la atención. Sin embargo, finalmente empezó a comprender algunos términos, y en la mesa de su habitación, armado de pluma y papel, fue anotando los términos y un ejemplo para cada uno de ellos:

Correspondencia: una relación cualquiera entre dos conjuntos; ejemplo: sea el conjunto de los estudiantes de la Escuela, y el conjunto de los libros de la Biblioteca, se puede definir una correspondencia relacionando cada estudiante con aquellos libros que ha leído en alguna ocasión. Habrá estudiantes que no han leído ningún libro, otros uno, y otros muchos.

Aplicación: una correspondencia en la que a cada elemento del primer conjunto le corresponde un solo elemento del segundo conjunto; ejemplo: el conjunto de estudiantes y el conjunto de habitaciones de la Escuela. Cada estudiante tiene una habitación asignada, y solo una. Aunque hay estudiantes que comparten la misma habitación, y puede que haya habitaciones vacías.

Orden: una relación entre los elementos de un conjunto, en la que se puede determinar si un elemento es menor o igual que otro. Cumple unas propiedades (que más adelante explicaré). Un ejemplo puede ser, la relación de orden entre las personas a través de la edad: una persona es menor que otra cuando tiene menos años. Otra relación puede ser a través de su estatus dentro de la Escuela: una persona es menor que otra siempre que su puesto sea de menor importancia; los Estudiantes son menores que los Escolares, los Escolares menores que el Decano.

Orden total: aquel orden en que dados dos elementos, uno de ellos siempre es menor o igual que el otro. Esto no ocurre en todos los órdenes; cuando viene uno de los nobles de visita, yo no sé decir si tiene menor o mayor categoría que uno de nuestros Escolares, porque no pertenece a nuestra Escuela.

Buena ordenación: aquel orden total establecido en un conjunto en el que si tomo cualquier subconjunto, éste tiene un mínimo. Los números naturales 1, 2, 3, 4, 5, ... están bien ordenados.

Cota superior: si tengo un conjunto ordenado y tomo un subconjunto, una cota superior es aquel elemento del conjunto que es mayor que todos los del subconjunto.

Conjunto inductivo: conjunto en el que hay un orden, y en el que si tomamos un subconjunto con un orden total dentro de él (a este subconjunto se le llama también cadena), entonces ése subconjunto tiene una cota superior.

Elemento maximal: un elemento de un conjunto ordenado, tal que no existe ningún otro elemento mayor que él.

Más adelante, una templada tarde en la que apetecía estar fuera, paseando entre los huertos, el Estudiante tuvo oportunidad de charlar con la joven que había visto en la Biblioteca los días anteriores. Le explicó todo lo que había aprendido hasta ese momento, y lo difícil que le había resultado al principio entender aquella terminología y adaptar su mente a conceptos tan abstractos, pero que ahora veía, por ejemplo, que el Axioma de Libre Elección o el Teorema de Buena Ordenación de Zermelo parecían algo de lo más natural del mundo.

-Si yo tengo por ejemplo un conjunto de cajas -decía el Estudiante-, y en cada caja tengo un conjunto de objetos, ¿no es lógico que pueda ir tomando un objeto de la primera caja, otro de la segunda, otro de la tercera, y así sucesivamente hasta terminar las cajas? Y si tengo un conjunto de objetos, ¿no parece trivial ir colocando todos los objetos en un buen orden, uno el primero, otro el segundo y así sucesivamente hasta terminar?

-Eso es muy sencillo -contestaba la joven- cuando el número de objetos con el que trabajas es finito, porque esa tarea que describes acaba finalmente. Pero empieza a no ser tan sencillo cuando los conjuntos son infinitos.

Y entonces la joven empezó a hablarle al Estudiante del infinito, y de todas las clases de infinitos que existían, los infinitos numerables y los no numerables, y todas las paradojas que se producían al tratar con conjuntos infinitos. Estuvieron charlando durante un buen rato, hasta que la luz del atardecer empezó a menguar y un viento frío azotó los árboles frutales, y entonces, escuchando la cálida voz de su acompañante, el Estudiante se dijo que a través de las infinitas posibilidades que ofrece el destino, no quería vivir otra diferente de la que tenía en esos momentos, y aquella ocasión la atesoró en su memoria hasta el fin de sus días.

CREPÚSCULO MATEMÁTICO (5)

Capítulo Quinto

Moli y Nete estaban preocupados. No con esa preocupación llena de pensamientos insistentes y proyectos de éxito improbable con la que solemos enredarnos los adultos, sino con esa inquietud permanente, ese peso emotivo que aprisiona el ánimo y llena el futuro de sombras oscuras e impenetrables, que algunas veces soportan los adolescentes.

Después del incidente de los libros regresaron a sus clases normales, pero eran el blanco de la expectación de sus compañeros. Entre clase y clase se reunieron en torno a ellos para preguntarles una y otra vez por el suceso. La mano mordida de Moli fue mirada y tocada muchas veces aquella mañana, hasta que la chica decidió metérsela en el bolsillo del pantalón y no volver a mostrarla a pesar de los insistentes ruegos. Durante el recreo, Moli y Nete se sentaron juntos en un rincón del patio, y permanecieron callados, rodeados de un nutrido grupo que no hacía más que aumentar en número y charlar del tema. Ante el silencio agobiado de los dos, Antolón, un muchacho rubio, alto y un poco gordo, de verborrea incansable, empezó a acaparar las conversaciones como si alguien le hubiera nombrado portavoz oficial, y describía con detalle a todo el que llegaba lo que había pasado en clase, aventurando de paso numerosas hipótesis y adornando el suceso con muchos matices exagerados que se apresuraron a correr de boca en boca por todo el instituto.

Moli aprovechó un momento de distracción para desaparecer en compañía de su mejor amiga, una muchacha bajita y delgada como ella, a la que llamaban Dori. Ambas se complementaban muy bien, pues aunque eran de un carácter parecido y un poco tímidas cuando estaban en grupo, Moli tenía la responsabilidad en los estudios que a Dori le faltaba, y ésta poseía ese grado de despreocupación e imaginación ensoñadora que su amiga buscaba cuando se veía abrumada por numerosos pensamientos conflictivos. La apariencia externa de Moli era la de una joven nerviosa y excesivamente preocupada a veces, mientras que Dori exhalaba tranquilidad e indiferencia por todos sus poros, y una especie de envoltura de felicidad serena y lejana que impedía a los que la trataban averiguar qué es lo que pensaba en cada momento.

Nete, el primo de Moli, se quedó por tanto solo en el patio del instituto, y pronto se vio medio aislado en una esquina del grupo de compañeros, una pandilla heterogénea y un poco bestia de muchachos gritones como Antolón, en la que Nete, callado aquel día, hacía de elemento discordante.

A lo largo de la cuarta hora, durante la clase de Ciencias Naturales, el alboroto fue calmándose, y en la quinta hora, cuando empezaba la clase de Inglés, un nuevo suceso contribuyó a que el asunto de los libros de matemáticas comenzara a pasar a segundo plano. El Jefe de Estudios pidió permiso a la profesora de Inglés para entrar en clase, y lo hizo acompañado de un muchacho alto y moreno, de mirada melancólica, vestido de negro, que presentó a todos como Anastasio Trapeces, el nuevo compañero de clase procedente de un intercambio de estudiantes griegos. El joven se sentó en primera fila, al lado de Magda, una muchacha rellenita y un poco acomplejada que ante la cercanía de aquel chico no pudo menos que ruborizarse intensamente. En efecto, la aparición de Anastasio creó un silencioso revuelo entre todas las alumnas de la clase, que se apresuraron a comentar entre susurros lo guapo que era, los ojos que tenía, lo elegante de su porte y manera de vestir, y otros detalles que aquí no mencionaremos.

El Jefe de Estudios insistió a la clase para que le dieran una cálida acogida y advirtió que el muchacho estaba todavía aprendiendo español, aunque progresaba rápidamente. Dicho esto se fue y dejó que la clase de Inglés continuara con toda la normalidad que era posible en aquellos momentos.

La sexta hora correspondía a la Tutoría, y cuando todos esperaban la aparición de su tutor, el profesor Espoz, se encontraron en su lugar a una profesora de guardia, que les informó que el profesor Espoz se había sentido indispuesto a lo largo de la mañana y se había tenido que marchar. Les pidió a los alumnos que aprovecharan la hora para estudiar y hacer las tareas pendientes, y su petición fue obedecida a medias. No pasaron más de cinco minutos cuando Anastasio se levantó de su mesa y le preguntó a la profesora con un español titubeante si se podía cambiar de sitio, a lo que la profesora de guardia accedió, y ante la mirada atenta de la clase, que no se perdía ni un solo movimiento del nuevo alumno, se dirigió hasta el asiento al lado de Moli, que también estaba vacío, y le pidió permiso a la joven para ocuparlo, cosa que ésta le concedió.

-¿Qué estudias? –preguntó Anastasio, y al decirlo no se le notaba ningún acento extranjero.

-Estoy haciendo las tareas de matemáticas –dijo Moli, que tenía delante el cuaderno de matemáticas, la calculadora y un libro prestado.

Anastasio abrió su cuaderno, totalmente en blanco, a estrenar, y empezó a copiar los ejercicios que venían en el libro. Escribía lentamente, y sus dedos agarraban el bolígrafo como si fuera la primera vez que lo hacían. Su letra imitaba la forma de las letras impresas en el libro. El enunciado del ejercicio que estaba copiando decía algo así: “En un huerto los almendros se han plantado siguiendo una forma ligeramente triangular. En la primera fila hay seis almendros plantados, en la segunda fila hay ocho almendros, en la tercera diez y así sucesivamente. En total hay veintisiete filas de almendros. ¿Cuántos almendros hay en la fila veintisiete? ¿Cuántos almendros hay en todo el huerto?”

Anastasio terminó de copiar el ejercicio en su cuaderno, y se quedó mirando a Moli mientras ésta tecleaba la calculadora.

-¿Puedo preguntar algo? –dijo el joven griego.

-Sí, dime.

-¿Qué es “almendros”?

-Un almendro es un árbol.

-¿Qué significa el problema? –preguntó señalando el enunciado.

-Significa que se van plantando los árboles así –y Moli dibujó seis círculos con un palito debajo de cada uno, como si fueran arbolitos en línea, y debajo hizo otros ocho arbolitos, y debajo otros diez. Anastasio asintió comprendiendo-. Vas haciendo filas hasta veintisiete, y te pregunta cuántos hay en la última fila y cuántos habrá en total.

-Es muy fácil. En la última fila hay cincuenta y ocho, y en total hay ochocientos sesenta y cuatro –contestó Anastasio.

-¿Ya lo has calculado? ¿Has aplicado las fórmulas de las progresiones aritméticas?

-No te entiendo bien.

-Digo que cómo lo has hecho.

-Los he contado.

Y con esta escueta respuesta Anastasio escribió en su cuaderno los dos números, en cifras grandes y destacadas debajo de los renglones del enunciado, y al lado de las dos cifras delineó unos símbolos con mucho cuidado y claridad. Cuando Moli los observó le parecieron dos pequeñas calaveras negras.

Moli continuó haciendo sus ejercicios. Precisamente estaba terminando el de los almendros, y aplicando las fórmulas del término general y de la suma de una progresión aritmética pudo comprobar que los dos resultados que Anastasio había escrito eran correctos, o por lo menos que coincidían con los que ella había obtenido. Continuó con los siguientes problemas, pero era evidente que su atención no estaba concentrada en las tareas, sino dividida en variados pensamientos sobre todo lo que estaba ocurriendo aquel día. Le dolía la mano del famoso y extraño mordisco, y la cercanía de aquel muchacho griego de mirada lánguida y perdida resultaba poco menos que inquietante. Observó su mano y notó que la atención de Anastasio también estaba dirigida al mismo punto.

-¿Puedo ver? –preguntó él.

La muchacha no supo que contestar, y ante su silencio Anastasio tomó su mano con soltura y confianza, como el que observa un objeto resistente que no teme que se parta ni se estropee, y dándole la vuelta varias veces estudió las señales de los dientes, catorce puntos rojizos en una hilera curvada perfecta.

-No hay sangre. Tienes suerte –dijo, y parecía que en su afirmación había un significado desconocido, como si supiera de qué estaba hablando, como si todo aquello fuera familiar para él.

Reaccionando como si despertara de un sueño, Moli retiró la mano y volvió a esconderla. Cada uno se enfrascó en sus tareas, y guardaron silencio durante un buen rato, más de la mitad de la clase. De vez en vez, Moli miraba disimuladamente el cuaderno de Anastasio, comprobando como el muchacho delineaba con perfección las letras de las palabras, en un estilo claro, limpio, copiando los enunciados de los ejercicios sistemáticamente, y luego, sin ninguna cuenta, sin ayuda de la calculadora, iba anotando directamente los resultados debajo, como si los supiera de memoria. Y al lado de cada número se entretenía en dibujar aquellos simbolitos de aspecto tétrico.

“Está claro que le gusta lo gótico” pensaba Moli, “como a mi prima la Sole. Por eso va vestido todo de negro, escribe con boli negro y dibuja calaveras. Pero es increíble cómo resuelve los ejercicios, todos mentalmente. En Grecia deben tener un nivel de matemáticas alucinante, o bien el muchacho es un crack con las cuentas.”

No se dio cuenta de que se había quedado embobada más de cinco minutos viendo cómo Anastasio escribía metódicamente, ni tampoco reaccionó cuando el chico la miró estudiando su cara. Por eso se llevó un sobresalto al escuchar su voz en un susurro cercano.

-Oye.

-Sí.

-No conozco Priego. ¿Quieres enseñármelo?

-Bueno. ¿Cuándo?

-Esta tarde. A las nueve.

-Eso es muy tarde para mi. Mis padres no me dejan salir entre semana a esas horas.

-¿A las ocho?

-Mejor a las siete. A las ocho es ya casi de noche, y como mucho puedo estar en la calle hasta las ocho y media.

-¿Dónde quedamos?

-¿Aquí en la puerta del Instituto?

-Vale, a las siete en la puerta del Instituto.

Por una extraña sincronía, la sirena del final de la clase sonó en ese preciso momento. Anastasio guardó rápidamente sus cosas en una especie de cartera anticuada y se marchó sin prestar atención a las miradas interesadas de los alumnos. Moli también era el centro de interés, pero tampoco quiso hacer caso a sus compañeros. Esperó simplemente a que su amiga Dori recogiera y seguidas por Nete salieron del aula de la forma más rápida y discreta posible.

[Aquí termina la muestra del relato Crepúsculo Matemático, que consta en total de 24 capítulos. Durante varios meses, los 24 capítulos han estado presentes en el blog, pero hemos decidido retirarlos de momento, pues estamos preparando una edición en papel, que saldrá muy pronto. En el futuro, además de poder comprarse el libro en papel, puede que se prepare una edición electrónica que será posible descargarse. Gracias por el interés]

CREPÚSCULO MATEMÁTICO (4)

Capítulo Cuarto

En un lugar de la Subbética, de cuyo nombre ahora daré cuenta, no ha mucho que existía un Instituto que con el tiempo fue derruido para volver a ser edificado nuevamente, como ave Fénix que resurge de sus cenizas. El Instituto de Educación Secundaria (IES) Carmen Pantión, de Priego de Córdoba no destacaba, precisamente, por tener un edificio imponente, sino más bien por tener imponentes grietas, admirables ventanas oxidadas, sorprendentes suelos que se alzaban sin previo aviso en época de lluvias, y un impredecible sistema eléctrico que lo mismo saltaba para dejar sin luz las aulas y los ordenadores como daba algún susto a los traviesos alumnos que intentaban jugar con él. A pesar de todo, los profesores y alumnos luchaban día a día para colaborar en la educación y la difusión de los conocimientos universales, y todo aquél que ingresaba en el Instituto afirmaba después convencido, que era falsa la mala fama que circulaba sobre él entre las gentes de la ciudad.

Un día de esos cercanos ya a la primavera, a segunda hora, con la calefacción todavía puesta y los jerséis encasquetados, los alumnos de 3º de la ESO (Educación Secundaria Obligatoria) escuchaban o parecían hacerlo al profesor de matemáticas, el señor Espoz, en su explicación sobre las diferentes sucesiones y progresiones. De repente, su perorata se vio interrumpida por el grito de una alumna, cuyo sonido sobresaltó a todos sus compañeros, se atrevió a salir por las ventanas semiabiertas y asustó a unas cuantas palomas posadas en las tapias. El profesor no le habría dado más importancia a la interrupción, acostumbrado como estaba a escuchar todo tipo de exclamaciones intempestivas, pero al observar la cara de espanto de la chica no pudo menos que parar y preguntarle:

-Moli, ¿qué te ha ocurrido?

-Profesor, el libro de matemáticas, ¡me ha mordido! –dijo ella, y en apenas un instante el asombro que antes se había visto en los rostros de todos los demás alumnos dio paso a un torrente de estruendosas risas que se extendió durante casi un minuto por toda la clase.

Cuando el alboroto se fue calmando, el profesor Espoz abandonó su posición al lado de la gastada pizarra y se acercó hasta el pupitre de la alumna.

-¿Cómo es eso que te ha mordido? ¿Qué tonterías estás diciendo?

-Se lo juro, de verdad, he ido a abrirlo y se me ha vuelto a cerrar y me ha dado un mordisco. ¡Mire mi mano, si no me cree!

Nuevas risas. Algunos alumnos se levantaron de sus asientos. Moli le enseñó la mano al profesor.

-Pues sí que tienes unas marcas de dientes –dijo tras observar las señales enrojecidas que se extendían en semicírculo por la palma y el dorso de la mano derecha.

-¿Ve como no es mentira lo que digo?

-¿Y ha sido al abrir el libro?

-Sí, por la página que usted nos ha dicho, la que habla sobre Fibonacci.

El profesor se disponía a abrir el sospechoso libro, que permanecía cerrado sobre la mesa de Moli, cuando una exclamación del alumno que se sentaba detrás le interrumpió de nuevo.

-Profesor, ¡mire!

-¿Qué sucede, Nete?

-Es la foto de Fibonacci de mi libro, ¡ha cambiado, no es la misma!

El profesor Espoz, junto con otros alumnos que ya se habían atrevido a acercarse hasta la mesa de Moli y de Nete, se fijó en la página que éste último señalaba con dedo tembloroso.

-Es verdad. Éste no es Fibonacci.

-Y en el resto del libro aparece el mismo tipo. ¡Todas las fotos han cambiado, y en todas se ve este retrato! –dijo Nete, y aunque él era tranquilo de por sí, en su tono de voz se traslucía cierto nerviosismo.

Allí, en el margen del libro, en blanco y negro como si hubiera sido tomada en una época antigua, destacaba una foto de fuertes contrastes en la que se veía, sonriente, un personaje de cabeza oblonga y un poco calva, nariz larga y aguileña, ojeras profundas bajo unos ojos malignos de estrechas pupilas, puntiagudas orejas, y una sonrisa amplia interrumpida en ambos extremos por dos afilados colmillos que asomaban entre los labios.

Debajo, con las letras elegantes y nítidas de la edición, destacaba un nombre curioso: Conde Anacardo Von Redonden.

El profesor tomó el libro de Nete y fue pasando sus páginas. Pudo comprobar con estupefacción que allí donde antes había estado el retrato de algunos matemáticos, ahora se repetía la misma foto. Tocó el papel, observó la calidad de la impresión. Por un momento pasó por su mente que aquello podía ser una broma muy elaborada, pero aunque lo fuera no tenía ningún sentido.

Regresó al pupitre de Moli y tomó el libro de ésta. Permanecía cerrado, y el profesor lo intentó abrir, pero las páginas no cedieron, como si estuvieran pegadas entre sí con una cola muy fuerte.

En ese momento sonó la sirena del final de la clase. Al contrario de lo que sucedía siempre que sonaba, nadie se movió, todos permanecieron alrededor de Moli y de Nete, y fue el propio profesor el que tuvo que decirles que recogieran, porque tenían que ir al aula de informática. Moli y Nete cedieron sus sospechosos libros al profesor Espoz, que los metió en su cartera, y después de que éste les pidiera que le mantuvieran al tanto sobre cualquier novedad, salieron los últimos del aula, mientras el delegado de la clase cerraba con llave la puerta.

Espoz se dirigió a la Conserjería para hacer unas fotocopias de un próximo examen, con la mente ocupada en tratar de hallar una explicación lógica a lo que había pasado, y allí, mientras la Conserje manejaba la máquina fotocopiadora, miró distraídamente a los periódicos que acababan de llegar, y se llevó un sobresalto al ver la misma foto que aparecía en el libro de Nete sobresaliendo en una pequeña columna de la primera página del CÓRDOBA NEWS. Bajo la foto un titular: “SUCESOS EXTRAÑOS EN EL MUNDO DE LAS MATEMÁTICAS”, y bajo el mismo, el comienzo de un artículo: “Un individuo enigmático perpetra ataques a todo lo relacionado con los números…” El artículo continuaba en la página 19, y allí se decía algo así como “Desde hace varios días se están sucediendo las informaciones sobre extraños sucesos que acontecen en el mundo de las matemáticas. Numerosas fuentes, entre las que destacan importantes figuras universitarias, afirman haber sido atacadas de muy diversas maneras por un individuo enigmático que se llama a sí mismo Conde Von Redonden. Asaltos nocturnos, secuestros, abordamientos con cierto grado de violencia, es el método empleado por este individuo que actúa a veces solo, otras acompañado por compañeros encapuchados. Se desconoce el paradero de dicho sujeto, y no se descarta de momento ninguna posibilidad…”

Con el periódico en la mano salió de la pequeña habitación en busca de Moli y Nete para comentarles lo que había descubierto.

Los muchachos se encontraban en el pasillo, sin poder llegar todavía al aula de informática, asediados por una multitud creciente de alumnos que se contaban entre sí lo que acababa de suceder en clase e insistían en que les mostraran los libros implicados. Moli y Nete repetían una y otra vez que los libros ya no estaban en su poder, sino que los tenía su tutor. Tuvo que aparecer la Directora y disolver aquella aglomeración que impedía el tránsito en el pasillo para que por fin los dejaran un poco en paz. Espoz, que llegaba en ese momento, les dijo a los dos jóvenes que le acompañaran a la Sala de Profesores.

Cuando llegaron, les enseñó el artículo periodístico, que ambos leyeron con asombro, sin saber qué decir, y Espoz les mostró de nuevo sus libros. Aparentaban ser inofensivos, unos textos como otros cualquiera de los que los alumnos tenían. El profesor les preguntó si existía la posibilidad de que alguien se los hubiera cambiado, y ellos lo negaron, aunque sin demasiada convicción.

Externamente, los libros parecían exactamente los mismos que Moli y Nete tenían desde siempre. Desgastados y un poco estropeados en las esquinas, forrados en plástico transparente, el de Moli seguía sin poder abrirse, y cuando el profesor abrió el de Nete pudo ver en la primera página la etiqueta y el sello del Instituto. Hojeándolo, volvió a comprobar la extraña presencia de la foto del Conde, como si siempre hubiera estado allí, como si así hubiera salido de la editorial.

-Realmente, jamás me había enfrentado a una situación tan extraña -dijo Espoz-. Pero lo que ahora más me preocupa es vuestra seguridad. El periódico afirma que se están produciendo ataques relacionados con las matemáticas, y tengo la convicción de que esos ataques no se van a reducir a un libro que muerde y a otro libro cuyas fotografías son saboteadas.

-Profesor, ¿usted cree que corremos peligro? -preguntó Moli.

-No lo sé. Pero en cualquier caso debéis tomar precauciones. Voy a comunicar al Jefe de Estudios y a la Directora lo que os ha sucedido. Es importante que estemos todos muy atentos a cualquier hecho anómalo que se pueda dar, otros objetos que cambian, por ejemplo, pero sobre todo hay que fijarse si hay alguna persona fuera de lugar, alguien extraño rondando por el Instituto, afuera, a la entrada o a la salida de las clases, y si es así tenéis que comunicármelo inmediatamente.

Los dos alumnos asintieron a las palabras de su profesor y después de despedirse regresaron a sus clases.

Espoz se dirigió a la Jefatura para hablar con el Jefe de Estudios. La puerta de su despacho estaba cerrada, y cuando el profesor de matemáticas tocó con los nudillos, una voz desde dentro le indicó que pasara.

El despacho del Jefe de Estudios había ido cambiando lentamente de decoración en las últimas semanas. El profesor Espoz no había tenido la oportunidad de fijarse en aquellos cambios, pero cuando entró en él, el ambiente le dio una sensación peculiar, y sintió cierta inquietud. También era posible que todo aquel asunto de los libros y del periódico estuviera excitando su sistema nervioso. Tuvo apenas un momento para notar el estado en que se encontraba, pues al momento el Jefe de Estudios lo invitó a ocupar un asiento, y cuando Espoz se acomodó, se fijó en el joven que estaba ya en el despacho, sentado a su lado.

-Precisamente quería hablar con usted –dijo el Jefe de Estudios-. Han llegado cuatro alumnos nuevos al Instituto. Proceden de un intercambio organizado por la Unión Europea. Durante un mes van a compartir clases con los demás compañeros. Este muchacho que tenemos aquí se incluirá en la clase de la que es usted tutor.

Espoz miró al joven con perplejidad. Era un muchacho moreno, alto y delgado, quemado por el sol, de facciones regulares y nariz recta, y que a pesar de su aspecto agradable tenía un aire tristón y ausente, y contemplaba todo con cierta indiferencia.

-Su origen es griego, y se llama algo así como Anastasio Trapeces –siguió diciendo el Jefe de Estudios-. No habla mucho español, aunque está haciendo progresos rápidos.

El Jefe de Estudios se detuvo unos momentos revisando la documentación que disponía, y el profesor Espoz pudo fijarse más detenidamente en la nueva decoración del despacho. Predominaba el color negro y el gris oscuro, y en las paredes los pósteres clásicos del entorno de la Subbética junto con los almanaques regalados por la Delegación de Educación habían sido sustituidos por cuadros que aunque parecían elegantes, contribuían a deprimir el ambiente: tormentas marinas, grabados de Goya, y un par de retratos de personas en claroscuros. También había un pájaro disecado semejante a un cuervo en una esquina de la habitación, y varias estatuillas de brujas de esas que venden en las tiendas de los chinos.

El propio Jefe de Estudios llevaba un traje negro, y el joven Anastasio también se vestía del mismo color, con una camiseta ajustada y unos vaqueros que parecían recién comprados. El profesor de matemáticas empezó a sentirse fuera de lugar, y poco a poco una sensación de amenaza empezó a crecer en su estómago.

-Aquí tiene algunos datos de Anastasio –dijo el Jefe de Estudios acercándole al profesor Espoz unos folios.

Espoz los tomó con interés, y leyó los datos personales del muchacho. Se llevó una desagradable sorpresa cuando vio que en el apartado de Tutor Legal aparecía un nombre que ya empezaba a sonarle demasiado aquella mañana: Anacardo Von Redonden.

-¿Conoce usted al tutor de este joven? –preguntó Espoz con cautela.

-Sí, he tenido la oportunidad de entrevistarme con él –respondió el Jefe de Estudios.

-Precisamente he venido para hablarle de algo relacionado con todo esto –siguió diciendo el profesor, mientras abría el libro de Nete y lo ponía encima de la mesa del despacho junto al ejemplar del periódico-. ¿El tutor es éste que aparece aquí en la foto? –preguntó señalando una de las extrañas imágenes cambiadas del libro de texto.

El Jefe de Estudios miró el libro y luego se quedó unos momentos observando en silencio el rostro de Espoz. Éste notó en sus ojos la amenaza cada vez más cercana. Pero no tuvo tiempo de reaccionar.

-Anastasio, por favor, cierra la puerta –dijo el Jefe de Estudios, y el muchacho se levantó y obedeció.

En ese momento, por el pasillo caminaba la profesora de Educación Física. No vio nada ni tampoco escuchó nada de lo que sucedía en el despacho, pero el sonido de la puerta al cerrarse la sobresaltó, se paró unos momentos sin saber qué era lo que la hacía detenerse, y luego, impulsada por un temor irracional, apretó el paso y se alejó rápidamente de la Jefatura de Estudios.

El libro perdido aparece

Cuaderno de bitácora: estamos de enhorabuena. El libro perdido ha sido encontrado.

En el Barco Escuela hemos empezado la mudanza. Todo el mundo está haciendo inventario, sacando libros y mucho material diverso de los armarios y departamentos y los va metiendo en cajas. De repente, alguien me avisa de que en el camarote del Departamento de Inglés hay algunos libros de matemáticas. Me acerco al armario que me señalan. Me fijo en el cajón abierto, y allí se muestra una imagen familiar. Con un escalofrío me viene a la cabeza que aquél puede ser mi libro, el que un día desapareció sin dejar rastro. Tomo el ejemplar y hojeo las primeras páginas. En efecto, puedo comprobar que hay anotaciones mías en algunos ejercicios. No hay duda: es él.

Aunque el misterio sigue sin solucionar, podemos quedarnos tranquilos. Alguien (¿un duende?) tomó el libro y lo metió en un cajón del armario del camarote inglés. Debajo de mi libro había otros de otras materias, como si se estuvieran coleccionando, como si alguien los recopilara con algún afán. De momento no sabemos quién ha sido el responsable de la "travesura", pero he recomendado a los oficiales ingleses que hagan una investigación interna en su departamento.

¿Qué habrá pasado por el pensamiento de mi libro de texto durante todos estos meses de secuestro? Se ha perdido la participación en las clases; ha estado privado de la luz del sol oceánico, del aroma del aire marino, del sonido de las olas con el mar en calma y del estruendo de la tormenta rugiente. Ha estado protegido, calmado, durmiendo en la oscuridad cálida de un cajón ignorado, soñando con denominadores comunes, ecuaciones incompatibles y funciones decrecientes. Pero ha regresado, aunque sea tarde, y me ha dado un motivo más de alegría en el final de nuestro periplo. Parece imposible que una cosa tan trivial como un libro de texto sea protagonista de una aventura interesante.

CREPÚSCULO MATEMÁTICO (3)

Capítulo Tercero

La Universidad de Cambridge es la segunda Universidad más antigua de Gran Bretaña y como fue fundada en 1209, este año cumple su octavo centenario.

Aquel año de 1993 la Universidad de Cambridge sólo tenía 784 años de antigüedad. Estaba entrando el verano, y en uno de sus edificios, el Instituto Isaac Newton de Ciencias Matemáticas, se iba acumulando una inusual expectación. En el Salón de Actos del Instituto se iba a celebrar la tercera de una serie de conferencias que pretendían cambiar la historia de las matemáticas. Numerosos matemáticos de todos los lugares del mundo habían acudido hasta la Universidad para asistir a aquel acontecimiento. Medios de comunicación, entre ellos la prestigiosa cadena británica de divulgación matemática Square Root Television (SRTV), habían mandado sus mejores corresponsales para cubrir toda la información. Un batallón de periodistas, con bolígrafos y libretas, micrófonos, cámaras de fotos y televisión, hablando en docenas de idiomas diferentes, se afanaban en conseguir un puesto desde donde seguir el acto. Contemplaban con asombro el río de personas que progresivamente cruzaban los umbrales del Instituto y se adentraban por los pasillos en dirección al Salón de Actos. Entre ellos se encontraban los más geniales matemáticos y matemáticas, que caminaban a solas o en grupos; si a solas, embebidos en un espeso aura de pensamiento abstracto; si en grupo, enzarzados en prolijas discusiones que aunque proferidas en algunos de los más conocidos idiomas mundiales, resultaban absolutamente incomprensibles para aquéllos que no pertenecieran a su círculo científico.

Los periodistas pudieron comprobar que los matemáticos y matemáticas no parecían tener exteriormente un denominador común que los señalara como tales. Sus apariencias eran de lo más variopinto, y a primera vista podrían haberse camuflado entre las multitudes de cualquier ciudad sin ser detectados, pero antes o después un gesto, una mirada, una expresión de pensamiento perdido, un comentario tonto sobre algún detalle en el que nadie se había fijado ni nadie volvería a fijarse, un objeto personal extravagante y fuera de su sitio, un descuido en el aspecto y un inesperado cuidado en otro aspecto de la forma de vestir… Cualquiera de estas cosas podía traicionarlos y delatarlos como estudiosos de las Ciencias Exactas.

A esto había que sumarse la gran cantidad de estudiantes universitarios que también estaban participando en el acto y que procedían de muy diversos países. Por eso no es de extrañar que ciertos individuos, vestidos todos con una sudadera parecida y con la cabeza cubierta con una capucha, de la que sólo asomaban pálidas narices de diversas formas, pasaran inicialmente desapercibidos, mezclados entre el gentío, como si fueran lo más normal del mundo, aunque también podemos preguntarnos ¿qué es normal en el mundo de hoy día?

Entre los estudiantes que tenían la suerte de participar había dos jóvenes americanos, James T. y Jessi U., él un moreno trekkie de ojos claros, ella una fanática del jogging, de pelo largo y rubio, que de la forma más natural del mundo caminaron entre los periodistas mientras charlaban entre ellos.

-Entonces, ¿se supone que hoy será el día en el que el profesor Wiles presentará por fin su demostración del Teorema de Fermat? –preguntó James T., medio despistado, en un inglés americano con acento de Indiana.

-¡Pues claro!, ¿en qué mundo vives? ¿No estás viendo el despliegue de periodistas y las unidades móviles de televisión? –le contestó Jessi U. en un inglés americano con acento de Boston.

-¿Y quiénes son esos tipos? –dijo James T. señalando a los una pareja de Encapuchados que se habían parado en una esquina y parecían mirar desde sus embozos a la gente que pasaba.

-No sé, han llegado hace un rato y se han quedado a la puerta. Luego han entrado, pero parecen que están esperando a alguien. No los he visto antes por aquí. Entremos, porque ya va a empezar la conferencia.

Entre apretujones y algún que otro discreto codazo, los dos jóvenes pudieron entrar en el Salón de Actos y sorprendentemente lograron encontrar un par de asientos libres en medio de las filas de butacas. Tuvieron que apartar a una señora que discutía acaloradamente con otra sobre números primos en medio del pasillo entre los asientos, se hicieron hueco a través de un grupo de estadísticos arremolinados junto a otro que garrapateaba gráficas interminablemente. Al meterse entre las butacas pisaron a un profesor enfrascado en la resolución de un extraño crucigrama, y el profesor no se inmutó ni ante los pisotones ni ante las posteriores disculpas. Llegaron por fin a sus asientos y pudieron acomodarse en ellos.

El ambiente ya empezaba a estar cargado, y la temperatura parecía aumentar por momentos.

-¿Y sabes algo sobre la demostración del teorema? –preguntó James T. de la forma más ingenua imaginable.

-No, pero se rumorea que ocupa más de cien páginas. Si Wiles se pone a explicarla entera hoy, vamos aviados –contestó Jessie U.

-Será interesante ver el aspecto que trae el profesor Wiles. No se le ha visto el pelo durante los últimos meses, y en las primeras dos conferencias parecía distante y presentaba una apariencia excéntrica –comentó James T. despreocupadamente.

-Sí, dicen que ha estado dedicado completamente al teorema de Fermat, pero las malas lenguas afirman que se le ha visto en Marbella, en compañía de una desconocida –afirmó Jessie U., y sonrió de forma traviesa al decirlo.

-¿Marbella? –preguntó James T. con la ignorancia retratada en su rostro.

-Un lugar de vacaciones en España –respondió Jessie U. con sencillez.

-¿España? –volvió a preguntar James T. con ansia de saber.

-Un país de Sudamérica –contestó Jessie U.-. Pero calla, que ya empieza la conferencia.

En efecto, en el estrado del Salón de Actos se notó movimiento. Dos personas se acercaron desde una puerta lateral a comprobar el micrófono y la pizarra, y otra llevaba unos papeles en la mano. Una cuarta persona le salió al encuentro, habló con la de los papeles en voz baja y ambos volvieron sobre sus pasos y dejaron el Salón por la puerta lateral. Mientras tanto, la multitud que abarrotaba el Salón apenas parecía darse cuenta de esto y continuaba charlando, la mayoría de pie, sin ubicarse aún en sus asientos. Por la puerta lateral cercana al estrado entraron en ese momento dos de los personajes encapuchados, y tras ellos un individuo bajito y regordete, calvo, de nariz ganchuda y grandes ojeras, vestido como de frac y luciendo unas pequeñas gafas de sol, que con paso lento se dirigió hasta el atril donde estaban los micrófonos, subió al estrado y se puso frente a la audiencia.

Fue en ese instante cuando los asistentes se empezaron a dar cuenta de la presencia del recién llegado y se extendió el silencio entre ellos. El calvo individuo vestido de frac esperó pacientemente a que todos se sentaran, con una expresión astuta y pérfida en su rostro, y después de dar unos toques a los micrófonos para comprobar que funcionaban, se aclaró la garganta y empezó a hablar.

-Distinguida audiencia, importantes matemáticos y matemáticas, amables periodistas y público en general: estoy aquí como portavoz del insigne profesor Andrew Wiles para comunicarles su imposibilidad de asistir a esta conferencia –aquí se escucharon murmullos de decepción-. Me temo que al profesor Wiles le ha surgido de forma imprevista un compromiso que le mantendrá alejado de Cambridge una temporada.

El extraño personaje mantuvo silencio unos segundos y dio la sensación de que no pensaba seguir hablando. Por eso una persona de las primeras filas de butacas se levantó y preguntó:

-¿Y qué nos puede decir de la demostración del teorema de Fermat?

El individuo pareció molesto durante un brevísimo instante.

-A pesar de las expectativas levantadas, el señor Wiles me manda decirles que desgraciadamente no ha sido capaz de concluir su demostración…

Entonces esbozó una sonrisa abierta y a los que estaban en las filas de butacas más cercanas les pareció ver que entre sus labios asomaban unos colmillos especialmente largos.

- … y piensa que nadie será capaz de hacerlo. Nunca.

Riéndose bajito, el individuo bajó del estrado, y antes de que nadie pudiera reaccionar, él y los dos Encapuchados habían desaparecido por la puerta lateral y ya después no se los volvió a ver.

CREPÚSCULO MATEMÁTICO (2)

Capítulo Segundo

Corría el siglo VI antes de nuestra Era y Grecia era una civilización en desarrollo, cuando Pitágoras fundó la Escuela de los Pitagóricos en la ciudad de Crotona, al sur de lo que actualmente es la península de Italia. En ella Pitágoras, su esposa Teano y sus discípulos se dedicaron durante muchos años al estudio de las matemáticas, la filosofía, la música, la astronomía, la metafísica y algunas otras ciencias. Sin embargo, aquella época de paz y conocimiento se vio truncada por una guerra que Crotona sostuvo con la vecina Síbaris (de donde luego provendrían los sibaritas), y aunque Crotona resultó vencedora, los Pitagóricos no pudieron evitar que su Escuela fuera incendiada como consecuencia de los disturbios. Muchos de ellos murieron en el desastre, y Pitágoras logró escapar a duras penas. Anciano, desencantado, cansado y débil, fue a refugiarse en la ciudad de Metaponte, donde pasó sus últimos años en una humilde cueva dedicado a lo que otros hemos hecho en nuestros primeros años: a dar clases particulares de matemáticas.

Entre sus afortunados alumnos había cuatro jóvenes, que no eran conscientes precisamente de su fortuna, llamados Trapeces, Cartesia, Escalena y Piramidos. Aquel día la tardía primavera calentaba lentamente los campos, los olivos hacía ya semanas que estaban en flor y los insectos, impacientes, esperaban a las horas centrales del día para desplegar su típico concierto de somnífero sonsonete. El cielo brillaba en la mañana con un azul intenso, y la brisa del cercano mar hacía aún más difícil centrarse en los estudios, en las cuentas y en los problemas aritméticos. Pitágoras solía reunirse con sus alumnos a la sombra de unos árboles junto a uno de los paseos que entraban a la ciudad, entre las numerosas granjas y huertas, aunque ese día se estaba retrasando un poco más de la cuenta. Los cuatro jóvenes se apoyaban indolentemente en el tronco de uno de los pinos mediterráneos que flanqueaban el camino.

-¿Sabéis alguno lo que nos va a explicar hoy? –preguntó Trapeces, un poco por romper el silencio tedioso.

-Creo que algo sobre un teorema –contestó Cartesia, no muy segura.

-¿No es ése que habla de la hipopelusa y los dos caretos? –dijo Piramidos.

-A mí no me preguntéis, que hace tiempo que no me entero de nada –exclamó Escalena lanzando un bufido.

Pasaba el tiempo, crecía la esperanza de que el anciano Pitágoras no apareciera aquella mañana para impartir la clase, y ya los jóvenes empezaban a mostrarse inquietos, mientras decidían si seguir esperando al gran matemático o dar la clase por anulada y emplear aquella hora en bajar a la playa a divertirse. Estaban en esto cuando Trapeces, que miraba hacia el sur, pudo ver una curiosa figura que se acercaba lentamente por el paseo. A pesar de la agradable temperatura, venía cubierta de pies a cabeza por una túnica oscura, casi negra, que le ocultaba los pies y las manos, y se extendía en una capucha dejando en sombras el desconocido rostro.

-Callaos, -dijo Trapeces-. Se acerca alguien que parece forastero.

A una seña del joven, los cuatro se quedaron observando al individuo, y para su sorpresa lo vieron acercarse a ellos con intención de hablarles, como finalmente hizo.

-Buenas tardes, jóvenes –dijo en una voz baja y oscura-. Me envía vuestro maestro, Pitágoras.

La capucha se movió como mirando a cada uno de los alumnos, pero había dentro de ella tanta oscuridad que sólo lograban distinguir la punta de una nariz larga y pálida asomándose tímidamente al exterior.

-Vuestro maestro os manda llamar para que acudáis a su cueva, pues hoy os enseñará la lección allí –siguió diciendo-. Hoy no se encuentra muy bien y no puede salir al exterior… Seguidme, por favor…

No les pareció muy buena noticia a ninguno de los cuatro, que ya se habían hecho a la idea de no tener clase aquella mañana; más aún, el desconocido personaje no les ofrecía mucha confianza. Pero como el maestro Pitágoras era muy respetado en Metaponte, aunque ellos no sabían realmente por qué, no se atrevieron a expresar ningún desacuerdo, sino que siguieron dócilmente al extraño conforme éste tomaba el paseo alejándose de la ciudad hacia unas colinas cercanas. Abandonaron el camino cuando habían recorrido casi un kilómetro, y no fue hasta después de otros dos kilómetros más, subiendo una cuesta que se hacía cada vez más empinada por momentos, entre huertas de olivos y otros árboles frutales, cuando por fin llegaron a un repecho rocoso en el que se abría la boca de una negra caverna.

-¡Estoy cansado! –exclamó Piramidos.

-Yo también –dijo Cartesia.

-¡Vaya, no conocía esta cueva! –dijo Trapeces, observando el lugar. Por un momento le extrañó no conocerla, pues desde pequeño pasaba las tardes recorriendo todos los alrededores de Metaponto con sus amigos, practicando como todos la caza, la pesca y muchos otros diversos deportes a los que eran aficionados los griegos.

-¡Qué emocionante, la cueva donde vive Pitágoras! –dijo Escalena, y no se sabe por qué, por una vez parecía de verdad entusiasmada.

El misterioso personaje se detuvo junto al umbral y señalando su interior instó a los jóvenes:

-El maestro os está esperando. Pasad, pasad…

-Venga, vamos –dijo Cartesia, y se apresuró a encabezar la marcha.

-Parece oscuro ahí dentro –dudaba Piramidos, pero no se atrevía a demostrar sus temores.

-¿Nadie se trajo una lámpara o una antorcha? –preguntó Escalena.

-¡No veo nada! -se limitó a decir Trapeces, que absorto, contemplando el entorno se había quedado el último, y cuando traspasó el umbral se encontró en una oscuridad completa.

Si la cueva hubiera estado iluminada, los jóvenes habrían podido ver los escasos muebles y pertenencias del anciano Pitágoras, que desde hacía muchos años acostumbraba vivir con mucha sencillez. Originalmente, la caverna era limpia y acogedora, y en su parte más interna continuaba y parecía estrecharse para penetrar en las ignotas profundidades de la tierra. Pero aquel día, por alguna extraña razón, la intensa luz del exterior no lograba entrar más allá de unos escasos metros, apagándose rápidamente como si algo la estuviera obstaculizando.

-Pues sí que es pobre Pitágoras –comentó Cartesia.

-No tiene ni para velas –corroboró Piramidos.

-Las matemáticas no dan para mucho –afirmó Escalena. La imagen de su anciano maestro decaía por momentos al observar aquel lugar con apariencia mísera e inquietante.

-Fijaos, creo que ahí viene… -dijo Trapeces al notar que alguien se acercaba desde lo más profundo de las sombras.El silencio se apoderó de los cuatro jóvenes cuando en la oscuridad brillaron unos ojos rojizos de pupila alargada. A través de la maligna mirada los jóvenes sintieron que las intenciones de aquellos ojos no eran positivas en absoluto, y a todos les recorrió un intenso escalofrío de pánico, y mayor fue el susto cuando en la oscuridad parecieron brillar dos afilados colmillos que acompañaron al fulgor de los amenazantes ojos. Pero apenas tuvieron tiempo de pedir que alguien trajera una luz.

En el exterior de la cueva, junto al umbral, el extraño personaje encapuchado que los había conducido hasta allí reía en voz baja mientras a sus oídos llegaban, medio ahogados, varios gritos angustiosos de terror…

CREPÚSCULO MATEMÁTICO (1)

INTRODUCCIÓN
En diciembre de 2008 se propusieron algunas actividades a realizar con los grumetes. Entre ellas, como me gusta el mundo de los cómics, decidí intentar realizar una historieta juvenil que tuviera algo que ver con las matemáticas. Empecé a escribir un guión y encargué a los grumetes voluntarios a que fueran dibujando las viñetas. El 19 de diciembre nos reunimos para trabajar, y de aquella reunión salieron dos páginas que se pueden ver en este enlace. Pero el guión estaba pensado para una historia larga, quizás de unas veinte o treinta páginas, que pretendían ser continuadas a lo largo del curso. Sin embargo esto no ha sido posible.
Ya que gran parte de la historia estaba redactada, hemos decidido completarla y publicarla en forma de relato, por entregas, en sucesivas entradas del blog. Así pues, aquí está nuestra historia, que comienza con el



Capítulo Primero
Existe un mundo paralelo, un mundo más allá del nuestro, extraño, diferente, donde todo se resuelve de forma exacta y donde los más abstractos pensamientos cobran vida y existencia. Es el mundo de los números. En él, lo que para nosotros son cantidades que usamos con ligereza, lo que contamos y tecleamos en las calculadoras, lo que estudiamos en nuestros cuadernos y controlamos como si fueran animalillos de laboratorio, allí tiene personalidad y libertad, lenguaje, relaciones y hasta hobbies. Los números se mueven, respiran, comen, duermen, de forma parecida a los humanos, o por lo menos, los humanos podemos imaginarlo así, para entenderlos, aunque sólo sea de lejos.
En el mundo de los números, el paisaje y los accidentes geográficos es mucho más rico y variado que en nuestro mundo. Con ayuda de las matemáticas, las leyes de construcción geométrica varían de una forma que en la Tierra sería inalcanzable. Existen regiones semejantes a las nuestras, con sus valles, montañas, ríos y lagos. Existen llanuras perfectas, en donde el suelo es más plano de lo que nos podamos imaginar, sin ninguna rugosidad ni desnivel, y que se extienden hasta el infinito. En esos parajes, a pesar de su total llanura, los colores se combinan en algunas zonas en forma ordenada o desordenada, constituyendo teselaciones de muy diversos tipos. Existen también lugares en los que el espacio se curva sobre sí mismo, sitios donde si entras no puedes salir y si sales no puedes entrar, ciclos cerrados en los que por mucho que nos desplacemos siempre regresamos al mismo lugar, cortes en el terreno, más abruptos que el más vertical de los acantilados que conocemos, paisajes de estructura fractal, algunos de ellos se parecen engañosamente a ciertos paisajes terrestres, con sus rugosidades e irregularidades cada vez más intrincadas, pero otros se repiten sobre sí mismos en secuencia infinita, y cualquier explorador que incauto se acercara a sus proximidades corre el peligro de quedar atrapado para siempre en ellos.
En el mundo de los números existen las montañas más altas, las cuales nadie ha escalado y nadie podrá nunca escalar, los objetos más pequeños y los más grandes, los más finos y los más gruesos, construcciones de una regularidad aburridora, llenas de idénticos cuadrados, paisajes repletos de espirales de muchos tipos, cosas sin bordes, rugosidades tan retorcidas que al examinarlas no se pueden resolver ni con los más potentes microscopios, curvas asintóticas que se pierden en el horizonte, cadenas montañosas que repiten su figura indefinidamente…
Los números presumen de ser ellos los creadores de todo ese mundo. Los seres humanos, con su ayuda, los imitamos algunas veces y por eso ciertos monumentos, puentes, carreteras, torres, edificios, se parecen a ciertas estructuras que ya existen en el mundo de los números. También, en pequeño, los seres humanos reproducimos dibujos, patrones, objetos, que están inspirados en ese país. Desgraciadamente, nadie ha podido visitarlo en persona hasta ahora, aunque sí vislumbrarlo con ayuda de su imaginación.
Desgraciadamente, en unos instantes, esto va a cambiar. Alguien va a ser capaz de entrar en el mundo de los números usando métodos extraños, de hechicería desconocida mezclada con ciencia imposible. Una aparición se va a dar, más allá del tiempo y del espacio normal. Nos encontramos, precisamente, en una especie de pradera bastante parecida en su forma a las praderas terrestres, pero mucho más variada en colores y matices. El número Pi se pasea por ella, solo, tranquilo, satisfecho de sí mismo, canturreando entre dientes su expresión decimal. Podemos decir que los números se conocen a sí mismos mejor que los humanos. Uno cualquiera de nosotros, por ejemplo, no es capaz de decir así, a bote pronto, cuantos lunares tiene en todo el cuerpo, o el número de pelos que lleva en la cabeza ahora mismo. Pi, sin embargo, se sabe todos sus decimales, aunque son infinitos, y se enorgullece de ello. Su cancioncilla de dígitos sube y baja y a veces la interrumpe con risitas, especialmente cuando se cruza con otros números, a los que nunca suele dirigir la palabra. Precisamente en estos momentos se acerca a un pequeño grupo en donde están algunos números enteros: el Tres, el Uno y el Cuatro, o mejor dicho, la Cuatro, pues los números también presentan ciertas diferencias de sexo, y Cuatro se manifiesta con características femeninas. Volando sobre ellos, como un pájaro-mascota se encuentra un personaje curioso, la Coma.
-¿Qué hay muchachos? –pregunta despreocupadamente Tres a los demás compañeros. Siendo un número primo, a Tres le gusta ser alegre, independiente y despreocupado, un eterno optimista.
-Nada, mirando al número Pi –contesta Uno, con su habitual seriedad. Siempre ha sido un poco huraño, también independiente como los primos, pero sin el carácter alegre de ellos-. Pi siempre tiene un comportamiento tan irracional…
-No nos saluda ni siquiera por compromiso –comenta Cuatro, que le gusta ser perfeccionista-. Es de un antipático…
La Coma no dice nada, se limita a volar o flotar suavemente sobre los demás números, algunas veces se posa en sus hombros (en aquellos números que tienen hombros) y otras veces baja al suelo, donde descansa durante breves momentos.
¿Quién es el que se acerca, simpático, jovial, subiendo despreocupadamente la ladera geométricamente perfecta y de curvatura constante en la que se encuentran los otros hablando entre sí? Es alguien que le gusta adornarse con un cinturón, que si lo viéramos bajo los cánones de nuestra moda nos parecería excéntrico y hasta ridículo. Pero en el mundo de los números se les dan cabida a todas las posibles apariencias externas, sin tomar preferencia por ninguna. Es el Ocho, que mientras está llegando cerca de sus compañeros exclama:
-¡Eh, muchachos! ¿Habéis visto el cubo nuevo?
-No, ¿dónde está? –pregunta Uno.
-Mirad, allí lo tenéis –y todos dirigen la vista hacia la mitad de un valle cercano, a poca distancia de donde se encuentran, aunque hablar de distancias en este mundo es un tema resbaladizo, pues todas las distancias son relativas.
-¡Vayamos a verlo! –exclama Cuatro.
Bajan, corriendo, casi deslizándose, la ladera. Un poco más allá, contrastando con todo el entorno, se levanta un cubo, como una caja grande. Parece desubicado; es extraño que un elemento geométrico como aquél se encuentre en la pradera de las curvaturas perfectas, sobre la que las gradaciones de color se suceden cambiando progresivamente, armonizadas con la suavidad de la superficie. El cubo, sin embargo, tiene un color oscuro, un gris indefinido, y sus proporciones no parecen tener la exactitud que requeriría un sólido pitagórico perfecto como él. Sobre sus caras aparecen símbolos extraños, quizás conocidos para los humanos, pero sin significado en el mundo de los números.
-Ahí lo tenéis –dice Ocho, señalando al objeto intruso conforme los demás llegan a su lado.
-¡Caray!
-Vaya, no lo habíamos visto antes por aquí.
-Tiene un aspecto raro…
En ese instante, como si algo se hubiera activado con la proximidad de los números, se escucha un pequeño crujido, y la cara superior del cubo, semejante a una tapa, empieza a levantarse como si algo desde dentro la empujara.
-Mirad, se está abriendo…
-Y parece que dentro hay algo o alguien.

En efecto, en la sombra interior del objeto parecen brillar dos malévolos ojos de pupilas felinas. Los números guardan un expectante silencio mientras la tapa se abre totalmente. Y antes de que ninguno de ellos pueda reaccionar salta desde dentro una figura rápida, borrosa, que se abalanza sobre el más cercano de los números, Ocho, y se posa encima de él como si fuera un gran pájaro de presa. Tres, Uno y Cuatro lo miran asustados, y pueden contemplar a un extraño personaje, pequeño, regordete, de cara ancha y desagradable a la vista, que abre la boca y con sonrisa deleitosa clava unos pequeños colmillos sobre el círculo superior del Ocho, mientras éste grita indefenso.
-¡Socorro!
-Pero, ¿quién es éste? –exclama Uno, completamente anonadado.
-¡Huyamos! –grita Tres mientras emprende ya la carrera.
Cuatro, sin embargo, está paralizada de terror, y la Coma abre los ojos con asombro pero ella parece estar por encima de todo lo que acontece, incluso por encima del mismo miedo.